结构力学变截面结构的位移法

1、变截面结构的位移法我们已经能用力法、位移法分析等截面结构的受力，而实际工程中的一些构件是变截面的，再用力法分析就十分复杂了。按位移法的思路，若能把变截面构件的杆端位移物理方程确定出来，那么，有变截面构件的结构也可用位移法计算。一、工程实例1加腋梁2变截面柱加腋梁变截面柱变截面结构的位移法二、制作目的1使用要求，如牛腿2施工要求，容易配筋，如梁、柱交汇处（节点）3改善受力，如适应内力分布 三、杆端转角位移物理方程，基本概念 LAB1A（一）两端固定杆1.当A端有转角A=1时，可用力法求得MAB=SAB SAB由于是单位转角引起的，称为A端的转动刚度，也称劲度系数。变截面结构的位移法用力法同时求得

2、MBA=CABSAB ，CAB称为由A端向B端弯矩的传递系数。LAB1ACAB定义为：ABBAABMMC同理，当B端有转角B=1时，可用力法求得MBA=SBA ，MAB=CBASBA ，SBA称为B端的转动刚度，CBA称为由B端向A端弯矩的传递系数。BAABBAMMCCAB ，SAB ，CBA ，SBA 只与杆件的形状有关，称为形常数。变截面结构的位移法由反力互等定理， )1(BABAABABCSCS2当AB两端发生单位侧移时（顺时针），两端的弯矩求法。考虑AB杆的侧移时产生的杆端弯矩，可用下述方法求的得：先假定AB杆自由侧移至AB1位置，此时杆不受力，但A、B端都有转角/L 现使AB1杆保持

3、AB1位置，在两端都逆时针转动/L这等价于在AB杆位置，使A、B端有顺时针的杆端侧移AB1B由前面的结果，并由（1）式变截面结构的位移法LCSLSCLSMABABBABAABAB1:LCSLSCLSMBABAABABBABA1:AB1BLAB1A变截面结构的位移法3荷载作用下的杆端弯矩P0hra0hrbaLbL0h0ILkLL-kL1）集中荷载PLFMaFABPLFMbFBA2）均布荷载2qLFMaFAB2qLFMbFBAFa ，Fb 称为载常数。变截面结构的位移法4当AB杆同时有两端的转角、侧移、荷载作用时的杆端力 由叠加法，或FABABABBBABAAABABMLCSSCSM1)2(1FA

4、BABBABAABABMLCCSM)3(1FBABAABABBABAMLCCSM同时，（2）、（3）两式就是两端固定变截面杆的物理方程。变截面结构的位移法（二）一端固定，另一端铰支变截面杆的物理方程ABLMBA=0，利用（3）确定BBAFBABAABABSMLCC1代入（2）式，得：ABMBAABABCCS1LA+FBABAFABMCMBAABABABCCSS1记，FBABAFABFABMCMMABABSMLA)4(FABM变截面结构的位移法（4）式就是一端固定，另一端铰支变截面杆的固定端弯矩的计算公式。需注意的是，公式中有关的形常数和载常数都是两端固定杆的。计算时，查两端固定杆的形常数和载常

5、数，修正后，以（4）式计算。（三）两端固定的对称变截面杆，发生反对称变形时的物理方程即，在（2）式中，令0,BAFABAABABMSMABABABCSS1式中，变截面结构的位移法FABAABABMSMABABABCSS1式中，（四）两端固定的对称变截面杆，发生正对称变形时的物理方程在（2）式中，令0,BA取半结构，（五）带刚域杆件的转角位移方程变截面结构的位移法（五）带刚域杆件的转角位移方程aL0bL0cL0H0L0aL0bL0图中阴影部分为梁、柱结合区域，认为其刚度无限大，称为刚域。变截面结构的位移法下面研究带刚域杆件的杆端力计算。ABA1B11Ai0L0aL0bL0如图，当A端转角为1时，

6、A1截面的转角也是1，A1B1杆的杆端相对侧移为0aL000000646411aiiaLLiiMBA000000626211aiiaLLiiMABaLiVVABBA216001111变截面结构的位移法取刚域段AA1为研究对象， MA=0 ，2000003314216641111aaiaaiaiiaLVMMBABAABMAB=SAB11BAM11BAVAA1同理，取BB1为研究对象，求得：abbaiMBA63120变截面结构的位移法根据转动刚度的定义，传递系数233163121aaabbaMMCABBAAB当B端转角B=1时，同样方法求得：203314bbiSBA233163121bbabbaM

7、MCBAABBAAB两端有单位侧移时，aLiMAB21600bLiMBA21600形常数CAB ，SAB ，CBA ，SBA ；载常数Fa ，Fb 由表查取，查表参数为：a ，r 变截面结构的位移法四、计算例题30 kN/m0.4m0.4m1.6m1.6m0.5m 0.5m 6m8m5mBC例题1：变截面结构的位移法解：AB、BC杆是变截面杆，AD、BE是带刚域杆件。1查取各杆的形常数与载常数。杆件杆长 L（m）截面高度 h0（m）h03/L相对 i0AB80.4810-3i0BC60.410.6710-31.333i0AD、BE4.60.527.1710-33397i0AB杆为对称加腋梁，由

8、aL=1.6 及rh0=0.4 得：2 .086 .1a14 . 04 . 0r查表得：659.0BAABCC081. 7iSSBAAB0993. 0baFFmkNMFAB7 .19064300993. 0mkNMFBA7.190变截面结构的位移法30 kN/m0.4m0.4m1.6m1.6m0.5m 0.5m 6m8m5mBCBC杆的C端铰支，由，得：a=1 ，14 . 04 . 0r先按两端固定杆查表，294.0BCC834. 0CBC0094.25333.146.19iiSBC0014.9333.186.6iiSCB1216. 0aF0529. 0bF变截面结构的位移法mkNMFBC1

9、0mkNMFCB1 .5736300529. 0按公式修正，0058.19834. 0294. 0194.251iiCCSSCBBCBCBCmkNMCMMFCBCBFBCFBC9 .1781 .57834. 03 .131AD、BE杆按带刚域杆件考虑，由 得 ： 4 . 00aL08696. 06 . 44 . 0a000bbL得：由02044.1708696. 0308696. 031397. 34iiSSBEAD491.008696.0308696.03108696.031212BEADCC变截面结构的位移法2位移法变量：A ，B 3作MP图，求R1P ，R2P

10、190.7190.7178.9R1PR2PR1P= -190.7 ，R2P=190.7-178.9=11.8kNm变截面结构的位移法ijrMM图，求、）作214r11r2117.44i017.44i00.491=8.56i07.81i07.81i00.659=5.15i0 0001125.2581. 744.17iiir02115. 5ir 变截面结构的位移法r12r227.81i0 5.15i0 17.44i0 8.56i0 19.58i0 002283.44)58.1944.1781.7(iir01215.5ir变截面结构的位移法5）位移法方程002222111211PBAPBARrrRr

11、r0789. 7iA0158. 1iB6）作M图BAPMMMM2166.79.9135.8221.8201.620.2变截面结构的位移法例题2：对称结构100kN100kN20 kN/m0.7m0.5m0.8m3m8m3m3m3m解：取半结构。ABE100kN20kN/m变截面结构的位移法1求形常数与载常数AB杆，一端固定，另端铰支，先按两端固定杆查取。则, 1,4.0,2.0,5.000armrhmh388. 0,642. 0BAABCC000862. 0617. 517. 5EIEIiSAB000428. 1657. 857. 8EIEIiSBA0072. 11EICCSSABBABABA由k= 0.5 ，查得：0953. 0aF1583.0bFkNmMFAB18.5761000953.0kNmMFBA98.9461001583. 0kNmMCMMFABABFBAFBA7 .13118.57642. 098.94变截面结构的位移法BE杆，一端固定，另端可滑动，仍先按两端固定杆查表。4 . 0, 2 . 0, 1 . 0, 8 . 00rrhaaL552. 0EBBECC000604. 0883. 483. 4EIEIiSSEBBE0889.0eb