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文档简介
1、DDY整理例1 求曲线 在曲线上的点 处切线的斜率。 图4-1在曲线 上点 的附近另取一点 ,连接 和 得割线 ,当 沿曲线趋于 时,割线 的极限位置称为曲线在点 的切线。令 , ,则 的斜率为 ,如果存在,则此极限值就是曲线的切线的斜率。设切线的倾角为 ,则从另一角度, 表示 在区间 (或 )的平均变化率,极限 称为函数 在 的变化率。例2 求变速直线运动的物体的瞬时速度。物体产生的位移 是时间 的函数,设运动方程为 ,求在 时刻的速度。定义 设函数 在点 的邻域内有定义,当自变量 从 变到 时,则函数得相应的增量 ,如果极限存在,则称函数 在点 可导,并称此极限为函数 在点 的导数。记作
2、,或 , , , 即 如果记 ,则上式可写为或记 则 如果上述极限不存在,则称函数在点 不可导。例3 设 在 处可导(1) (2) 则 ?解 (1) (2) 例4 设且 则 解 例5 证明: 在处不可导。解 在 处不可导。注意:函数 在(0,0)处的切线存在,斜率为 ,所以函数 在 处有 或 时,有时也称 在 处导数无穷大。图4-2左、右导数 左导数 右导数 显然有, 在 处可导的充要条件是: 在 的左、右导数都存在且相等。例6 讨论函数 在 处的可导性。解 在 可导且 如果函数 在区间 内每一点都可导(闭区间时,左端点须右可导,右端点须左可导),则称函数 在区间 内可导,此时其导数值是随 而
3、变的函数,称为 的导函数,简称导数,记作而 是 的导函数 在 处的函数值。用定义求函数 的导数(函数),可分三步进行:(1)求增量 (2)求比值 (3)求极限 例7 求 ( 为正整数)解 (应用二项式定理) ,所以 一般地有 为任意实数。例8 求 的导数。解 所以 利用导数的定义和基本求导法则求出了常用初等函数的导数,列于书中141页公式表中,请大家背下来。如: , , , , , , .例9 设 ,求 解 定理 如果函数 在点可导,则函数在点连续。因为 在点 可导, 即 ,(增量公式)即 所以 时, 。 在 处连续。注 :定理的逆不一定成立。既函数 在点 连续,却不一定可导。例10 函数 ,在点 连续,但不可导。所以 在 连续。 图4-3在 处不可导。例11 讨论函数在 处的连续性与可导性。解在 处连续。在 处可导,且 。例12 设 问当 为何值时, 在 连续且可导。解 在 处连续,则 ,在 处可导,则 在点的导数是曲线在点处切线的斜率。所以 在 处的切线方程为 法线方程为 例13 求 在(-1,1)处的切线方程和法线方程。解 , 切线方程为 法线方程为 例14
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