热力学答案汇总

1、©|!a!(i a)!热力学？统计物理复习材料答案一、填空题：1. 热力学中所特有的状态参量为温度,它是实现两系统达到热平衡的充分且必要条件。2. 整个系统在物理、化学性质上都均匀一致的系统称为均匀系统3. 热力学第一定律的数学表达式是为dU=dQ+dW4热力学第二定律的数学表达式是dS _ 坐 oT5. 体系由液体和饱和蒸汽组成，此系统包含二相。6 当独立变量为S、p时，特性函数是 H7. 一个孤立系统有：相和1相，若系统已达到热平衡和力学平衡，但1相物质迁移到：相，则化学势满足关系1相化学势大于相化学势（1： 亠.）8 个系统在压强和温度不变的情况下，为了判别此系统是否已达到平衡

2、态,可采用的判据为G （吉普斯函数）。9.判断一个孤立系统是否已达到平衡态，可采用的判据为S （熵）。10个系统在体积和温度不变的情况下，为了判别此系统是否已达到平衡态,可采用的判据为自由能o。11 固相、液相之间的转变为一 相变。12 气液在临界点的转变为一 级相变。13体系由三种气体按任意比例混合而成，该系统的独立强度参量数目为4o14. 根据吉布斯相律，3元二相系的自由度为 3o15. 一级相变的克拉珀龙方程的表达式为斧帀七517.对于玻色系统，给定分布对应的微观状态数为口( i a -1)!l - 1)!16. 对于费米系统，给定分布 Q 1对应的微观状态数为18.对于玻尔兹曼系统，给

3、定分布匕？对应的微观状态数为Om.B.19. 等概率原理的内容是对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率都是相等的。20. 两个全同粒子分布在相同能级的三个不同状态a、b和c中，一个粒子处在状态a, 个粒子处在状态b，如果它们是费米粒子，则这一分布出现的概率是 1/3。21 两个全同粒子分布在相同能级的三个不同状态 a、b和c中，一个粒子处在 状态a, 个粒子处在状态b,如果它们是玻耳兹曼粒子(即经典粒子)，则这一 分布出现的概率是1/9。22. 两个全同粒子分布在相同能级的三个不同状态a、b和c中，一个粒子处在状态a, 个粒子处在状态 b,如果它们是玻色子，则这一分布出现

4、的概率是1/6。23. 玻尔兹曼系统的最概然分布的形式是 q “leij24. 玻色系统的最概然分布的形式是耳 e： ：ai25. 费米系统的最概然分布的形式是25. 当满足1或者色 宀：1条件时，玻色分布和费米分布趋向于玻尔兹曼分i布。26. 粒子遵从玻尔兹曼分布，能量表达式为(p<2 py2 pz2)曲bx c，其中2ma、b、c为常数，则粒子的平均能量为2KT-b<4a27. 利用能量均分定理求空窖内辐射场中具有一定波矢k和一定偏振的单色平面波的平均能量是。28. 平衡状态下光子气体的化学势等于029. 系综的概念是指由大量结构完全相同、处干给定的相同宏观，条件下彼此独立的假

5、想系统的集合，其中每一个系综都与实际讨论的真实系统有相同的哈密顿，但有不同的微观状态，这种系统的集合叫统计系综。30. 玻色-爱因斯坦凝聚是粒子在动量空间的凝聚。31. 对一个有N个分子组成的某经典气体系统，:空间中 个代表点表示系统在某一时刻的微观运动状态。32. 正则分布是具有确定的N、T、V宏观条件的系统的分布函数。33. 巨正则分布是具有 确定的T、V、宏观条件的系统的分布函数。34. 微正则分布是具有确定的N、E、V宏观条件的系统的分布函数。二、证明题1 根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交 .证明：假设两条绝热线可以相交，如图,可由这两条绝热线与一等温线构成一个循环.可令一可逆

6、热机以该循环工作，即：由初态a出发经历等温膨胀过程到达 b,在此 过程中热机从热源吸热且对外界作功，再由b经历绝热膨胀过程到达c,在此过 程中热机对外界作功，最后,由c经历绝热压缩过程返回初态 a.在整个循环中，热 机从单一热源吸热使之完全变成有用功（由三条线围成的封闭图形之面积）而不 引起其它变化，这就违背了开氏说法.若开氏说法正确，则两条绝热线不能相交.2试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节 流过程中的温度降落。证明：气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由偏导数吕S和寻H描述。令 T 二Tp,H(p,S)(6一(亠=(才(片卩 pH pCp绝热膨

7、胀制冷效果更好。3. 有两个相同的物体，热容量为常数，初始温度同为 Ti。今令一制冷机在此两 物体之间工作，使其中一个物体的温度降到T2为止。假设物体维持在定压下，并 且不发生相变。试根据熵增加原理证明，此过程所需要的最小功为T2W最小=Cp(扌 T2 -2Ti)。T2证明：经过一工作循环，一物体从初始温度为Ti降为T2，放出的热量值和熵变分别为：QM= Cp® -丁2)Cpl n£)另一物体从初始温度为Ti升为T3 (T3为未知量)吸收的热量值和熵变分别 为：0吸=Cp(T3 -Ti)£2= Cp In()T1热机工作物质恢复原状，熵变为 0。根据热力学第一定律

8、有： W = Q吸- Q放二Cp(T3 T2 - 2Ti)根据热力学第二定律有：SS2 - 0'二C雅Nx“N 1x N!Cp ln(不)- 0Ti-1所以此过程所需的最小功为:WU=Cp(三 T2-ZT；)4. 求证-n T,VV,n证明：自由能F =U -TS是以T,V,n为自变量的特性函数，求 F对n的偏导数，有着】厂借】，厂嚼,V但自由能的全微分 dF二Sdt - pdV - Jdn(1)可得It,v=-I刃/V(2),n代入（1），即有5. 固体含有A、B两种原子试证明由于原子在晶体格点的随机分布起的混合 熵为S 二 k In 丛Nk Xln x 亠1 - x In 1 -

9、x 丨Nx! NO -x）!其中N是总原子数，x是A原子的百分比，（1 一 x）是B原子的百分比.注意XV1上 式给出的熵为正值.证明：A、B两种原子在晶体格点的随机分布状态数等于Nx个A种原子在N个格点随即分布的状态数：所以混合熵S =klnJ. =klnNk：ln N!-In( Nx)!-In N 1 - x 4NxIN 1 -x I当N很大时，利用公式In mh m In m1 ,得S k：N I n N -1 -Nx I nN x -1 - N 1 - x In N - Nx -1 - -Nk'-xl n x 1 -x I n 1 - x 1证毕6. 试根据公式P =迈ai暫L

10、证明，对于非相对论粒子2222亠 2 U|(nx+ny+nz ),( nx, ny, nz=0,±1,±2,)有卩=§厂ieVP212n£ =2m 2m L上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。证明：处在边长为L的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为哙哙岸'门'=0,心）(1)为书写简便，我们将上式简记为:二aV*3(2)其中V=L3是系统的体积，常量an； +n： +n；），并以单一指标I代表nx,ny,nz2m个量子数。由（2）式可得丝=弓/2右-V(3)代入压强公式,二 J3V i(4)式中UI上述证明未涉及分布的具体

11、表达式， 都成立。注：（4 ）式只适用于粒子仅有平移运动的情形。如果粒子还有其他的自由度，式（ U仅指平动内能。aI ；i是系统的内能。因此上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布4）中的7. 气柱的高度为H,截面为S,处在重力场中，试证明此气柱的内能为NmgHmgH (e KT -1)证明：为明确起见，假设气体是单原子分子理想气体。在重力场中分子的能量为1 F 22px ' py2mU 二U0 NKTp； mgz(1)粒子的配分函数为_E(pX4pz2)fgz2mdxdydzdPxdFYdPz12 二m 32= h3(0 r JdxdyH 1 'mgz1 2二 m 321

12、1 ImgH(2)e14Jngdz = h3( p)Apmg(1-e®g )其中 A二dxdy是气柱的截面积。NmgH气柱的内能为口心NKT NKT 一,冒JU。NKT 三吧(3)3式中 U0 N KT28. 气体以恒定的速度沿Z方向作整体运动。试证明，在平衡状态下分子动量的七 P限24PY2%FZ -Po)2 V最概然分布为e m3 dPxdPydPzh3证明：气体是非定域系统，由于满足经典极限条件而遵从玻尔兹曼分布。与分布3：相11- -lal应的气体的微观状态数为；l(1)n al!l其对数为 ln 门八 a, ln l-、 lna八 a, ln l 八 a, (ln a, -

13、1)(2)llll在气体沿Z方向作整体运动的情形下，分布必须满足下述条件：二 al = N ;i' a, ；, = E ;l-j ai Rz = Pz(3)i其中Pz是气体在z方向的总动量，Plz是处在能级l的分子所具有的Z方向动量。 气体分子的最概然分布是在限制条件(3)下，使In，|为极大的分布。令各有a,的变化aai， In，将因而有变化:.In门-八 In - ：.aI限制条件(3)要求Z da = 3N; Z 色空| = 5E = 0llain 1 - ： r E - Pz 二-、l(In 1 亠:亠丨Rz ) ai 二 0i根据拉氏乘子法原理，每个d ai的系数都等于零，所

14、以有ain 1: MP|z = 0'i1 E'：s -；Pz或 ai = ie(4)可以将式(4)改写成为动量的连续分布：在体积 V=Lh,推导上式时，用到关系p = k.这里B为常数由于准粒子数不守恒，玻色分布中的 = 0.系统的内能为為屉|饰屉1 3/2E = 0m“ g( )d，二B0m d，e Ie i, 内,在Rx到Rx+dRx，Ry到Rv+dRy，Rz到Rz+dRz，的动量范围内的分子数 -( Px +Py+pZMPz V(5)2mdRzdRydRz-a P：齐： Pz )9. 铁磁体中的自旋波也是一种准粒子，遵从玻色分布，色散关系是=Ak .试证明在低温下，这种准

15、粒子的激发所导致的热容与 T3/2成正比.证明：在体积V中，3至U 3+ d 3的频率范围内准粒子的量子态数为,、.4兀 Vg( )d厂 p dp 二 B， d V(6)e 2m-jdRxdRydRzh,在积分中考虑到态密度在高频时发散，需引入截止频率 m 但在低温下 可令 m r -'.设W沖二X ,则有3/2二 CT5/2:X5/2o X dxT0 ex -1其中，C为常数.易得10. 证明：在正则分布中熵可表为 S =k7亠1 n亠其中6 是系统处在sZS态的概率。证：S =k( l Z -"必)多粒子配分函数Z =亠eEs= Z二丄e乓 郎Ps-Z Eke氐：-ln

16、Zk、e-Ekk由(1)知e_Es 7匚=-El nZ l n._Es 二丄 R nZ l n代至(2)得l必 八 丄l nZ l n I 此二丄l nZ 丄.l n匚; CPs戸于是S=k InZ-B EZ三.推导题1 证明任何一种具有两个独立参量T, P的物质，其物态方程可由实验测量的体胀系数和等温压缩系数，根据下述积分求得lnV =： dT - ' Tdp，如果1 1? "t t =6，试求物态方程。解：体胀系数：.二丄空v I幻丿p以T, P为自变量，物质的物态方程为V 二V T,p其全微分为；:VdV=.#pd广詡V ,dp=WdT-gdpl即丿tdV dT - T

17、dpV这是以T , P为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，得InV -: dT - Tdp1根据题设，若二一，'rInV -则有InV = In T C , pPV=CT要确定常数C,需要进一步的实验数据。2均匀杆的温度一端为T1，另一端为T2，试计算达到均匀温度后的熵增。解:0第i处的初温为Ti 二 TixI设单位长度的定压热容量为Cx，Cp 二I Cx总熵变SxT22 dQ tTiT22C空T=Cx "才7仆-I nTiS = 0 Sxdxl=OCX仏5_inT】dx2 丿二 CxHCPin"2T2- CxIn yT1i- Cx ln T1xdxcpT2

18、 -T!=Cp .|ln2 T2lnT2-TiInTi JP 2T2-Ti一3假设自由电子在二维平面上运动， 面密度为n.试求0 K时二维电子气体的费 米能量、内能和简并压.解:考虑电子自旋有两种取向后， 二维电子气体在 ££+ d &的能量范围内电子的量子态数为D ； d ； = 4 ； md ；h2所以0K时电子的最大能量由下式确定:内能4 ：L2VJ0m；d ；0J0 4二L2o h24 二 L2Vmd ； = Nh2 N4二m L2j2 0m 2h24二 mL j2 0 二丄 N2 0N2对于二维电子气体， V = L22 XnA n2LI2 yn+12mJ

19、r22 Xn2 1-V-JhJ2 yn+所以 0K时的简并压p =J八a Ad|Vali l ：V i&対024. 以n表晶体中磁性原予的密度设原了的总角动量量子数为1 在外磁场下，原子磁矩可以有三个不同的取向，即平行、垂直、反平行于外磁场假设磁矩之 间的相互作用可以忽略试求在温度为T时晶体的磁化强度卩及其在弱场高温极限和强场低温极限下的近似值.依题意，原子具有三个状态，能量分别为 -卩B、0、卩B。按玻尔兹曼分布，原 子处于这些态的几率分别为CeB,C,CeB,其中C为归一化常数，由下式决定:Ce 由 C CeB =1.C =1/ e 用 1 e_B晶体的磁化强度E 二 N h Ce 由 0 C ：；CeiB 1=Ne £ e_B / e 弟 1 e_B-Nl e2-1 /e2 "B e 上 1弱场咼温极限下：Bu Bf 1此时e2 "B 1 2-Be'