2021-2022学年北京市大兴三中九年级（上）期中数学试卷【含解析】

第1页（共1页）2021-2022学年北京市大兴三中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列图书馆的标志中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）下列方程是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0 B．+x2﹣1＝0 C．2x2﹣x+2＝0 D．4x﹣1＝03．（2分）二次函数y＝（x﹣1）2+2图象的顶点坐标是（）A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（1，2）4．（2分）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0配方后可变形为（）A．（x+1）2＝4 B．（x﹣1）2＝4 C．（x+1）2＝16 D．（x﹣1）2＝165．（2分）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（）A．y1＞y2＞2 B．y2＞y1＞2 C．2＞y1＞y2 D．2＞y2＞y16．（2分）原价为100元的某种药品经过连续两次降价后为64元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（）A．100（1﹣x）2＝64 B．64（1﹣x）2＝100 C．100（1﹣2x）＝64 D．64（1﹣2x）＝1007．（2分）在同一坐标系中一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（）A． B． C． D．8．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论中正确的有（）①4ac＜b2②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x≤3A．①② B．①②③ C．①③④ D．②④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）抛物线y＝﹣x2+2x﹣7与y轴的交点坐标为．10．（2分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的解，则代数式2a﹣4b的值为．11．（2分）二次函数y＝x2﹣4x﹣2的最小值为．12．（2分）在同一坐标系下，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x的解集是．13．（2分）若x＝2是一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0的一个根，则m＝；方程的另一根是．14．（2分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，a的取值范围是．15．（2分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边CD上．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°至△ABF的位置．若DE＝2，则FC＝．16．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：x…0123…y…﹣3﹣1﹣3﹣9…则代数式（a﹣b+c）（a+b+c）的值是．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分，第23～26题，每小题5分，第27～28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）解方程：x2﹣6x＝16．18．（5分）解方程：2x2+3x﹣4＝0．19．（5分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（0，1）和点B（﹣1，2），求这个二次函数的解析式．20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．21．（5分）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣1012…y…0﹣3﹣4﹣3m5…（1）直接写出表格当中的m值：；（2）求这个二次函数的表达式；（3）在图中画出这个二次函数的图象．（4）直接写出当﹣4＜x＜0时，y的取值范围是．22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，4），B（﹣5，1），C（﹣1，2）．（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）画出△ABC绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出点B2的坐标．23．（6分）如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE．求证：AE∥BC．24．（6分）如图1，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图2所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度AB为12m，拱桥的最高点C到水面AB的距离为6m．（1）求抛物线的解析式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为10m，求水面上涨的高度．25．（6分）阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3﹣2x2﹣3x＝0，通过因式分解可以把它转化为x（x2﹣2x﹣3）＝0，解方程x＝0和x2﹣2x﹣3＝0，可得方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解．问题：（1）方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解是x1＝0，x2＝，x3＝．（2）求方程x3＝6x2+16x的解．拓展：（3）用“转化”思想求方程＝x的解．26．（6分）已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4，抛物线的顶点为M．（1）求点M的坐标；（2）设抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x2＞x1①判断AB的长是否为定值，并证明；②已知点N（0，﹣4），且NA≥5，利用图象求x2﹣x1+a的取值范围．27．（7分）问题发现：（1）如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC、BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD＝90°，CA＝CD，CB＝CE，连接AE、BD，则AE、BD之间的数量关系为，位置关系为；拓展探究：（2）如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE、BD交于点F，则AE与BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由．拓展延伸：（3）如图3，已知AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝90°，连接AB、AE、AD，把线段AB绕点A旋转，若AB＝5，AC＝3，请直接写出旋转过程中线段AE的最大值．28．（7分）对于某一函数给出如下定义：如果存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不动值，在函数存在不动值时，该函数的最大不动值与最小不动值之差q称为这个函数的不动长度，特别地，当函数只有一个不动值时，其不动长度q为0，例如，图中的函数有0和1两个不动值，其不动长度q为1．（1）下列函数①y＝2x，②y＝x2+1，③y＝x2﹣2x中存在不动值的是（填序号）；（2）函数y＝3x2+bx，①若其不动长度为0，则b的值为；②若﹣2≤b≤2，求其不动长度q的取值范围；（3）记函数y＝x2﹣4x（x≥t）的图象为G1，将G1沿x＝t翻折后得到的函数图象记为G2，函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不动长度q满足0≤q≤5，则t的取值范围为．

2021-2022学年北京市大兴三中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列图书馆的标志中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（2分）下列方程是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0 B．+x2﹣1＝0 C．2x2﹣x+2＝0 D．4x﹣1＝0【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．【解答】解：A、若ax2+bx+c＝0是一元二次方程，a，b，c是常数，且a≠0，故此选项不符合题意；B、是分式方程，故此选项不符合题意；C、是一元二次方程，故此选项符合题意；D、是一元一次方程，故此选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．3．（2分）二次函数y＝（x﹣1）2+2图象的顶点坐标是（）A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（1，2）【分析】利用顶点式方程可直接得到抛物线的顶点坐标．【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+2，∴顶点坐标为（1，2），故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）是解题的关键．4．（2分）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0配方后可变形为（）A．（x+1）2＝4 B．（x﹣1）2＝4 C．（x+1）2＝16 D．（x﹣1）2＝16【分析】根据配方法即可求出答案．【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，∴x2﹣2x+1＝4，∴（x﹣1）2＝4，故选：B．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．5．（2分）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（）A．y1＞y2＞2 B．y2＞y1＞2 C．2＞y1＞y2 D．2＞y2＞y1【分析】先将x＝1或x＝2代入函数解析式求出y1和y2，然后比较大小．【解答】解：当x＝1时，y1＝﹣（1+1）2+2＝﹣2，当x＝2时，y2＝﹣（2+1）2+2＝﹣7，∴2＞y1＞y2．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，本题还可以利用二次函数的增减性求解．6．（2分）原价为100元的某种药品经过连续两次降价后为64元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（）A．100（1﹣x）2＝64 B．64（1﹣x）2＝100 C．100（1﹣2x）＝64 D．64（1﹣2x）＝100【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）＝64，把相应数值代入即可求解．【解答】解：第一次降价后的价格为100×（1﹣x），第二次降价后价格为100×（1﹣x）×（1﹣x），则列出的方程是100（1﹣x）2＝64．故选：A．【点评】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．7．（2分）在同一坐标系中一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（）A． B． C． D．【分析】可先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，正确；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，错误；C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，错误；D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误．故选：A．【点评】本题主要考查了二次函数的性质和一次函数的性质，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题．8．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论中正确的有（）①4ac＜b2②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x≤3A．①② B．①②③ C．①③④ D．②④【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b＝﹣2a，然后根据x＝﹣1时函数值为0可得到3a+c＝0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正确；∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，∴3a+c＝0，即a＝﹣，所以③错误；∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）抛物线y＝﹣x2+2x﹣7与y轴的交点坐标为（0，﹣7）．【分析】将x＝0代入抛物线解析式即可求得抛物线y＝﹣x2+2x﹣7与y轴的交点坐标．【解答】解：当x＝0时，y＝﹣7，∴抛物线y＝﹣x2+2x﹣7与y轴的交点坐标为（0，﹣7），故答案为：（0，﹣7）．【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．10．（2分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的解，则代数式2a﹣4b的值为﹣2．【分析】将x＝1代入原方程即可求出（a﹣2b）的值，然后将其整体代入求值．【解答】解：将x＝1代入原方程可得：1+a﹣2b＝0，∴a﹣2b＝﹣1，∴原式＝2（a﹣2b）＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型．11．（2分）二次函数y＝x2﹣4x﹣2的最小值为﹣6．【分析】本题由于二次项的系数为1，可用配方法求解．【解答】解：y＝x2﹣4x﹣2＝（x﹣2）2﹣6，由于函数开口向上，因此函数有最小值，且最小值为﹣6，故答案为：﹣6．【点评】本题是一道二次函数的解析式的试题，考查了二次函数的最值和顶点式的运用及顶点坐标的求法．12．（2分）在同一坐标系下，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x的解集是0＜x＜2．【分析】根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．【解答】解：由图可知，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x的交点坐标为（0，0），（2，4），所以，不等式﹣x2+4x＞2x的解集是0＜x＜2．故答案为：0＜x＜2．【点评】本题考查了二次函数与不等式，数形结合是解题的关键．13．（2分）若x＝2是一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0的一个根，则m＝1；方程的另一根是﹣1．【分析】利用根与系数的关系，得到两根之积，先求出另外一根，再利用两根之和求出m的值，还可以直接将x＝2代入到方程中，直接求出m和另外一根的值．【解答】解：设方程的另外一根为a，则2a＝﹣2，2+a＝m，∴a＝﹣1，m＝1，故答案为：1；﹣1．【点评】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系，得到两根之和和两根之积，是解决本题的关键．14．（2分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，a的取值范围是a＜2且a≠1．【分析】由方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式可得到a的不等式，可求得a的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0且a﹣1≠0，即（﹣2）2﹣4（a﹣1）＞0且a﹣1≠0，解得a＜2且a≠1，∴a的取值范围是a＜2且a≠1．【点评】本题主要考查根的判别式，由根的判别式得到关于a的不等式是解题的关键．15．（2分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边CD上．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°至△ABF的位置．若DE＝2，则FC＝8．【分析】先根据旋转的性质和正方形的性质证明C、B、F三点在一条直线上，又知BF＝DE＝2，可得FC的长．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠D＝90°，AD＝AB，由旋转得：∠ABF＝∠D＝90°，BF＝DE＝2，∴∠ABF+∠ABC＝180°，∴C、B、F三点在一条直线上，∴CF＝BC+BF＝6+2＝8，故答案为：8．【点评】本题主要考查了正方形的性质、旋转变换的性质，难度适中．由旋转的性质得出BF＝DE是解答本题的关键．16．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：x…0123…y…﹣3﹣1﹣3﹣9…则代数式（a﹣b+c）（a+b+c）的值是5．【分析】由表格可得抛物线对称轴为直线x＝1，然后根据对称性可求x＝﹣1时y的值，进而求解．【解答】解：由题可得抛物线经过点（0，﹣3），（2，﹣3），∴抛物线对称轴为直线x＝＝1，∵抛物线经过点（3，﹣9），∴x＝﹣1时y＝﹣9，即﹣9＝a﹣b+c，又∵抛物线经过点（1，﹣1），∴﹣1＝a+b+c，∴（a﹣b+c）（a+b+c）＝（﹣9）×（﹣1）＝9．故答案为：9．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，通过抛物线上点的坐标的特征求解．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分，第23～26题，每小题5分，第27～28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）解方程：x2﹣6x＝16．【分析】整理成一般式后，利用因式分解法求解可得．【解答】解：x2﹣6x﹣16＝0，∴（x+2）（x﹣8）＝0，∴x+2＝0或x﹣8＝0，解得：x＝﹣2或x＝8．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的基本方法是解题的关键．18．（5分）解方程：2x2+3x﹣4＝0．【分析】找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．【解答】解：这里a＝2，b＝3，c＝﹣4，∵△＝9+32＝41，∴x＝．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．19．（5分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（0，1）和点B（﹣1，2），求这个二次函数的解析式．【分析】根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（0，1）和点B（﹣1，2），∴，解得：，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+1．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式可得出Δ＝4m2，利用偶次方的非负性可得出4m2≥0，即Δ≥0，再利用“当Δ≥0时，方程有两个实数根”即可证出结论；（2）方法一：利用因式分解法求出x1＝m，x2＝3m．由题意得出m的方程，解方程则可得出答案．方法二：利用根与系数的关系可求出答案．【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2．∵无论m取何值时，4m2≥0，即Δ≥0，∴原方程总有两个实数根．（2）解：方法一：∵x2﹣4mx+3m2＝0，即（x﹣m）（x﹣3m）＝0，∴x1＝m，x2＝3m．∵m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，∴3m﹣m＝2，∴m＝1．方法二：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝4m，x1•x2＝3m2，∵x1﹣x2＝2，∴（x1﹣x2）2＝4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4，∴（4m）2﹣4×3m2＝4，∴m＝±1，又m＞0，∴m＝1．【点评】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．21．（5分）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣1012…y…0﹣3﹣4﹣3m5…（1）直接写出表格当中的m值：0；（2）求这个二次函数的表达式；（3）在图中画出这个二次函数的图象．（4）直接写出当﹣4＜x＜0时，y的取值范围是﹣4≤y＜5．【分析】（1）根据函数的对称性即可求解；（2）抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4），则设抛物线的表达式为y＝a（x+1）2﹣4，将点（0，﹣3）代入上式，即可求解；（3）描点、连线画出函数的图象即可；（4）根据函数的对称性求得x＝﹣4时的函数值为5，又函数有最小值﹣4，即可求得当﹣4＜x＜0时，﹣4≤y＜5．【解答】解：（1）∵x＝﹣2或x＝0的函数值相同，都是﹣3，∴函数的对称轴为直线x＝＝﹣1，∵点（﹣3，0）和点（1.0）关于直线x＝﹣1对称，∴m＝0，故答案为0；（2）∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4），则设抛物线的表达式为y＝a（x+1）2﹣4，将点（0，﹣3）代入上式并解得a＝1，故抛物线的表达式为y＝（x+1）2﹣4；（3）画出函数图象如图：（4）∵（2，5）（﹣4，5）关于直线x＝﹣1对称，∴x＝﹣4时，函数y＝5，∵函数有最小值﹣4，∴当﹣4＜x＜0时，﹣4≤y＜5，故答案为：﹣4≤y＜5．【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，4），B（﹣5，1），C（﹣1，2）．（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）画出△ABC绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出点B2的坐标．【分析】（1）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点B1的坐标（5，﹣1）；（2）如图，△A2B2C2即为所求，点B2的坐标（﹣1，﹣5）．【点评】本题考查作图﹣中心对称，旋转变换等知识，解题的关键是掌握中心对称，旋转变换的性质，属于中考常考题型．23．（6分）如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE．求证：AE∥BC．【分析】利用等边三角形的性质得AC＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，再根据旋转的性质得CD＝CE，∠DCE＝60°，则∠DCE＝∠ACB，所以∠BCD＝∠ACE，接着证明△BCD≌△ACE得到∠EAC＝∠B＝60°，从而得到∠EAC＝∠ACB，然后根据平行线的判定方法得到结论．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，∵线段CD绕点C顺时针旋转60°得到CE，∴CD＝CE，∠DCE＝60°，∴∠DCE＝∠ACB，即∠BCD+∠DCA＝∠DCA+∠ACE，∴∠BCD＝∠ACE，在△BCD与△ACE中，，∴△BCD≌△ACE，∴∠EAC＝∠B＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质．24．（6分）如图1，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图2所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度AB为12m，拱桥的最高点C到水面AB的距离为6m．（1）求抛物线的解析式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为10m，求水面上涨的高度．【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+k，根据点B、C坐标可求出其解析式；（2）将x＝5或x＝﹣5代入解析式求出y的值即可得出答案．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+k，由题意，得：B（6，0）、C（0，6），∴y＝ax2+6，∴0＝a•62+6，解得a＝﹣，∴解析式为y＝﹣x2+6；（2）由题意得，水面宽度的横坐标为﹣5和5，∴y＝﹣×52+6＝﹣+6＝，∴水面上涨的高度为m．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、理解题意．25．（6分）阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3﹣2x2﹣3x＝0，通过因式分解可以把它转化为x（x2﹣2x﹣3）＝0，解方程x＝0和x2﹣2x﹣3＝0，可得方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解．问题：（1）方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解是x1＝0，x2＝3，x3＝﹣1．（2）求方程x3＝6x2+16x的解．拓展：（3）用“转化”思想求方程＝x的解．【分析】（1）用因式分解法求解方程x2﹣2x﹣3＝0可得结论；（2）仿照例题因式分解等号的左边，得关于x的三个一次方程，求解即可；（3）方程的两边平方，得一元二次方程，求解后需检验．【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0．∴x﹣3＝0或x+1＝0．∴x＝3或x＝﹣1．故答案为：3，﹣1；（2）方程x3＝6x2+16x，可化为x3﹣6x2﹣16x＝0，∴x（x2﹣6x﹣16）＝0，∴x（x+2）（x﹣8）＝0．∴x＝0或x+2＝0或x﹣8＝0，∴x1＝0，x2＝﹣2，x3＝8．（3），方程两边平方，得﹣2x+15＝x2，即x2+2x﹣15＝0，∴（x+5）（x﹣3）＝0，∴x+5＝0或x﹣3＝0，∴x1＝﹣5，x2＝3．当x＝﹣5时，＝＝5≠﹣5，故﹣5不是原方程的解，舍去；当x＝3时，＝＝3．∴x＝3是原方程的解．【点评】本题考查了高次方程、无理方程的解法，理解题例学会转化的思想方法是解决本题的关键．26．（6分）已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4，抛物线的顶点为M．（1）求点M的坐标；（2）设抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x2＞x1①判断AB的长是否为定值，并证明；②已知点N（0，﹣4），且NA≥5，利用图象求x2﹣x1+a的取值范围．【分析】（1）把一般式配成顶点式即可得到M点坐标；（2）①令y＝0，可求得A、B两点的坐标，则AB长可求；②由MA＝5时，求得A点坐标，结合图象可得取值范围．【解答】解：（1）∵y＝（x﹣a）2﹣4，∴M（a，﹣4）；（2）①AB长为定值，令y＝0，则x2﹣2ax+a2﹣4＝0则（x﹣a）2＝4，解得x1＝a+2或x2＝a﹣2，AB长＝|a+2﹣（a﹣2）|＝4，②当NA＝5时，当点A在y轴左侧时，如图：∵NA＝5，ON＝4，则OA＝3，故点A（﹣3，0），∵NA≥5，则a﹣2≤﹣3，∵AB＝4＝x2﹣x1，∵x2﹣x1+a＝4+a，故x2﹣x1+a≤3；当点A在y轴右侧时，同理可得：点A（3，0），则a﹣2≥3，x2﹣x1+a≥9；故：x2﹣x1+a的取值范围为x2﹣x1+a≤3或x2﹣x1+a≥9．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．27．（7分）问题发现：（1）如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC、BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD＝90°，CA＝CD，CB＝CE，连接AE、BD，则AE、BD之间的数量关系为AE＝BD，位置关系为AE⊥BD；拓展探究：（2）如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE、BD交于点F，则AE与BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由．拓展延伸：（3）如图3，已知AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝90°，连接AB、AE、AD，把线段AB绕点A旋转，若AB＝5，AC＝3，请直接写出旋转过程中线段AE的最大值．【分析】（1）延长BD交AE于H，证明△ACE≌△DCB，根据全等三角形的性质得到AE＝BD，∠AEC＝∠DBC，根据三角形内角和定理得到∠EHD＝90°，证明结论；（2）证明△ACE≌△DCB，根据全等三角形的性质证明；（3）连接BD，根据全等三角形的性质得到AE＝BD，根据勾股定理求出AD，结合图形计算，得到答案．【解答】解：（1）如图1，延长BD交AE于H，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠AEC＝∠DBC，∵∠CDB＝∠HDE，∴∠EHD＝∠DCB＝90°，即AE⊥BD，故答案为：AE＝BD；AE⊥BD；（2）AE与BD之间的关系仍然成立，理由如下：如图2，设BD，CE交于P，∵∠ACD＝∠BCE＝90°，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠AEC＝∠DBC，∵∠FPE＝∠CPB，∴∠EFP＝∠PCB＝90°，即AE⊥BD；（3）如图3，连接BD，由（2）的方法可得：△ACE≌△DCB，∴AE＝BD，在Rt△ACD中，AC＝CD＝3，由勾股定理得：AD＝＝3，当点A在BD上时，BD最大