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第1页(共1页)2021-2022学年北京市大兴三中九年级(上)期中数学试卷一、选择题(本题共16分,每小题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.1.(2分)下列图书馆的标志中,是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.(2分)下列方程是一元二次方程的是()A.ax2+bx+c=0 B.+x2﹣1=0 C.2x2﹣x+2=0 D.4x﹣1=03.(2分)二次函数y=(x﹣1)2+2图象的顶点坐标是()A.(2,﹣1) B.(2,1) C.(﹣1,2) D.(1,2)4.(2分)一元二次方程x2﹣2x﹣3=0配方后可变形为()A.(x+1)2=4 B.(x﹣1)2=4 C.(x+1)2=16 D.(x﹣1)2=165.(2分)已知点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=﹣(x+1)2+2上,则下列结论正确的是()A.y1>y2>2 B.y2>y1>2 C.2>y1>y2 D.2>y2>y16.(2分)原价为100元的某种药品经过连续两次降价后为64元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程正确的是()A.100(1﹣x)2=64 B.64(1﹣x)2=100 C.100(1﹣2x)=64 D.64(1﹣2x)=1007.(2分)在同一坐标系中一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为()A. B. C. D.8.(2分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论中正确的有()①4ac<b2②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3③3a+c>0④当y>0时,x的取值范围是﹣1≤x≤3A.①② B.①②③ C.①③④ D.②④二、填空题(本题共16分,每小题2分)9.(2分)抛物线y=﹣x2+2x﹣7与y轴的交点坐标为.10.(2分)已知x=1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b=0的解,则代数式2a﹣4b的值为.11.(2分)二次函数y=x2﹣4x﹣2的最小值为.12.(2分)在同一坐标系下,抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x的图象如图所示,那么不等式﹣x2+4x>2x的解集是.13.(2分)若x=2是一元二次方程x2﹣mx﹣2=0的一个根,则m=;方程的另一根是.14.(2分)已知关于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,a的取值范围是.15.(2分)如图,正方形ABCD的边长为6,点E在边CD上.以点A为中心,把△ADE顺时针旋转90°至△ABF的位置.若DE=2,则FC=.16.(2分)已知二次函数y=ax2+bx+c自变量x与函数值y之间满足下列数量关系:x…0123…y…﹣3﹣1﹣3﹣9…则代数式(a﹣b+c)(a+b+c)的值是.三、解答题(本题共68分,第17~22题,每小题5分,第23~26题,每小题5分,第27~28题,每小题5分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.(5分)解方程:x2﹣6x=16.18.(5分)解方程:2x2+3x﹣4=0.19.(5分)已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点A(0,1)和点B(﹣1,2),求这个二次函数的解析式.20.(5分)已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2=0.(1)求证:该方程总有两个实数根;(2)若m>0,且该方程的两个实数根的差为2,求m的值.21.(5分)二次函数图象上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:x…﹣3﹣2﹣1012…y…0﹣3﹣4﹣3m5…(1)直接写出表格当中的m值:;(2)求这个二次函数的表达式;(3)在图中画出这个二次函数的图象.(4)直接写出当﹣4<x<0时,y的取值范围是.22.(5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的三个顶点分别为A(﹣3,4),B(﹣5,1),C(﹣1,2).(1)画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1,并写出点B1的坐标;(2)画出△ABC绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2,并写出点B2的坐标.23.(6分)如图,在等边△ABC中,点D是AB边上一点,连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE,连接AE.求证:AE∥BC.24.(6分)如图1,单孔拱桥的形状近似抛物线形,建立如图2所示的平面直角坐标系,在正常水位时,水面宽度AB为12m,拱桥的最高点C到水面AB的距离为6m.(1)求抛物线的解析式;(2)因为上游水库泄洪,水面宽度变为10m,求水面上涨的高度.25.(6分)阅读材料:各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想——转化,把未知转化为已知.用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程.例如,一元三次方程x3﹣2x2﹣3x=0,通过因式分解可以把它转化为x(x2﹣2x﹣3)=0,解方程x=0和x2﹣2x﹣3=0,可得方程x3﹣2x2﹣3x=0的解.问题:(1)方程x3﹣2x2﹣3x=0的解是x1=0,x2=,x3=.(2)求方程x3=6x2+16x的解.拓展:(3)用“转化”思想求方程=x的解.26.(6分)已知抛物线y=x2﹣2ax+a2﹣4,抛物线的顶点为M.(1)求点M的坐标;(2)设抛物线与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且x2>x1①判断AB的长是否为定值,并证明;②已知点N(0,﹣4),且NA≥5,利用图象求x2﹣x1+a的取值范围.27.(7分)问题发现:(1)如图1,已知C为线段AB上一点,分别以线段AC、BC为直角边作等腰直角三角形,∠ACD=90°,CA=CD,CB=CE,连接AE、BD,则AE、BD之间的数量关系为,位置关系为;拓展探究:(2)如图2,把Rt△ACD绕点C逆时针旋转,线段AE、BD交于点F,则AE与BD之间的关系是否仍然成立?请说明理由.拓展延伸:(3)如图3,已知AC=CD,BC=CE,∠ACD=∠BCE=90°,连接AB、AE、AD,把线段AB绕点A旋转,若AB=5,AC=3,请直接写出旋转过程中线段AE的最大值.28.(7分)对于某一函数给出如下定义:如果存在实数p,当其自变量的值为p时,其函数值等于p,则称p为这个函数的不动值,在函数存在不动值时,该函数的最大不动值与最小不动值之差q称为这个函数的不动长度,特别地,当函数只有一个不动值时,其不动长度q为0,例如,图中的函数有0和1两个不动值,其不动长度q为1.(1)下列函数①y=2x,②y=x2+1,③y=x2﹣2x中存在不动值的是(填序号);(2)函数y=3x2+bx,①若其不动长度为0,则b的值为;②若﹣2≤b≤2,求其不动长度q的取值范围;(3)记函数y=x2﹣4x(x≥t)的图象为G1,将G1沿x=t翻折后得到的函数图象记为G2,函数G的图象由G1和G2两部分组成,若其不动长度q满足0≤q≤5,则t的取值范围为.
2021-2022学年北京市大兴三中九年级(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本题共16分,每小题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.1.(2分)下列图书馆的标志中,是中心对称图形的是()A. B. C. D.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【解答】解:A、不是中心对称图形,故此选项错误;B、不是中心对称图形,故此选项错误;C、是中心对称图形,故此选项正确;D、不是中心对称图形,故此选项错误;故选:C.【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.2.(2分)下列方程是一元二次方程的是()A.ax2+bx+c=0 B.+x2﹣1=0 C.2x2﹣x+2=0 D.4x﹣1=0【分析】根据一元二次方程的定义解答.一元二次方程必须满足四个条件:(1)未知数的最高次数是2;(2)二次项系数不为0;(3)是整式方程;(4)含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证.【解答】解:A、若ax2+bx+c=0是一元二次方程,a,b,c是常数,且a≠0,故此选项不符合题意;B、是分式方程,故此选项不符合题意;C、是一元二次方程,故此选项符合题意;D、是一元一次方程,故此选项不符合题意.故选:C.【点评】本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.3.(2分)二次函数y=(x﹣1)2+2图象的顶点坐标是()A.(2,﹣1) B.(2,1) C.(﹣1,2) D.(1,2)【分析】利用顶点式方程可直接得到抛物线的顶点坐标.【解答】解:∵y=(x﹣1)2+2,∴顶点坐标为(1,2),故选:D.【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标,掌握二次函数的顶点式y=a(x﹣h)2+k的顶点坐标为(h,k)是解题的关键.4.(2分)一元二次方程x2﹣2x﹣3=0配方后可变形为()A.(x+1)2=4 B.(x﹣1)2=4 C.(x+1)2=16 D.(x﹣1)2=16【分析】根据配方法即可求出答案.【解答】解:∵x2﹣2x﹣3=0,∴x2﹣2x+1=4,∴(x﹣1)2=4,故选:B.【点评】本题考查一元二次方程,解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法,本题属于基础题型.5.(2分)已知点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=﹣(x+1)2+2上,则下列结论正确的是()A.y1>y2>2 B.y2>y1>2 C.2>y1>y2 D.2>y2>y1【分析】先将x=1或x=2代入函数解析式求出y1和y2,然后比较大小.【解答】解:当x=1时,y1=﹣(1+1)2+2=﹣2,当x=2时,y2=﹣(2+1)2+2=﹣7,∴2>y1>y2.故选:C.【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,本题还可以利用二次函数的增减性求解.6.(2分)原价为100元的某种药品经过连续两次降价后为64元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程正确的是()A.100(1﹣x)2=64 B.64(1﹣x)2=100 C.100(1﹣2x)=64 D.64(1﹣2x)=100【分析】可先表示出第一次降价后的价格,那么第一次降价后的价格×(1﹣降低的百分率)=64,把相应数值代入即可求解.【解答】解:第一次降价后的价格为100×(1﹣x),第二次降价后价格为100×(1﹣x)×(1﹣x),则列出的方程是100(1﹣x)2=64.故选:A.【点评】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.7.(2分)在同一坐标系中一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为()A. B. C. D.【分析】可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负,再与二次函数y=ax2+bx的图象相比较看是否一致.【解答】解:A、由抛物线可知,a>0,x=﹣>0,得b<0,由直线可知,a>0,b<0,正确;B、由抛物线可知,a>0,由直线可知,a<0,错误;C、由抛物线可知,a<0,x=﹣>0,得b>0,由直线可知,a<0,b<0,错误;D、由抛物线可知,a<0,由直线可知,a>0,错误.故选:A.【点评】本题主要考查了二次函数的性质和一次函数的性质,做题时要注意数形结合思想的运用,同学们加强训练即可掌握,属于基础题.8.(2分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论中正确的有()①4ac<b2②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3③3a+c>0④当y>0时,x的取值范围是﹣1≤x≤3A.①② B.①②③ C.①③④ D.②④【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断;利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0),则可对②进行判断;由对称轴方程得到b=﹣2a,然后根据x=﹣1时函数值为0可得到3a+c=0,则可对③进行判断;根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断.【解答】解:∵抛物线与x轴有2个交点,∴b2﹣4ac>0,即4ac<b2,所以①正确;∵抛物线的对称轴为直线x=1,而点(﹣1,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(3,0),∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3,所以②正确;∵x=﹣=1,即b=﹣2a,而x=﹣1时,y=0,即a﹣b+c=0,∴a+2a+c=0,∴3a+c=0,即a=﹣,所以③错误;∵抛物线与x轴的两点坐标为(﹣1,0),(3,0),∴当﹣1<x<3时,y>0,所以④错误.故选:A.【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点位置:抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定:Δ=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;Δ=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;Δ=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.二、填空题(本题共16分,每小题2分)9.(2分)抛物线y=﹣x2+2x﹣7与y轴的交点坐标为(0,﹣7).【分析】将x=0代入抛物线解析式即可求得抛物线y=﹣x2+2x﹣7与y轴的交点坐标.【解答】解:当x=0时,y=﹣7,∴抛物线y=﹣x2+2x﹣7与y轴的交点坐标为(0,﹣7),故答案为:(0,﹣7).【点评】本题主要考查二次函数的性质,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.10.(2分)已知x=1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b=0的解,则代数式2a﹣4b的值为﹣2.【分析】将x=1代入原方程即可求出(a﹣2b)的值,然后将其整体代入求值.【解答】解:将x=1代入原方程可得:1+a﹣2b=0,∴a﹣2b=﹣1,∴原式=2(a﹣2b)=﹣2,故答案为:﹣2.【点评】本题考查一元二次方程,解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念,本题属于基础题型.11.(2分)二次函数y=x2﹣4x﹣2的最小值为﹣6.【分析】本题由于二次项的系数为1,可用配方法求解.【解答】解:y=x2﹣4x﹣2=(x﹣2)2﹣6,由于函数开口向上,因此函数有最小值,且最小值为﹣6,故答案为:﹣6.【点评】本题是一道二次函数的解析式的试题,考查了二次函数的最值和顶点式的运用及顶点坐标的求法.12.(2分)在同一坐标系下,抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x的图象如图所示,那么不等式﹣x2+4x>2x的解集是0<x<2.【分析】根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可.【解答】解:由图可知,抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x的交点坐标为(0,0),(2,4),所以,不等式﹣x2+4x>2x的解集是0<x<2.故答案为:0<x<2.【点评】本题考查了二次函数与不等式,数形结合是解题的关键.13.(2分)若x=2是一元二次方程x2﹣mx﹣2=0的一个根,则m=1;方程的另一根是﹣1.【分析】利用根与系数的关系,得到两根之积,先求出另外一根,再利用两根之和求出m的值,还可以直接将x=2代入到方程中,直接求出m和另外一根的值.【解答】解:设方程的另外一根为a,则2a=﹣2,2+a=m,∴a=﹣1,m=1,故答案为:1;﹣1.【点评】本题考查了根与系数的关系,利用根与系数的关系,得到两根之和和两根之积,是解决本题的关键.14.(2分)已知关于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,a的取值范围是a<2且a≠1.【分析】由方程有两个不相等的实数根,根据根的判别式可得到a的不等式,可求得a的取值范围.【解答】解:∵关于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,∴Δ>0且a﹣1≠0,即(﹣2)2﹣4(a﹣1)>0且a﹣1≠0,解得a<2且a≠1,∴a的取值范围是a<2且a≠1.【点评】本题主要考查根的判别式,由根的判别式得到关于a的不等式是解题的关键.15.(2分)如图,正方形ABCD的边长为6,点E在边CD上.以点A为中心,把△ADE顺时针旋转90°至△ABF的位置.若DE=2,则FC=8.【分析】先根据旋转的性质和正方形的性质证明C、B、F三点在一条直线上,又知BF=DE=2,可得FC的长.【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=∠D=90°,AD=AB,由旋转得:∠ABF=∠D=90°,BF=DE=2,∴∠ABF+∠ABC=180°,∴C、B、F三点在一条直线上,∴CF=BC+BF=6+2=8,故答案为:8.【点评】本题主要考查了正方形的性质、旋转变换的性质,难度适中.由旋转的性质得出BF=DE是解答本题的关键.16.(2分)已知二次函数y=ax2+bx+c自变量x与函数值y之间满足下列数量关系:x…0123…y…﹣3﹣1﹣3﹣9…则代数式(a﹣b+c)(a+b+c)的值是5.【分析】由表格可得抛物线对称轴为直线x=1,然后根据对称性可求x=﹣1时y的值,进而求解.【解答】解:由题可得抛物线经过点(0,﹣3),(2,﹣3),∴抛物线对称轴为直线x==1,∵抛物线经过点(3,﹣9),∴x=﹣1时y=﹣9,即﹣9=a﹣b+c,又∵抛物线经过点(1,﹣1),∴﹣1=a+b+c,∴(a﹣b+c)(a+b+c)=(﹣9)×(﹣1)=9.故答案为:9.【点评】本题考查二次函数的性质,解题关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系,通过抛物线上点的坐标的特征求解.三、解答题(本题共68分,第17~22题,每小题5分,第23~26题,每小题5分,第27~28题,每小题5分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.(5分)解方程:x2﹣6x=16.【分析】整理成一般式后,利用因式分解法求解可得.【解答】解:x2﹣6x﹣16=0,∴(x+2)(x﹣8)=0,∴x+2=0或x﹣8=0,解得:x=﹣2或x=8.【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的基本方法是解题的关键.18.(5分)解方程:2x2+3x﹣4=0.【分析】找出a,b,c的值,计算出根的判别式的值大于0,代入求根公式即可求出解.【解答】解:这里a=2,b=3,c=﹣4,∵△=9+32=41,∴x=.【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法,熟练掌握求根公式是解本题的关键.19.(5分)已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点A(0,1)和点B(﹣1,2),求这个二次函数的解析式.【分析】根据点A、B的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式.【解答】解:∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点A(0,1)和点B(﹣1,2),∴,解得:,∴二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+1.【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,待定系数法求二次函数的解析式,熟练掌握待定系数法是解题的关键.20.(5分)已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2=0.(1)求证:该方程总有两个实数根;(2)若m>0,且该方程的两个实数根的差为2,求m的值.【分析】(1)根据方程的系数,结合根的判别式可得出Δ=4m2,利用偶次方的非负性可得出4m2≥0,即Δ≥0,再利用“当Δ≥0时,方程有两个实数根”即可证出结论;(2)方法一:利用因式分解法求出x1=m,x2=3m.由题意得出m的方程,解方程则可得出答案.方法二:利用根与系数的关系可求出答案.【解答】(1)证明:∵a=1,b=﹣4m,c=3m2,∴Δ=b2﹣4ac=(﹣4m)2﹣4×1×3m2=4m2.∵无论m取何值时,4m2≥0,即Δ≥0,∴原方程总有两个实数根.(2)解:方法一:∵x2﹣4mx+3m2=0,即(x﹣m)(x﹣3m)=0,∴x1=m,x2=3m.∵m>0,且该方程的两个实数根的差为2,∴3m﹣m=2,∴m=1.方法二:设方程的两根为x1,x2,则x1+x2=4m,x1•x2=3m2,∵x1﹣x2=2,∴(x1﹣x2)2=4,∴(x1+x2)2﹣4x1x2=4,∴(4m)2﹣4×3m2=4,∴m=±1,又m>0,∴m=1.【点评】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程,解题的关键是:(1)牢记“当Δ≥0时,方程有实数根”;(2)利用因式分解法求出方程的解.21.(5分)二次函数图象上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:x…﹣3﹣2﹣1012…y…0﹣3﹣4﹣3m5…(1)直接写出表格当中的m值:0;(2)求这个二次函数的表达式;(3)在图中画出这个二次函数的图象.(4)直接写出当﹣4<x<0时,y的取值范围是﹣4≤y<5.【分析】(1)根据函数的对称性即可求解;(2)抛物线的顶点坐标为(﹣1,﹣4),则设抛物线的表达式为y=a(x+1)2﹣4,将点(0,﹣3)代入上式,即可求解;(3)描点、连线画出函数的图象即可;(4)根据函数的对称性求得x=﹣4时的函数值为5,又函数有最小值﹣4,即可求得当﹣4<x<0时,﹣4≤y<5.【解答】解:(1)∵x=﹣2或x=0的函数值相同,都是﹣3,∴函数的对称轴为直线x==﹣1,∵点(﹣3,0)和点(1.0)关于直线x=﹣1对称,∴m=0,故答案为0;(2)∵抛物线的顶点坐标为(﹣1,﹣4),则设抛物线的表达式为y=a(x+1)2﹣4,将点(0,﹣3)代入上式并解得a=1,故抛物线的表达式为y=(x+1)2﹣4;(3)画出函数图象如图:(4)∵(2,5)(﹣4,5)关于直线x=﹣1对称,∴x=﹣4时,函数y=5,∵函数有最小值﹣4,∴当﹣4<x<0时,﹣4≤y<5,故答案为:﹣4≤y<5.【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式,二次函数图象和性质,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的最值,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.22.(5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的三个顶点分别为A(﹣3,4),B(﹣5,1),C(﹣1,2).(1)画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1,并写出点B1的坐标;(2)画出△ABC绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2,并写出点B2的坐标.【分析】(1)利用中心对称的性质分别作出A,B,C的对应点A1,B1,C1即可;(2)利用旋转变换的性质分别作出A,B,C的对应点A2,B2,C2即可.【解答】解:(1)如图,△A1B1C1即为所求,点B1的坐标(5,﹣1);(2)如图,△A2B2C2即为所求,点B2的坐标(﹣1,﹣5).【点评】本题考查作图﹣中心对称,旋转变换等知识,解题的关键是掌握中心对称,旋转变换的性质,属于中考常考题型.23.(6分)如图,在等边△ABC中,点D是AB边上一点,连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE,连接AE.求证:AE∥BC.【分析】利用等边三角形的性质得AC=BC,∠B=∠ACB=60°,再根据旋转的性质得CD=CE,∠DCE=60°,则∠DCE=∠ACB,所以∠BCD=∠ACE,接着证明△BCD≌△ACE得到∠EAC=∠B=60°,从而得到∠EAC=∠ACB,然后根据平行线的判定方法得到结论.【解答】解:∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC,∠B=∠ACB=60°,∵线段CD绕点C顺时针旋转60°得到CE,∴CD=CE,∠DCE=60°,∴∠DCE=∠ACB,即∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠ACE,∴∠BCD=∠ACE,在△BCD与△ACE中,,∴△BCD≌△ACE,∴∠EAC=∠B=60°,∴∠EAC=∠ACB,∴AE∥BC.【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质.24.(6分)如图1,单孔拱桥的形状近似抛物线形,建立如图2所示的平面直角坐标系,在正常水位时,水面宽度AB为12m,拱桥的最高点C到水面AB的距离为6m.(1)求抛物线的解析式;(2)因为上游水库泄洪,水面宽度变为10m,求水面上涨的高度.【分析】(1)设抛物线的解析式为y=ax2+k,根据点B、C坐标可求出其解析式;(2)将x=5或x=﹣5代入解析式求出y的值即可得出答案.【解答】解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+k,由题意,得:B(6,0)、C(0,6),∴y=ax2+6,∴0=a•62+6,解得a=﹣,∴解析式为y=﹣x2+6;(2)由题意得,水面宽度的横坐标为﹣5和5,∴y=﹣×52+6=﹣+6=,∴水面上涨的高度为m.【点评】本题主要考查二次函数的应用,解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、理解题意.25.(6分)阅读材料:各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想——转化,把未知转化为已知.用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程.例如,一元三次方程x3﹣2x2﹣3x=0,通过因式分解可以把它转化为x(x2﹣2x﹣3)=0,解方程x=0和x2﹣2x﹣3=0,可得方程x3﹣2x2﹣3x=0的解.问题:(1)方程x3﹣2x2﹣3x=0的解是x1=0,x2=3,x3=﹣1.(2)求方程x3=6x2+16x的解.拓展:(3)用“转化”思想求方程=x的解.【分析】(1)用因式分解法求解方程x2﹣2x﹣3=0可得结论;(2)仿照例题因式分解等号的左边,得关于x的三个一次方程,求解即可;(3)方程的两边平方,得一元二次方程,求解后需检验.【解答】解:(1)∵x2﹣2x﹣3=0,∴(x﹣3)(x+1)=0.∴x﹣3=0或x+1=0.∴x=3或x=﹣1.故答案为:3,﹣1;(2)方程x3=6x2+16x,可化为x3﹣6x2﹣16x=0,∴x(x2﹣6x﹣16)=0,∴x(x+2)(x﹣8)=0.∴x=0或x+2=0或x﹣8=0,∴x1=0,x2=﹣2,x3=8.(3),方程两边平方,得﹣2x+15=x2,即x2+2x﹣15=0,∴(x+5)(x﹣3)=0,∴x+5=0或x﹣3=0,∴x1=﹣5,x2=3.当x=﹣5时,==5≠﹣5,故﹣5不是原方程的解,舍去;当x=3时,==3.∴x=3是原方程的解.【点评】本题考查了高次方程、无理方程的解法,理解题例学会转化的思想方法是解决本题的关键.26.(6分)已知抛物线y=x2﹣2ax+a2﹣4,抛物线的顶点为M.(1)求点M的坐标;(2)设抛物线与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且x2>x1①判断AB的长是否为定值,并证明;②已知点N(0,﹣4),且NA≥5,利用图象求x2﹣x1+a的取值范围.【分析】(1)把一般式配成顶点式即可得到M点坐标;(2)①令y=0,可求得A、B两点的坐标,则AB长可求;②由MA=5时,求得A点坐标,结合图象可得取值范围.【解答】解:(1)∵y=(x﹣a)2﹣4,∴M(a,﹣4);(2)①AB长为定值,令y=0,则x2﹣2ax+a2﹣4=0则(x﹣a)2=4,解得x1=a+2或x2=a﹣2,AB长=|a+2﹣(a﹣2)|=4,②当NA=5时,当点A在y轴左侧时,如图:∵NA=5,ON=4,则OA=3,故点A(﹣3,0),∵NA≥5,则a﹣2≤﹣3,∵AB=4=x2﹣x1,∵x2﹣x1+a=4+a,故x2﹣x1+a≤3;当点A在y轴右侧时,同理可得:点A(3,0),则a﹣2≥3,x2﹣x1+a≥9;故:x2﹣x1+a的取值范围为x2﹣x1+a≤3或x2﹣x1+a≥9.【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.27.(7分)问题发现:(1)如图1,已知C为线段AB上一点,分别以线段AC、BC为直角边作等腰直角三角形,∠ACD=90°,CA=CD,CB=CE,连接AE、BD,则AE、BD之间的数量关系为AE=BD,位置关系为AE⊥BD;拓展探究:(2)如图2,把Rt△ACD绕点C逆时针旋转,线段AE、BD交于点F,则AE与BD之间的关系是否仍然成立?请说明理由.拓展延伸:(3)如图3,已知AC=CD,BC=CE,∠ACD=∠BCE=90°,连接AB、AE、AD,把线段AB绕点A旋转,若AB=5,AC=3,请直接写出旋转过程中线段AE的最大值.【分析】(1)延长BD交AE于H,证明△ACE≌△DCB,根据全等三角形的性质得到AE=BD,∠AEC=∠DBC,根据三角形内角和定理得到∠EHD=90°,证明结论;(2)证明△ACE≌△DCB,根据全等三角形的性质证明;(3)连接BD,根据全等三角形的性质得到AE=BD,根据勾股定理求出AD,结合图形计算,得到答案.【解答】解:(1)如图1,延长BD交AE于H,在△ACE和△DCB中,,∴△ACE≌△DCB(SAS),∴AE=BD,∠AEC=∠DBC,∵∠CDB=∠HDE,∴∠EHD=∠DCB=90°,即AE⊥BD,故答案为:AE=BD;AE⊥BD;(2)AE与BD之间的关系仍然成立,理由如下:如图2,设BD,CE交于P,∵∠ACD=∠BCE=90°,∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,即∠ACE=∠DCB,在△ACE和△DCB中,,∴△ACE≌△DCB(SAS),∴AE=BD,∠AEC=∠DBC,∵∠FPE=∠CPB,∴∠EFP=∠PCB=90°,即AE⊥BD;(3)如图3,连接BD,由(2)的方法可得:△ACE≌△DCB,∴AE=BD,在Rt△ACD中,AC=CD=3,由勾股定理得:AD==3,当点A在BD上时,BD最大
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