广东省2024年中考数学试卷【附真题答案】

广东省2024年中考数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．计算的结果是（）A．-2 B．-8 C．2 D．82．下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接.数据384000用科学记数法表示为（）A． B． C． D．4．如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为（）A． B． C． D．5．下列计算正确的是（）A． B．C． D．6．长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化.若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（）A． B． C． D．7．完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（）A．2 B．5 C．10 D．208．若点都在二次函数的图象上，则（）A． B．C． D．9．方程的解是（）A． B． C． D．10．已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（）A． B．C． D．二、填空题:本大题共5小题，每小题3分，共15分.11．数据5，2，5，4，3的众数是.12．关于的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是.13．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则.14．计算：.15．如图，菱形ABCD的面积为24，点是AB的中点，点是BC上的动点.若的面积为4，则图中阴影部分的面积为.三、解答题(一):本大题共3小题,每小题7分,共21分.16．计算：.17．如图，在中，.（1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线AD交BC于点；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）应用与证明：在（1）的条件下，以点为圆心，DC长为半径作.求证：AB与相切.18．中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位.经测量，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定.根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1m，参考数据)（1）求PQ的长；（2）该充电站有20个停车位，求PN的长.四、解答题（二）:本大题共3小题，每小题9分,共27分.19．端午假期，王先生计划与家人一同前往景区游玩.为了选择一个最合适的景区，王先生对A、B、C三个景区进行了调查与评估.他依据特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面，为每个景区评分（10分制）.三个景区的得分如下表所示：景区特色美食自然风光乡村民宿科普基地A6879B7787C8866（1）若四项所占百分比如图所示，通过计算回答：王先生会选择哪个景区去游玩?（2）如果王先生认为四项同等重要，通过计算回答：王先生将会选择哪个景区去游玩?（3）如果你是王先生，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的百分比，选择最合适的景区，并说明理由.20．广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外.若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨.市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大?并求出其最大值.（题中“元”为人民币）21．综合与实践【主题】滤纸与漏斗【素材】如1图所示：①一张直径为10cm的圆形滤纸；②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗.【实践操作】步骤1：取一张滤纸：步骤2：按如2图所示步骤折叠好滤纸；步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如1图所示漏斗中.【实践探索】（1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)?用你所学的数学知识说明.（2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.（结果保留)五、解答题（三）:本大题共2小题,第22题13分,第23题14分,共27分.22．【知识技能】（1）如1图，在中，DE是的中位线.连接CD，将绕点按逆时针方向旋转，得到.当点的对应点与点重合时，求证：.（2）【数学理解】如2图，在中是的中位线.连接CD，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线DF.求证：.（3）【拓展探索】如3图，在中，，点在AB上，.过点作，垂足为.在四边形ADEC内是否存在点，使得?若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.23．【问题背景】如1图，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段BD为对角线作矩形轴.反比例函数的图象经过点.【构建联系】（1）求证：函数的图象必经过点.（2）如2图，把矩形ABCD沿BD折叠，点的对应点为.当点落在轴上，且点的坐标为时，求的值.（3）【深入探究】如3图，把矩形ABCD沿BD折叠，点的对应点为.当点E，A重合时，连接AC交BD于点.以点为圆心，AC长为半径作.若，当与的边有交点时，求的取值范围.

答案1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】D6．【答案】A7．【答案】B8．【答案】A9．【答案】D10．【答案】B11．【答案】512．【答案】x≥313．【答案】114．【答案】115．【答案】1016．【答案】解：

=

=2.17．【答案】（1）解：如图所示，AD为所求.

（2）证明：如图所示，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，

∵AD平分∠CAD，∠ACB=∠AED=90°，

∴DE=CD=r，

∴E点在上，且DE⊥AB，

即AB与相切​​​​​​​.18．【答案】（1）解：∵四边形PQMN和四边形ABCD均为矩形，

∴∠P=∠Q=∠BAD=∠ABC=90°，AD=BC，

又∵∠ABQ=60°，∠BAQ+∠DAP=90°，

∴∠BAQ=180°-∠Q-∠ABQ=30°，

∴∠DAP=60°，∠ADP=30°，

同理∠CBE=30°，

在Rt△BCE和Rt△DAP和Rt△BAQ中，

tan∠CBE=，

∴AD=BC=，

∴AP=，

同理sin∠ABQ=，

∴AQ=，

∴PQ=AP+AQ=+=.

∴PQ的长约为6.1m.（2）解：由（1）可知，

∠BAQ=∠CBE=30°，AB=5.4，CE=1.6，

在Rt△AQB和Rt△BCE中，

有，，

依题意，若充电站有20个停车位，

故BM=20×BE=20×3.2=64，

∴PN=QM=QB+BM=2.7+64=66.7.

∴PN的长为66.7cm.19．【答案】（1）解：A景区得分=（分）

B景区得分=（分）

C景区得分=（分）

答：B景区综合得分较高，故王先生会选择B景区去游玩（2）解：A景区得分=（分）

B景区得分=（分）

C景区得分=（分）

答：此时A景区得分较高，故王先生会选择A景区去游玩（3）解：“我”认为特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面分占比分别是30%，30%，20%，20%，

表示更加注重自然风光和特色美食.

A景区得分=（分）

B景区得分=（分）

C景区得分=（分）

答：按个人设计百分比应选择A景区游玩.20．【答案】解：设每吨降价x万元，则此时售价为(5-x)万元，销售量为：(100+50x)，记每天的“利润”为W，

则W=(5-x-2)(100+50x)=-50x2+50x+300，

∵，-50＜0，

∴当且仅当x=0.5时，W最大，，

此时果商定价为5-0.5=4.5(万元/吨)

答：定价为4.5万元/吨时，其每天的“利润”或“销售收入”最大，最大值为312.5万元.21．【答案】（1）解：漏斗形成的圆锥形展开侧面图为扇形，

其圆心角度数==180°，

滤纸折叠后圆心角度数为360°÷2=180°，

此时，滤纸所对展开图圆心角与漏斗展开图圆心角相等，故滤纸能紧贴此漏斗内壁.（2）解：∵滤纸折叠后所对圆心角为180°，此时形成的底面圆形周长为：

，

即圆锥底面半径r=，

又∵滤纸母线长为5cm，

此时由勾股定理得，圆锥高h=，

∴圆锥体积.

答：滤纸围成的圆锥形体积为.22．【答案】（1）证明：∵是由绕点按逆时针方向旋转得到，

其中，点E的对应点E'与点A重合，

∴DE=DE'

∴∠BAC=∠AED，

又∵DE是的中位线，

∴DE∥BC，

∴∠AED=∠ACB，

∴∠BAC=∠ACB，

∴AB=BC.（2）解：如图，连接AA'，

∵由旋转可知，

∠ADA'=∠CDC'，AD=A'D，DC=DC'，

∴∠DAA'=∠DA'A，∠DCC'=∠DC'C，

又∵∠DAA'+∠DA'A+∠ADA'=180°，∠DCC'+∠DC'C+∠CDC'=180°，

∴∠DCC'=∠DAA'，

∴△CDC'∽△ADA'，

∴，即，

又∵DF是的中线，即F是A'B中点，DE是△ABC的中位线，

∴AD=BD，A'F=BF，

∴DF是△ABA'的中位线，

即，

∴，即.（3）解：存在，理由如下，

如图，分别以AD和CE为直径作圆，连接两圆心，过点作，垂足为点F，

∵，BE=3，

∴DE=4，

在Rt△BED中，，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

同理，解得，

∴，

在Rt△中，

，

其中，，故，即，

又∵<3，

，

∴，

∴两圆相交，即两圆存在交点G，

此时∠CGE=∠AGD=90°，满足.23．【答案】（1）证明：设点B(t，at)，D(s，as)，

∵四边形ABCD是矩形，且AD∥x轴，

∴点A(t，as)，C(s，at)，

∵反比例函数经过点A(t，as)，代入反比例函数中，

∴，

此时，若x=s，则y=，

故反比例函数经过点C.C（2）解：如图，连接CE，延长CB和DA交y轴与点F和点G，

∵B(1，2)，代入直线，

∴2=a，即直线，

设点D(2m，4m)，

此时点C(2m，2)，A(1，4m)，

即BC=2m-1，CD=4m-2，BF=1，

∵四边形ABCD是矩形，△DEB是△DCB折叠所得，

∴∠DEB=∠DCB=90°，CE⊥BD，

∴∠BDC+∠CBD=∠BCE+∠DCE=90°，

∴∠CDB=∠FCE，

在Rt△CFE和Rt△DCB中，

tan∠BDC=tan∠ECF，

∴，即，

∴EF=m，

同理，∠BEF+∠EBF=∠DEG+∠EDG=90°，

在Rt△BFE和Rt△DGE中，

tan∠BEF=tan∠EDG，

∴，即，

∴GE=2，

∴OG=OF+EF+GE=2+m+2=4m，

解得m=，

∴2m=，即点C(，2)，代入反比例函数，

∴k=.（3）解：如图，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，交BC于点N，

∵矩形ABCD沿BD折叠，点E，A重合时，

此时AB=AC，故四边形ABCD是正方形，

∴BD平分∠ABC，即∠BOM=45°，

∴OM=PM，

在等腰Rt△OMP中，

∵，

∴由勾股定理得OM=PM=3，即点P(3，3)

设点B(a，a)，则C(6-a，a)，D(6-a，6-a)，A(a，-a+6)，

易得直线AC的解析式为y=-x+6，此时k=a(-a+6)=，

∴当0<a<3时，k随a增大而增大，当a>3时，y随x