中考必会几何模型：中点四大模型

1、精选优质文档-倾情为你奉上中点四大模型模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形模型分析如图，AD是ABC的中线，延长AD至点E使DEAD，易证：ADCEDB（SAS）如图，D是BC中点，延长FD至点E使DEFD，易证：FDBEDC（SAS）当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移模型实例如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AFEF，求证：ACBE1如图，在ABC中，AB12，AC20，求BC边上中线AD的范围解：延长AD到E，使ADDE，连接BE， AD是ABC的中

2、线， BDCD，在ADC与EDB中，ADCEDB（SAS），EBAC20，根据三角形的三边关系定理：2012AE2012，4AD16，故AD的取值范围为4AD162如图，在ABC中，D是BC的中点，DMDN，如果BM2CN2DM2DN2求证：AD2(AB2AC2)证明：如图，过点B作AC的平行线交ND的延长线于E，连MEBDDC，EDDN在BED与CND中，BEDCND（SAS）BENCMDN90°，MD为EN的中垂线EMMNBM2BE2BM2NC2MD2DN2MN2EM2，BEM为直角三角形，MBE90°ABCACBABCEBC90°BAC90°AD2

3、(BC)2（AB2AC2）模型2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到： “边等、角等、三线合一”模型实例如图，在ABC中，ABAC5，BC6，M为BC的中点，MNAC于点N，求MN的长度 解答：连接AMABAC5，BC6，点M为BC中点，AMBC，BMCMBC3AB5，AMMNAC，SANCMC·AMAC·MN即：×3×4×5×MNMN跟踪练习1如图，在ABC中，AB

4、AC，D是BC的中点，AEDE，AFDF，且AEAF，求证：EDBFDC证明：连结AD，ABAC，D是BC的中点，ADBC，ADBADC90°在RtAED与RtAFD中，RtAEDRtAFD（HL）ADEADF，ADBADC90°，EDBFDC2已知RtABC中，ACBC，C90°，D为AB边的中点，EDF90°，EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F（1）当EDF绕D点旋转到DFAC于E时（如图），求证：SDEFSCEFSABC；（2）当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图和图这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，

5、请给予证明；若不成立， SDEF、SCEF、SABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明解：（1）连接CD；如图2所示：ACBC，ACB90°，D为AB中点，B45°，DCEACB45°，CDAB，CDABBD，DCEB，CDB90°，EDF90°，12，在CDE和BDF中，CDEBDF（ASA），SDEFSCEFSADESBDFSABC；（2）不成立；SDEFSCEFSABC；理由如下：连接CD，如图3所示：同（1）得：DECDBF，DCEDBF135°SDEFS五边形DBFEC，SCFESDBC，SCFESABC，SDE

6、FSCFESABCSDEF、SCEF、SABC的关系是：SDEFSCEFSABC 模型3 已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理模型分析在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：DEBC，且DEBC来解题中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题模型实例如图，在四边形ABCD中，ABCD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M，N求证：BMECNE解答如图，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HFE、F分别是BC、AD的中点，FHAB，FHAB，HEDC，HENC又

7、ABCD，HEHFHFEHEFFHMB，HENC，BMEHFE，CNEFEHBMECNE 练习：1.（1）如图1，BD，CE分别是ABC的外角平分线，过点A作ADBD，AECE，垂足分别为D，E，连接DE，求证：DEBC，DE=（AB+BC+AC）；（2）如图2，BD，CE分别是ABC的内角平分线，其他条件不变，上述结论是否成立？（3）如图3，BD是ABC的内角平分线，CE是ABC的外角平分线，其他条件不变，DE与BC还平行吗？它与ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中一种情况进行证明.1.解答（1）如图，分别延长AE，AD交BC于H，K.在BAD和BKD中，BAD BKD（A

8、SA）AD=KD，AB=KB.同理可证，AE=HE，AC=HC.DE=HK.又HK=BK+BC+CH=AB+BC+AC.DE=（AB+AC+BC）.（2）猜想结果：图结论为DE=（AB+AC-BC）证明：分别延长AE，AD交BC于H，K.在BAD和BKD中BADBKD（ASA）AD=KD，AB=KB同理可证，AE=HE，AC=HC.DE=HK.又HK=BK+CH-BC=AB+AC-BCDE=（AB+AC-BC）（3）图的结论为DE=（BC+AC-AB）证明：分别延长AE，AD交BC或延长线于H，K.在BAD和BKD中，BAD BKD（ASA）AD=KD，AB=KB.同理可证，AE=HE，AC=

9、HC.DE=KH.又HK=BH-BK=BC+CH-BK=BC+AC-ABDE=（BC+AC-AB）.2.问题一：如图，在四边形ABCD中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，判断OMN的形状，请直接写出结论.问题二：如图，在ABC中，AC>AB，D点在AC上，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若EFC=60°，连接GD，判断AGD的形状并证明.2.证明（1）等腰三角形（提示：取AC中点H，连接FH，EH，如图）（2）AGD是直角三角形如图，连接BD，取BD的中点H，

10、连接HF，HE.F是AD的中点，HFAB，HF=AB.1=3.同理，HECD，HE=CD，2=EFC，AB=CD，HF=HE.1=2.EFC=60°，3=EFC=AFG=60°.AGF是等边三角形.AF=FG.GF=FD.FGD=FDG=30°.AGD=90°，即AGD是直角三角形.模型4 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线模型分析在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD=AB，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：ACD和BCD，该模型经常会与中位线定理一起综合应用

11、.模型实例如图，在ABC中，BE，CF分别为AC，AB上的高，D为BC的中点，DM EF于点M，求证：FM=EM.证明连接DE，DF.BE，CF分别为边AC，AB上的高，D为BC的中点，DF=BC，DE=BC. DF=DE，即DEF是等腰三角形.DMEF，点M是EF的中点，即FM=EM.练习：1.如图，在ABC中，B=2C，ADBC于D，M为BC的中点，AB=10，求DM的长度.1.解答取AB中点N，连接DN，MN.在RtADB中，N是斜边AB上的中点，DN=AB=BN=5.NDB=B.在ABC中，M，N分别是BC，AB的中点，MNACNMB=C，又NDB是NDM的外角，NDB=NMD+DNM

12、.即B=NMD+DNM=C+DNM.又B=2C，DNM=C=NMD.DM=DN.DM=5.2.已知，ABD和ACE都是直角三角形，且ABD=ACE=90°，连接DE，M为DE的中点，连接MB，MC，求证：MB=MC.2.证明延长BM交CE于G，ABD和ACE都是直角三角形，CEBD.BDM=GEM.又M是DE中点，即DM=EM，且BMD=GME，BMD GME.BM=MG.M是BG的中点，在RtCBG中，BM=CM.3.问题1：如图，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE BC，BF AC，垂足分别为点E，F.AE、BF交于点M，连接DE，DF，若DE=kDF，则k的值为 .问题2

13、：如图，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC内部，且MAC=MBC，过点M分别作ME BC，MF AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF，求证：DE=DF.问题3：如图，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB CA”，其他 条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论.3.解答（1）AEBC，BFAC，AEB和AFB都是直角三角形，D是AB的中点，DE=AB，DF=AB.DE=DF.DE=KDF，k=1.（2）CB=CA，CBA=CAB.MAC=MBC，CBA-MBC=CAB-MAC，即ABM=BAM.AM=BM.MEBC，MFAC，MEB=

14、MFA=90°.又MBE=MAF，MEB MFA（AAS）BE=AF.D是AB的中点，即BD=AD，又DBE=DAF，DBE DAF（SAS）DE=DF.（3）DE=DF.如图，作AM的中点G，BM的中点H，连DG，FG，DH，EH.点D是边AB的中点，DGBM，DG=BM.同理可得：DHAM，DH=AM.MEBC于E，H是BM的中点.在RtBEM中，HE=BM=BH.HBE=HEB.MHE=2HBE.又DG=BM，HE=BM，DG=HE.同理可得：DH=FG. MGF=2MAC.DGBM，DHGM，四边形DHMG是平行四边形.DGM=DHM. MGF=2MAC， MHE=2MBC，

15、 MBC=MAC，MGF=MHE. DGM+MGF=DHM+MHE.DGF=DHE.在DHE与FGD中DHE FGD（SAS）DE=DF.高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布 设一元二次方程的两实根为，且令，从以下四个方面来分析此类问题：开口方向： 对称轴位置： 判别式： 端点函数值符号 kx1x2 x1x2k x1kx2 af(k)0 k1x1x2k2 有且仅有一个根x1（或x2）满足k1x1（或x2）k2 f(k1)f(k2)0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合 k1x1k2p1x2p2 此结论可直接由推出 （5）二次函数在闭区间上的最值 设在区间上的最大值为，最小值为，令（）当时（开口向上）若，则 若，则 若，则xy0>aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0>aOabx2-=pqf(