自动控制原理3.1

1、 第三章第三章 时域分析法时域分析法时域分析法时域分析法：利用控制系统在时间域中的数学模型利用控制系统在时间域中的数学模型微分方程微分方程直接直接对系统进行分析的方法。对系统进行分析的方法。特点特点： 属于直接分析方法属于直接分析方法 能提供系统时间响应的全部信息能提供系统时间响应的全部信息 从从数学数学角度：角度： 利用拉氏反变换法求出系统的输出量的表达式，提利用拉氏反变换法求出系统的输出量的表达式，提供系统输出响应的全部信息。供系统输出响应的全部信息。 直观、准确直观、准确不足不足： 实际控制系统较复杂，高阶微分方程求解计算量大实际控制系统较复杂，高阶微分方程求解计算量大 仅通过微分方程不

2、容易区分影响系统运动规律的主要仅通过微分方程不容易区分影响系统运动规律的主要因素和次要因素因素和次要因素例例从从工程工程角度：并非简单求取一个既定系统的运动，而是角度：并非简单求取一个既定系统的运动，而是需要需要选择系统中某些参数，甚至改变系统的结构选择系统中某些参数，甚至改变系统的结构以获取以获取较好的控制性能。较好的控制性能。对时域分析法的对时域分析法的要求要求： 计算量不应太大，并且不因方程阶次升高而增加太多计算量不应太大，并且不因方程阶次升高而增加太多 容易分析系统容易分析系统各主要参数各主要参数对系统运动规律的影响对系统运动规律的影响 借助于图表或曲线可以直观地表示出系统的运动特征借

3、助于图表或曲线可以直观地表示出系统的运动特征时域分析法需要时域分析法需要解决的问题解决的问题： 判断系统是否稳定（绝对稳定）判断系统是否稳定（绝对稳定） 系统在输入信号作用下，最终达到稳定时响应过程是系统在输入信号作用下，最终达到稳定时响应过程是否快速、平稳否快速、平稳 控制是否准确控制是否准确本章主要内容：本章主要内容： 1. 1. 控制系统的控制系统的稳定性稳定性分析分析 2. 2. 控制系统的控制系统的动态特性动态特性分析分析 3. 3. 控制系统的控制系统的稳态特性稳态特性分析分析说明：在系统动态特性分析中，许多高阶系统的时间说明：在系统动态特性分析中，许多高阶系统的时间响应可以用二阶

4、系统的时间响应近似代替，将响应可以用二阶系统的时间响应近似代替，将着重研着重研究究二阶系统性能指标的计算方法。二阶系统性能指标的计算方法。 第一节第一节 典型输入信号典型输入信号系统输出响应：系统输出响应：系统的时间响应不仅取决于系统本身的结构、参数，系统的时间响应不仅取决于系统本身的结构、参数，而且与系统的输入信号有关。而且与系统的输入信号有关。实际控制系统的输入具有实际控制系统的输入具有多样性多样性和和随机性随机性。设定设定典型输入信号典型输入信号目的：目的：在分析、设计自动控制系统时，对不同的系统性能有在分析、设计自动控制系统时，对不同的系统性能有比较的基础。比较的基础。特点特点： 能反

5、映系统的实际工作情况能反映系统的实际工作情况 可以用简单的数学形式来描述可以用简单的数学形式来描述 信号易于通过实验产生信号易于通过实验产生C(t)=L-1 (S)R(S) (S)：系统闭环传递函数系统闭环传递函数典型输入信号有以下典型输入信号有以下5种：种：1. 阶跃函数阶跃函数定义定义：r(t)=R t 00 t0式中，式中，R为阶跃函数的阶跃值（常数）为阶跃函数的阶跃值（常数）单位阶跃函数拉氏变换式为：单位阶跃函数拉氏变换式为： R(S)=Lr(t)=1/S在在实际系统实际系统中，阶跃函数等同于：中，阶跃函数等同于：一个大小不变的作用在一个大小不变的作用在t=0时刻突然施加于系统（如电时

6、刻突然施加于系统（如电源电压突然波动）。源电压突然波动）。在控制系统分析和设计中，单位阶跃函数是应用最多在控制系统分析和设计中，单位阶跃函数是应用最多的一种的一种评价系统动态性能评价系统动态性能的典型外作用。的典型外作用。2. 斜坡函数斜坡函数（等速度函数）（等速度函数）定义定义：r(t)=Rt t 00 t0单位斜坡函数拉氏变换式为：单位斜坡函数拉氏变换式为： 1 S2R(S)=Lr(t)=在在实际系统实际系统中等同于一个随时间以恒定速度增长的作中等同于一个随时间以恒定速度增长的作用施加于系统（如跟踪通讯卫星的天线控制系统）。用施加于系统（如跟踪通讯卫星的天线控制系统）。3. 抛物线函数抛物

7、线函数（等加速度函数）（等加速度函数）定义定义：r(t)=Rt 2 t 00 t0 1 2单位加速度函数拉氏变换式为：单位加速度函数拉氏变换式为： 1 S3R(S)=Lr(t)=在在实际系统实际系统中等同于一个随时间以等加速度变化的作中等同于一个随时间以等加速度变化的作用施加于系统（如宇宙飞船控制系统）。用施加于系统（如宇宙飞船控制系统）。4. 单位脉冲函数单位脉冲函数（冲击函数）（冲击函数）定义定义：r(t)= (t) = t=00 t 0 (t)dt=1 单位脉冲函数拉氏变换式为：单位脉冲函数拉氏变换式为：R(S)=L (t)=1说明说明：单位脉冲函数只是数学上的概念：单位脉冲函数只是数学

8、上的概念5. 正弦信号函数正弦信号函数定义定义： r(t)=ASin t正弦函数的拉氏变换为：正弦函数的拉氏变换为： A S2+ 2R(S)=Lr(t)=说明：说明： 同一个系统中，不同形式的输入信号所对应的输出响同一个系统中，不同形式的输入信号所对应的输出响应是不同的。应是不同的。 对于线性控制系统而言，它们所表征的对于线性控制系统而言，它们所表征的系统运动特征系统运动特征是一致的。是一致的。 通常以单位阶跃函数作为典型输入作用，则可在一个通常以单位阶跃函数作为典型输入作用，则可在一个统一的基础统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。上对各种控制系统的特性进行比较和研究。 在典型输入

9、信号作用的基础上设计出的系统对实际输在典型输入信号作用的基础上设计出的系统对实际输入信号的响应特性能够满足要求。入信号的响应特性能够满足要求。 第二节第二节 阶跃响应的性能指标阶跃响应的性能指标一、基本术语一、基本术语1. 控制系统控制系统时间响应时间响应C(t)：在给定输入信号作用下，系统输出随时间的变化规律。在给定输入信号作用下，系统输出随时间的变化规律。 C(t)=Ctt(t)+Css(t)2. 瞬态响应瞬态响应 Ctt(t)：系统在输入信号作用下，输出量从系统在输入信号作用下，输出量从初始状态接近最终初始状态接近最终状态状态的响应（自然响应）。的响应（自然响应）。一个可以实际运行的系统

10、，其暂态过程必须是衰减的。一个可以实际运行的系统，其暂态过程必须是衰减的。3. 稳态响应稳态响应Css(t) （也称为强迫响应）：也称为强迫响应）：时间趋于无穷大时系统输出量的表现形式。时间趋于无穷大时系统输出量的表现形式。稳态响应表征了控制系统输出量稳态响应表征了控制系统输出量复现输入量复现输入量的程度。的程度。根据系统结构和参数选择情况，设定初始条件为根据系统结构和参数选择情况，设定初始条件为0时，时，控制系统单位阶跃响应有控制系统单位阶跃响应有两种两种形式形式： 非周期响应非周期响应 衰减振荡响应衰减振荡响应 例：一般二阶系统例：一般二阶系统响应特点响应特点 bassbsG2)(当当b=

11、9, a=9 时，特征方程：时，特征方程：S2+aS+b=0C(t)=L-1G(S)R(S)=L-1G(S)(1/S)闭环传递函数极点分布图闭环传递函数极点分布图C(t)=1r1 e-1.146tr2 e-7.845t当当a=6, b=9时，时，当当a=6, b=2时，时，特征方程：特征方程：S2+aS+b=0二、二、系统的极点、零点和系统响应关系系统的极点、零点和系统响应关系R(S)C(S) S+a aG(S)例例 ：Sj 0 a其中其中, a为正实数。为正实数。闭环极点分布图：闭环极点分布图：系统系统单位阶跃响应单位阶跃响应(零状态响应零状态响应)的拉氏变换为：的拉氏变换为：assassa

12、sGsRsC11)()()()(阶跃响应为：阶跃响应为： atetc 1)( 原点处的极点（由输入决定）产生原点处的极点（由输入决定）产生稳态响应稳态响应，即：，即：输入函数的极点输入函数的极点决定了稳态响应的类型。决定了稳态响应的类型。 S=a处系统极点处系统极点(G(S)极点极点)产生暂态响应产生暂态响应eat ，即：即：系统传递函数的极点系统传递函数的极点决定了自然响应的类型。决定了自然响应的类型。描述系统动态响应的参数描述系统动态响应的参数： a 阶跃响应为：阶跃响应为： atetc 1)(R(S)C(S) S+a aG(S) assassasGsRsC11)()()()(* 实轴上的

13、极点实轴上的极点产生了产生了指数函数的响应指数函数的响应。单位阶跃响应为：单位阶跃响应为： atetc 1)(Sj 0 a在负实轴上的极点越远离虚轴，该极点所对应的暂态响在负实轴上的极点越远离虚轴，该极点所对应的暂态响应项就越快地衰减到应项就越快地衰减到0。* 零、极点共同决定了暂态响应分量的幅值。零、极点共同决定了暂态响应分量的幅值。1. 上升时间上升时间tr系统输出阶跃响应由稳系统输出阶跃响应由稳态值态值10上升到稳态值上升到稳态值的的90所需要的时间。所需要的时间。阶跃响应由零值上升到阶跃响应由零值上升到第一个峰值所需的时间。第一个峰值所需的时间。2. 峰值时间峰值时间tp三、三、系统性

14、能指标系统性能指标定义定义 3. 最大超调量最大超调量 在峰值时间上，系统响应在峰值时间上，系统响应C(C(tp)超出终值超出终值C( )的量，的量，它以占终值的百分比来表示。它以占终值的百分比来表示。 指指C(t)与与C( )之间误差达到规定的允许值，并且以后之间误差达到规定的允许值，并且以后不再超过此值所需的最短时间，即：不再超过此值所需的最短时间，即： | C(t) C( ) | ；式中式中 为规定的误差允许值，为规定的误差允许值， 2或或 5 。 = =C(C(tp) C( )C( ) 100%4. 调整时间调整时间ts最大超调量最大超调量： % %反映系统响应过程的平稳性。反映系统响

15、应过程的平稳性。 ess反映系统复现输入信号的精确度。反映系统复现输入信号的精确度。利用上述指标可以表征系统在利用上述指标可以表征系统在给定输入下给定输入下的运动特征。的运动特征。 tp 、 tr 均表征系统响应初始阶段的快慢。均表征系统响应初始阶段的快慢。 ts表示系统过渡过程的持续时间。表示系统过渡过程的持续时间。总体反映系总体反映系统的快速性统的快速性说明说明：5. 稳态误差稳态误差ess对于单位反馈系统，当对于单位反馈系统，当t 时，系统响应的实际值与时，系统响应的实际值与期望值之差。期望值之差。 第三节第三节 一阶系统时域分析一阶系统时域分析一阶系统一阶系统(一阶惯性系统一阶惯性系统

16、)：由一阶微分方程描述的系统。由一阶微分方程描述的系统。R(S)= TS+1 1E(S)R(S)C(S) TS 1传递函数为：传递函数为：G(S)=C(S)/一、一阶系统的一、一阶系统的单位阶跃响应单位阶跃响应输入信号的拉氏变换为：输入信号的拉氏变换为： R(S)=1/S则输出信号的拉氏变换为：则输出信号的拉氏变换为：C(S)= G(S)R(S)= TS+1 1 S 1r(t)RCC(t), 其中其中T=RC单位阶跃响应为：单位阶跃响应为：C(t) =L-1 TS+1 1 S 1= 1 e t/T其中，其中，Css=1代表代表稳态分量稳态分量，Ctt= e t/T代表代表暂态分量暂态分量说明说

17、明：时间常数：时间常数T是表征响应特性的唯一参数是表征响应特性的唯一参数t=T, C(T)=0.632t=2T, C(2T)=0.863t=3T, C(3T)=0.950t=4T, C(4T)=0.982ess=Lim 1 c(t) =0t结论结论：1. 一阶系统单位阶跃响应一阶系统单位阶跃响应无超调无超调( =0)=0)2. 主要动态性能指标是主要动态性能指标是调节时间调节时间ts ，一般取：，一般取： ts 3T (s) (对应对应5误差范围）误差范围） ts 4T (s) (对应对应2误差范围）误差范围）系统时间常数越小，响应过程的快速性越好系统时间常数越小，响应过程的快速性越好3. 一

18、阶系统单位阶跃响应无稳态误差一阶系统单位阶跃响应无稳态误差(ess=0)二、一阶系统的二、一阶系统的单位斜坡响应单位斜坡响应输入信号的拉氏变换为：输入信号的拉氏变换为： R(S)=1/S2则输出信号的拉氏变换为：则输出信号的拉氏变换为：C(S)= G(S)R(S)= TS+1 1 S2 1单位斜坡响应为：单位斜坡响应为： TS+1 1 S2 1C(t) =L-1=(t T)+Te t/TCss= t T代表稳态分量，代表稳态分量，Ctt= Te t/T代表暂态分量代表暂态分量说明说明：一阶系统的单位斜坡响应存在：一阶系统的单位斜坡响应存在稳态误差稳态误差，为：，为：ess=Lim t c(t)

19、 =TtC(t)r(t)essC(t)t0稳态误差与系统输入有关。稳态误差与系统输入有关。对于该单位反馈系统，对于该单位反馈系统，希望输出值希望输出值E(S)R(S)C(S) TS 1 第四节第四节 二阶系统时域分析二阶系统时域分析一、典型二阶系统一、典型二阶系统)()()()(22tKtKdttddttdTrcccm TmS2+S+k k (S) =系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数(二阶系统的标准形式二阶系统的标准形式)为：为： S2+2 nS+ n2 n2G(S) =式中式中 为二阶系统的为二阶系统的阻尼比阻尼比， n为为无阻尼振荡频率无阻尼振荡频率。对于结构不同的二阶系统，对于结构不

20、同的二阶系统， 和和 n的物理含义不同。的物理含义不同。 TmS2+S+k k (S) = n = Tm K =kTm21传递函数无零点传递函数无零点R(S)C(S) S2+2 nS n2典型二阶系统典型二阶系统结构如图所示：结构如图所示：二阶系统的特征方程为：二阶系统的特征方程为： S2+2 nS+ n2 0S1,2 = n n 2 1当当0 1时，系统处于时，系统处于过阻尼过阻尼状态状态当当 0时，系统处于时，系统处于无阻尼无阻尼状态状态说明说明： 和和 n 是二阶系统两个重要参数，是二阶系统两个重要参数，系统的响应特性完系统的响应特性完全由这两个参数决定全由这两个参数决定。方程的特征根为

21、：方程的特征根为： S2+2 nS+ n2 n2 (S) =二、二、典型二阶系统典型二阶系统的的单位阶跃响应单位阶跃响应1. 欠阻尼欠阻尼( 0 1)二阶系统二阶系统单位阶跃响应单位阶跃响应系统特征方程为：系统特征方程为： S2+2 nS+ n2 0S1,2 = n j n1 2当输入为单位阶跃函数时，即：当输入为单位阶跃函数时，即：r(t)=1(t)C(S)= (S)R(S)= S 1 S2+2 nS+ n2 n2令：令： d = n1 2= n j dS1,2 = n n 2 1由于由于0 1，其闭环特征根为其闭环特征根为一对共轭复数根一对共轭复数根：振荡的阻尼频率振荡的阻尼频率0tc(t

22、)由复数极点的实部由复数极点的实部 n所产生的指数衰减所产生的指数衰减由复数极点的虚部由复数极点的虚部 d所产生的正弦振荡所产生的正弦振荡阻尼系数阻尼系数 =指数衰减频率指数衰减频率自然响应频率自然响应频率C(t)=1 e ntcos n1 2t + 1 2sin n1 2t 说明：说明：当当0 1)二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应系统的特征根为：系统的特征根为：S1,2 = n n 2 1系统的特征根为系统的特征根为:1 2C(t)=1 2 n e S1tS1e S2tS2结论结论：二阶系统过阻尼状态的单位阶跃响应曲线是单调上升二阶系统过阻尼状态的单位阶跃响应曲线是单调上升的，不

23、会超过稳态值的，不会超过稳态值1，也不出现振荡现象。，也不出现振荡现象。一对不等的负实根一对不等的负实根在单位阶跃输入函数作用下，系统输出为：在单位阶跃输入函数作用下，系统输出为：在单位阶跃输入函数作用下，系统输出为：在单位阶跃输入函数作用下，系统输出为：C(t)=1 cos ( nt)结论结论：无阻尼状态的二阶系统单位阶跃响应是等幅振：无阻尼状态的二阶系统单位阶跃响应是等幅振荡的。荡的。4. 无阻尼状态无阻尼状态（ 0）二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应二阶二阶系统的特征根：系统的特征根：S1,2 = n n 2 1 0时系统的特征根为：时系统的特征根为：一对纯共厄虚根一对纯共厄虚

24、根S1,2 = j n当当0 1时，系统处于时，系统处于过阻尼过阻尼状态，状态， S1,2 为一对不相等负实根为一对不相等负实根当当 0时，系统处于时，系统处于无阻尼无阻尼状态，状态， S1,2 为一对相等共轭虚根为一对相等共轭虚根说明：说明： 和和 n 是二阶系统两个重要参数，系统的响应特性完全由这两个是二阶系统两个重要参数，系统的响应特性完全由这两个参数决定。参数决定。二、二、典型二阶系统的性能指标典型二阶系统的性能指标主要讨论主要讨论 欠阻尼欠阻尼( 0 tp21 2tp = n ts = n 4S1,2 = n n1 2结论结论：tp 反比于反比于闭环极点虚部闭环极点虚部，ts 反比于

25、反比于闭环极点实部闭环极点实部，射线代表射线代表超调量超调量。 =arccos （ 为原点到极点射线与负为原点到极点射线与负实轴夹角）实轴夹角）ts1 ts2 1% 2 %极点具有极点具有相同实部相同实部时的二阶系统阶跃响应：时的二阶系统阶跃响应：ts = n 4= d 4 d称为指数阻尼频率。称为指数阻尼频率。极点具有极点具有相同虚部相同虚部时的二阶系统阶跃响应：时的二阶系统阶跃响应：e nt1 21 2sin n t + C(t)=1 极点具有极点具有相同阻尼比相同阻尼比 时的二阶系统阶跃响应：时的二阶系统阶跃响应：四、四、具有零点具有零点的二阶系统分析的二阶系统分析说明说明：当二阶系统具

26、有闭环零点时，它的阶跃响应与：当二阶系统具有闭环零点时，它的阶跃响应与典型二阶系统（无零点）不同。典型二阶系统（无零点）不同。假设二阶系统的闭环传递函数为：假设二阶系统的闭环传递函数为： S2+2 nS+ n2 n2 ( S+1) (S) =C(S)= (S)R(S)=如果系统为如果系统为欠阻尼欠阻尼，输入信号为单位阶跃函数，有：，输入信号为单位阶跃函数，有： S 1 S2+2 nS+ n2 n2 ( S+1)其单位阶跃响应为：其单位阶跃响应为： e nt1 2sin ( dt+ ) +C(t)=1 e nt1 2 sin dt n为了定量说明附加零点对二阶系统性能的影响，用为了定量说明附加零

27、点对二阶系统性能的影响，用参参数数 a 表示附加零点表示附加零点( Z= 1/ )与典型二阶系统极点负实与典型二阶系统极点负实部部 n与虚轴距离之比，即：与虚轴距离之比，即：a = n Z说明说明： 系统阶跃响应既与系统阶跃响应既与 、 n 有关，还与零点有关，还与零点(或或a)有关。有关。对于对于一定的一定的 值值，以，以a为参变量，得出系统单位阶跃响为参变量，得出系统单位阶跃响应曲线图如下：应曲线图如下：结论结论：(1) 增加闭环零点，将使二阶系统增加闭环零点，将使二阶系统超调量增大超调量增大，上升时上升时间和峰值时间减少间和峰值时间减少。(2) 随着附加零点从极点左侧向极点靠拢，影响越明

28、显随着附加零点从极点左侧向极点靠拢，影响越明显(3) 当零点距离虚轴很远时，零点的影响忽略不及。当零点距离虚轴很远时，零点的影响忽略不及。a=1a= a=4 ntC(t)1.0a = n Z典型二阶系统阶跃响应曲线典型二阶系统阶跃响应曲线五、五、欠阻尼欠阻尼二阶系统的二阶系统的单位斜坡响应单位斜坡响应当单位信号为单位斜坡函数时，当单位信号为单位斜坡函数时，C(S)= (S)R(S)= S2 1 S2+2 nS+ n2 n2将上式展开成部分分式，进行拉式变换得：将上式展开成部分分式，进行拉式变换得：e nt1 21 2sin n t + C(t)=(t ) + n 2 d式中，式中， =2 tg

29、-1 1 2= 2 二阶系统单位斜坡响应稳态分量为：二阶系统单位斜坡响应稳态分量为：Css(t)= t n 2 暂态分量为：暂态分量为：e nt1 21 2sin n t + Ctt(t) = C(t)r(t)essC(t)t0系统的稳态误差为：系统的稳态误差为：ess=Lim e(t) =t n 2 说明说明：该稳态误差是一个常值误：该稳态误差是一个常值误差，只能通过改变系统参数来减差，只能通过改变系统参数来减小，但不能消除。小，但不能消除。e nt1 21 2sin n t + C(t)=(t ) + n 2 六、六、过阻尼二阶系统过阻尼二阶系统的动态过程分析的动态过程分析由于过阻尼系统响

30、应缓慢，通常不希望采用过阻尼系统。由于过阻尼系统响应缓慢，通常不希望采用过阻尼系统。但是不排除在某些情况下：但是不排除在某些情况下： 低增益、大惯性的温度控制系统低增益、大惯性的温度控制系统 不允许时间响应出现超调的指示、记录仪表系统不允许时间响应出现超调的指示、记录仪表系统 有些高阶系统的时间响应往往可用过阻尼系统的时间有些高阶系统的时间响应往往可用过阻尼系统的时间响应近似。响应近似。1 2C(t)=1 2 n e S1tS1e S2tS2性能指标性能指标：上升时间：上升时间tr、调整时间调整时间tstr=1+1.5 + 2/ n ts=3T1（针对二阶系统可降为一阶系统）针对二阶系统可降为

31、一阶系统）ts=4.75T1（针对临界阻尼二阶系统）针对临界阻尼二阶系统）六、六、高阶系统的暂态响应高阶系统的暂态响应高阶系统暂态响应近似分析法高阶系统暂态响应近似分析法：忽略部分次要因素，：忽略部分次要因素，找到系统闭环传递函数的一对找到系统闭环传递函数的一对主导极点主导极点，利用分析二，利用分析二阶系统响应的方法解决高阶系统。阶系统响应的方法解决高阶系统。设控制系统的闭环传递函数为：设控制系统的闭环传递函数为：GB(S) = anSn+an-1Sn-1+.+a1S+a0bmSm+ bm-1Sm-1+.+b0i=1 (S+Pi) nj=1 K (S+Zj)m=将传递函数分解成因子形式：将传递

32、函数分解成因子形式： GB(S) = S+P1 A1 + S+P2 A2 +. + S+Pn An =i=1 n S+Pi Ai 假设假设系统的所有系统的所有闭环极点闭环极点Pi为为各不相同的实数各不相同的实数，并，并且都分布在且都分布在S平面的平面的左半面左半面，则：，则：单位阶跃信号作用下，系统输出的拉氏变换式为：单位阶跃信号作用下，系统输出的拉氏变换式为： 其中，其中，Ai=Lim(S+Pi )C(S)s Pi系统的输出响应为：系统的输出响应为： C(t) = A0 +i=1 nAie-Pit说明：说明：系统的单位阶跃响应系统的单位阶跃响应C(t)是由各分量叠加而成，各分是由各分量叠加而

33、成，各分量在量在C(t)中所占的比重取决于中所占的比重取决于|Ai |的大小。的大小。(1) 如果如果GB(S)中有某一个中有某一个零点零点Zr和它的某一个和它的某一个极点极点Pk距离很近，即：距离很近，即： | Pk (Zr) | | Pi (Zr) | | Pk + Zr | | Pi + Zr) | R(S) = S A0 +i=1 n S+Pi Ai C(S) = GB(S)则：则： Ak=Lim(S+Pk )C(S)s Pk = S(S+P1 ). (S+Pk ). (S+Pn )K(S+Z1 ). (S+Zr ). (S+Zm )(S+Pk )S=Pk = (Pk)(Pk+P1 )

34、. (Pk +Pn )K(Pk+Z1 ). (Pk+Zr ). (Pk+Zm ) = (Pi)(Pi+P1 ). (Pi +Pn )K(Pi+Z1 ). (Pi+Zr ). (Pi+Zm )Ai因为因为 | Pk + Zr | | Pi + Zr) | 所以所以 | Ak | | Pi | , | Pk | | Zj | 有有： | Pk + Pi | | Pk | ， i=1,2, ., n-1 | Pk + Zj | | Pk | ， j=1,2, ., m则：则： Ak=Lim(S+Pk )C(S)sPk = S(S+P1 ).(S+Pk)(S+Pn ) K(S+Z1 ). (S+Zm

35、)(S+Pk )S=Pk = (Pk)(Pk+P1 ). (Pk +Pn )K(Pk+Z1 ). (Pk+Zm ) = (Pk)nK(Pk)m其中其中: nm，且若且若| Pk | ，则，则Ak 0结论结论： GB(S)中中距离原点很远的极点所对应的运动成距离原点很远的极点所对应的运动成分对于系统响应的影响很小，可忽略不计。分对于系统响应的影响很小，可忽略不计。如果高阶系统闭环极点中既有实数极点又有共轭复数如果高阶系统闭环极点中既有实数极点又有共轭复数极点，并且极点，并且所有极点均分布在所有极点均分布在S左半面左半面，在单位阶跃信，在单位阶跃信号作用下，系统输出的拉氏变换式为：号作用下，系统输

36、出的拉氏变换式为：将将C(S)分解成因子形式：分解成因子形式：C(S) = f=1 (S+Pf) qj=1 K (S+Zj)mk=1 (S2+2 k kS+ k2 ) r1S, q+2r =n C(S) = A0/S +i=1 q S+Pi Ai k=1 r S2+2 k kS+ k2 Bk +C(t) = A0 +i=1 qAie-Pitek ktSin ( kt+ ) k=1 r+ kBk指数函数分量指数函数分量衰减正弦函数分量衰减正弦函数分量说明：说明： 对于实际控制系统而言，闭环零、极点在对于实际控制系统而言，闭环零、极点在S平面的分平面的分布有多种形式，但布有多种形式，但闭环极点距离

37、虚轴的距离闭环极点距离虚轴的距离只有只有远近远近之别。之别。 距离虚轴较近的闭环极点距离虚轴较近的闭环极点对应的暂态分量衰减的较对应的暂态分量衰减的较慢，这些分量在决定系统动态性能方面起慢，这些分量在决定系统动态性能方面起主要作用主要作用。 距离虚轴较远的闭环极点距离虚轴较远的闭环极点对应的暂态分量衰减的很对应的暂态分量衰减的很快，这些分量对系统动态性能影响忽略不计。快，这些分量对系统动态性能影响忽略不计。例：例：C(t) = A0 +i=1 qAie-Pitek ktSin ( kt+ ) k=1 r+ kBk在单位阶跃信号作用下，系统输出响应为：在单位阶跃信号作用下，系统输出响应为：主导极

38、点的定义主导极点的定义如果一个如果一个稳定系统稳定系统的闭环零、极点分布符合以下模式：的闭环零、极点分布符合以下模式：(1) 左半左半S平面上距虚轴最近极点是平面上距虚轴最近极点是一对共轭复数极点一对共轭复数极点(2)这一对极点的这一对极点的附近没有零点附近没有零点(3)系统的其它极点，有的恰有相邻的零点与之抵消，有系统的其它极点，有的恰有相邻的零点与之抵消，有的又在这一对极点左方很远的又在这一对极点左方很远( 5 n )因此，将这一对共轭复数极点称为因此，将这一对共轭复数极点称为主导极点主导极点。如果高阶系统的闭环传递函数存在一对主导极点，则可如果高阶系统的闭环传递函数存在一对主导极点，则可

39、以将以将高阶系统降为二阶系统高阶系统降为二阶系统，利用分析二阶系统响应的，利用分析二阶系统响应的方法解决高阶系统的动态性能。方法解决高阶系统的动态性能。 第六节第六节 控制系统的稳定性控制系统的稳定性自动控制系统正常运行的首要条件：自动控制系统正常运行的首要条件：稳定稳定自动控制理论研究的自动控制理论研究的主要课题之一主要课题之一：控制系统稳定性分析控制系统稳定性分析一、一、稳定的基本概念与定义稳定的基本概念与定义 设设线性控制系统线性控制系统处于某平衡状态，由于扰动的作用，处于某平衡状态，由于扰动的作用，系统偏离了原来的平衡状态。系统偏离了原来的平衡状态。 当扰动消失后，经过足够长的时间，系

40、统恢复到平当扰动消失后，经过足够长的时间，系统恢复到平衡状态的性能，则称该系统为稳定系统。衡状态的性能，则称该系统为稳定系统。单摆示意图单摆示意图Fabcd说明说明： 稳定性稳定性是系统本生是系统本生固有的特性固有的特性，仅取决于系统的结构，仅取决于系统的结构参数，与输入信号无关。参数，与输入信号无关。 自动控制理论的自动控制理论的基本任务之一基本任务之一：如何分析系统的稳定性，并提出保证系统稳定的措施如何分析系统的稳定性，并提出保证系统稳定的措施1、线性控制系统、线性控制系统稳定性的定义稳定性的定义若控制系统在初始条件影响下，其过渡过程随时间推移若控制系统在初始条件影响下，其过渡过程随时间推

41、移逐渐衰减到零，则称系统渐近稳定，简称逐渐衰减到零，则称系统渐近稳定，简称稳定稳定。反之，若在初始条件影响下，过渡过程随时间的推移而反之，若在初始条件影响下，过渡过程随时间的推移而发散，则称系统为不稳定。发散，则称系统为不稳定。2、稳定的条件稳定的条件设线性系统在初始条件为设线性系统在初始条件为0时，作用一个理想单位脉冲时，作用一个理想单位脉冲 (t) ,则系统输出增量为脉冲响应则系统输出增量为脉冲响应C(t)。 相当于：相当于：系统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡工作点系统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡工作点的问题。的问题。若若t 时，扰动作用消失，系统脉冲响应时，扰动作用消失，系

42、统脉冲响应GB(S) = anSn+an-1Sn-1+.+a1S+a0bmSm+ bm-1Sm-1+.+b0其中其中n mC(S)R(S)=LimC(t)t= 0输出增量收敛于原平衡工作点，则：输出增量收敛于原平衡工作点，则：= i=1 (S+Pi) qj=1 K (S+Zj)mk=1 (S2+2 k kS+ k2 ) r线性系统是稳定的。线性系统是稳定的。设设系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数为：为：C(t) = i=1 qAie-Pit+如果如果系统特征方程所有的根均位于系统特征方程所有的根均位于S平面左半部平面左半部，则：，则：C(S) = (S2+2 k kS+ k2 ) i=1 (

43、S+Pi) qj=1 K (S+Zj)mk=1 r1系统在单位脉冲信号作用下，系统在单位脉冲信号作用下，ek ktCos ( k ) tk=1 rBk1 2k+ek ktSin ( k ) tk=1 rCk1 2k系统渐近稳定系统渐近稳定LimC(t)t= 0当且仅当系统的特征根全部具有负实部时，当且仅当系统的特征根全部具有负实部时，过渡过程过渡过程随着时间的推移逐渐衰减到随着时间的推移逐渐衰减到0，系统渐近稳定。系统渐近稳定。若特征根中具有一个或一个以上正实部根，若特征根中具有一个或一个以上正实部根，过渡过程过渡过程随着时间的推移而发散，则称系统为不稳定的系统。随着时间的推移而发散，则称系统

44、为不稳定的系统。 若特征根一旦具有虚根，过渡过程处于等幅振荡状态，若特征根一旦具有虚根，过渡过程处于等幅振荡状态，称系统为临界稳定。称系统为临界稳定。经典控制理论中，只有渐近稳定的系统称为稳定系统。经典控制理论中，只有渐近稳定的系统称为稳定系统。线性系统稳定的充要条件线性系统稳定的充要条件：系统闭环特征方程所有的根均位于系统闭环特征方程所有的根均位于S平面左半部。平面左半部。C(t) = i=1 qAie-Pit+ek ktCos ( k ) tk=1 rBk1 2k+ek ktSin ( k ) tk=1 rCk1 2k二、二、劳斯劳斯(Routh)判据判据1. 系统稳定的系统稳定的必要条件

45、必要条件（1）一阶系统）一阶系统特征方程：特征方程： a1S + a0 = 0特征根：特征根： S= a0/a1特征根为负的条件特征根为负的条件： a0、a1 必须大于零且不为零必须大于零且不为零（1）二阶系统）二阶系统特征方程：特征方程： a2S2+ a1S + a0 = 0 S1,2 = a1/2a2 (a1/2a2)2 a0/a2特征根：特征根：特征根全部位于特征根全部位于S平面左半面的条件平面左半面的条件： a0、a1 、 a2均为正值且不为零。均为正值且不为零。（3）高阶系统）高阶系统设高阶系统的特征方程式为：设高阶系统的特征方程式为：anSn+ an-1Sn-1+.+ a1S +

46、a0 = an (S p1) (S p2). (S pn) =0 = ( 1) an an-1 Pii=1n = an an-2 PiPj , iji=1nj=1i=1 = ( 1)n an a0 Pin.由此求得特征根与系数的关系：由此求得特征根与系数的关系：an-1、an 同号且不为同号且不为0an-2、an 同号且不为同号且不为0a0、an 同号且不为同号且不为0系统所有特征根位于系统所有特征根位于S左半平面的左半平面的必要条件必要条件：特征方程多项式特征方程多项式所有的系数所有的系数具有相同的符号具有相同的符号S多项式多项式所有的系数所有的系数都不为都不为0例：例： S4 3S3+ 3

47、S2 2S +2 = 0 系统不稳定。系统不稳定。2. 劳斯判据劳斯判据（1）劳斯行列表劳斯行列表劳斯行列表：借助劳斯行列表：借助特征方程式的系数特征方程式的系数编制的一个表格。编制的一个表格。设系统的特征方程式为：设系统的特征方程式为：anSn+ an-1Sn-1+.+ a1S + a0 = 0编制出的劳斯表如下图所示，表中的各元素均是由公编制出的劳斯表如下图所示，表中的各元素均是由公式计算出来的。式计算出来的。 anSn+ an-1Sn-1+ an-2Sn-2 + an-3Sn-3+.+ a1S + a0 = 0Sn an an-2 an-4 an-6 . a0 Sn-1 an-1 an-

48、3 an-5 an-7 .Sn-2 b1 b2 b3 b4 .Sn-3 c1 c2 c3 c4 .Sn-4 d1 d2 d3 d4 . S2 e1 e2 S1 f1S0 a0b1= an-1 1an an-2an-1 an-3 b2= an-1 1an an-4an-1 an-5 c1= b1 1an-1 an-3 b1 b2 c2= b1 1an-1 an-5 b1 b3 . .（2）判断稳定性（系统稳定的）判断稳定性（系统稳定的充要条件充要条件）劳斯判据劳斯判据： 劳斯行列表劳斯行列表左边第一列所有元素均为正值左边第一列所有元素均为正值，即特征，即特征值均位于值均位于S左半平面。左半平面。

49、 如果第一列元素出现负值，则系统是不稳定的，如果第一列元素出现负值，则系统是不稳定的，元元素符号改变的次数等于特征方程右根的个数素符号改变的次数等于特征方程右根的个数。例例3-2 系统的特征方程式为：系统的特征方程式为： S4+ 3S3+ 3S2 + 2S +2 = 0试用劳斯判据判定系统的稳定性。试用劳斯判据判定系统的稳定性。解解: S4+ 3S3+ 3S2 + 2S +2 = 0 S4 1 3 2 S3 3 2 0 S2 3 11 33 2 = 7/3 3 11 23 0= 20S1 7/3 1 3 27/3 2 = 4/7 7/3 1 3 07/3 0 = 0S0 4/7 17/3 2 4/7 0 = 2结论：系统不稳定，结论：系统不稳定，有有2个根个根在在S右半平面。右半平面。运用劳斯判据时可能出现的运用劳斯判据时可能出现的两种特殊情况两种特殊情况：构造劳斯表过程中构造劳斯表过程中某行第一列元素为某行第一列元素为0 0例例3-4系统特征方程式：系统特征方程式： S5 +2S4+ 3S3+6S2 + 5S +3 = 0试用劳斯判据判定系统的稳定性。试用劳斯判据判定系统的稳定性。解：解： S5 1 3 5 S4 2 6 3 S3 0 7/2 0