2020届高考数学一轮复习第十篇10.4随机事件与概率练习(含解析)

1、专题10.4 随机事件与概率【考试要求】1 .理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系；2 .了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算；3 .理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则；4 .会用频率估计概率.【知识梳理】1 .样本点和样本空间随机试验的每一个可能的结果称为样本点，记作3；随机试验的所有样本点组成的集合称为样本空间，记作Q.2 .概率与频率(1)频率：在相同的条件 S下重复n次试验，观察某一事件 A是否出现，称n次试验中事件 A出现的次数nA nA为事件A出现的频数，称事件 A出现的比例fn(A)=nn为事件A出现的频率.(2)概率

2、：对于给定的随机事件 A,由于事件 A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).3 .事件的关系与运算定义付万表/、包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件 B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B? A（或 A? B）相等关系若B? A且A? BA= B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件 A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AU R 或 A+ B）父事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件 A发生且事件B发生，则称此事件为事件 A与事件B的交事件(或积事件)An B（或 AB互斥事件若An

3、 B为不可能事件，则称事件 A与事件B互斥An B= ?对立事件若An B为/、可能事件，AU B为必然事件，那么称事件 AAn B= ?与事件B互为对立事件RAU E) = 14 .概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0W RA)W1.(2)必然事件的概率 P(E) =1.(3)不可能事件的概率 R F) = 0.(4)互斥事件概率的加法公式如果事件 A与事件B互斥，则 RAU B)=RA) + P(B).若事件B与事件A互为对立事件，则 P(A) = 1P(B).【微点提醒】1 .任一随机事件 A都是样本空间 Q的一个子集，称事件 A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素.2 .从集合

4、的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集一(2)事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.3 .概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P( A U AUU A)=P(A1) +P(A2) +-+ P(A).【疑误辨析】1 .判断下列结论正误(在括号内打或“x”)(1)事件发生的频率与概率是相同的.()(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值.()(3)若随机事件 A发生的概率为 P(A),则0W RA) W1.()(4)6张奖券中只有一张有

5、奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.()【答案】(1) x (2) V (3) V (4) X【解析】根据概率相关概念可得。【教材衍化】2 .(必修3P123A3改编)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组10 , 20)20 , 30)30 , 40)40 , 50)50 , 60)60 , 70)频数234542则样本数据落在区间10, 40)的频率为()A.0.35B.0.45C.0.55D.0.65【答案】B【解析】由表知10, 40）的频数为2+3+4=9, 9所以样本数据落在区间10, 40）的频率为20= 0.45.3.（必修3P121T5改编）某小

6、组有3名男生和2名女生，从中任选 2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”（）A.是互斥事件，不是对立事件B.是对立事件，不是互斥事件C.既是互斥事件，也是对立事件D.既不是互斥事件也不是对立事件【答案】C【解析】“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况，这两种情况再加上“全是男生”构成全集，且不能同时发生，故“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件.【真题体验】4 .（2019 北京十八中月考）将一枚硬币向上抛掷 10次，其中“正面向上恰有5次”是（）A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.无法确定【答案】B【解析】抛掷10次硬币正

7、面向上的次数可能为010,都有可能发生，正面向上5次是随机事件.5 .（2018 全国出卷）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15 ,则不用现金支付的概率为 （）A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7【答案】B【解析】某群体中的成员分为只用现金支付、既用现金支付也用非现金支付、不用现金支付，它们彼此是互斥事件，所以不用现金支付的概率为1 （0.15 +0.45） =0.4.116.（2019 潍坊调研）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是-,乙获胜的概率是 -,则乙不输的概率是231 1 5【解析】乙不输包含两人下成和棋和乙获胜，且它们是互斥

8、事件，所以乙不输的概率为-+- = -.2 3 6【考点聚焦】 考点一样本点与样本空间【例1】 将一枚质地均匀的骰子相继投掷两次，请回答以下问题：(1)写出样本点和样本空间；(2)用A表示随机事件“至少有一次掷出1点”，试用样本点表示事件A;(3)用A(j =1, 2, 3, 4, 5, 6)表示随机事件“第一次掷出1点，第二次掷出j点”；用B表示随机事件“第一次掷出1点”，试用随机事件 A表示随机事件B.【答案】见解析【解析】(1)首先确定样本点，用 1, 2, 3, 4, 5, 6表示掷出的点数，用(i, j)表示“第一次掷出i点, 第二次掷出j点”，则相继投掷两次的所有可能结果如下：(1

9、 ,1)(1,2)(2,1)(2,2)(3,1)(3,2)(4,1)(4, 2)(5,1)(5,2)(6,1)(6,2)(1 ,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,3)(3,4)(4,3)(4,4)(5,3)(5,4)(6,3)(6,4)(1 ,5)(1,6)(2,5)(2,6)(3,5)(3,6)(4,5)(4,6)(5,5)(5,6)(6,5)(6,6)注意到(1 , 2)和(2 , 1)是不同的样本点，分别表示“第一次掷出1点，第二次掷出2点”和“第一次掷出2点，第二次掷出1点”这两个随机事件，因此样本空间共有36个样本点.把每个样本点称为基本事件 .样本空间为(1 ,1) ,(1

10、,2) ,(1 ,3) ,(1 , 4) ,(1 ,5) ,(1 , 6)(2 ,1) ,(2,2) ,(2,3) ,(2,4),(2 ,5) ,(2 , 6)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)Q =(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)=( i, j)| i , j = 1, 2, 3, 4, 5, 6.(2)因为随机事件 A= "至少有一次掷出1点”，则A包括上述样本空间中所

11、有出现1的样本点，因此(1 ,1) ,(1 , 2) ,(1 ,3) ,(1 , 4) ,(1 , 5), (1 , 6),A=(2,(1) (3,1),(4,1),(5,1),(6, 1)(3) A = (1 , j ) , j = 1, 2, 3, 4, 5, 6.因为这些事件任何一个发生事件B就发生，所以 B=AiU A2U A3U A4U AU A.1. 在具体问题的研究中，描述随机现象的第一步就是建立样本空间. 关于样本空间的几点说明:(1) 样本空间中的元素可以是数也可以不是数；(2) 样本空间中的样本点可以是有限多个的，也可以是无限多个的. 仅含两个样本点的样本空间是最简单的样本

12、空间；(3) 建立样本空间，事实上就是建立随机现象的数学模型. 因此，一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题.例如只包含两个样本点的样本空间Q=H, T,它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模型，也可以作为产品检验中合格与不合格的模型，又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型【训练1】 写出下列随机试验的样本空间Q.(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和Q=.(2)生产产品直到得到 10件正品，记录生产产品的总件数，Q =.【答案】(1)3 , 4, 5,，18(2)10 , 11, 12,【解析】根据样本空间概念可得。考点二随机事件的关系【例2】 (1) 把红、黄、蓝、白4

13、 张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”()A. 是对立事件B. 是不可能事件D. 不是互斥事件C. 是互斥但不对立事件(2)设条件甲：“事件 A与事件 B是对立事件”，结论乙：“概率满足RA) + RB)=1"，则甲是乙的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】(1)C(2)A【解析】(1) 显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件.(2)若事件A与事件B是对立事件，则 AU B为必然事件，再由概率的加法公式得

14、P(A)+RB) = 1;投掷一枚硬币3次，满足 RA)+P(B) = 1,但A, B不一定是对立事彳如：事件A： “至少出现一次正面”，事件 _71_一一 一一B： “出现3次正面”，则P(A) = -, RB)=k，满足RA +P(B) =1,但A B不是对立事件. 88【规律方法】1.准确把握互斥事件与对立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生2.判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件

15、，对立事件一定是互斥事件【训练2】从1, 2, 3, 4, 5这五个数中任取两个数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至 少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一 个是偶数.上述事件中，是对立事件的是 ()A.B.C.D.【答案】C【解析】从1, 2, 3, 4, 5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数.其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数构成对立事件又中的事件可以同时发生，不是对立事件考点三随机事件的频率与概率【例3】(2017 全国出卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相

16、同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：C)有关.如果最高气温不低于 25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间 20, 25), 需求量为300瓶；如果最高气温低于 20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计 了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10 , 15)15 , 20)20 , 25)25 , 30)30 , 35)35 , 40天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过

17、300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计 Y大于零的概率.【答案】见解析【解析】(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25,由表中数据可知，最高气温低于25的频率为 小黑36 = 0.6. 90所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为 0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温低于 20,贝U Y= 200X6+ (450 -200)X2- 450X4= 100;若最高气温位于区间20 , 25),则 Y 300X 6+ (450 300)X

18、2 450X4= 300;若最高气温不低于 25,则Y= 450X(6 4) =900,所以，利润 Y的所有可能值为100, 300, 900.Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36+ 25/ 7+ 4 =0.8.90因此Y大于零的概率的估计值为0.8.【规律方法】1.概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值2.随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这

19、个常数就是概率.【提醒】概率的定义是求一个事件概率的基本方法.【训练3】如图，A地到火车站共有两条路径Li和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)10 2020 30304040 5050 60选才i L1的人数612181212选才i L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有 40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径【答案】见解析【解析】(1)由已知共调

20、查了 100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),44，用频率估计相应的概率为p= = 0.44.(2)选才i L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为所用时间(分钟)10 2020 3030 4040 5050 60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(3)设A, A分别表示甲选择L1和匕时，在40分钟内赶到火车站；B,民分别表示乙选择 L1和L2时，在50分钟内赶到火车站.由(2)知P( A) = 0.1 + 0.2 + 0.3 = 0.6 ,P(A2) =0.1 +0.4 =0.5 ,P(A)>

21、RA2) , 甲应选择 L1.同理，RB) = 0.1 +0.2 +0.3 +0.2 =0.8 ,P(B2) =0.1 +0.4 +0.4 =0.9 ,P(B) vRB) , 乙应选择 L2.考点四互斥事件与对立事件的概率【例4】 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)( 一题多解)至少3人排队等候的概率.【答案】见解析【解析】记“无人排队等候”为事件 A, “1人排队等候”为事件 B, “2人排队等候”为事件 C, “3人排 队等候”为事件D), “4人排队等

22、候”为事件 E, “5人及5人以上排队等候”为事件 F,则事件A, B, C, D, E, F彼此互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件 G则G= AU BU C所以 P(G = P(AU BU C)=P(A)+RE) + P(C) = 0.1 +0.16 +0.3 =0.56.(2)法一记“至少3人排队等候”为事件 H,贝U H= DU EU F,所以 P( H) = P( DU EU F) = P( D) + R E) + P( F) = 0.3 + 0.1 + 0.04 = 0.44.法二 记“至少3人排队等候”为事件 H,则其对立事件为事件 G,所以RH> = 1 RG) =

23、0.44.【规律方法】 1.求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来.2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的一事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A) = 1 P( A)求解.当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法【训练4】(一题多解)一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球.从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.【答案】见解析【解析】法一(利用互斥事件求概率)记事件 A = 任取

24、1球为红球, A2=任取1球为黑球,A3=任取1球为白球 , A=任取1球为名球,.5 -4 1.2 1则 已八4二不，P(A2) = 1T=3，RA)= 12=6， 1212 312 6一 、1P(A4)=,根据题意知，事件 A, A, A, A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球是红球或黑球的概率为543P(A+A) =RA) +RA2) =用+而=4.(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为P( A+ A+ A =P(A1)+F(A2) + F( A)54211=+ + =12 12 12 12.法二(利用对立事件求概率)(1)由法一知，取出1球为红球或黑球的又立事件为取出

25、1球为白球或绿球，即 A+A的对立事件为 A+A,所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A+A) =1-P(A3+A4)= 1 P(A) P(A)213= 1-12- 12 = 4.(2)因为A+A+A的对立事件为 A,_.111所以 P(A + A2+A3)=1-P(A4)= 1-=.【反思与感悟】1 .随机试验、样本空间与随机事件的关系每一个随机试验相应地有一个样本空间，样本空间的子集就是随机事件2 .对于给定的随机事件 A,由于事件 A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率 RA).3 .对立事件不仅两个事件不能同时发生，而且二者必有一

26、个发生4 .求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算.(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A) = 1-P(A),即运用逆向思维(正难则反).【易错防范】1 .易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数2 .正确认识互斥事件与对立事件的关系，对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件3 .需准确理解题意，特别留心“至多” “至少” "不少于”等语句的含义【分层训练】【基础巩固题组】(建议用

27、时：40分钟)一、选择题1.下列说法正确的是()3A.甲、乙二人比赛，甲胜的概率为 则比赛5场，甲胜3场5B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%前9个病人没有治愈，则第 10个病人一定治愈C.随机试验的频率与概率相等D.天气预报中，预报明天降水概率为90%是指降水的可能性是 90%【解析】由概率的意义知 D正确.2 .有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是 ()A.互斥但非对立事件B.对立事件D.以上都不对C.相互独立事件【答案】 A【解析】由于每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生

28、，但能同时不发生，故是互斥事件，但不是对立事件 .1183 .设事件A, B,已知P(A)=-, P(B) =-, RAU B)=,则A, BN间的关系一定为()5315B.互斥事件D.对立事件A.两个任意事件C.非互斥事件【答案】B_118一 一. 一 .【解析】因为PAI +P(B) =-+-= P(AU B),所以A, BN间的关系一定为互斥事件.5 3 154 .(2018 石家庄模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5崎口 3%则抽检一件是正品(甲级)的概率为()A.0.95B.0.97C.0.92D.0.08【答案】

29、C【解析】记“抽检的产品是甲级品”为事件 A是“乙级品”为事件B,是“丙级品”为事件 C,这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)=1-F(B)-P(C) =1-5% 3险92除0.92.5 .围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出 2粒都是黑子的概率是1,都是白子的概率是12.则从中任735意取出2粒恰好是同一色的概率是 ()A.1B.12C.17D.173535【答案】 C【解析】设“从中取出2粒都是黑子”为事件 A, “从中取出2粒都是白子”为事件 B, “任意取出2粒恰好是同一色”为事件C,则C= AU B,且事件A与B互斥.，、1,-12由于 P(A) = Z, P(B)= 73

30、5一, 一1 12 17所以 P(G) = P(a)+RB)=3+h= 17. 7 35 35二、填空题6 .传说古时候有一个农夫正在田间干活，忽然发现一只兔子撞死在地头的木桩上，他喜出望外，于是拾起 兔子回家了，第二天他就蹲在木桩旁守候，就这样日复一日，年复一年，但再也没有等着被木桩碰死的兔 子，原因是.【答案】兔子碰死在木桩上是随机事件，可能不发生7 .(2019 济南模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A= 抽到一等品,事件B=抽到二等品,事件C- 抽到三等品,且已知 RA)=0.65 , P(B) =0.2 , RC) = 0.1 ,则事件“抽到的产品不是一等品”的 概率为.【答案

31、】0.35【解析】二事件A= 抽到一等品,且P(A) = 0.65 ,，事件“抽到的产品不是一等品”的概率为p=1 RA) = 1 0.65 =0.35.8 .(2019 北京东城区调研)经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下表：排队人数01234>5概率0.10.160.30.30.10.04则该营业窗口上午 9点钟时，至少有2人排队的概率是.【答案】0.74【解析】由表格知，至少有 2人排队的概率 p= 0.3 +0.3 +0.1 +0.04 =0.74.三、解答题9 .黄种人人群中各种血型的人数所占的比例见下表：血型ABABO该血型的人数所占的比例28

32、%29%8%35%已知同种血型的人可以互相输血，。型血的人可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血，若他因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？【答案】见解析【解析】(1)任找一人，其血型为A,B,AB,。型血分别记为事件A', B' ,C',D',它们是互斥的.由已知，有 P(A' ) = 0.28, P(B' )=0.29, P(C ) = 0.08 , P(D' ) = 0.35.因为B,。型血可以

33、输给B型血的人，故“任找一个人，其血可以输给小明"为事件B' U D',根据概率加法公式，得 P( B' U D' ) = R B' ) + P( D' ) = 0.29 + 0.35 = 0.64.(2)由于A, AB型血不能输给 B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件 A U C ,且P(A' U C' ) = RA' ) +P(C' )= 0.28 +0.08 =0.36.10 .某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的

34、关联如下：上年度出险次数01234>5保费0.85 aa1.25 a1.5 a1.75 a2a随机调查了该险种的 200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表:出险次数01234>5频数605030302010(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160% ,求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.【答案】见解析【解析】(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2,由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60+ 50200 = 0.55 ,故RA)的

35、估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4,由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30+30200故R B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得保费0.85 aa1.25a1.5a1.75 a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的 200 名续保人的平均保费为0.85 ax 0.30 + ax 0.25 + 1.25 ax 0.15 + 1.5 ax 0.15 + 1.75 ax 0.10 +2ax 0.05= 1.192 5 a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5 a.【能力提升题组】（建议用时：20分钟）11 .掷一个骰子的t佥，事件 A表示“出现小于5