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1、横岗中学九年级数学竞赛试题(本卷满分120分,考试时间120分钟)温馨提示:亲爱的同学们,这份试卷将记录你的自信、沉着与智慧.愿你 能够放松心情,认真审题,缜密思考,细心演算,交一份满意的答卷.一、选择题(每小题 6分,共30分)1.操场上,王宏用一根长为a的线围成一个等边三角形,测知这个等边三角形的面积为b ,王宏站在这个等边三角形内部,则他到等边三角形三边距离之和为()、2b4b6bA . B . C . D .视具体位置而7Eaaa2.某公园中有一个三角形荷花池,边长分别为6, 8, 10,现计划在荷花池上拉一座浮桥,把三角形荷花池周长、 有()面积都平分,那么这样的设计方案A. 1个
2、B. 2个 C. 3个 D. 4个3. A B, C, D是四个城市(如图1),它们之间(除B, C外)都有飞机航班通行.机票价格与城市间距离成正比,已知各城市间的机票价格如下:A B: 1000 元;A C: 1250 元;A D : 800元;B D : 600 元;C D : 450 元.为了 B, C 之间的交通方便,要在 B, C之间开通飞机航班,请按上图1述标准方t算出B, C之间飞机票价为()A . 750 元 B . 780 元C . 800 元 D . 900 元4,横岗中学有一面积为100米2的正方形展厅,计划铺满统一大小的正方形地板砖,现市场上有大、小两种规格产品:大地板
3、砖对角线长为50cm,每块0.8元;小地板砖对角线长为 40cm,每块0.6元,甲公司的优惠办法是: 凡购买大地板砖 700块以上者给予9折优惠,凡购买小地板砖1 000块以上 者给予7折优惠;乙公司的优惠办法是:凡购买700元以上者,不管购买大块还是小块均按 8折优惠.在质量、服务条件相同的情况下,为使学校支付的费用最少,请你为该校选择最佳购买方案()A.到甲公司购买大块地板砖B.到乙公司购买大块地板砖C.到甲公司购买小块地板砖D.到乙公司购买小块地板砖5.如图4,在某条公路上,从里程数 8m开始到4 000m止,每隔8m将树 与灯按图中的规则设立:在里程数8m处种一棵树,在16m处立一盏灯
4、,在24m处种一棵树(相邻的树与树、 树与灯之间的距离都是 8米),且每 两盏灯之间的距离相等.依此规则,下列里程数800m824m之间树与灯的排列顺序中正确的是()二、填空题(每小题 6分,共30分)6.王强毕业于农业技术职业学校,毕业后采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜,第一年这亩地产西瓜 625个,为了估计这亩地的收成, 王强在西瓜大批上市前随机摘下 10个成熟的西瓜,称重如下:西瓜质量(单位:千克)5.55.45.04.94.64.3西瓜个数(单位:个)123211根据以上信息可以估计这亩地的西瓜质量约是 千克.7 .某船队要对下月是否出海作出决策,若出海后是好天气,可得收益500
5、0元;若出海后天气变坏,将要损失2000元;若不出海,无论天气好坏都要承担1000元的损失费,船队队长通过上网查询下月的天气情况后,预测下月好天气的机会是60% ,坏天气的机会是40% ,则作出决策为 (填“出海”、“不出海”).8 .某希望小学刚刚建起,田径场还没建好,秋季运动会时,临时设置简易 跑道如图6所示,两端由两个半圆组成, 一周约250米,在一次400米跑比 赛中,第一道从起点 A要跑一圈半到终点 C.第二道终点不变,且中途不准 抢道(每道宽 1米).为公平起见,第二跑道起点B应比第一跑道向前移动.9 .自行车轮胎安装在前轮上行驶6 000千米后报废,若安装在后轮上只能行驶4 00
6、0千米.为了行驶尽可能远的路程,如果采用当自行车行驶一定路 程后将前、后轮胎调换使用的方法, 那么安装在自行车上的一对新轮胎最多 可行驶 千米.10 .小明想知道刚来的数学老师家的电话号码是多少,老师说:“我家的电话号码是八位数, 这个数的前四位数相同,后五位数是连续的自然数,全部数字之和恰好等于号码的最后两位数,动动脑筋,算出来后欢迎给我打电 话. ”则老师的电话号码是 .三、解答题(本大题共 6011 .12.(本题15分)方案设计:东风汽车租赁公司共有 30辆出租汽车,其中 甲型汽车20辆,乙型汽车10辆.现将这30辆汽车租赁给 A、B两地的旅 游公司,其中20辆派往A地,10辆派往B地
7、,两地旅游公司与汽车租赁公 司商定每天价格如下表:每辆甲型车租金(元/天)每辆乙型车租金(元/天)A地1 000800B地900600(1)设派往A地的乙型汽车x辆,租赁公司这30辆汽车一天共获得的租金为y (元),求y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;(2)若要使租赁公司这 30辆汽车一天所获得的租金总额不低于26 800元,请你说明有多少种分派方案,并将各种方案设计出来;(3)如果要使这30辆汽车每天获得的租金最多,请你为租赁公司提出合理的分派方案.13.(本题15分)实践应用:下承式混凝土连续拱圈梁组合桥,其桥面上有 三对抛物线形拱圈.图8(1)是其中一个拱圈的实物照片,据
8、有关资料记载 此拱圈高AB为10.0m(含拱圈厚度和拉杆长度),横向分跨CD为40.0m.(1)试在示意图(图 8(2)中建立适当的直角坐标系,求出拱圈外沿抛 物线的解析式;(2)在桥面M (BC的中点)处装有一盏路灯(P点),为了保障安全,规定 路灯距拱圈的距离 PN不得少于1.1m,试求路灯支柱 PM的最低高度.(结 果精确到0.1m)PC M H D(1)(2)图814.(本题20分)归纳猜想:同学们,让我们一起进行一次研究性学习:(1)如图9,已知正三角形 ABC的中心为O,半径为R,将其与&直线l向 右翻滚,当正三角形翻滚一周时,其中心O经过的路程是多少?图9(2)如图10,
9、将半径为R的正方形沿直线l向右翻滚,当正方形翻滚一周 时,其中心 O经过的路程是多少?10 / 70H c图10(3)猜想:把正多边形翻滚一周,其中心O所经过的路程是多少(R为正多边形的半径,可参看图 11) ?请说明理由.(4)进一步猜想:任何多边形都有一个外接圆,若将任意圆内接多边形翻滚一周时,其外心所经过的路程是否是一个定值(R为多边形外接圆的半径)?为什么?请以任意三角形为例说明(如图 12).通过以上猜想你可得到什么样的结论?请写出来.九年级数学竞赛试题参考答案一、选择题(每小题 5分,共30分)1. C 2. A 3. A 4.5.二、填空题(每小题 5分,共30分)6. 3 12
10、57,出海 8. 2 兀米 9. 4 80010.三、解答题(每小题 15分,共60分)11 .12 .解:(1)y 1 000(20 x) 900x 800;6分(2)依题意,得 26 000 100x > 26 800 ,又因为 00 x<10,8< x<10.因为x是整数,x 8, 9, 10,方案有3种. 9分方案1 : A地派甲型车12辆,乙型车8辆;B地派甲型车8辆,乙型车2辆;方案2: A地派甲型车11辆,乙型车9辆;B地派甲型车9辆,乙型车1辆;方案3: A地派甲型车10辆,乙型车10辆;B地派甲型车10辆.12分(3) y 26 000 100x是一次
11、函数,且 k 100 0 ,,y随x的增大而增大.,当x 10时,这30辆车每天获得的租金最多.,合理的分配方案是 A地派甲型车10辆,乙型车10辆;B地派甲型车10辆. 15分13. (1)如右图,以A为坐标原点,BA所在直线为y轴建立直角坐标系 xAy ,因拱圈外沿所在的抛物线" I'过原点,且以y轴为对称轴,故可设抛物线解析式为:-FT-2展y ax , 4分C U f)1.由题息抛物线过点 D(20, 10),代入得a ,故拱圈外沿抛物线的解 40析式为:1 2x .40(2)设 N( 10, k),则:40 (10)22.5(m),m MN 10 k 7.5(m),
12、12 分PM MN PN > 7.5 1.1 8.6 (m),即路灯支柱PM的最低高度为8.6米.(其余解法可类似给分). 15分14.解:(1)当正三角形 ABC向右翻滚一周时,其中心 。经过的路线是三条等弧,所以其中心 。经过的路程为: 侬更 3 2tR. 3分180(2)中心O经过的路程为 90# 4 2tR. 6分180(3)当n边形向右翻滚一周时,其中心 O经过的路线是n条等弧,这些弧 360°一 .的半径为R ,所对的圆心角为3,所以中心O经过的路程为n360 2 g炉J n 2 tR. 10 分180(4)是定值2tR,理由如下:在4ABC中,设 A , B , C , ABC的外接圆。O的半径为R,把4ABC沿直线l向右翻滚一周时,其外心。经过的路线是三条弧
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