2018年秋高中数学第三章统计案例3.2独立性检验的基本思想及其初步应用学案新人教A版选修

1、3.2独立性检验的基本思想及其初步应用学习目标：1.了解分类变量、2X2列联表、随机变量K2的意义.2.通过对典型案例的分 析，了解独立性检验的基本思想方法.(重点)3.通过对典型案例的分析， 了解两个分类变量 的独立性检验的应用.(难点)自主预习探新知1.分类变量和列联表(1)分类变量变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量.(2)列联表1定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表.22X2列联表一般地，假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为xi,X2和yi,y2，其样本频 数列联表(称为2X2列联表)为yiy2总计X1aba+bX2cdc+d总计a+cb+da+

2、b+c+d2.等高条形图等高条形图与表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等 高条形图展示列联表数据的频率特征.a c(2)观察等高条形图发现和 相差很大，就判断两个分类变量之间有关系.a十b c十d3.独立性检验定义利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验公式2n adbc2亠KT- - :-, ，其中n_a+b+c+da+bc+da+cb+d具体步骤1确定a,根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界a，然后查表确定临界值 &2计算K1 2,利用公式计算随机变量K2的观测值K3下结论，如果KK0,就推断“X与Y有

3、关系”，这种推断犯错误的概率不超过a；否则，就认为在犯错误的概率不超过a的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”思考：独立性检验的基本思想与反证法的思想有何相似之处?提示反证法假设检验要证明结论A要确认两个变量有关系在A不成立的前提下进行推理假设该结论不成立，即假设结论“两个变量没有关系”成立， 在该假设下计算K2推出矛盾，意味着结论A成立由观测数据计算得到的K2很大，则在一定可信程度上说明假设不合理没有找到矛盾，不能对A下任何结论，即反证法不成功根据随机变量K2的含义，可以通过K2的大小来判断“两个变量有关系”这一结论成立有多大把握基础自测1

4、判断(正确的打“V”，错误的打“X”)(1)分类变量中的变量与函数中的变量是同一概念.()(2)独立性检验的方法就是反证法.()(3)独立性检验中可通过统计表从数据上说明两分类变量的相关性的大小解析(1)X变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，象这样的变量称为分类变量，有时可以把分类变量的不同取值用数字表示，但这时的数字除了分类以外没有其他含义，而函数中的变量分为自变量与因变量，都是数的集合，有它们各自的意义.(2)X独立性检验的思想类似于反证法，但不能说它就是反证法.(3)V独立性检验是对两个分类变量有关系的可信度的判断，其结论是有多大的把握 确认两个分类变量有关系，可以通过统计表从数据上

5、进行运算，再进行判断.答案X(2)X(3)V2.下面是2X2列联表yiy2总计Xia2173X272027总计b41100则表中a,b处的值为（）A. 94,96B. 52,40C. 52,59D. 59,52C a=7321=52,b=a+7=52+7=59.3调查男女学生购买食品时是否看出厂日期与性别有无关系时，最有说服力的是（）【导学号：95032243】A.期望B.方差C.正态分布D.独立性检验D 要判断两个事件是否相关时，用独立性检验.4下面的等高条形图可以说明的问题是 _（填序号）.匚二 I 诱发社脏橋 匚二 I 未笈心駐病上肮捋桥术血畔清障术图3-2-11“心脏搭桥”手术和“血管

6、清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的；2“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同；3此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方；4“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不 同的，但是没有100%的把握.答案合作探究攻重难删L. J等高条形图的应用例为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下：组别阳性数阴性数总计铅中毒病人29736对照组92837总计383573试画出列联表的等高条形图， 分析铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别，铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系

7、?解等高条形图如图所示:其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕色素为阳性的频率.由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比， 尿棕色素为阳性的频率差异明显，因此 铅中毒病人与尿棕色素为阳性有关系.规律方法1利用等高条形图判断两个分类变量是否相关的步骤：(1)统计：收集数据，统计结果.列表：列出2X2列联表，计算频率、粗略估计.(3)绘图：绘制等高条形图，直观分析.2在等高条形图中，可以估计满足条件X=xi的个体中具有Y=yi的个体所占的比例cx=X2的个体中具有Y=yi的个体所占的比例-.两个比例的值c+d相差越大，X与Y有关系成立的可能性就越大.跟踪训练1.某学校对高三学生作了

8、一项调查发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张，作出等高 条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系.解作列联表如下:性格内向性格外向总计考前心情紧张332213545考前心情不紧张94381475总计4265941 020在考前心情紧张的群体中，性格内向的约占6 1 %在 考 前 心 情 不 紧 张 的 群 体 中 ， 性 格 内向的约占20%.绘制相应的等高条形图如图所示:aa+b，也可以估计满足条件I I|阳性l.o69OS0,70,60.50.40.30.20.10考前心出常脈考前心惜不肾张图

9、中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例，从图中可以看出考前心情紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例大，可以认为考前紧张与性格类别有关.健蚁. ._.J由K进行独立性检验仞 某校高三年级在一次全年级的大型考试中，数学成绩优秀和非优秀的学生中,物理、化学、总分也为优秀的人数如下表所示，则我们能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为数学成绩优秀与物理、化学优秀有关系？物理优秀化学优秀总分优秀数学优秀228225267数学非优秀14315699注：该年级此次考试中数学成绩优秀的有360人，非优秀的有880人.【导学号：95032244】思路探究首

10、先分别列出数学成绩与物理、化学、总分的2X2列联表，再正确计算K2的观测值，然后由K2的值作出判断.解(1)根据已知数据列出数学与物理优秀的2X2列联表如下：物理优秀物理非优秀总计数学优秀228b360数学非优秀143d880总计371b+d1 240b=360-228=132,d=880143=737,b+d=132+737=869.代入公式可得K2的观测值为k1疋270.114.(2)按照上述方法列出数学与化学优秀的2X2列联表如下：化学优秀化学非优秀总计数学优秀225135360数学非优秀156724880I I 41 格外向 匚二|性雄内向总计3818591 240代入公式可得K2的观

11、测值k2240.611.综上，由于K2的观测值都大于10.828，因此说明都能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为数学成绩优秀与物理、化学优秀有关系.规律方法1利用K2进行独立性检验的步骤列表：列出2X2列联表.(2)求值：求出K2的观测值k.(3)判断：与临界值比较，得出事件有关的可能性大小作出判断.2独立性检验的必要性列联表中的数据是样本数据， 它只是总体的代表， 它具有随机性，所以只能利用列联表 的数据和等高条形图粗略判断两个分类变量是否有关系而K2给出了不同样本容量的数据的统一评判标准利用它能精确判断两个分类变量是否有关系的可靠程度.跟踪训练2为了探究学生选报文、理科是否与对外语

12、的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人.能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“学生 选报文、理科与对外语的兴趣有关”？因为1.871X10二45.024)0.025,在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系.仞为了比较注射A,B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验,将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物代另一组注射药物B(1)甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率.(2)下表1

13、和表2分别是注射药物A和B后的试验结果.(疱疹面积单位：mr2)表1:注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积60,65)65,70)70,75)75,80)频数30402010表2:注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积60,65)65,70)70,75)75,80)80,8526.2335.024,频数1025203015完成下面2X2列联表疱疹面积小于70 mm疱疹面积不小于70 mm合计注射药物Aa=b=注射药物Bc=d=合计n=(2)2X2列联表如下.疱疹面积小于70 mm疱疹面积不小于70 mm合计注射药物Aa=70b=30100注射药物Bc=35d=65100合计105

14、95n=200母题探究：1.(改变问法)典例2中条件不变，改变问法：是否有99%的把握认为注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异？2MX 70X65-35X30100X100X105X95由于K26.635，所以有99%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的 疱疹面积有差异”.2.(改变问法)在典例2(2)中完成如图3-2-2所示的频率分布直方图，并比较注射两种 药物后疱疹面积的中位数大小.图3-2-2解如图所示图I注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图解_GG98_100P=P=丽224.56.-LlrHLIrhL4TJLN1-I4L.LL.Llrlr4 4.卜匚LJLJ7峪FX7&5432I6.635,42X2列联表和等高条形图都能反映出两个分类变量间是否相互影响.由分类变量的定义可知正确； 由2X2列联表的定义可知正确；2X2列联表和等高条形图都能展示样本的频率特征，若在一个分类变量所取值的群体中， 另一个分类变量所取值的频率相差较小， 则说明这两个变量不相互影响， 否则就相互影响.故正 确5.在国家未实施西部开发战略前，一新闻单位在应届大学毕业生中随机抽取1 000人问卷，只有80人志愿加入西部建设.而国家公布实施西部开发战略后，随机抽取1 200名应届大学毕业生问卷，有400人志愿加入国家西