《概率统计》电子教案：D2-6习题课

1、NORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 学 理 学 院 数 学 系中 北 大 学 理 学 院 数 学 系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 第二章 第二章习题课(19) 1.设随机变量 X 的分布函数为2(1)1,FAA而利用分布函数右连续的性质有:( )F x 确定 A 并求0.30.7 .PX 解解:11lim ( )lim1 1,xxF x1.A220.70.3(0.7)(0.3)FF0.400 x201Axx 11x所以0.30.7PXNORTH UNIVERSITY OF CHINA中

2、北 大 学 理 学 院 数 学 系中 北 大 学 理 学 院 数 学 系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布3512403512401515151515xp012354146666xp (1)是分布律. (2)不是分布律,因为概率出现负值.1 指出哪个是分布律,2.检查下面数列,并说明理由, 若是概率分布,写出分布函数.分布函数为:( )F x 01x11215x 32315x 63415x 104515x 15xNORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 学 理 学 院 数 学 系中 北 大 学 理

3、学 院 数 学 系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 (2) 12PX 1010.3 0.4 0.3 3. 设离散型随机变量 X 的分布列为(1) X 分布函数;( )F x 01x0.310 x 0.701x 11x(2)( 1)FF1 0.3 0.7求: 12PX (2)解解: (1) X 分布函数为:NORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 学 理 学 院 数 学 系中 北 大 学 理 学 院 数 学 系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第二章第二章 随机变量及其概率分布

4、随机变量及其概率分布1,P Xp2 (1) ,P Xp p 则有1 (1),nP Xnpp23(1),p Xp p所以 X 的分布律为:Xp1p2(1) p p32(1) p pn1(1)npp4. 某射手的射击命中率为 p , 现对一目标连续射击,直到第一次击命中为止. 令X 表示到第一次击中为至所用的射击次数, 试求 X 的概率分布.解解: 由于命中率为 p , 则命不中的概率为1 p ,NORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 学 理 学 院 数 学 系中 北 大 学 理 学 院 数 学 系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第二章第二章 随机变量

5、及其概率分布随机变量及其概率分布( )f x 5. 0.F x 0 x 解解:01x 220011|22xxF xtdttx,01kxx 时, (1)时,时,时,12x 2211111122212222xxF xt dtttxx2x 1F x 已知 X 的概率密度函数为(2), 12kxx 0 , 其它试求: (1) 常数 k ; (2) X 的分布函数 ;13(3).22PX 1.f x dx由概率密度函数的性质可得:则有1201(2)kxdxkx dx2 12 201|(2) |22kkxx(1 1) 12k1.k (2)NORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 学 理

6、 学 院 数 学 系中 北 大 学 理 学 院 数 学 系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布( )F x 221, 122xxx 0,0 x31( )( )22FF22313112( )1( )22222 所以有2,012xx 13(3)22PX12x3.4NORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 学 理 学 院 数 学 系中 北 大 学 理 学 院 数 学 系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布( )F x 6. 设随机变量

7、 X 的分布函数为 试求:( )( )f xF xln1xxe (2)11 xex 01x(1) X的概率密度函数: 解解:(ln ) x52.2PX0其它ln1.255ln4552( )(2)22PXFF5lnln220.22 (2)1xe (1) X 的概率密度函数;NORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 学 理 学 院 数 学 系中 北 大 学 理 学 院 数 学 系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 1f x dx02|21,xcec 7.由概率密度函数的性质可得: (1) (3) (3)

8、 X 落在 ( 0 , 1) 内的概率.101012xPXe dx02xxcedxce dx (1) 常数 c ; 设随机变量X 的概率密度函数为 试求:| |( ),xf xcex 解解:1.2c101|2xe1110.31612e (2) X 的分布函数 ; (2) ( )( )xF xf t dt| |12xte dtNORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 学 理 学 院 数 学 系中 北 大 学 理 学 院 数 学 系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 8. (1) 8X 的分布律为 (2

9、)设随机变量 X 的分布律为:10120.2 0.3 0.1 0.4试求: (1) 8 X 的分布律;(2)的分布律.21X 解解:80816.0.2 0.3 0.1 0.421X 的分布律为125.0.3 0.3 0.4NORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 学 理 学 院 数 学 系中 北 大 学 理 学 院 数 学 系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布0( )00 xxef xx9.由随机变量函数的概率密度的公式可得:2YX设随机变量X的概率密度函数为:( )Yfy ( ( )|( )|0X

10、fh yh yy试求的概率密度函数.解解:00y()0yey y00y02yeyy00yNORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 学 理 学 院 数 学 系中 北 大 学 理 学 院 数 学 系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 ,Xfxf x y dy 10. 求 (1) 关于X的边缘概率密度函数; 1,yDDp X Yf x y dxdye dxdy (1)(2) P X + Y 1 .1120 xyxdxe dy( , )f x y 11212ee (2)设二维随机变量( X ,Y ) 的联合

11、概率0 其它0yexy 解解: ,Yfyf x y dx1120()xxeedx1120 xxee xyoyx11D121xy0.1548密度函数为xoyyx0|0 xyyxxxee dye其它000|0yyyyyyyee dxxe其它NORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 学 理 学 院 数 学 系中 北 大 学 理 学 院 数 学 系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布1 01,| |( , )0 xyxf x y 其它 11.设二维随机变量( X , Y ) 的联合密度函数为:( )( , )

12、Xfxf x y dy试求 X ,Y 的边缘密度函数.解解:再利用求边缘密度的公式先画出区域 D: 0 x 1,| y | x 的图形.0120 xxxdyx 其它oxy1yxyx( )( , )Yfyf x y dx111101010yydxyydxyy 其它NORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 学 理 学 院 数 学 系中 北 大 学 理 学 院 数 学 系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布303( )0 ,0 xXxefxx 12. 设 X 与Y 是两个相互独立的随机变量,206(1)00

13、zzzeez( )( )()ZXYf zfx f zx dx其概率密度分别为:202( )0 ,0yYyef yy求 Z = X + Y的概绿密度函数. 解解:由于X 与Y 是两个相互独立的随机变量, 所以由卷积公式有:303()xYef zx dx32()003200zxz xzeedxz200600zxzzeedxzNORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 学 理 学 院 数 学 系中 北 大 学 理 学 院 数 学 系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 13. (1)00,x yDf x y

14、dxdydxkedy 00 xykee 00 xyke dxe dy1 11.kk 已知随机变量X和Y的联合概率密度为( , )f x y ()0,x ykex y 0 其它 (1) 试确定常数 K ; (2)求( X , Y )的分布函数; (3) 求P0 X 1,1 Y 2; (4) 求P X Y ; (5) X与Y是否相互独立?解解:NORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 学 理 学 院 数 学 系中 北 大 学 理 学 院 数 学 系概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲主讲 赵修坤赵修坤第二章第二章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布(3).120001,02x yPXYedxdy 1200 xye dx e dy2100|xyee12110.5466eex12y0 (2),F x yP XxYy,Df x y dxdy00 xyuve du e dv00110,0|0 xyyu xveexyee 其它xy0NORTH UNIVERSITY OF CHINA中 北 大 学 理 学 院 数 学 系中 北 大 学 理 学 院 数 学 系概率论与数理统计