山东省烟台市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

山东省烟台市2023-2024学年高二上学期期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知数列的前几项为：﹣1，4，﹣7，10，…，则该数列的一个通项公式可能为（）A. B.C. D.2.已知等比数列中，，，则（）A.2 B.﹣2 C. D.43.已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为（）A.2 B.4 C. D.64.已知椭圆C：（）经过和两点，则C上的点到右焦点距离的最小值为（）A. B.1 C.2 D.35.抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点F发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（）A. B. C. D.6.三角形数由古希腊毕达哥拉斯学派提出，是由一列点等距排列表示的数，其前五个数如图所示.记三角形数构成的数列为，则使数列的前n项和的最小正整数n为（）A.5 B.6 C.7 D.87.已知数列的各项均为正整数，，若，则的所有可能取值组成的集合为（）8.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过点作直线l与C交于两点A，B（点B在第一象限），线段的垂直平分线过点，点到直线l的距离为，则C的离心率为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9.已知等差数列的前n项和为，且，则下列结论正确的有（）A. B. C. D.最小（多选）10.已知曲线Γ：（），则（）A.Γ可能是等轴双曲线 B.若Γ表示焦点在y轴上的椭圆，则C.Γ可能是半径为的圆D.若Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则（多选）11.已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，P为椭圆上任意一点（不在x轴上），的内切圆与切于点M，过点的直线l与C交于A，B两点，则（）A.的最大值为5 B.的内切圆面积最大值为πC.为定值1 D.若Q为中点，则l的方程为（多选）12.若正整数数列：，，…，（）满足：若对任意的正整数k（），都有，则称该数列为“数列”.下列关于“数列”的说法中正确的有（）A.若数列8，x，4，y，8为“数列”，则有序数组有3个B.若数列1，m，n，8为“数列”，则的最大值为6C.若数列，，…，（）为“数列”，则使的n的最大值为16 D.若数列，，…，（）为“数列”，且，则满足的n的最大值为10三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知为等比数列的前n项和，且，，则的值为_________.14.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点关于C的一条渐近线的对称点为M，且，则C的渐近线方程为__________.15.已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，P为C上一点，且，O为坐标原点，则的值为____________.16.已知数列满足：；；，，其中，.数列的通项公式____________，令，则数列的前n项和____________.（本小题第一空2分，第二空3分.）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知为数列的前n项和，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.18.（12分）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为.（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值.19.（12分）已知点F是抛物线C：的焦点，过点F的直线l交抛物线C于P，Q两点，过点P作C的准线的垂线，垂足为M，O为坐标原点.（1）证明：Q，O，M三点共线；（2）若，求直线l的方程.20.（12分）网上创业成为越来越多大学生的就业选择.李红大学毕业后在网上经营了一家化妆品店，计划销售A，B两种品牌化妆品.据市场调研，销售A品牌化妆品第一年的利润为3.8万元，预计以后每年利润比上一年增加0.5万元；销售B品牌化妆品第一年的利润为4万元，预计以后每年利润的增长率为8%.设，分别为销售A，B两种品牌的化妆品第n年的利润（单位：万元）.（1）试比较销售A，B两种品牌化妆品前10年总利润的大小；（2）问：第几年销售A品牌化妆品较销售B品牌化妆品在同一年的利润差最大？参考数据：，，，，.21.（12分）设数列，的前n项和分别为，，，，且，（）.（1）求的通项公式，并证明：是等差数列；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.22.（12分）已知点P在圆上，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，Q为线段的中点，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为Γ.（1）求Γ的方程；（2）设，，过点作直线与Γ交于不同的两点M，N（异于A，B），直线，的交点为G.（ⅰ）证明：点G在一条平行于x轴的直线上；（ⅱ）设直线，交点为H，试问：与的面积之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.山东省烟台市2023-2024学年高二上学期期末数学试卷【参考答案】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.【分析】根据题意，分析数列前4项的规律，用n表示即可得答案.【解答】解：根据题意，数列的前几项为：﹣1，4，﹣7，10，…，即，，，，故数列的一个通项公式可以为.故选：C.【点评】本题考查数列的表示方法，涉及数列的通项公式，属于基础题.2.【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解.【解答】解：∵等比数列中，，，所以，解得.又，可得与同号，故.故选：A.【点评】本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题.3.【分析】利用双曲线方程求出a，b，然后求出c即可得到结果.【解答】解：双曲线的方程为：，可得，，所以，所以双曲线的焦距长为：.故选：D.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属基础题.4.【分析】根据已知条件求得a，b，c以及椭圆方程，进而求解结论.【解答】解：∵椭圆C：（）经过和两点，∴，，∴，椭圆方程为：.∴C上的点到右焦点距离的最小值为：.故选：B.【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查计算能力，属于基础题.5.【分析】求解抛物线的焦点坐标，求解从抛物线的焦点F发出的入射光线过点的直线方程，然后求解直线与抛物线的交点，即可得到反射光线所在直线方程.【解答】解：抛物线的焦点，从抛物线的焦点F发出的入射光线过点的直线方程：，联立，可得，可得或，结合已知条件可知反射光线所在直线方程为：.故选：D.【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题.6.【分析】由题意可得，则，然后累加求和即可.【解答】解：由题意可得，则，则，又，则，则，则使数列的前n项和的最小正整数n为7.故选：C.【点评】本题考查了裂项求和法，重点考查了阅读理解能力，属中档题.7.【分析】采用“倒推”的方式，推导过程中注意分类讨论思想的应用.【解答】解：∵，∴若为奇数，则，则舍；若为偶数，则，.当时，若为奇数，则，则；若为偶数，则，.当时，若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则.若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则.若为奇数，则，则；若为偶数，则，则.当时，若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则.若为奇数，则，则；若为偶数，则，则.当时，若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则.当时，若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则.综上，所有可能的取值的集合.故选：B.【点评】本题考查简单的归纳推理、数列的递推公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.8.【分析】根据题意，由双曲线的定义可得，再由勾股定理列出方程即可得到a，c的关系，进而求解结论.【解答】解：设双曲线的半焦距为c，，，根据题意得到，又，故，设的中点为C，在中，，，故，则，，根据，可知，故，可得.故选：C.【点评】本题主要考查双曲线的性质应用，考查计算能力，属于中档题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9.【分析】根据题意，由等差数列的性质分析可得，由此分析选项可得答案.【解答】解：根据题意，等差数列中，若，即，则有，变形可得，依次分析选项：对于A，，但不确定的符号，不能确定是还是，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，不确定的符号，故不能确定最小还是最大，D错误.故选：BC.【点评】本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题.（多选）10.【分析】根据圆，椭圆，双曲线的标准方程，逐一判断选项即可.【解答】解：对于A，若Γ是等轴双曲线，则，显然不成立，故A错误；对于B，Γ表示焦点在y轴上的椭圆，则，解得，故B正确；对于C，Γ是圆，则3+m＝1﹣m＞0，解得m＝﹣1，故C正确；对于D，Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则，解得，故D正确.故选：BCD.【点评】本题考查曲线的方程，属基础题.（多选）11.【分析】根据椭圆的几何性质，的等面积算法，点差法，即可分别求解.【解答】解：根据题意可得，，，，，，对A选项，∵，当且仅当P，，Q三点共线时，等号成立，∴的最大值为5，∴A选项正确；对B选项，设的内切圆的半径为r，则根据的等面积算法可得：，∴，当且仅当P为短轴顶点时，等号成立，∴的内切圆面积最大值为，∴B选项错误；对C选项，根据的内切圆的性质易得：，∴，∴，∴C选项正确；对D选项，若为中点，设，，则，两式相减可得：，∴，∴，∴，∴l的方程为，即，∴D选项正确.故选：ACD.【点评】本题考查椭圆的几何性质，椭圆的焦点三角形问题，点差法的应用，属中档题.（多选）12.【分析】根据“数列”的定义，逐项验证即可.【解答】解：对于A，因为数列8，x，4，y，8为“数列”，所以，所以.或，或，故A正确；对于B，因为数列1，m，n，8为“数列”，所以，，解得，，当时，，3，4，当时，，4，所以的最大值为6，故B正确；对于C，数列，，…，（）为“数列”，因为，所以，所以是递增数列，所以最小是1，的最小值为，该数列可以是：，1，1，2，4，7，11，16，22，29，37，46，56，67，79，82，100，此时，故C错误；对于D，数列，，…，（）为“数列”，且，所以该数列每一项的最小取值为：6，1，1，2，4，7，11，16，22，29，37，，此时，故D正确.故选：ABD.【点评】本题考查对新定义的理解和应用，数列的综合应用，属难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.120.【分析】根据题意，设等比数列的公比为q，由，求出q的值，进而计算可得答案.【解答】解：根据题意，设等比数列的公比为q，若，则有，即，解可得或0（舍），则，故答案为：120.【点评】本题考查等比数列的求和，涉及等比数列的性质，属于基础题.14..【分析】根据双曲线的性质可知，，由条件得，根据三角形中位线，可得，即可求出渐近线方程.【解答】解：设与渐近线的交点为A，因为关于C的一条渐近线的对称点为M，所以，，因为，所以，所以，所以C的渐近线方程为.故答案为：.【点评】本题考查双曲线的性质，属中档题.15..【分析】根据椭圆的性质以及余弦定理即可求解结论.【解答】解：椭圆C：，可得，，故，∵，分别为椭圆C：的左、右焦点，P为C上一点，且，∴，∴，可得..故.故答案为：.【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查余弦定理以及向量知识的应用，属于中档题.16.；.【分析】由，，，解方程可得，由等比数列的定义和通项公式，求得；再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和.【解答】解：设，，（），又，由，，可得，解得，，，则，即有，可得，即有；，则数列的前n项和.故答案为：；.【点评】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【分析】（1）利用数列递推式求数列的通项公式，结合累乘法求解；（2）分，两种情况，利用等差数列的求和公式求解.【解答】解：（1）由，得（），两式相减得.即（），所以当时，，经检验也适合上式，故（）.（2）由题意，数列的前n项和，所以，当时，，当时，，综上，.【点评】本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了等差数列的求和公式，属中档题.18.【分析】（1）由双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为，得，，由此能求出双曲线方程.（2）联立方程组，得，利用韦达定理、弦长公式、根的判别式能求出结果.【解答】解：（1）双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为，设双曲线的方程（，），由已知得，，所以，.所以双曲线方程为.（2）直线与双曲线C交于A，B两点，且，联立方程组，得，，.所以令，解得.经检验符合题意，所以.【点评】本题考查双曲线、椭圆、焦点、渐近线、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.19.【分析】（1）设直线l的方程为，利用已知条件证明即可；（2）利用（1）及，求出m的值即可.【解答】（1）证明：抛物线的焦点坐标为，设直线l的方程为，点，，联立，消去得，则所以，，因为，所以，又，，，所以，即，所以O，Q，M三点共线；（2）解：因为，所以，于是，即，所以，所以直线l的方程为.【点评】本题考查了抛物线的性质和直线与抛物线的综合运用，属于中档题.20.【分析】（1）根据已知条件，结合等差数列的前n项和公式，以及等比数列的前n项和公式，即可求解；（2）先求出，再结合作差法，即可求解.【解答】解：（1）A品牌化妆品年销售利润构成首项为3.8、公差为0.5的等差数列.B品牌化妆品年销售利润构成首项为4、公比为1.08的等比数列.设销售A、B品牌化妆品前n年总利润分别为，，则（万元），（万元），故，所以A品牌化妆品的前10年总利润更大.（2），，所