分块矩阵的概念和运算

1、上页下页铃结束返回首页前言 由于某些条件的限制，我们经常会遇到大型文件无法上传的情况，如何解决这个问题呢? 这时我们可以借把文件分块，依次上传. 家具的拆卸与装配问题一：什么是矩阵分块法？问题二：为什么提出矩阵分块法？上页下页铃结束返回首页一、分块矩阵的概念一、分块矩阵的概念下页下页 在矩阵的讨论和运算中，有时需要将一个矩阵分成若干在矩阵的讨论和运算中，有时需要将一个矩阵分成若干个个“子块子块”(子矩阵子矩阵)，使原矩阵显得结构简单而清晰。，使原矩阵显得结构简单而清晰。 例如：例如：1000 0100 3- -10 10010 A = =其中其中O= =(0 0 0)，A2= =(1)。I3=

2、 = ，100 010 001 A1= = ，3- -10= = ，I3O A1A2 第三节第三节 分块矩阵分块矩阵 定义定义1在一个矩阵在一个矩阵A的行、列之间划一些横线和纵线，将的行、列之间划一些横线和纵线，将A从形式上分成若干个小矩阵，每个小矩阵称为从形式上分成若干个小矩阵，每个小矩阵称为A的一个子块，的一个子块，以子块为元素的矩阵称为以子块为元素的矩阵称为A的分块矩阵的分块矩阵上页下页铃结束返回首页下页下页1000 0100 3- -10 10010 A = =其中其中I2= = ，10 01 A3= = ，00 3- -1I2= = 。00 00 在矩阵的讨论和运算中，有时需要将一个

3、矩阵分成若干在矩阵的讨论和运算中，有时需要将一个矩阵分成若干个个“子块子块”(子矩阵子矩阵)，使原矩阵显得结构简单而清晰。，使原矩阵显得结构简单而清晰。 例如：例如：= = ，I2O A3I2 一、分块矩阵的概念一、分块矩阵的概念上页下页铃结束返回首页1000 0100 3- -10 10010 A = =其中其中e e1= = ，1000= =(e e1 1 e e1 1 e e1 1 a a)， e e2= = ，0100e e3= = ，0010a a= = 。3- -101 像这样将一个矩阵分成若干块像这样将一个矩阵分成若干块(称为子块或子阵称为子块或子阵)，并以，并以所分的子块为元素

4、的矩阵称为所分的子块为元素的矩阵称为分块矩阵分块矩阵。 在矩阵的讨论和运算中，有时需要将一个矩阵分成若干在矩阵的讨论和运算中，有时需要将一个矩阵分成若干个个“子块子块”(子矩阵子矩阵)，使原矩阵显得结构简单而清晰。，使原矩阵显得结构简单而清晰。 例如：例如：一、分块矩阵的概念一、分块矩阵的概念下页下页上页下页铃结束返回首页问题二：为什么提出矩阵分块法？答：对于行数和列数较高的矩阵 A，运算时采用分块法，可以使大矩阵的运算化成小矩阵的运算，体现了化整为零的思想.上页下页铃结束返回首页下页下页 分块矩阵运算时，把子块作为元素处理。分块矩阵运算时，把子块作为元素处理。 例例1设矩阵设矩阵用分块矩阵计

5、算用分块矩阵计算kA，A+ +B及及AB。1000 0100 340 - -112- -10A = = ，1260203- -2000 10010B = = ， 解：解：将矩阵将矩阵A，B进行分块：进行分块：A= = ，IO C- -IB= = ，DF OI则则kI kCkA= =O - -kI= =k 00 k0 00 0 k 3k2k 4k- -k 0 0 - -k；二、分块矩阵的运算二、分块矩阵的运算上页下页铃结束返回首页下页下页 分块矩阵运算时，把子块作为元素处理。分块矩阵运算时，把子块作为元素处理。 例例1设矩阵设矩阵用分块矩阵计算用分块矩阵计算kA，A+ +B及及AB。1000 0

6、100 340 - -112- -10A = = ，1260203- -2000 10010B = = ， 解：解：将矩阵将矩阵A，B进行分块：进行分块：A= = ，IO C- -IB= = ，DF OI则则I + +D CA+ +BFO= =2 22 16 30 - -21 32 40 00 0；= =IO C- -I+ +DF OI= =二、分块矩阵的运算二、分块矩阵的运算形式上看成形式上看成是普通矩阵是普通矩阵的加法！的加法！上页下页铃结束返回首页下页下页 分块矩阵运算时，把子块作为元素处理。分块矩阵运算时，把子块作为元素处理。 例例1设矩阵设矩阵用分块矩阵计算用分块矩阵计算kA，A+

7、+B及及AB。1000 0100 340 - -112- -10A = = ，1260203- -2000 10010B = = ， 解：解：将矩阵将矩阵A，B进行分块：进行分块：A= = ，IO C- -IB= = ，DF OI则则D + +CF CAB- -F- -I= = 7 - -114 4- -6 - -3 0 21 32 4- -1 0 0 - -1。= =IO C- -IDF OI= =CF= =12 31 160 3- -2 612 - -34= =二、分块矩阵的运算二、分块矩阵的运算上页下页铃结束返回首页 注意：注意：在进行加法运算时，两个矩阵要有相同的分法。在进行加法运算时

8、，两个矩阵要有相同的分法。 在进行乘法运算时，左矩阵的列分法要与右矩阵的行分在进行乘法运算时，左矩阵的列分法要与右矩阵的行分法相同。法相同。 例例2设矩阵设矩阵用分块矩阵计算用分块矩阵计算AB。1000 0100 000 - -112 00A = = ，1260203000010001B = = ， 解：解：将矩阵将矩阵A，B进行分块：进行分块：A= = ，A1O2O1A3B= = ，B1O4O3B3A1B1OOA3B3= =则则AB= =A1O2O1A3B1O4O3B3= = 7 514 6 0 0 0 00 00 0 0 0- -1 - -1。下页下页上页下页铃结束返回首页分块矩阵的乘法一

9、般地，设一般地，设 A为为m l 矩阵，矩阵，B为为l n矩阵矩阵 ，把，把 A、B 分块如下：分块如下：11111211112121222221222122122121 , , trtrssstttttrtrsAAABBBAAABnnnmmmBBABAAAlllllBlBB = = = 1112121222112, (1, ; 1, )rtrijikkjksssrCCCCCCCA BCABis jrCCC= = = = = = = = = = 121212strlmmmmnnnnlll+ + + + + += =+ += =+ + += =+ +上页下页铃结束返回首页按行分块以及按列分块mn

10、 矩阵 A 有m 行 n 列，若将第 i 行记作若将第 j 列记作则12(,)Tiiiinaaaa a= = 1112112122221212,.TnTnnTmmmnmaaaaaaAaaaa aa a a a = = = = 12,jjjmjaaa = = 上页下页铃结束返回首页于是设 A 为 ms 矩阵，B 为 s n 矩阵，若把 A 按行分块，把 B 按列块，则 1111222121122122(),TTTnTTTTnTTijm nnTTTmmmnmCcABa a a a aa aaa aa a aa aa aaaaaaa a = 12121,.jsjTijijiiisikkjksjbbc

11、aaaa bba a = = = = = = 上页下页铃结束返回首页三、分块矩阵的转置三、分块矩阵的转置若 ，则例如：1111rssrAAAAA= =1111TTsTTTrsrAAAAA = = 1112131421222324123431323334,aaaaAaaaaaaaaa a a a a a a a = = = 1121311122232213233331424344TTTTTaaaaaaAaaaaaaa aa aa aa a = = = 分块矩阵不仅分块矩阵不仅形式上进行转形式上进行转置，置，而且每一个子而且每一个子块也进行转块也进行转置置上页下页铃结束返回首页四、分块对角矩阵四、

12、分块对角矩阵则称形如阶矩阵（为设定义, )2 . 1)2 . 1(risriAiii=rrAAAA2211的矩阵为分块对角矩阵的矩阵为分块对角矩阵 例如：例如：=3200021000002000004300021A=332211AAA是为分块对角矩阵是为分块对角矩阵上页下页铃结束返回首页四、分块对角矩阵四、分块对角矩阵定义：设 A 是 n 阶矩阵，若n A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，n 其余子块都为零矩阵，n 对角线上的子块都是方阵，那么称 A 为分块对角矩阵例如：112235000010000830052AOOBOAOAOOBOOA = = = = 上页下页铃结束返回首页=rrAA

13、AA2211设是为分块对角矩阵是为分块对角矩阵则则是自然数其中kAAAAkrrkkk=2211) 1 (|)2(2211rrAAAA=-11221111)1 ()3(rriiAAAAAriiA可逆，且，对任意可逆的充分必要条件是分块对角矩阵的性质上页下页铃结束返回首页例例3:3:设设 ，求，求 A1 解：解：500031021A= =12500031021AOAOA=1111(5),5AA- -=1223111,2123AA- - -=- -111121/500011023AOAOA- - - -= =-=- -上页下页铃结束返回首页152002100002100324-=AA的逆矩阵求例-=5200210000210032A解=2211AooA-=-2132111A-=-1225122A=-1221111AooAA-=1200250000210032上页下页铃结束返回首页例例5 5：往证往证 Am n = Om n的充分必要条件是方阵的充分必要条件是方阵ATA = On n 证明：证明：把把 A 按列分块，有按列分块，有于是于是那么那么即即 A = O 12(),