25函数的最大值和最小值（一）

1、3.8 3.8 函数的最大值函数的最大值 与最小值与最小值（一）（一）yyyyyyyy年年M M月月d d日星期日星期W W黄冈中学网校达州分校 1. 函数极值的定义：函数极值的定义： 定义定义：设函数：设函数 f (x) 在在 x0 附近有定义，如果对附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点，都有附近的所有的点，都有 f (x) f (x0) , 我们就说我们就说 f (x0) 是函数是函数 f (x) 的一个的一个极小值极小值，记作，记作 y 极小值极小值 = f (x0) .极大值与极小值统称为极大值与极小值统称为极值极值.复复 习习 回回 顾顾黄冈中学网校达州分校2 . 函数极大值与极

2、小值的判断：函数极大值与极小值的判断：.)(,)(,)()()(,)(,)()()()(是是极极小小值值那那么么右右侧侧附附近近的的左左侧侧如如果果在在是是极极大大值值；那那么么右右侧侧附附近近的的左左侧侧如如果果在在方方法法：是是极极大大值值还还是是极极小小值值的的处处连连续续时时，判判断断在在点点当当函函数数000000002001xfxfxfxxfxfxfxxfxxfy黄冈中学网校达州分校3. 求可导函数求可导函数 f (x) 的极值的步骤：的极值的步骤：.)()()()(.)()(.)()(在在这这个个根根处处取取得得极极小小值值如如果果左左负负右右正正，那那么么；在在这这个个根根处处

3、取取得得极极大大值值如如果果左左正正右右负负，那那么么符符号号，在在方方程程的的根根左左右右的的值值的的检检查查的的根根求求方方程程求求导导数数xfxfxfxfxf3021黄冈中学网校达州分校函数的最大值与最小值：函数的最大值与最小值： 在某些问题中，我们往往关心的是函数在整个定在某些问题中，我们往往关心的是函数在整个定义区间上，哪个值最大，哪个值最小义区间上，哪个值最大，哪个值最小. 观察定义在区观察定义在区间间 a，b 上的函数上的函数 f (x) 的图象的图象.Oxy y = f (x)ax1x2b f (x1) 与与 f (x2) 是极小值，是极小值，f (0) 是极大值是极大值. 函

4、数函数 f (x) 在在 a，b 上的最大值是上的最大值是 f (b) ，最小，最小值是值是 f (x2) .新新 课课 教教 学学黄冈中学网校达州分校最大值最小值定理最大值最小值定理: 在闭区间在闭区间 a，b 上连续的函数上连续的函数 f (x) 在在 a，b 上必有最大值与最小值上必有最大值与最小值 . 在开区间在开区间 ( a，b ) 内连续的函数不一定有最大值内连续的函数不一定有最大值与最小值与最小值 .),()(最大值与最小值最大值与最小值内连续，但没有内连续，但没有在在例如，函数例如，函数01xxf黄冈中学网校达州分校利用导数求函数的最值步骤利用导数求函数的最值步骤: 设函数设函

5、数 f (x) 在在 a，b 上连续，在上连续，在 ( a，b ) 内内可导，那么求可导，那么求 f (x) 在闭区间在闭区间 a，b 上的最大值，上的最大值，最小值的步骤：最小值的步骤： (1) 求求 f (x) 在在 ( a，b ) 内的极值；内的极值； (2) 将将 f (x) 的各极值与的各极值与 f (a)， f (b)比较，其中比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 .注注: (1) 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的函数的极值是比较极值点附近

6、函数值得出的(2)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有.黄冈中学网校达州分校例例1 求函数在求函数在y=x4- -2x2+5区间区间 - -2,2上的最大值与最小值上的最大值与最小值.例例 题题 解解 析析解：解：先求导数，得先求导数，得y=4x3- -4x, 令令 y=0, 有有 4x3- -4x=0，解得，解得 x=- -1, 0, 1当当x变化时，变化时，y，y的变化情况如下表的变化情况如下表X-2 （-2,-1） -1 （-1,0）0（0,1）

7、1（1,2）2y/000y13 4 5 4 13 从上表知，当从上表知，当 时，函数有最大值时，函数有最大值13，当当 时，函数有最小值时，函数有最小值4 2x1x黄冈中学网校达州分校例例 1 求函数求函数 y = x 4 - 2x 2 + 5 在区间在区间 -2，2 上的最大值上的最大值与最小值与最小值 .图象如右图图象如右图 .y = x4 - -2x2+5黄冈中学网校达州分校例例2、已知已知f(x)=ax3+bx2- -2x+c在在x=- -2时有极大值时有极大值6，在，在x=1时有极小值，求时有极小值，求a、b、c的值；并求的值；并求f(x)在区间在区间- -3，3上的最大值和最小值上

8、的最大值和最小值.38,21,31. 6448)2(, 0223) 1 (, 02412)2(cbacbafbafbaf解得, 223)(2bxaxxf解解：（：（1）由条件知由条件知 黄冈中学网校达州分校, 2)(,3822131)(223xxxfxxxxf（2）x3(-3,-2)2(2,1)1(1,3)3006)(xf )(xf23256616由上表知，在区间由上表知，在区间3，3上，上， 当当x=3时，时，f(x)max= , x=1 时时f(x)min= ，256616黄冈中学网校达州分校1下列说法正确的是下列说法正确的是 ( ) A.函数的极大值就是函数的最大值函数的极大值就是函数的

9、最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值在闭区间上的连续函数一定存在最值2、函数、函数y=f(x)在区间在区间a,b上的最大值是上的最大值是M，最小值是，最小值是m,若若M=m,则则f(x) ( ) A.等于等于0 B.大于大于0 C.小于小于0 D.以上都有可能以上都有可能3、函数、函数y= ，在，在1，1上的最小值上的最小值为为 ( ) A.0 B.2 C.1D. 练练 习习 234213141xxxDAA1213黄冈中学网校达州分校4、设、设y=|x|3,那么那么y在区间在区间3，1上的最小值是上的最小值是( ) A. 27 B.3 C.1 D. 15、设、设f(x)=ax36ax2+b在区间在区间1，2上的最大值为上的最大值为3，最小值为最小值为29，且，且ab,则则 ( ) A. a=2, b=29 B. a=2, b=3 C. a=3, b=2 D. a=2, b=3DB黄冈中学网校达州分校 (1)函数在闭区间上的最值点必在下列各种函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于