数学人教版八年级下册数学活动——折纸做60度,30度,15度的角

1、第十八章数学活动折纸做60° , 30° , 15°的角学校：厦门集美中学授课人： 秦冲一、教学目标知识与技能：1、能折出60° , 30° , 15°等特殊度数的角；2、通过折纸活动，进一步加深对轴对称、等腰三角形、等边三角形性质的理解；过程与方法：探索折60°、30°、15°的角，经历折叠、观察、猜想、论 证、交流、反思等数学活动过程，发展学生对几何图形的认识，引导学生从不同 角度寻找解决问题的策略，培养学生动手能力、创新能力、合作意识；情感与态度：在折纸活动中感受数学活动的乐趣，提高学生学习数学的兴

2、趣, 发展学生对几何图形的认知能力、演绎推理能力，进一步提升数学活动经验。二、教学重难点重点：让学生学会折纸做 60° , 30° , 15°等特殊角，培养学生的动手能力, 并在动手过程中培养学生思考探究的习惯，养成合作交流意识；难点：让学生通过自己的尝试和思考折出特殊度数的角三、学情分析学生经过之前的学习，已经初步掌握了平行四边形相关的性质和推理论证方 法。本节内容围绕特殊的平行四边形展开，通过折纸做特殊度数的角，再得到与 之相应的一系列角度。本节课既有动手操作，又有一定的趣味性，还可以巩固学 生对矩形性质、垂直平分线性质等知识的理解运用，有效锻炼学生的动手操作

3、能 力、观察发现能力以及推理论证能力。四、教学过程（一）创设情境，引入新课折纸是一门艺术形式，动物、花、船和人等都是折纸的创作题材，在折的过程里要用到轴对称等数学知识。 怎么样把生活中的折纸和数学结合起来呢？今天让我们一起探究，走进折纸的世界。（二）提出问题，深度思考课题引入： 在没有圆规、 三角尺、 量角器的情况下， 又需要作 60 °、30°、15°的角，怎么得到呢？本节课就来进行折纸活动，探索解决这一问题的途径。问题 1 利用一张矩形的纸片，怎么折出一个45°的角？（学生分组折叠，学生很快会折出来，引导学生分析，得出结论：对折可以平分一个角。 ）问

4、题 2 用矩形纸片还能折出哪些度数的角？（从简单的折纸游戏出发，提高学生课堂参与度，经过学生的互相补充得出 22.5°、 67.5°、 112.5 °等度数的角。由此引导学生发现上面的结论。此过程也让学生感受折纸可以得到角的倍分关系。 ）小结： 在折纸过程中，怎样得到不同度数的角？1、通过对折平分一个角；2、通过寻找余角或补角；3、通过角与角的组合；4、通过三角形或者四边形内角和。（三）动手操作，实验探究问题 3 你能试着用矩形纸片折出 30°角吗？（学生先折叠，交流、讨论，再由各小组代表展示本小组折叠方法。 ）(1)方法引导：直接折30角角有难度，可以

5、考虑间接获得。学生答：可以先用矩形纸片折60。角，通过互余关系得到300角如何折60°角？引导学生思考：等边三角形中含有 600角。学生答：可以先折等边三角形(2)方法窥探也就是如果折一个等边三角形，问题就解决了，怎样得到等边三角形呢？(3)突破重难点引导学生发现可以先折等腰三角形：折叠纸片，使点A落在矩形纸片内部 某点N,折痕经过点B,得到折痕BM。由折叠的轴对称性可得AB=BN因止匕 ABN是等腰三角形由得到的等腰三角形，怎样进一步折出等边三角形呢？(4)解决问题(安排小组交流，利用几何画板进行动态演示。)方法如右图所示：对折矩形纸片 ABCR使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸

6、片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时，得到线段BN.问题4 在右图中， ABN是等边三角形,(1)操作的依据是什么？(请学生作答：垂直平分线的性质定理)(2)观察所得的/ ABM, /MBN和/NBC,这三个角有什么关系？(请学生思考并作答：ZABM=Z NBM=/ NBC=30 )（四）引发猜想，理论验证（学生自主写出证明过程）已知：将矩形ABCD沿EF对折，折叠AB使点A落在折痕EF上，并使折痕 经过点B,得到折痕BM.同时，得到了线段BN.证明：/ABM=/ NBM=/ NBC=30证明：连接AN.经折叠，AB=BN, /ABM=/ NBM, 且

7、 EF垂直平分AB.点N在线段EF上，. AN=BN.AB=BN=AN ABN是等边三角形 ./ABN=60° ,. ./NBC=30 , ./ABM=/ NBM=30° ,/ ABM=/ NBM=/ NBC=30思考：还能用什么样的方法证明？（问题设计的目的在于让学生对所学知识的清晰， 能对知识间的练习融会贯通，体现数学学习的灵活性。 ）（五）继续实践，探索新知（ 1）你能用矩形纸片折出 15°角吗？（学生自主折叠，请同学回答折叠方法并展示。2） 60°，120°以及150°角呢？（请学生作答，其实答案就在折好图纸中（3）还可以得到

8、多少度的角？（引导学生小组讨论，得出结果）小结：发现通过折30 0角的过程，可以同时产生15 ° , 45° ,60° ,75° ,105° ,120° ,135° ,150° ,165° 角，这些角都是 15° 的倍数。（六）知识运用，解决问题（通过补充练习，锻炼学生对所学知识的灵活运用能力）练1:如图，面积为1的正方形ABCD中，M, N分别为AD、BC的中点，将C 点折至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ,连接PQ.那么，以PQ为边长的 正方形的面积等于多少？-,/ 1解：连接 BP, P

9、C.:正方形ABCD®积为1,则BC=1.,经折叠，BP=BC=1 /BPQ=Z C=90° , / PBQ=Z CBQ-点M, N分别为AD、BC的中点，IMN垂直平分BC.I.点 P 在 MN 上，. PB=PC.IPB=PC=BP BCP是等边三角形丁. / PBC=60 ,. / PBQ玄 CBQ=30 .I222在 RtPBQ中，设 PQ=x,则 BQ=2x ,则 x +1 =（2x）,得x2 =1, 以PQ为边长的正方形的面积等于1.I33练2:如图，矩形ABCD中，AB=4, AD=3, M是边CD上一点，将 ADM沿直线AM对折，得到 ANM.(1)当AN平

10、分/ MAB时，求DM的长；(2)连接BN,当DM=1时，求4ABN的面积；解：(1)经折叠，/ DAM=/ MAN,当 AN 平分 / MAB 时，/ MAN=/ NAB,./ DAM=/ MAN=/NAB,又/DAM+/ MAN+/NAB=90° ,丁. / DAM=/ MAN=/ NAB=30° .在 RtADM 中，设 DM=x,则 AM=2x,则 x2+32 = (2x)2x =、3,DM= 73 .(2)过点N作N已CD于点E,过点N作NFL AB于点F,连接DN,交AM于点O.经折叠，AD=AN, MD=MN,故AM垂直平分DN.,1_1 一一在 RtAADM

11、 中，AD?DM= AM?DO, 22又 am=Jad2 +DM 2 =43 +12 =770 ,DO眄DN .10105在 Rtaaod中，mo= Jdm 2 do2 = J12 - l301=近 1010,1 一一 1在AMND 中，DNWIO=DM任N, 22 .EN=3,NF=3-3=,55 511 ,1 2SABN=AB NF = 4 =225练3:如图，四边形ABCD为矩形纸片，把矩形纸片折叠，使点 B刚好落在CD边的中点E处，折痕为AF,若CD=6,求AF.解：经折叠，AE=AB Z AEF=Z B=90° , Z BAF=Z EAF. CD=G E 为 CD中点，. . ED=3, AE=AB=CD=6.在RtAADE,中取AE中点H,