微分方程12-2_可分离变量的微分方程

1、第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分一、可分离变量的微分 方程的求解方程的求解二、小结二、小结 习题习题一、可分离变量的微分方程的求解一、可分离变量的微分方程的求解dxxfdyyg)()( 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程. .5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 解法解法设设函函数数)(yg和和)(xf是是连连续续的的, dxxfdyyg)()(设设函函数数)(yG和和)(xF是是依依次次为为)(yg和和)(xf的的原原函函数数,CxFyG )()(为微分方程的解为微分方程的解.分离变量法分离变量法1 分离变量法分离变量法例例1

2、1 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分离变量分离变量,2xdxydy 两端积分两端积分,2 xdxydy12lnCxy .2为所求通解为所求通解xCey 2 2 典型例题典型例题 .0)()(通解通解求方程求方程 xdyxygydxxyf,xyu 令令,ydxxdydu 则则, 0)()( xydxduxugydxuf, 0)()()( duugdxxuuguf, 0)()()( duugufuugxdx.)()()(|lnCduugufuugx 通解为通解为解解例例2 2例例 3 3 衰衰变变问问题题:衰衰变变速速度度与与未未衰衰变变原原子子含含量量M成成正正比比,

3、已已知知00MMt ,求求衰衰变变过过程程中中铀铀含含量量)(tM随随时时间间 t变变化化的的规规律律. 解解,dtdM衰变速度衰变速度由题设条件由题设条件)0(衰变系数衰变系数 MdtdMdtMdM , dtMdM00MMt 代代入入,lnlnCtM ,tCeM 即即00CeM 得得,C teMM 0衰变规律衰变规律例例 4 有高为有高为1米的半球形容器米的半球形容器, 水从它的底部小孔流水从它的底部小孔流出出, 小孔横截面积为小孔横截面积为1平方厘米平方厘米(如图如图). 开始时容器内开始时容器内盛满了水盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h

4、(水面与孔口中心间的距离水面与孔口中心间的距离)随时间随时间t的变化规律的变化规律.解解 由力学知识得由力学知识得,水从孔口流水从孔口流出的流量为出的流量为,262. 0ghSdtdVQ 流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积重力加速度重力加速度cm100horhdhh )1(,262. 0dtghdV 设在微小的时间间隔设在微小的时间间隔,dttt 水面的高度由水面的高度由h降至降至 ,dhh ,2dhrdV 则则,200)100(100222hhhr )2(,)200(2dhhhdV 比较比较(1)和和(2)得得,262. 0)200(2dtghdhhh 1 S,2cm可分离变量可分离变

5、量即为未知函数的微分方程即为未知函数的微分方程.,)200(262. 03dhhhgdt ,)523400(262. 053Chhgt ,100|0 th,101514262. 05 gC ).310107(265. 45335hhgt 所求规律为所求规律为解解例例5 5 某车间体积为某车间体积为12000立方米立方米, 开始时空气中开始时空气中含有含有 的的 , 为了降低车间内空气中为了降低车间内空气中 的含量的含量, 用一台风量为每秒用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机立方米的鼓风机通入含通入含 的的 的新鲜空气的新鲜空气, 同时以同样的同时以同样的风量将混合均匀的空气排出风量将混合均匀

6、的空气排出, 问鼓风机开动问鼓风机开动6分分钟后钟后, 车间内车间内 的百分比降低到多少的百分比降低到多少?2CO%1 . 02CO2CO2CO%03. 0设鼓风机开动后设鼓风机开动后 时刻时刻 的含量为的含量为2CO)%(txt,dttt 在在 内内,2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量,03. 02000 dt),(2000txdt 2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量2CO的改变量的改变量 03. 0200012000 dtdx),(2000txdt ),03. 0(61 xdtdx,03. 061tCex , 1 . 0|0 tx,07. 0 C,07. 003. 06

7、1tex ,056. 007. 003. 0|16 ext6分钟后分钟后, 车间内车间内 的百分比降低到的百分比降低到%.056. 02CO分离变量法步骤分离变量法步骤1 分离变量分离变量;2 两端积分两端积分-隐式通解隐式通解.二、小结二、小结 习题习题习题习题12-212-2:1 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解);()1(2yyayxy 0)1()2(32 xdxdyy:2给初始条件的特解给初始条件的特解求下列微分方程满足所求下列微分方程满足所;,lnsin)1(2eyyyxyx 4, 0sin)1(cos)2(0 xxyydyeydx解答解答解答解答解答解答解答解答.,5 .

8、0,60,10,32规规律律及及流流完完所所需需的的时时间间求求水水面面高高度度变变化化的的的的孔孔漏漏斗斗下下面面有有面面积积为为顶顶角角为为高高为为漏漏斗斗有有一一盛盛满满了了水水的的圆圆锥锥形形cmcm?,/4,/50,10,)(142多少多少过了一分钟后的速度是过了一分钟后的速度是问从运动开始经问从运动开始经外力为外力为速度等于速度等于时时比在比在和质点的运动速度成反和质点的运动速度成反和时间成正比和时间成正比这外力这外力线运动线运动的质点受外力作用做直的质点受外力作用做直克克质量为质量为scmgscmstg 解答解答解答解答习题解答习题解答:1 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通

9、解);()1(2yyayxy 解解,2ayyayxy ,)1(2ayyax ,分离变量分离变量,12dxxaaydy 得得,两边积分两边积分.1ln1Cxaay 得得返回习题返回习题习题解答习题解答:1 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解0)1()2(32 xdxdyy解解, 0)1(32 dxxdyy,两边积分两边积分.41)1(3143Cxy 得得返回习题返回习题习题解答习题解答:2给初始条件的特解给初始条件的特解求下列微分方程满足所求下列微分方程满足所;,lnsin)1(2eyyyxyx 解解分离变量，分离变量，,sinlnxdxyydy 得得两边积分，两边积分，),cot(csc

10、lnln)cotln(csclnlnxxCyCxxy 或或得得,2eyx 再由再由, 1 C得得.cotcsclnxxy 故所求解是故所求解是返回习题返回习题习题解答习题解答:2给初始条件的特解给初始条件的特解求下列微分方程满足所求下列微分方程满足所4, 0sin)1(cos)2(0 xxyydyeydx解解,分离变量分离变量, 01cossin xedxdyyy得得两边积分，两边积分，,cos1ln)1ln(coslnyCeCeyxx 或或得得,40 xy再由再由, 22 C得得.cos221yex 即即返回习题返回习题习题解答习题解答解解可用下面的公式计算可用下面的公式计算流量流量流出的流

11、出的由水力学知，水从孔口由水力学知，水从孔口QdtdvQ .262. 0ghS .力加速度力加速度为重为重为孔口横截面积，为孔口横截面积，其中其中gS时，水的体积为时，水的体积为当水面高度为当水面高度为h,93hV .,5 . 0,60,10,32规规律律及及流流完完所所需需的的时时间间求求水水面面高高度度变变化化的的的的孔孔漏漏斗斗下下面面有有面面积积为为顶顶角角为为高高为为漏漏斗斗有有一一盛盛满满了了水水的的圆圆锥锥形形cmcm习题解答习题解答的定解问题是的定解问题是于是关于于是关于h)1(10231. 0302 thghdtdhh ,)1( 是变量可分离的方程是变量可分离的方程方程方程,

12、2331. 023dtgdhh ,两边积分两边积分.293. 05225Ctgh 得得,100 th由由,105225 C得得.1052293. 0522525 tgh 故故)293. 0(105225gt 则则).(10 秒秒 , 0 h令令返回习题返回习题习题解答习题解答?,/4,/50,10,)(142多少多少过了一分钟后的速度是过了一分钟后的速度是问从运动开始经问从运动开始经外力为外力为速度等于速度等于时时比在比在和质点的运动速度成反和质点的运动速度成反和时间成正比和时间成正比这外力这外力线运动线运动的质点受外力作用做直的质点受外力作用做直克克质量为质量为scmgscmstg 解解),(tvt时刻的速度是时刻的速度是设质点在设质点在.vtkft 时刻受到的外力是时刻受到的外力是则质点在则质点在,50,10时时因因 vt, 4 ftfvk 故故10504 .2