初二数学二次根式提高题与常考题和培优题(含解析)-

1、二次根式提高题与常考题型压轴题含解析一选择题共13小题1 二次根式二二中x的取值范围是xA. x>3 B. x< 3 且 xm OC. x< 3D. xv3 且 xm02计算：低-/j,正确的选项是A. 4 B.卜：C. 2 D. . :3. 如图，在长方形 ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方 形纸片，那么图中空白局部的面积为cm2.A. 16-8 ；B.- 12+8C. 8- 4 ： D. 4- 2 ：4. 假设1vxv2,那么Ik-31+Tm)7的值为A. 2x- 4 B.- 2 C. 4- 2xD. 25. 以下计算正确的选项是A.辰=2辰B

2、.涓誓C.=用D心=x6. 以下各式变形中，正确的选项是A. x2?x3=x6 B. J=| x|C.x2-丄* x=x- 1 D. x2 - x+1=x-£2+-j-x247. 以下二次根式中，与是同类二次根式的是A. 口 B.：= C. D.11- -；8. 化简佰栖-呵的结果为A. 0 B. 2 C. - 2 ' D. 29. ，ab>0,化简二次根式a 亠的正确结果是A.起 B. f C. - hD .- -卜10设a为住可1-得萌的小数局部，b为6+3/1 -#6-3的小数局部那 么丄的值为A. .:+.2- 1B.-. 2+1C.匸二1 D. 一+二+111

3、把，J丄中根号外面的因式移到根号内的结果是A.1 B.pC.1 D.-IA.B.C. aD.a> I2b=_ I ，那么a与b的关系是12. 如果十-, =2a- 1,那么13. : a 1 & , b=,2/35 2+VsA. ab=1 B. a+b=0 C. a - b=0 D. a2=b2二.填空题共17小题14. 如果代数式丄一有意义，那么x的取值范围为Vx+215. 在数轴上表示实数a的点如下列图，化简_: +|a- 2|的结果为第1个等式:第2个等式:第3个等式:第4个等式:Q2丛5*16.计算:J3V 217.观察以下等式:按上述规律，答复以下问题:1请写出第n个等

4、式：an= ；2a1+a2+a3+-+an= .18 .计算2吾-顷的结果是.19.计算金+仝匕-亡的结果等于20 化简：材宀2 °< a< 1=-21 如果最简二次根式 辰咼与'且T-2&可以合并，那么使 血么有意义的x的 取值范围是_22. a, b是正整数，且满足 臥抨+抨是整数，那么这样的有序数对a, b共有对.23. 对正实数a, b作定义a*b= . |. - a,假设2*x=6，那么x=.24. x+y=i一I -，x-y=:丨丨 ，- 那么 x4-y4=.25. 屈芦调五-闪乔x，y为有理数，那么x-y=.26. 是正整数，那么实数n的最大

5、值为.27. 三角形的三边长分别为3、m、5,化简皿餐-広乔 =.28 假设实数m满足 n | ' =m+1，且0v m v二 那么m的值为.29 .计算以下各式的值：丁右；二工；m观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得jgg2+ig gg =.V sofe-bs 20T6T930 .观察以下各式： T=11+3X 1+1 , 兀防：.匚：=22+3 X 2+1,MH3X4xfx6=32+3X 3+1,猜想：昉+亦讥 X 加迈X加刊X=.三.解答题共10小题2 1 - H 1+ !- + 1+ !. 2 .,v 3.-4s.+4 v 2a4-l 占右居32 .假设1 v av

6、 2,求+= 的值.33 . x, y都是有理数，并且满足汨逅y=l卜4应，求娱弓I的值.34 .先化简，再求值：伽<T，其中x32 -需-冗-3035. 1| 2021 x|+：- =x,求 x 20212 的值；2a>0, b> 0且临厲師=班 换+换.求2廿北+密 的值. a-b+Vab36.观察以下各式及其验证过程:1按照上述两个等式及其验证过程的根本思路， 猜想的变形结果并进行验证；2针对上述各式反响的规律，写出用 nn为任意自然数，且n?2表示的等式，并说明它成立.37.131a-Sa+l先化简，再求值：宁，其中 a= '：+1.al38.求不等式组二二八

7、I x-F5>3(x + l)-JB的整数解.39.阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务.古希腊的几何学家海伦在他的？度量？一书中给出了利用三角形的三边求三角形 面积的海伦公式：如果一个三角形的三边长分别为a b、c,设，那么三角形的面积S=L二1一 -.我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公 式'三斜求积术：如果一个三角形的三边长分别为 a、b、c,那么三角形的 2 2 2面积S咅眾廿 +； -匚沪.1假设一个三角形的三边长分别是 5, 6, 7,那么这个三角形的面积等于 2假设一个三角形的三边长分别是 屁岳肩，求这个三角形的面积.40.:

8、y=用3+/匸§+£,求胆+2-J斗匚£的值.2 Vy 工 Vy X二次根式提高题与常考题型压轴题含解析参考答案与试题解析一选择题共13小题1. 2021春？启东市月考二次根式中x的取值范围是KA. x>3B. x< 3 且 xm OC. x< 3D. xv3 且 xm0【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出3 -x> 0且xm 0,求出即可.【解答】解：要使二1有意义，必须3 -x>0且xm 0,1解得：x< 3且xm 0,应选B.【点评】此题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件等知识点，能根据题意得出

9、3 -x>0且xm 0是解此题的关键.2. :2021春?萧山区校级月考计算：低-H,正确的选项是A. 4 B.门 C. 2 D.也【分析】直接化简二次根式进而合并求出答案.【解答】解：.：-】>2- * =.应选：D.【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键.3. 2021春?嵊州市月考如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2 和12cm2的两张正方形纸片，那么图中空白局部的面积为cm2.A. 16 -8；B.- 12+8；C. 8- 4； D. 4- 2 -【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC,再根据空白局部

10、的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解.【解答】解：两张正方形纸片的面积分别为 16cm2和12cm2,它们的边长分别为：=4cm,.：=2 ：cm, AB=4cm, BC=2 三+4cm,空白局部的面积=2 j+4X 4 - 12 - 16,=8 -；+16- 12- 16,=12+8:cm2.应选B.【点评】此题考查了二次根式的应用，算术平方根的定义，解题的关键在于根据 正方形的面积求出两个正方形的边长.4. :2021?呼伦贝尔假设1vxv2,那么，；.1 的值为A. 2x- 4 B.- 2 C. 4- 2x D. 2【分析】1vxv2，可判断x- 3v0, X- 1

11、 >0,根据绝对值，二次根式的性质解 答.【解答】解： 1vxv 2,- x- 3v 0, x 1 >0,原式=| x- 3|+ J2=|x- 3|+| x- 1|=3 - x+x - 1=2.应选D.【点评】解答此题，要弄清以下问题：1、 定义：一般地，形如-a>0的代数式叫做二次根式.当 a>0时，丄表 示a的算术平方根；当a=0时，=0；当a小于0时，非二次根式假设根号 下为负数，那么无实数根.2、性质：.'=| a| .5. 2021?南充以下计算正确的选项是A.二=2 二B.C.=x D.=x【分析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案.【解答】解：

12、A、丄空=2':，正确;B、誓，故此选项错误；C、匸頁=-x护二，故此选项错误;D、=| x|，故此选项错误;应选：A.【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键.6. 2021?杭州以下各式变形中，正确的选项是A、x2?x3=X6 B. J，=| x|C.x2-丄* x=x- 1 D. x2- x+仁x- 2+V【分析】直接利用二次根式的性质以及同底数幕的乘法运算法那么和分式的混合 运算法那么分别化简求出答案.【解答】解：A、x2?x3=x5，故此选项错误；B、=| x|，正确；C、x2-丄* x=x-寺，故此选项错误；D、x2 - x+仁X-二2+

13、9;，故此选项错误；应选：B.【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及同底数幕的乘法运算和分式的混合 运算等知识，正确掌握相关运算法那么是解题关键.7. 2021?巴中以下二次根式中，与士是同类二次根式的是A.四B.占C阿D.亦【分析】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案.【解答】解：A、 | ;=3 与不是同类二次根式，故此选项错误；B、 = _，与二是同类二次根式，故此选项正确；C、i=2订与 二不是同类二次根式，故此选项错误；D、血1=卡壬峙爭，与不是同类二次根式，故此选项错误；应选：B.【点评】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键.8. 2021?营口化

14、简.:咱勺结果为A. 0B. 2 C. - 2 ； D. 2 :;【分析】根据根式的开方，可化简二次根式，根据二次根式的加减，可得答案.【解答】解：何林-12=3禺血 -3=3，应选：D.【点评】此题考查了二次根式的加减，先化简，再加减运算.9. 2021?安徽校级自主招生，ab>0,化简二次根式a ，的正确结果是A.B.C.-D.- V_b【分析】直接利用二次根式的性质进而化简得出答案.【解答】解：ab>0,应选：D.【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用二次根式的性质是解题关键.10. 2021?邯郸校级自主招生设a为.十的小数局部，b为.+；二 -km泛的小数局

15、部.那么一-的值为A. y f+ '二-1 B. r.-二+1 C. 丫诃1 D.田 + 乙+1【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出 a、b对应的小数局部, 然后代、化简、运算、求值，即可解决问题.【解答】解：亦-一血廉怡-師 a的小数局部=:- 1;寸 6+3/5 _ 6-3圧12+6,12-6 V323+V3 3n/3 b的小数局部_ !'- 2,即 1_ 1b a 册2 V21_2低+2近+1貢 2-T=用+2/ T_后呻+1.应选B.【点评】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法那么来分析、判断、解答.11. 2021?

16、柘城县校级一模把-：:中根号外面的因式移到根号内的结果是 A.丄 B.-2.D.二【分析】先根据被开方数大于等于0判断出a是负数，然后平方后移到根号内约分即可得解.【解答】解：根据被开方数非负数得，-丄0,a解得av0,-沪戸- 应选A.【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，先根据被开方数大于等于0求出a的取值范围是解题的关键，也是此题最容易出错的地方.12. :2021?杨浦区三模如果 讥1虽2 =2a- 1,那么A. aB. ay C. a丄 D. a【分析】由二次根式的化简公式得到1-2a为非正数，即可求出a的范围.【解答】解：t心:牛| 1 - 2a| =2a- 1，二 1 - 2a

17、W 0，解得：a?亠.2应选D【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解 此题的关键.13. :2021?临朐县一模：a=_，b=J,，那么a与b的关系是 A. ab=1B. a+b=0 C. a - b=0 D. a2=b2【分析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a- b、ai2、b2，求 出每个式子的值，即可得出选项.【解答】解：a= _='=2+亠b=2W 一逅0诉厂2-2A、ab= 23x 2-1=4 - 3=1，故本选项正确；B、a+b= 2+頁+ :2-启=4,故本选项错误；C、a- b=2+ *- 2 =2 :，故本选项错误

18、；D、t a2=232=4+4鹿+3=7+玄3, b2=2_灵2=4-钾3+3=7 5 , a2工b2,故本选项错误；应选A.【点评】此题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键.二填空题共17小题14. 2021?静安区一模如果代数式有意义，那么x的取值范围为 x>-2 .【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式 即可.【解答】解：由题意得，x+2> 0,解得，x>- 2，故答案为：x>- 2.【点评】此题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须 是非负数是解题的关键.15. 2021?乐山在数轴上表示实

19、数 a的点如下列图，化简.- : +| a- 2|的结果为 3字02注 5【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案.【解答】解：由数轴可得：a-5v0，a-2>0，那么，:_+|a-2| =5 - a+a - 2 =3.故答案为：3.【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确掌握掌握相关 性质是解题关键.16.2021?聊城计算： 12【分析】直接利用二次根式乘除运算法那么化简求出答案.=3*=3V33Xy X2【解答】解：.；2=12.故答案为：12.【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键.17.2021?黄石观察以下

20、等式:第1个等式:第2个等式:第3个等式:第4个等式:按上述规律，答复以下问题:1请写出第n个等式:2a1+a2+a3+-+an=1. - - 1【分析】1根据题意可知，a1=.口- 2,由此得出第n个等式:= - 1?a2=/2W3= 1 an Vn+Vnfl砸-应，a3Ws=21：第1个等式:2将每一个等式化简即可求得答案.第2个等式:第3个等式:a2=TW31=.-:,a3= =2-亡第4个等式:a4：'V3+22+V5=J 2,【解答】解:第n个等式：an=斗口+ -询；2ai+a2+a3+an=炉 1+亦-伍+ 2-庶+典-2=Urr+ - 1 -故答案为Vn+Vn+l=Jn

21、+ _n ； n+1 - 1 -【点评】此题考查数字的变化规律以及分母有理化,要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案.18.2021?哈尔滨计算:的结果是【分析】先将各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并求解 即可.【解答】解：原式=2X_1-3. '=厲-32=-2 '：'.,故答案为：-2 一 【点评】此题考查了二次根式的加减法，解答此题的关键在于掌握二次根式的化 简与同类二次根式合并.19.2021?天津计算门的结果等于 2【分析】先套用平方差公式，再根据二次根式的性质计算可得.【解答】解：原式=L2- '0 2 =5 - 3

22、=2，故答案为：2.【点评】此题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握平方差公式与二次根 式的性质是关键.20.2021?博野县校级自主招生化简:【分析】结合二次根式的性质进行化简求解即可.=.【解答】解:/ 0v av 1,a -1 v o, a=v 0,a a原式=|a-丄|=-a-丄丄-a. aa a【点评】此题考查了二次根式的性质与化简， 解答此题的关键在于熟练掌握二次 根式的性质及二次根式的化简.21. 2021?绵阳校级自主招生如果最简二次根式-：|与IV '-可以合并，那 么使：-二有意义的x的取值范围是 xw 10 .【分析】根据二次根式可合并，可得同类二次根式，根据

23、同类二次根式，可得a的值，根据被开方数是非负数，可得答案.【解答】解：由最简二次根式L与 -二可以合并，得3a 8=17 2a.解得a=5.由届石有意义，得20 2x>0,解得 x< 10，故答案为：xw 10.【点评】此题考查了同类二次根式，利用同类二次根式得出关于a的方程是解题 关键.22.2021?温州校级自主招生a,b是正整数，且满足叫亞彳¥是整数,那么这样的有序数对a, b共有 7对.及打-的取值，最终可确定有序【分析】A, B只能是15n2,然后分别讨论数对的个数.【解答】解：15只能约分成3,那么A，B只能是15n2先考虑A这边：丄，那么B可以这边可以是1此

24、时有：15, 60， 15, 15,或者60, 15，只能B这边也是*,此时有：60, 60，丄，那么B这边也只能是丄,44 2Xg 右=1,此时有：240,丄的话，那么240=1,B这边只能是丄，那么2此时有：135, 综上可得共有7对.540， 540, 135.故答案为：7.【点评】此题考查二次根式的化简求值，难度较大，关键是根据题意分别讨论 及J卫的取值.23. :2021?畐州自主招生对正实数 a, b作定义a*b=L_l - a,假设2*x=6,那 么 x= 32.【分析】根据定义把2*x=6化为普通方程，求解即可.【解答】解： a*b二二-a, 2*x= -1：- 2,方程2*x

25、=6可化为回-2=6,解得x=32,故答案为：32【点评】此题主要考查二次根式的化简，利用新定义把方程化为普通方程是解题 的关键.24. 2021?黄冈校级自主招生x+y=.丨x-y=. i:i丄，那么 x4- y4=.：_.【分析】把所给式子两边平方再相加可先求得 xSy2，再求得x2-y2,可求得答 案.【解答】解：T x+y=.一 , x-y= |- ：i |,.,x+y 2=x2+2xy+y2=i2=二1!, x- y 2=x2- 2xy+y2=皿015p0142&20L5 -0賀14 ,.x2+y2=匚，又 x2 - y2= x+y x - y= : i _ _ i 亠=一二

26、三缶 1，x4- y4=x2+y2x2 - y2 = _ 一_!.,故答案为：血丽.【点评】此题主要考查二次根式的化简，利用乘法公式分别求得x2+y2和x2-y2的值是解题的关键.25. 2021?黄冈校级自主招生*；=.- x, y为有理数，那么x - y= 1.【分析】把条件两边平方，整理可得到 x+y- 2 丁，结合x、y均为有理数，可 求得x、y的值，可求得答案.【解答】解：- ： 2=.： 2,即 2 - 3=；;x+. :y 2T;.，,二 x+y- 2、隔=2-鹿-一 2 x, y为有理数,栉土 ,朴X-,由条件可知x>y,:.x=2 x- y=1,故答案为：1.【点评】此

27、题主要考查二次根式的化简，由条件求得 x、y的值是解题的关键.26. 2021春？固始县期末是正整数，那么实数n的最大值为 11.【分析】根据二次根式的意义可知12 - n?0,解得nW 12，且12-n开方后是 正整数，符合条件的12 -n的值有1、4、9，其中1最小，此时n的值最大.【解答】解：由题意可知12- n是一个完全平方数，且不为0,最小为1, 所以n的最大值为12-仁11.【点评】主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数.27. 2021?山西模拟三角形的三边长分别为3、m、5,化简皿餐-寸缶刃'=2m- 10.【分析】先利用三角形的三边关系求出 m的取

28、值范围，再化简求解即可. 【解答】解：三角形的三边长分别为3、m、5,二 2v mv8,2 -Jm-呂=m- 2-8 - m=2m- 10.故答案为：2m- 10.【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简及三角形三边关系，解题的关键是熟记三角形的三边关系.28. :2021?武侯区模拟假设实数 m满足卜飞=m+1，且Ov mv;，那么 m的值为一.兰【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出关于 m的等式即可得出答案.【解答】解：I .二m+1,且 Ov mV.，；, 2 - m=m+1,解得：m=1 .故答案为：1 .【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确开平方是解题关键.29.

29、 :2021?龙岩模拟计算以下各式的值：丁 匚二；m1 工二观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得:=1O2021.【分析】直接利用数据计算得出结果的变化规律进而得出答案.【解答】解：=10 ；询卡+1 的=100=102 ；也9*+19 的=1000=103 ； : /' - =10000=104，可得 平+岁93 =102021.故答案为：102021.【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出结果变化规律是解题 关键.30 . 2021?丹东模拟观察以下各式：=11+3 X 1+1，4X5 =22+3 X 2+1，M1+3X4乂5乂& =32+3 X

30、3+1 ，猜想：+1: ' :=20212+3X 2021+1.【分析】根据题意得出数字变换规律进而得出答案.【解答】解：由题意可得：1+2022 X 2022 X 2022X 201=20212+3X 2021+1 .故答案为：20212+3X 2021+1 .【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确得出数字变化规律是解题关键.三.解答题共10小题31. :2021春？临沐县校级月考计算1一 :- 42 1 -.匚1+ 叮 + 1+ 匚2【分析】1先进行二次根式的除法运算，然后化简后合并即可;2利用完全平方公式和平方差公式计算.【解答】解：1原式=3. :- 2."+ :

31、-=3- 2 】+2 :=3 一 °2原式=1 - 5+1+2 匚+5=2+2 !.【点评】此题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式, 然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可.32.2021春？沂源县校级月考假设1v av 2,求的值.a- 2和a- 1的符号，然后根据算术平根的意义【分析】根据a的范围即可确定 进行化简求值.【解答】解：I 1v av 2, a- 2v0, a- 1 >0.乂 (a-2 ) 2+仏7严=a-2-.a-1.=-1+1=0.【点评】此题考查了二次根式的化简求值，正确理解算术平方根的意义，理解33. 2021春？启东市月考x，y

32、都是有理数，并且满足.,，-_ _， 求.：的值.【分析】观察式子，需求出x,y的值，因此，将等式变形：， r 2._x，y都是有理数，可得x 42y-17-0，求解并使原式有意义即可.【解答】解：.，：-.-4 - .1I x，y都是有理数， x2+2y- 17与y+4也是有理数，f 9x+2y-17=0解得I尸Ttn有意义的条件是x> y，取 x=5，y=- 4，,7弋-i -【点评】此类问题求解，或是转换式子，求出各个未知数的值，然后代入求解.或 是将所求式子转化为值的式子，然后整体代入求解.34. :2021?锦州先化简，再求值：斗口+吉，其中x应厩-書 - 冗-30.【分析】先

33、根据分式混合运算的法那么把原式进行化简，再把化简后x的值代入 进行计算即可.(x+t) (xT )工x工一-,Ck+L)(k-1)丈X訴-3需n-1,-1 .把送-1代入击得到:【点评】此题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的 灵活应用.35. 2021?湖北校级自主招生1|2021 - xj+一：，L =x，求 x- 20212 的值;2a>0, b> 0 且=3血'托 +5伍.求'比a_b+Vab的值.【分析】1由二次根式有意义的条件可知 x> 2021,然后化简得?；=2021,由算术平方根的定义可知：x- 2021=20212，最

34、后结合平方差公式可求得答案.2根据单项式乘多项式的法那么把 -1二+.八=3池i+5丨进行整理， 得出a- 2, 1：- 15b=0,再进行因式分解得出! - 5一+3. ：=0，然后 根据a>0, b>0，得出归-疝;=0，求出a=25b,最后代入要求的式子约分即可得出答案.【解答】解：1v x-2021 >0, x> 2021. x- 2021+八：=x.了=2021. x- 2021=20212. x=202*+2021. x- 20212=20212- 20212+2021 =-2021+2021+2021 =-2021.2v 刁.m+J *=3 1 . i+5

35、 .,二 a+ 二l =3 二+15b,J. a_ 2呂b - 15b=0, . .-5 1. L .+3.1 =0,I a> 0, b > 0, J i- 5 1=0,-a=25b,原式=ZX25b 十 3b+你识=5£b=c原工J 2.25b-b+V25b229b【点评】此题主要考查的是二次根式的混合运算，用到的知识点是二次根式有意义的条件、绝对值的化简、算术平方根的性质、平方差公式的应用，第1题求得x-2021=202*，第2求出a=25b是解题的关键.36. :2021?山西模拟观察以下各式及其验证过程:验证:82!(23-2)+2 _22-12C21j+2 _2£-132-1的变形结果并进行1按照上述两个等式及其验证过程的根本思路，猜想 验证;2针对上述各式反响的规律，写出用 nn为任意自然数，且n?2表示的 等式，并说明它成立.【分析】根据观察，可