数理方程参考答案4第四章 积分变换法_第1页
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1、 2 f (t T ( t + a T ( t = = , T ( 0 c. T ( 0 b= 解 对 t 进行拉普拉斯变换 , 设 F ( L = = f ( t , T ( L T (t ，则 2 T ( b c + a 2 T ( = F ( ， 即 T= ( 拉普拉斯逆变换，得 T ( t = L 1 T ( = = 1 t a 0 F ( + b + c 1 a c a ， F ( 2 = +b 2 + 2 2 2 2 2 a +a +a + a a + a2 ( 1 c f ( t sin at + b cos at + sin at a a c f ( s sin a (t s

2、ds + b cos at + sin at . a 7. 求解定解问题 2u 2u = k sin x (0 x 0, t 2 x 2 u | u |x 1 0, 0, = = = x 0= u u t =0 0, = = 0. t t =0 解 记 。对方程及边界条件关于 作拉普拉斯变换得到 d 2u k sin x , 0 x 1, y 0, x y u(1, y = 1 , 2 u( x,0 = x . 解 对 y 进行拉普拉斯变换。设 U ( x, = L u( x, y ，则 d 2 ， = U ( x, x 2 dx 3 即 dU 2 x 2 ， = + dx 4 故 U= 再由

3、条件 U (1, = 1 x2 + 2x 4 +C ， 解得 C = 2 4 ，即 U= x2 + 2x 2 ， 4 4 拉普拉斯逆变换得 1 1 u ( x, y = x 2 + xy 3 y 3 . 3 3 .用拉普拉斯变换求解微分积分方程的初值问题 解 记 ( = L f ，对方程关于 作拉普拉斯变换，得到 f f ( 2 + 所以 5 10 , f ( = +4 2 2 ( = (2 + 10( + 4 , f 2 ( 2 + 9 又 (2 + 10( 2 + 4 81 8 1 40 1 40 1 =2 2 + + 10 2 + 2 2 2 ( + 9 +9 9 9 +9 + 9 9 2 9 2 + 9 8 1 40 1 10 50

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