2022-2023学年北京市昌平区双城融合学区八年级（上）期中数学试卷【含解析】

第1页（共1页）2022-2023学年北京市昌平区双城融合学区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）在下列实数中，无理数是（）A． B． C．0 D．92．（2分）36的平方根是（）A．6 B．﹣6 C．4或9 D．±63．（2分）二次根式中，字母a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．a≥1 D．a＞14．（2分）下列分式中，是最简分式的是（）A． B． C． D．5．（2分）下列各式从左到右的变形正确的是（）A． B． C． D．6．（2分）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（）A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝37．（2分）如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（）A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．扩大2倍8．（2分）张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是；当矩形成为正方形时，就有，解得x＝1，这时矩形的周长最小，因此的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若分式的值是0，则x的值为．10．（2分）比较大小：3223．11．（2分）与的最简公分母是．12．（2分）在实数范围内分解因式：x3﹣5x＝．13．（2分）若，请写出一个符合条件的x的值．14．（2分）已知﹣＝3，则分式的值为．15．（2分）若的小数部分为a，整数部分为b，则的值为．16．（2分）对于正数x，规定f（x）＝．f（1）＝＝，f（2）＝＝，f（）＝＝，则：（1）f（x）+f（）＝；（2）f（2020）+f（2019）+…+f（2）+f（1）+f（）+…+f（）+f（）＝．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）17．（5分）计算：．18．（5分）计算：．19．（5分）计算：．20．（5分）化简：（﹣）÷．21．（5分）计算：．22．（5分）解方程：+1＝．23．（6分）先化简分式，再从﹣2，﹣1，1，这4个数中选择一个合适的数作为a的值代入求值．24．（6分）列方程解应用题2022年北京市教育委员会印发《关于推进“互联网+基础教育”的工作方案》的通知．《方案》中指出：双师课堂是在空中课堂基础上的深化，将传统单师授课模式变革为名师团队支持下新型教学场景．某校为响应国家号召，利用暑期在各班安装能够进行双师教学的电脑．该校南楼安装的48台由甲队完成，北楼安装的30台由乙队完成．已知甲队比乙队每天多安装3台，且两队同时开工，恰好同时完成任务．甲、乙两队每天各安装能够进行双师教学多少台？25．（6分）我们之前学习有理数时，知道两个数的乘积为1则这两个数互为倒数．在学习二次根式的过程中，小明研究发现有一些特殊的无理数之间具有互为倒数的关系．例如：由，可得与互为倒数，即或，类似地，，可得或．根据小明发现的规律，解决下列问题：（1）＝，＝（n为正整数）；（2）若，则a＝；（3）求的值．26．（6分）现场学习：先阅读下面的材料，然后解答问题：通过观察，发现方程：x+的解为x1＝2，x2＝；x+的解为x1＝3，x2＝；x+的解为x1＝4，x2＝；（1）猜想关于x的方程x+的解是；（2）猜想关于x的方程x+的解是；（3）用上述方法求关于x的方程的解．27．（7分）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）具体运算，发现规律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：，特例5：＝（填写运算结果）；（2）观察、归纳，得出猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：；（3）证明你的猜想．（4）应用运算规律：①化简：＝；②若（a，b均为正整数），则a﹣b的值为．28．（7分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是（填序号）；①②③④（2）请将“和谐分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程；（3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．

2022-2023学年北京市昌平区双城融合学区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）在下列实数中，无理数是（）A． B． C．0 D．9【分析】根据无理数的定义对四个选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、是分数，所以是有理数，故本选项错误；B、是开方开不尽的数，是无理数，故本选项正确；C、0是整数，是有理数，故本选项错误；D、9是整数，是有理数，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查的是无理数的定义，初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．（2分）36的平方根是（）A．6 B．﹣6 C．4或9 D．±6【分析】根据平方根的定义进行解答即可．【解答】解：36的平方根是±6．故选：D．【点评】此题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键，注意一个正数有两个平方根．3．（2分）二次根式中，字母a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．a≥1 D．a＞1【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，即可求a的取值范围．【解答】解：根据题意得：a﹣1≥0，解得a≥1．故选C．【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．4．（2分）下列分式中，是最简分式的是（）A． B． C． D．【分析】直接利用分式的基本性质结合最简分式的定义：分子与分母不含公因式的分式叫做最简分式，进而判断即可．【解答】解：A、＝x，不是最简分式，不符合题意；B、＝，不是最简分式，不符合题意；C、＝x﹣y，不是最简分式，不符合题意；D、，是最简分式，符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义（分子与分母不含公因式的分式叫做最简分式）是解题关键．5．（2分）下列各式从左到右的变形正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据分式的基本性质依次进行判断即可，注意乘除一个数或代数式时要保证不为0．【解答】解：A、当c≠0时，才成立，所以选项A不正确；B、，所以选项B不正确；C、当a＝b时，才成立，所以选项C不正确；D、∵a是分母，∴a≠0，∴，所以选项D正确；故选：D．【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是关键．6．（2分）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（）A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3【分析】根据同类二次根式的定义得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，∴x+3＝2x，解得：x＝3，故选：D．【点评】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出x+3＝2x是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．7．（2分）如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（）A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．扩大2倍【分析】依题意，分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．【解答】解：分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，得＝＝，可见新分式与原分式相等．故选：B．【点评】解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．规律总结：解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．8．（2分）张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是；当矩形成为正方形时，就有，解得x＝1，这时矩形的周长最小，因此的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】仿照题干中的方法解答即可．【解答】解：（x＞0）＝x+，在面积是，4的长方形中设长方形的一边长为x，则另一边长为，长方形的周长是2（x+），∵在面积一定的长方形中，正方形的周长最短，∴当长方形成为正方形时，就有x＝（x＞0），解得：x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，这时长方形的周长2（x+）＝8最小，因此x+（x＞0）的最小值是4．∴式子（x＞0）的最小值是4．故选：B．【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题干中的方法并熟练应用是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若分式的值是0，则x的值为2．【分析】根据分式的值为零的条件得到x﹣2＝0且x≠0，易得x＝2．【解答】解：∵分式的值是0，∴x﹣2＝0且x≠0，∴x＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．10．（2分）比较大小：32＞23．【分析】分别计算32和23，再比较大小即可．【解答】解：∵32＝9，23＝8，∴9＞8，即32＞23．故答案为：＞．【点评】本题考查了有理数的乘方以及有理数的大小比较，是基础知识要熟练掌握．11．（2分）与的最简公分母是6a2b3c．【分析】根据最简公分母的定义解决此题．【解答】解：根据最简公分母的定义，这两个分式的的最简公分母为6a2b3c．故答案为：6a2b3c．【点评】本题主要考查最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解决本题的关键．12．（2分）在实数范围内分解因式：x3﹣5x＝x（x+）（x﹣）．【分析】首先提取公因式，再进一步运用平方差公式．【解答】解：原式＝x（x2﹣5）＝x（x+）（x﹣）．故答案为x（x+）（x﹣）．【点评】此题考查了实数范围内的因式分解．注意：5＝（）2．13．（2分）若，请写出一个符合条件的x的值1．【分析】先根据二次根式化简，再结合分母不为0即可得出答案．【解答】解：，∴|x|＝x，且x≠0∴x为大于0的一切自然数．故答案为：1（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次根式和分式的定义，熟练掌握二次根式和分式的定义是解决此题的关键．14．（2分）已知﹣＝3，则分式的值为．【分析】由已知条件可知xy≠0，根据分式的基本性质，先将分式的分子、分母同时除以xy，再把﹣＝3代入即可．【解答】解：∵﹣＝3，∴x≠0，y≠0，∴xy≠0．∴＝＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了分式的基本性质及求分式的值的方法，把﹣＝3作为一个整体代入，可使运算简便．15．（2分）若的小数部分为a，整数部分为b，则的值为5．【分析】确定a、b的值，代入计算即可．【解答】解：∵3＜＜4，又∵a是的小数部分，b是它的整数部分，∴a＝﹣3，b＝3，∴＝（﹣3）（+3）＝14﹣9＝5，故答案为5．【点评】考查实数的运算，无理数的估算，得出的整数部分和小数部分，即a、b的值，是正确计算的前提．16．（2分）对于正数x，规定f（x）＝．f（1）＝＝，f（2）＝＝，f（）＝＝，则：（1）f（x）+f（）＝1；（2）f（2020）+f（2019）+…+f（2）+f（1）+f（）+…+f（）+f（）＝2019.5．【分析】（1）利用题目给出的已知条件可知，f（x）+f（）＝+＝+＝1；（2）利用（1）得到的规律可化简计算出结果．【解答】解：（1）f（x）+f（）＝+＝+＝1；故答案为：1；（2）原式＝f（2020）+f（）+f（2019）+f（）+…+f（2）+f（）+f（1）＝1+1+1+…+1+＝2019+＝2019.5．故答案为：2019.5．【点评】本题考查了分式的加减，有理数的加减，代数式求值，解题的关键是读懂题意，熟练地掌握分式的加减运算．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）17．（5分）计算：．【分析】先根据乘方法则计算，再把除法化为乘法，再约分得到答案．【解答】解：原式＝﹣••＝﹣．【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．18．（5分）计算：．【分析】先把分母化成同分母，再根据同分母相加减，分母不变，分子相加减，即可得出答案．【解答】解：＝﹣＝＝＝﹣1．【点评】本题考查了分式的加减，熟练掌握分式加减的运算法则是解题的关键．19．（5分）计算：．【分析】根据二次根式的乘法、除法法则运算，注意结果是最简二次根式．【解答】解：原式＝＝＝．【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题关键．20．（5分）化简：（﹣）÷．【分析】根据分式的运算即可求出答案．【解答】解：原式＝×x﹣×x＝﹣＝【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．21．（5分）计算：．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：＝+3﹣3+（﹣2）＝+3﹣3﹣2＝﹣+1．【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．22．（5分）解方程：+1＝．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：4x+2x+6＝7，移项合并得：6x＝1，解得：x＝，经检验，x＝是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．23．（6分）先化简分式，再从﹣2，﹣1，1，这4个数中选择一个合适的数作为a的值代入求值．【分析】先根据分式的加法和除法法则化简题目中的式子，然后在﹣2、﹣1、1、这4个数中选取使原分式有意义的值代入计算即可．【解答】解：原式＝＝＝＝，根据分式有意义的条件，a≠﹣2且a≠﹣1且a≠1，且a≠0，所以当时，原式＝．【点评】本题主要考查了分式有意义的条件、分式的化简求值以及最简二次根式的知识，解答本题的关键是熟练运用分式的运算法则．24．（6分）列方程解应用题2022年北京市教育委员会印发《关于推进“互联网+基础教育”的工作方案》的通知．《方案》中指出：双师课堂是在空中课堂基础上的深化，将传统单师授课模式变革为名师团队支持下新型教学场景．某校为响应国家号召，利用暑期在各班安装能够进行双师教学的电脑．该校南楼安装的48台由甲队完成，北楼安装的30台由乙队完成．已知甲队比乙队每天多安装3台，且两队同时开工，恰好同时完成任务．甲、乙两队每天各安装能够进行双师教学多少台？【分析】设乙队每天安装x台，则甲队每天安装（x+3）台，根据两队同时开工，恰好同时完成任务，即所用的时间相等，即可列方程求解．【解答】解：设乙队每天安装x台，则甲队每天安装（x+3）台．由题意得：＝，解得：x＝5．经检验：x＝5是原方程的根，则x+3＝8．答：甲队每天安装能够进行双师教学的电脑8台，乙队每天安装能够进行双师教学的电脑5台．【点评】本题考查了分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．25．（6分）我们之前学习有理数时，知道两个数的乘积为1则这两个数互为倒数．在学习二次根式的过程中，小明研究发现有一些特殊的无理数之间具有互为倒数的关系．例如：由，可得与互为倒数，即或，类似地，，可得或．根据小明发现的规律，解决下列问题：（1）＝﹣，＝﹣（n为正整数）；（2）若，则a＝±；（3）求的值．【分析】（1）仿照阅读材料分母有理化即可；（2）解关于m的方程并检验，可得答案；（3）先分母有理化，再相加即可．【解答】解：（1）＝＝，＝＝﹣，故答案为：﹣，﹣；（2）∵，∴（2+a）（2﹣a）＝1，∴12﹣a2＝1，∴a＝±，经检验，a＝±都满足题意，故答案为：±；（3）原式＝﹣1+﹣+﹣++﹣＝﹣1＝10﹣1＝9．【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是读懂题意，能把二次根式分母有理化．26．（6分）现场学习：先阅读下面的材料，然后解答问题：通过观察，发现方程：x+的解为x1＝2，x2＝；x+的解为x1＝3，x2＝；x+的解为x1＝4，x2＝；（1）猜想关于x的方程x+的解是x1＝5，x2＝；（2）猜想关于x的方程x+的解是x1＝a，x2＝；（3）用上述方法求关于x的方程的解．【分析】（1）通过给定的例题即可确定；（2）通过给定的例题即可确定；（3）先将原方程变形，通过前面的方法可得x+1＝a+1或x+1＝，进一步求解即可．【解答】解：（1）关于x的方程x+的解为x1＝5，x2＝，故答案为：x1＝5，x2＝；（2）关于x的方程x+的解是x1＝a，x2＝，故答案为：x1＝a，x2＝；（3）关于x的方程化为＝，∴x+1＝a+1或x+1＝，∴x1＝a，x2＝．【点评】本题考查了解分式方程，看懂给定的例题中方程的解是解题的关键．27．（7分）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）具体运算，发现规律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：，特例5：＝5（填写运算结果）；（2）观察、归纳，得出猜想．如果n为正整数，用