经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷1（共197题）

经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷1（共5套）（共197题）经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷第1套一、单项选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、二元函数f(x，y)在点P(x0，y0)的两个偏导数fx’和fy’都存在，则()。A、f(x，y)在P点必连续B、f(x，y)在P点必可微C、D、标准答案：C知识点解析：暂无解析2、设f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数fx’(x0，y0)，fy’(x0，y0)都存在，则必有()。A、B、C、D、当(△x)2+(△y)2→0时f(x0+△x，y0+△y)一f(x0，y0)一[fx’(x0，y0)△x+fy’(x0，y0)△y]=标准答案：B知识点解析：暂无解析3、已知f(x，y)=则()。A、fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在B、fx’(0，0)不存在，fy’(0，0)存在C、fx’(0，0)存在，fy’(0，0)不存在D、fx’(0，0)，fy’(0，0)都不存在标准答案：B知识点解析：暂无解析4、设可微函数f(x，y)在点P(x0，y0)取得极小值，则下列结论正确的是()。A、f(x0，y)在y=y0处的导数等于0B、f(x0，y)在y=y0处的导数大于0C、f(x0，y)在y=y0处的导数小于0D、f(x0，y)在y=y0处的导数不存在标准答案：A知识点解析：暂无解析5、已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且则()。A、点(0，0)不是f(x，y)的极值点；B、点(0，0)是f(x，y)的极大值点；C、点(0，0)是f(x，y)的极小值点；D、无法断定点(0，0)是否为f(x，y)的极值点；标准答案：A知识点解析：暂无解析6、设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ’y(x，y)≠O，已知P(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项中正确的是()。A、若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0B、若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)≠0C、若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0D、若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)≠0标准答案：D知识点解析：暂无解析7、设A、不存在B、0C、一1D、1标准答案：A知识点解析：暂无解析8、设f(x，y)在点(x0，y0)处连续，且两个偏导数fx’(x0，y0)，fy’(x0，y0)存在，是f(x，y)在该点可微的()。A、充分条件，但非必要条件B、必要条件，但非充分条件C、充分必要条件D、既非充分也非必要条件标准答案：B知识点解析：暂无解析9、设其中D={(x，y)：(x一1)2+(y一1)2≤2}，则()。A、I1＜I2＜I3B、I2＜I3＜I1C、I1＜I3＜I2D、I3＜I2＜I1标准答案：A知识点解析：暂无解析10、设f(x，y)在点(a，b)处的偏导数存在，则=()。A、fx’(a，b)B、fx’(2a，b)C、2fx’(a，b)D、标准答案：C知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)11、标准答案：0知识点解析：暂无解析12、设u=的值为______。标准答案：知识点解析：暂无解析13、设z=x+y+f(x一y)，且当y=0时，z=x2，则=________标准答案：2(x一y)知识点解析：暂无解析14、设f(u，v)是二元可微函数，z==________标准答案：知识点解析：暂无解析15、设y=y(x)是由所确定的隐函数，则=______标准答案：知识点解析：暂无解析16、设z=z(x，y)是由方程x+y—z=ez所确定的函数，则=________标准答案：知识点解析：暂无解析17、标准答案：一y，一1知识点解析：暂无解析18、标准答案：知识点解析：暂无解析19、交换积分次序：=______标准答案：+∫12dy∫01+∫23dy∫03-yf(x，y)dx．知识点解析：暂无解析20、累次积分=________标准答案：知识点解析：暂无解析三、计算题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)21、设f(x)在[1，+∞)可导，f(1)=0，f(ex+1)=3e2x+2，求f(x)。标准答案：令ex+1=t得f’(t)=3(t一1)2+2f(t)=∫[3(t一1)2+2]dt=(t一1)3+2(t一1)+C由f(1)=0知C=0，f(x)=(x一1)3+2(x一1)=(x一1)(x2一2x+3)知识点解析：暂无解析22、设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)dx=∫0)πf(x)cosxdx=0．试证明：在[0，π]内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0。标准答案：令F(x)=∫0xf(t)dt，0≤x≤π，则F(0)=F(π)=0。又因为0=∫0πf(x)cosxdx=∫0πcosxdF(x)=[F(x)cosx]0π+∫0πF(x)sinxdx=∫0πF(x)sinxdx所以存在ξ∈(0，π)，使得F(ξ)sinξ=0，因为若不然，则在(0，π)内恒正或者恒负，均与∫0πF(x)sinxdx=0矛盾。但当ξ∈(0，π)时，sinξ≠0，所以只有F(ξ)=0。由以上可知，存在满足0＜ξ＜π的ξ，使得F(0)=F(ξ)=F(π)=0；再对F(x)在区间[0，ξ]，[ξ，π]上分别用罗尔定理知，至少存在两个不同的点ξ1∈[0，ξ]，ξ2∈[ξ，π]，使得F’(ξ1)=F’(ξ2)=0，即得到：在[0，π]内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0。知识点解析：暂无解析23、设f(x,y)=x2+(y一1)求fx’(2，1)，fy’(2，1)。标准答案：fx’(2，1)=fy’(2，1)=知识点解析：暂无解析24、设标准答案：知识点解析：暂无解析25、设z=yxln(xy)，求标准答案：=xyx-1lny.ln(xy)+yx-1ln(xy)+yx-1lny+yx-1代入x=1，y=e可得：知识点解析：暂无解析26、标准答案：令xy=u，x+y=v，则=yf"(u)+f’(v)+yf"(v)知识点解析：暂无解析27、设f(u)具有二阶连续导数，且g(x，y)=标准答案：知识点解析：暂无解析28、求函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极值．标准答案：由驻点的定义可得：fx’(x，y)=2x(2+y2)=0fy’(x，y)=2x2y+lny+1=0解方程可得：x=0，，即函数有唯一的驻点又有由于在驻点处AC一B2＞0，且A＞0，故函数f(x，y)在点处取得极小值，且极值为知识点解析：暂无解析29、设某种产品必须投入两种要素，x1与x2分别为两要素的投入量，Q为产出量；若生产函数为Q=2x1αx2β，其中α，β为正常数，且α+β=1，假设两种要素的价格分别为P1何P2，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以适当投入总费用最小?标准答案：minp1x1+p2x2s．t．2x1αx2β=12即：L(x1，x2，λ)=p1x1+p2x2+λ(12—2x1αx2β)L(x1，x2，λ)分别对x1，x2，λ求偏导可得方程组：对于条件极值的问题驻点惟一就是极值点，所以知识点解析：暂无解析30、设u=f(ux，v+y)，g(u一x，v2y)=0，求标准答案：两个均两边对y求偏导数由此解得：知识点解析：暂无解析31、设z=z(x，y)是方程x+y+z—xyz=0所确定的隐函数，标准答案：对方程x+y+z一xyz=0等号两边同时关于x求偏导，得整理得到同理得知识点解析：暂无解析32、计算下列函数指定的偏导数：(I)设u=f(2x一y)+g(x，xy)，其中f具有二阶连续导数，g具有二阶连续偏导数，求(Ⅱ)设u=u(x，y)由方程u=ψ(u)+∫yxP(t)dy确定，其中φ可微，P连续，且φ’(u)≠1，求(Ⅲ)设z3—2xz+y=0确定z=z(x，y)，求z的三个二阶偏导数。标准答案：(Ⅱ)在u=φ(u)+∫yxP(t)dt两边分别对x，y求偏导数可得(Ⅲ)在方程两边分别对x求偏导数得将(*)式再对x求偏导数，得知识点解析：暂无解析33、已知函数z=u(x，y)eax+by，其中u(x，y)具有二阶连续偏导数，且标准答案：知识点解析：暂无解析34、设y=f(x，t)，且方程F(x，y，t)确定了函数t=t(x，y)，求标准答案：由y=f(x,t(x，y))两端对x求导得而t=t(x，y)由F(x，y，t)=0所确定，则知识点解析：暂无解析35、设f(x，y)=标准答案：知识点解析：暂无解析36、设y=y(x)，z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求标准答案：将题设的两个方程的两端分别对x求偏导，得：知识点解析：暂无解析37、设z=z(x，y)是由方程F(x一z，y—z)=0确定的隐函数，其中F具有一阶连续偏导数，并且F1’+F2’≠0，求标准答案：知识点解析：暂无解析38、求函数u=xyz在约束条件(x＞0，y＞0，z＞0，a＞0)下的极值。标准答案：设拉格朗日函数为F(x，y，z)=分别对x，y，z，a求偏导并令导数的值为0可得到方程组：知识点解析：暂无解析经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷第2套一、单项选择题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)1、积分sinx2dx的值()。A、大于0B、小于0C、等于0D、不确定标准答案：A知识点解析：暂无解析2、不定积分∫sinxcosxdx不等于()。A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：暂无解析3、不定积分=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：暂无解析4、设则I，J的大小关系是()。A、I＜JB、I＞JC、I≤JD、I≥J标准答案：A知识点解析：暂无解析5、设函数y=f(x)在区间[0，a]上有连续导数，则定积分∫0axf’(x)dx在几何上表示()。A、曲边梯形的面积B、梯形的面积C、曲边三角形的面积D、三角形的面积标准答案：C知识点解析：暂无解析6、设函数f(x)与g(x)在[a，b]连续，且f(x)≤g(x)，则对任何c∈(0，1)，有()。A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：暂无解析7、设函数连续，则下列函数中必为偶函数的是()。A、∫0xf(t2)dtB、∫0xf2(t)dtC、∫0xt[f(t)一f(一t)]dtD、∫0xt[f(t)+f(一t)]dt标准答案：D知识点解析：暂无解析8、设∫f(x)dx=x2+C，则∫xf(1一x2)dx为()。A、一2(1一x2)2+CB、2(1—x2)2+CC、(1-x2)2+CD、(1-x2)2+C标准答案：C知识点解析：暂无解析9、下列反常积分发散的是()。A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：暂无解析10、下列反常积分中收敛的是()。A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：暂无解析11、设则I1与I2的关系为()。A、I1＜I2B、I1＞I2C、I1=I2D、不确定标准答案：A知识点解析：暂无解析12、设可导函数f(x)的原函数是F(x)，可导函数g(x)的原函数是G(x)，g(x)是f(x)在区间I上的反函数，则()。A、F’(x)G’(x)=1B、f’(x)g’(f(x))=1C、D、标准答案：B知识点解析：暂无解析13、把x→0+时的无穷小量α=∫0xcost2dt，排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是()。A、α，β，γB、α，γ，βC、β，α，γD、β，γ，α标准答案：B知识点解析：暂无解析14、设f(t)=则f(t)在t=0处()。A、极限不存在B、极限存在但不连续C、连续但不可导D、可导标准答案：C知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)15、设f(x)连续，且f(x)=x+2∫01f(t)dt，则f(x)=_______。标准答案：x一1知识点解析：暂无解析16、∫0πxsinxdx=________。标准答案：π知识点解析：暂无解析17、标准答案：知识点解析：暂无解析18、标准答案：知识点解析：暂无解析19、标准答案：4一π知识点解析：暂无解析20、∫0nπx|sinx|dx=_________。标准答案：n2π知识点解析：暂无解析21、设f(x)有一个原函数dx=______．标准答案：知识点解析：暂无解析22、标准答案：知识点解析：暂无解析23、函数f(x)在[1，+∞)上连续，且反常积分∫1+∞f(x)dx收敛，并满足则函数f(x)的表达式是________。标准答案：知识点解析：暂无解析24、设位于曲线(e≤x＜+∞)下方，x轴上方的无界区域为G，则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为________。标准答案：知识点解析：暂无解析三、计算题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)25、试求下列反常积分的值标准答案：(1)当0＜x≤有一∞＜lnx≤一1，因此令t=一lnx，则有：知识点解析：暂无解析26、求由曲线y=xex与直线y=ex所围成图形的面积。标准答案：如图3—4，我们可得：即S=∫01|ex一xex|dx=∫01(ex一xex)dx=知识点解析：暂无解析27、求曲线y=sinx与y=sin2x在[0，π]上所围成图形的面积S。标准答案：如图3—5，我们可以求出曲线相交的点：所以两曲线所围图形的面积为知识点解析：暂无解析28、过P(1，0)作抛物线的切线，与抛物线及x轴围成一平面图形，求此图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积。标准答案：设切点为(x0，y0)，则斜率为即过点P(1，0)的切线方程为：将(x0，y0)代入切线方程，得出x0=3，得出切线方程为即所要求的体积可以通过由切线绕轴旋转形成的椎体的体积减去由抛物线绕轴旋转形成的体积之差。知识点解析：暂无解析29、某产品的边际成本C’(x)=4+(万元/百台)，边际收益R’(x)=8一x(万元／百台)，试求：(1)产量由1百台增加到5百台时的总成本与总收益的增加值；(2)若固定成本C(0)=1(万元)，求总成本函数与利润函数；(3)当产量为多大时，利润最大?(4)求最大利润时的总成本与总收益。标准答案：(1)总成本的增加值为△C=∫15C’(t)dt==19(万元)总收益的增加值为△R=∫15R’(t)dt=∫15(8一x)dx=20(万元)(2)总成本函数C(x)=C(0)+∫0xC’(x)dx=1+总收益函数R(x)=∫0xR’(x)dx=∫0x(8一x)dx=总利润函数L(x)=R(x)一C(x)=(3)L’(x)=令L’(x)=0得驻点又L"(x)＜0，故当(百台)时，利润最大知识点解析：暂无解析30、计算标准答案：对中的积分表达式中的e-x变成再化简可得然后再将上述得到的积分表达式中的ex转换成e-x即得到：知识点解析：暂无解析31、计算不定积分标准答案：=In|x+2|—In|x+3|+C=知识点解析：暂无解析32、求定积分标准答案：第一步，换元设t=1+Inx，则原式=第二步，计算定积分。知识点解析：暂无解析33、求f(t)=6∫01x|x一t|dt。标准答案：当t≤0时，f(t)=6∫01x|x-t|dx=6∫01x(x一t)dx=2—3t；当0＜t≤1时，f(t)=6∫01x|x-t|dx=6∫0tx(t—x)dx+6∫t1x(x一t)dx=t3+[2x3一3x2t]t1=2—3t+2t3当t＞1时，f(t)=6∫01x|x一t|dx=6∫01x(t一x)dx=3t一2。所以f(t)=知识点解析：暂无解析34、求定积分标准答案：知识点解析：暂无解析35、设F(x)=试求：(1)F(x)的极值；(2)曲线y=F(x)拐点的横坐标；(3)∫-23x2F’(x)dx。标准答案：(1)令F’(x)==0得驻点x=0，又F"(0)=2＞0，故x=0是函数F(x)的极小值点，其极小值为F(0)=0。(2)令F"(x)=0，得0．所以曲线y=F(x)拐点的横坐标为(3)∫-23x2F’(x)dx=知识点解析：暂无解析36、设f(x)是连续函数，证明∫0x[∫0uf(t)dt]du=∫0x(x一u)f(u)du。标准答案：设F(u)=∫0af(t)dt,F(0)=0则∫0x(x一u)f(u)du=∫0u(x一u)F’(u)du=[(x一u)F(u)]0x+∫0xF(u)dx=∫0xF(u)dx=∫0x[∫0uf(t)dt]du知识点解析：暂无解析37、设f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且证明c∈(0，1)使得f’(c)=0。标准答案：由积分中值定理可知存在即存在使得f(ξ)=f(0)在[0，ξ]上用罗尔中值定理知：∈(0，1)(0，1)，使f’(c)=0。知识点解析：暂无解析38、计算∫max(1，|x|)dx。标准答案：max(1，|x|)=故原式=由于连续性知，若记C2=C，则则∫max(1，|x|)dx=知识点解析：暂无解析39、标准答案：知识点解析：暂无解析40、设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且g(x)≠0，x∈[a，b]，试证明：至少存在一个ξ∈a，6)使得∫abf(x)dx／∫abg(x)dx=。标准答案：欲证∫abf(x)dx／∫abg(x)dx=将其中的ξ变成x，令F(x)=∫axf(x)dx，G(x)=∫axg(x)dx则原欲证明结论可化为F(b)／G(b)=故可写出辅助函数W(x)=F(b)∫axg(t)dt—G(b)∫axf(t)dt因为W(a)=0W(b)=F(b)G(b)一G(b)F(b)=0故至少存在一个ξ∈(a，b)使得W’(ξ)=F(b)g(ξ)一G(b)f(ξ)即得到∫abf(x)dx／∫abg(x)dx=知识点解析：暂无解析41、求曲线y=x2—2x，y=0，x=1，x=3所围成的平面图形的面积S，并求该平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V。标准答案：(1)所求面积是可以通过两部分构成的，一个为x轴下半部分S1，一个为x轴上半部分S2，那么S1=∫12(2x一x2)dx=S2=∫23(x2—2x)dx=即得到S=S1+S2=2(2)平面图形S1绕y轴旋转一周所得旋转体体积平面图形S2绕y轴旋转一周所得旋转体体积故，所求旋转体体积为V=V1+V2=9π。知识点解析：暂无解析经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷第3套一、单项选择题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)1、设某商品的需求函数为Q=160-2P，其中Q，P分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是()A、10。B、20。C、30。D、40。标准答案：D知识点解析：由题可知：|Ep|=1，则即P=40，应选2、设函数f(x)在点x=a处可导，则函数|f(x)|在x=a点处不可导的充分条件是()。A、f(a)=0且f’(a)=0B、f(a)=0且f’(a)≠0C、f(a)＞0且f’(a)＞0D、a(a)＜0且f’(a)＜0标准答案：B知识点解析：暂无解析3、设f’(x)在[a，b]上连续，且f’(a)＞0，f’(b)＜0，则下列结论中错误的是()。A、至少存在一点x0∈(a，b)，使得f(x0)＞f(a)。B、至少存在一点x0∈(a，b)，使得f(x0)＞f(b)。C、至少存在一点x0∈(a，b)，使得f’(x0)=0。D、至少存在一点x0∈(a，b)，使得f(x0)=0。标准答案：D知识点解析：暂无解析4、设函数f(x)在区间(一δ，δ)内有定义，若当x∈(一δ，δ)时，恒有|f(x)|≤x2，则x=0必是f(x)的()。A、间断点B、连续而不可导点C、可导的点，且f’(0)=0D、可导的点，且f’(0)≠0标准答案：C知识点解析：暂无解析5、设f(x)=在x=0处可导，则()。A、a=1，b=0B、a=0，b为任意常数C、a=0，b=0D、a=1，b为任意常数标准答案：C知识点解析：暂无解析6、设f(x)=3x3+x2|x|，则使f(n)(0)存在的最高导数n为()。A、0B、1C、2D、3标准答案：C知识点解析：暂无解析7、某商品的需求量Q对阶格的弹性为η=pln3，已知该商品的最大需求量为1200，则需求量Q关于价格P的函数关系式为()。A、Q=1200×3-PB、Q=1200×3e-PC、Q=1200×e-3PD、Q=1200×3P标准答案：A知识点解析：暂无解析8、设函数f(x)在X=1的某邻域内连续，且则X=1是f(x)的()。A、不可导点B、可导点，但非驻点C、驻点，但非极值点D、驻点，且为极值点标准答案：D知识点解析：暂无解析9、若极限，则函数f(x)在x=a处()。A、不一定可导B、不一定可导，但f’+(a)=AC、不一定可导，但f’+(a)=AD、可导，且f’(a)=A标准答案：A知识点解析：暂无解析10、设f(x)在x=0的某邻域连续且f(0)=0，，则f(x)在x=0处()。A、不可导B、可导且f’(0)≠0C、有极大值D、有极小值标准答案：D知识点解析：暂无解析11、若xf"(x)+3x[f’(x)]2=1一e-x且f’(x0)=0(x0≠0)，则()。A、(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点B、f(x0)是f(x)的极小值C、f(x0)不是f(x)的极值，(x0，f(x0))也不是曲线y=f(x)的拐点D、f(x0)是f(x)的极大值标准答案：B知识点解析：暂无解析12、设f(x)=arccos(x2)则，f’(x)=()。A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：暂无解析13、函数f(x)=x3+6x2+9x，那么()。A、x=一1为f(x)的极大值点B、x=一1为f(x)的极小值点C、x=0为f(x)的极大值点D、x=0为f(x)的极小值点标准答案：B知识点解析：暂无解析14、设函数f(x)在开区间(a，b)内有f’(x)＜0，且f"(x)＜0，则y=f(x)在(a，b)内()A、单调增加，图像上凹B、单调增加，图像下凹C、单调减少，图像上凹D、单调减少，图像下凹标准答案：C知识点解析：暂无解析15、函数f(x)=Inx—In(1-x)的定义域是()。A、(一1，+∞)B、(0，+∞)C、(1，+∞)D、(0，1)标准答案：D知识点解析：暂无解析16、x=0是函数f(x)=的()。A、零点B、驻点C、极值点D、非极值点标准答案：D知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)17、设f(x)=其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是_______。标准答案：λ∈(2，+∞)知识点解析：暂无解析18、设y=f(lnx)f(x)，其中f可微，则dy=_________。标准答案：知识点解析：暂无解析19、设函数，则y(0)(0)=________。标准答案：知识点解析：暂无解析20、设函数y=f(x)由方程e2x+y-cos(xy)=e一1所确定，则曲线y=f(x)在点(0，1)处的法线方程为_______。标准答案：x一2y+2=0知识点解析：暂无解析21、标准答案：一1知识点解析：暂无解析22、标准答案：π知识点解析：暂无解析23、标准答案：(1+2t)e2t知识点解析：先求出f(t)，再求f’(t)。由于所以f’(t)=e2t+2te2t=(1+2t)e2t。24、设y=f(x)由方程y=1+xexy确定，则dy|x=0=________，y"|x=0=______。标准答案：12知识点解析：根据隐函数微分法有dy=exydx+xd(exy)=exydx+xexy(ydx+xdy)。由y(0)=1，在上述等式中令x=0，得到dy=dx。另外，由隐函数求导法则得到y’=exy+xexy(y+xy’)①两边再次关于x求导一次，得到②yn=exy(x2y"+2xy’+xy’+y)+exy(x2y’+xy+1)(xy’+y)②再次令x=0，y(0)=1，由①式得到y’(0)=1，由②式得到y"(0)=2。25、f(x)=的极大值点是x=_____，极小值点是x=________。标准答案：x=0知识点解析：暂无解析26、设某商品的需求量Q与价格P的函数关系为Q=100-5P。若商品的需求弹性的绝对值大于1，则该商品价格P的取值范围是________。标准答案：10＜P≤20。知识点解析：暂无解析三、计算题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)27、证明拉格朗日中值定理若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)。标准答案：首先将上f’(ξ)中的ξ改成是自变量x，则我们可以得到f(b)-f(a)=f’(x)(b-a)，再进一步积分可得：[f(b)-f(a)]x=f(x)(b-a)移项可得：F(x)=[f(b)-f(a)]x-f(x)(b-a)分别代入x=a，x=b可得：F(a)=[f(b)-f(a)]a-f(a)(b-a)=f(b)a-f(a)bF(b)=[f(b)-f(a)]b-f(b)(b-a)=f(b)a-f(a)b即F(a)=F(b)，即至少存在一点ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0得至f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)。知识点解析：暂无解析28、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(0＜a＜b)，证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得标准答案：由题设f(x)在[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在ξ∈(a，b)，使又f(x)，lnx在[a，b]上满足柯西中值定理的条件，故存在η∈(a，b)，使合并上两式可得知识点解析：暂无解析29、设函数f(x)二阶可导，f"(x)≥0，x∈(一∞，+∞)，函数u在区间[a，b](a＞0)上连续，证明：标准答案：令将f(x)在x=x0处展开成一阶泰勒公式：f(x)=f(x0)+f’(x0)(x一x0)+(x一x0)2由于f"(x)≥0，则f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x一x0)。令x=u(t)，则f(u(t))≥f(x0)+f’(x0)(u(t)一x0)。上式两边[0，a]在上对t积分，得∫0af[u(t)]dt≥∫0af(x0)dt+∫0af’(x0)[(u(t)一x0)]dt=af(x0)+f’(x0)[∫0a[(u(t)一x0)]dt=af(x0)知识点解析：暂无解析30、(1)求曲线C：y=x2+x在点(一1，0)上的切线。(2)求圆方程为x2+y2=4在点(2，2)的切线。标准答案：(1)y’=2x+1,则斜率k=一1则所求函数切线为：y=一1(x+1)=一x一1(2)令f(x，y)=x2+y2则所求的切线为：4(x-2)+4(y一2)=0即为：y=4-x知识点解析：暂无解析31、计算下列各题：(Ⅲ)y=exsinx,求dy。标准答案：(I)用复合函数求导法则与导数的四则运算法则可得(Ⅱ)用对数求导法．因lny=两边对x求导数得(Ⅲ)dy=d(exsinx)=exsinxd(xsinx)=exsinx[sinxdx+xd(sinx)]=exsinx(sinxdx+xcosxdx)=exsinx(sinx+xcosx)dx。知识点解析：暂无解析32、已知函数f(x)=xx+，求f’(x)。标准答案：知识点解析：暂无解析33、计算下列各题：(I)由方程xy=yx确定x=x(y)，求。(II)方程y-xey=1确定y=y(x)，求yn。(Ⅲ)设2x—tan(x一y)=∫0x-ysec2tdy(x≠y)，求。标准答案：(I)因xy=yx,ylnx=xlny，其中x=x(y)，将恒等式两边对y求导数得(Ⅱ)因y-xey=1,ey=yx,y=xlny。将恒等式两边对x求导数，得可解得。将(*)两边再对x求导数，可得(Ⅲ)因2x—tan(x—y)=∫0x-ysec2tdt=tan(x—y),x=tan(x—y)。将恒等式两边对x求导数，得将上式两端再对x求导，又得y”=2sin(x-y)cos(x-y).(1-y’)=sin2(x-y).cos2(x—y)知识点解析：暂无解析34、设函数f(x)有反函数g(x)，且f(a)=3，f’(a)=1，f"(a)=2，求g"(3)。标准答案：记y=f(x),应注意到，g(x)为f(x)的反函数，已经改变了变量记号，为了利用反函数导数公式，必须将g(x)改写为g(y)。由反函数求导公式有f’(x)g’(y)=1，将该等式两边关于x求导得f"(x)g’(y)+f’(x)g"(y)y’x=0，或f"(x)g’(y)+[f’(x)]2g”(y)=0。注意到g’(3)==1，在上式中令x=a，应有y=3，因此得到g"(3)=-f"(a)g’(3)=一2。知识点解析：暂无解析35、设f’(x)=cosx一2x，且f(0)=2，求f(x)。标准答案：∫f’(x)dx=∫(cosx一2x)dx=sinx一x2+C故f(x)=sinx-x2+C又f(0)=2，得C=2，故f(x)=sinx一x2+2知识点解析：暂无解析36、设f(x)=求a，b，C的值，使f"(0)存在。标准答案：为使f’(0)存在，需f(x)，f’(x)在x=0处连续。由f(x)的连续性，有由f’(x)在x=0处的连续性，有从而可得b=1。欲使f"(0)存在，需f"-(0)=f"+(0)。又f"-(0)=(ax2+bx+c)"|x=0=2a，知识点解析：暂无解析37、求函数f(x)=2x3+3x2一12x+1的极值。标准答案：求函数的一阶导数f’(x)=6x2+6x一12，并令其为零，可得x=1，x=一2再求函数的二阶导数f"(x)=12x+6f"(1)=18＞0，f"(-2)=-18＜0故函数在x=1处取得极小值，在x=-2处取得极大值，故f极小值=一6，f极大值=一21知识点解析：暂无解析38、求函数f(x)=(x-1)2(x+1)2的单调增减区间和极值。标准答案：f’(x)=[(x一)2(x+1)2]=4x3-4x，f"(x)=12x2-4由f’(x)＞0得到单调增区间为[一1，0]∪[1，+∞)由f’(x)＜0得到单调增区间为(一∞，一1)∪(0，1)由f’(x)=0得到驻点x=0，x=1，x=一1又f”(0)=一4＜0，f"(-1)=f"(一1)=8＞0故x=0是极大值点；x=1，x=一1是极小值点。知识点解析：暂无解析39、求函数的单调区间，极值点及其图形的凹凸区间与拐点。标准答案：函数的定义域是(一∞，1)∪(1，+∞)，且函数无奇偶性、对称性与周期性，又从而函数的一、二阶导数的零点分别是x=0与x=列表讨论函数的单调性与函数图形的凹凸性如下：由此可知，f(x)在(-∞，一1)∪(0，+∞)内单调增加，在(一1，0)内单调减少；极大值f(一1)=，极小值f(0)=2；拐点为。知识点解析：暂无解析40、设函数y=f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=。证明：存在使得f’(ξ)+f’(η)=ξ2+η2。标准答案：令F(x)=f(x)一，F(1)=F(0)=0，F’(ξ)+F’(ξ)=0→,[f’(ξ)一ξ2]+[f’(η)一η2]=0，即：f’(ξ)+f’(η)=ξ2+η2。知识点解析：暂无解析经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷第4套一、单项选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、若f(x)=x+sinx，则f(x)的一个原函数为()。A、B、C、x—cosx+5D、x-sinx+5标准答案：B知识点解析：首先对f(x)=x+sinx计算其不定积分：∫f(x)dx=∫(x+sinx)dx=-cosx+C。2、如图3-2，连续函数y=f(x)在区间[-3，一2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[一2，0]，[0，2]上的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=∫0xf(t)dt，则下列结论正确的是().A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由定积分的几何意义F(一2)=∫02f(t)dt=-∫-20f(t)dt=,可见应该选择(B)。二、计算题(本题共34题，每题1.0分，共34分。)3、试证明：当x＞0时(x2一1)lnx≥(x一1)2。标准答案：令f(x)=(x2—1)lnx-(x-1)2，则f(1)=0，又f’(x)=2xlnx—x+2-，f’(1)=0f"(x)=2lnx+1+，f”(1)=2＞0可见，当0＜x＜1时，f’"(x)＜0；当1＜x＜+∞时，f"’(x)＞0；因此，有当1＜x＜+∞时，f”(x)≥f”(1)=2＞0又由f’(1)=0及f’(x)是单调增函数推知，当0＜x＜1时，f’(x)＜0；当1＜x＜+∞时，f’(x)＞0；因此f(x)＞f(1)=0，即得证：当x＞0时(x2一1)lnx≥(x一1)2知识点解析：暂无解析4、已知f(u)可导，y=f[In(x+)]，求y’。标准答案：知识点解析：暂无解析5、设y=xlnx，求f(n)(1)。标准答案：f(n)(1)=(-1)n-2(n-2)!知识点解析：暂无解析6、已知某函数的需求函数为P=成本函数为C=50+2Q，求产量为多少时利润最大。标准答案：收益=需求×价格，故本题中的收益为而利润=收益一成本，故本题中的利润为令导可得F’(Q)=0，可得Q=20当Q＜20时，F’(Q)＞0；当Q＞20时，F’(Q)＜0，可知当Q=20时，利润最大。知识点解析：暂无解析7、设某商品的总成本函数为C(x)=200一x+需求函数为求(1)边际收入R’(x)(2)边际利润L’(x)。(3)收益对价格的弹性η。标准答案：知识点解析：暂无解析8、设函数f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在开区间(一1，1)内至少存在一点ξ，使f"’(ξ)=3。标准答案：由f(x)有三阶导数，故应该考虑泰勒公式，又注意到f’(0)=0，应在x=0处展开：当x=1时，1=f(1)=f(0)+当x=一1时，0=f(一1)=f(0)+则两式相加可得：f"’(η1)+f"’(η2)=6由f"’(x)的连续性，f"’(η1)+f"’(η2)=6在闭区间[η1，η2]上有最大值M和最小值m，则有介值定理可得：m≤[f"’(η1)+f"’(η2)]≤M故必在开区间(一1，1)内至少存在一点ξ，使f"’(ξ)=3。知识点解析：暂无解析9、设，求f(x)并讨论f(x)的连续性与可导性。标准答案：仅当a=2，b=一1时，f(x)在(一∞，+∞)上可导。知识点解析：暂无解析10、设a＞0，试确定方程e2x=ax2实根的个数及每个根所在的区间。标准答案：当0＜a＜e2时，有且只有一个负根。当a=e2时，恰有两根x1＜0和x2=1当a＞e2时，恰有三个根x1＜0，0＜x2＜1，x3＞1知识点解析：暂无解析11、求不定积分标准答案：对于这一类的积分应该首先进行因式分解，由于本题比较复杂，不能轻易看出如何分解，故此类型的题目我们可以采用待定系数法来锁定因式分解的系数。令左右同次幂项的系数相等，则可得出A=2，B=1，C=0因此知识点解析：暂无解析12、试利用凑微分法解下面各题标准答案：知识点解析：暂无解析13、设标准答案：因为0≤x＜1，于是可令x=sin2t，且故知识点解析：暂无解析14、求不定积分标准答案：知识点解析：暂无解析15、求下列不定积分(1)∫aretanxdx(2)∫(x2+1)sinxdx(3)(4)∫xexdx标准答案：(2)∫(x2+1)sinxdx=一∫(x2+1)dcosx=一(x2+1)cosx+∫2xcosxdx=一(1+x2)cosx+∫2xdsinx一(1+x2)cosx+2xsinx一∫sinxd2x=一(1+x2)cosx+2xsinx一2∫sinxdx=一(1+x2)cosx+2xsinπ+2cosx(4)∫xexdx=∫xdex=xex—∫exdx=(x一1)ex+C知识点解析：暂无解析16、分别求下列不定积分标准答案：比较两端分子中相同次幂的系数，即可得：解出：A=一1，B=5，C=23。知识点解析：暂无解析17、分别求下列不定积分标准答案：(1)(2)知识点解析：暂无解析18、分别求下列不定积分标准答案：(1)应该选择取次数的最小公倍数，即应令t=x6，(2)因此可以利用公式“1+tan2t=sec2t”来去掉根号，即设x+1-tant知识点解析：暂无解析19、设f(x)=求∫f(x)dx。标准答案：当x＜0时，∫f(x)dx=x+C1，当0≤x≤1时，∫f(x)fx=∫(x+1)dx=+x+C2，当x＞1时，∫f(x)dx=∫2xdx=x2+C3。根据原函数的连续性，则在点x=0，x=1处均连续。C1=C2即有：+1+C2=1+C3解得：C1=C2=C3一从而∫f(x)dx=知识点解析：暂无解析20、求不定积分f(x)=标准答案：令x=cost，t∈(0，π)，则知识点解析：暂无解析21、比较的大小。标准答案：令x=u+π知识点解析：暂无解析22、求定积分(x2arctanx+cos8x+sin7x)dx标准答案：知识点解析：暂无解析23、分别求下列定积分标准答案：知识点解析：暂无解析24、求下列定积分标准答案：知识点解析：暂无解析25、试用分部积分法来求下列定积分(1)∫12(x2+1)exdx(2)标准答案：(1)∫12(x2+1)exdx=∫12(x2+1)dex=(x2+1)ex|12一∫12ex(2x)dx=(4+1)e2-2e-2∫12xdex=5e2-2e一2xex|12+2∫12exdx=5e2一2e一4e2+2e+2ex|12=3e2一2e(2)知识点解析：暂无解析26、设求∫-11f(x)dx。标准答案：知识点解析：暂无解析27、求定积分∫0tt|t一x|dt．标准答案：当x＜0时，∫01t|t一x|dt=∫01(t一x)dt=当0≤x≤1时，∫01t|t-x|dt=∫0xt(x-t)dt+∫x1t(t-x)dt=当x＞1时，∫01t|t-x|dt=∫01(x一t)dt=综上所述，∫01t|t-x|=知识点解析：暂无解析28、设f(x)=，求积分∫01(x一1)2f(x)dx。标准答案：知识点解析：暂无解析29、设F(x)=lnf(x)，且F’(1)=1，F’(0)=0，求标准答案：知识点解析：暂无解析30、设f(x)在区间[0，1]上连续，证明：∫01f(x)dx∫x1f(y)dy=标准答案：∫01f(x)dx∫x1f(y)dy=∫01(f(x)∫x1f(y))dy)x经观察发现[∫x1f(y)dy]’=一f(x)，则可设F(x)=∫x1f(y)dy∫01f(x)dx∫x1f(y)dy=一∫01dF(x)==知识点解析：暂无解析31、设f’(x)连续，F(x)=∫0xf(t)f’(2a—t)dt，证明F(2a)一2F(a)=f2(a)一f(0)f(2a)标准答案：左边：F(2a)一2F(a)=∫02af(t)f’(2a—t)dt一2∫0af(t)f’(2a一t)dt=∫a2af(t)f’(2a-t)f’(2a一t)dt—∫0af(t)f’(2a一t)dt对于上式结果前半部分有：∫a2af(t)f’(2a一t)dt=一∫a2af(t)df(2a一t)=一[f(t)f(2a—t)]|a2a+∫a2af(2a一t)f’(t)dt=f2(a)一f(0)f(2a)+∫a2af(2a一t)f’(t)dt令u=2a一t，则有∫a2af(2a一t)f’(t)dt=一∫a0f(u)f’(2a一u)du=∫0af(u)f’(2a一u)du则左边=F(2a)一2F(a)=f2(a)一f(0)f(2a)+∫a2af(2a一t)f’(t)dt—∫0af(t)f’(2a一t)dt=f2(a)一f(0)f(2a)+∫0af(u)f’(2a—u)du—∫0af(t)f’(2a—t)dt=f2(a)-f(0)f(2a)即：F(2a)一2F(a)=f2(a)-f(0)f(2a)知识点解析：暂无解析32、设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且g(x)≠0，x∈[a，b]，试证：至少存在一个ξ∈(a，b)，使得标准答案：首先将证明的等式中的ξ换成x。则→g(x)∫abf(x)dx一f(x)∫abg(x)dx=0→F’(x)=g(x)∫abf(x)dx一f(x)∫abg(x)dx→F(x)=∫axg(x)dx∫abf(x)dx一∫axf(x)dx∫abg(x)dx由于F(a)=F(b)=0故必存在一点至少存在一个ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0知识点解析：暂无解析33、设f(x)在[a，b]上具有连续的二阶导数，试证明：在(a，b)内存在一点ξ，使得标准答案：将函数F(x)=∫axf(t)dt在点处展开为二阶泰勒公式，则有：由于f(x)在[a，b]上具有连续的二阶导数，则必存在一点ξ∈(η1，η2)(a，b)使得：知识点解析：暂无解析34、设f(x)在[0，1]上具有连续导数，证明：当x∈[0，1]，有|f(x)|≤∫01(|f(t)|+|f’(t)|)dt标准答案：由中值定理可知：∫01|f(t)|dt=|f(ξ)|，0≤ξ≤1f(x)一f(ξ)=∫ξxf’(t)dt则：f(x)=f(ξ)+∫ξxf’(t)dt则：|f(x)|≤|f(ξ)|+|∫ξxf(t)dt|≤|f(ξ)|+∫ξx|f’(t)|dt≤|f(ξ)|+∫01|f(t)|dt即：|f(x)|≤∫01[|f(t)|+|f’(t)|]dt知识点解析：暂无解析35、设f(x)在[0，2]上有二阶连续导数，且f(1)=0，记，证明：标准答案：将f(x)在x=1处展开为一阶泰勒公式，则f(x)=f(1)+f’(1)(x一1)+f"(ξ)(x一1)2则∫02f(x)dx=f’(1)∫02(x一1)dx+∫02f"(ξ)(x一1)2dx=f"(ξ)(x-1)2dx知识点解析：暂无解析36、试计算下列反常积分的值标准答案：知识点解析：暂无解析经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷第5套一、单项选择题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)1、设f(x)=，则=________A、0B、+∞C、-∞D、不存在，但也不是∞标准答案：D知识点解析：因为，故应分左右极限来讨论。由于当x←∞时，对含有a’(a＞0，a≠1)或aretanx或crccotx的函数极限，一定要对x→+∞与x→一∞分别求极限，若两者相等，则x→时极限存在，否则不存在。2、设f(x)=x-sinxcosxcos2x，g(x)=则当x→0时f(x)是g(x)的A、高阶无穷小。B、低价无穷小。C、同阶非等价无穷小。D、等价无穷小。标准答案：C知识点解析：由等价无穷小因子替换及洛必达法则可得因此选(C).3、A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：暂无解析4、在函数中当x→0时极限不存在的是A、①B、②C、③D、①②③③④标准答案：D知识点解析：暂无解析5、f(x)=xsinxA、在(一∞，+∞)内有界B、当x→∞时为无穷大C、在(一∞，+∞)内无界D、当x→∞时有极限标准答案：C知识点解析：暂无解析6、设f(x)在x=a连续，φ(x)在x=a间断，又f(a)≠0，则()A、φ[f(x)]在x=a处间断B、f[φ(x)]在x=a处间断C、[φ(x)]2在x=a处间断D、在x=a处间断标准答案：D知识点解析：暂无解析7、“f(x)在点a连续”是f(x)|在点a处连续的()条件。A、必要非充分B、充分非必要C、充分必要D、既非充分又非必要标准答案：B知识点解析：暂无解析8、若当x→∞时，则a，b，c的值一定为A、a=0，b=1，c为任意常数B、a=0，b=1，c=1C、a≠0，b，c为任煎常数D、a=1，b=1，c=0标准答案：C知识点解析：暂无解析9、设f(x)=则下列结论错误的是A、x=1，x=0，x=一1为间断点B、x=0为可去间断点C、x=一1为可去间断点D、x=0为跳跃间断点标准答案：B知识点解析：暂无解析10、把当x→0+时的无穷小量α=tanx一x，β=∫0x(1一)dt，γ=一1排列起来，使排在最后的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是A、α，β，γB、γ，β，αC、β，α，γD、γ，α，β标准答案：C知识点解析：暂无解析11、在无穷大量是A、①②B、③④C、②④D、②标准答案：D知识点解析：暂无解析12、极限=()A、1B、0C、一1D、不存在标准答案：A知识点解析：暂无解析13、设函数f(x)=其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处有()A、极限不存在B、极限存在但不连续C、连续但不可导D、可导但不可微E、可微标准答案：E知识点解析：即函数的导数存在，而在一元函数中，可导即意味着可微。所以本题应该选择E二、填空题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)14、设K，L，δ为正常数，则=________标准答案：KδL1-δ知识点解析：暂无解析15、设f(x)=在x=0连续，则常数a与b满足的关系是_____