浙江大学城市学院微积分ii(丙)练习册全部答案

1、编号 班级 姓名 - 54 -第八章 微分方程初步第一节 微分方程的概念1 验证函数是否为微分方程的解解：代入方程：因此是解。2验证由方程所确定的函数为微分方程的通解解：对两边求导，有，即有，是解有因为解中一个任意常数，任意常数个数与微分方程阶数相同，因此是通解。3验证函数是微分方程的通解，并求满足初始条件的特解解：将上式代入方程左边有：，有因为解中个任意常数，任意常数个数与微分方程阶数相同，因此是通解。由得：特解：第二节 一阶微分方程1、求下列可分离变量微分方程的通解（或特解）（1）解：（2）解：即为通解（3）解: 由，得（4） 解: 由，得，。2、求解下列齐次变量型微分方程（1）解: ,令

2、得: , 即有 .（2）解由初始条件，只要考虑在附近，即时解的情形，令 代入方程则为：由，得代入，化简可得3、求下列一阶线性微分方程的通解（或特解） (1) 解：(2)解：由初始条件，得特解为 (3) 解: 所以，解为、用适当的变量代换求解下列方程.（）令则，此时 ，原方程变为，此为可分离变量微分方程，易得此方程的通解为，从而原方程的通解为（）解：原方程即为,可得 ，令，则原方程变为 ，此为一阶线性微分方程，用公式法得通解为 从而原方程的通解为 第三节 可降阶的二阶微分方程求下列微分方程的通解（或特解）：1；解所给方程是 型，只需对方程两边连续积分两次，即可得通解，解所给方程是 型，只需对方程

3、两边连续积分两次，即可得通解，3 解：所给方程是型，令，代入方程得：，由得，即，由得，4 解：所给方程是型，令，代入方程并化简得：由，得，即，由，得. 解：所给方程是型，令，代入方程得：，所以6 ；解：所给方程是型，令，得，代入方程得：，由得，由得，所以 .第四节二阶线性微分方程的解的结构、第五节 二阶常系数齐次线性微分方程1、验证都是方程的解，并写出该方程的通解解：，因此是方程的解，同理可证是方程的解，方程的通解：2、若二阶非齐次线性方程的三个解为试写出该非齐次线性方程的通解（提示：非齐次线性方程的二个特解之差为对应的齐次线性方程的一个特解）解：由于是非齐次线性方程的二个特解，因此它们之差也

4、是对应的齐次线性方程的一个特解，同理也是对应的齐次线性方程的一个特解，对应的齐次线性方程的通解为：；非齐次线性方程的通解为3、求下列微分方程的通解（或特解）： (1) ;解：特征方程为：特征解：方程的通解为(2) , 解：特征方程为：特征解：方程的通解为由可得方程的特解为(3) 解：特征方程为：特征解：方程的通解为(4) 解：特征方程为：特征解：方程的通解为（5）解：特征方程为：,特征解：方程的通解为由,可得方程的特解为(6) 试建立二阶常系数齐次线性微分方程。已知其系数是实数，且其特征方程的一个根是，并写出微分方程的通解。解：方程的另一根为，设特征方程为：则由韦达定理，齐次线性微分方程为：，

5、方程的通解为 第六节 二阶常系数非齐次线性微分方程1求下列非齐次方程的通解或特解：(1) ，解：对应的齐次方程的特征方程为：,特征解：齐次方程方程的通解为设非齐次方程的一个特解为，代入方程得：得：非齐次方程的通解为：（），解：对应的齐次方程的特征方程为：,特征解：齐次方程方程的通解为，由于不是特征根，可设非齐次方程的一个特解为，应满足：即：得：非齐次方程的通解为：（3）解：对应的齐次方程的特征方程为：,特征解：齐次方程方程的通解为，由于是特征单根，可设非齐次方程的一个特解为，应满足：即：所以非齐次方程的通解为：所以由初始条件可得，特解为：。（4），解： 对应的齐次方程的特征方程为：,特征解：，

6、齐次方程方程的通解为，为了求出原方程的一个特解，可先求微分方程的一个特解，由于是特征单根，可设非齐次方程的一个特解为，应满足：即：所以取实部即得的一个特解：非齐次方程的通解为：（5），解：对应的齐次方程的特征方程为：,特征解：，齐次方程方程的通解为，为了求出原方程的一个特解，可先求微分方程的一个特解，由于不是特征根，可设非齐次方程的一个特解为，应满足：即：所以取实部即得的一个特解：非齐次方程的通解为：第八节 微分方程应用举例1 若曲线 与以为底围成的曲边梯形的面积与纵坐标的4次幂成正比，且，求些曲线方程 解：方程两边关于求导，得2一质量为m千克的物体在时刻由静止开始下落，已知空气阻力的大小等于

7、瞬时速度的二倍，试求该物体的运动方程（物体的位移与时间的函数关系）解：设运动方程为时刻的速度为加速度为则：即：且微分方程为二阶常系数非齐次微分方程，特征方程：特征根：对应的齐次微分方程的根为：而知的一个特解为：所以的通解为：由得所以物体的运动方程为：3. 写出一瓶从电冰箱中取出放于20房间中的橙汁其温度随时间变化的微分方程，并解此微分方程解：设时刻的温度为，由牛顿加热与冷却定理可知，满足解微分方程可得，由有T与t之间的函数关系为4长6m的链条自桌面上无摩擦地向下滑动，假定运动开始时,链条自桌面上垂下部分已有一半长，试问需要多少时间链条才全部滑过桌面 解：设经过时刻链条滑过桌面的位移为加速度为则

8、由牛顿第二定理可得：且微分方程为二阶常系数非齐次微分方程，特征方程：特征根：对应的齐次微分方程的根为：而知的一个特解为：所以的通解为：由得所以物体的运动方程为：令复习题八一单项选择题1微分方程是（ ），二阶、线性 三阶、可分离变量二阶、可降阶 线性、可降阶2若是方程的解，则所有的值是（）， 1，1 1，1 1，1 1，2 3已知是微分方程的特征方程的两个根，则微分方程是（）， 4若是微分方程的两个特解，则下列结论正确的是（ ）也是该方程的解 也是该方程的解是对应齐次方程的解 是对应齐次方程的解二填空题设，则方程的解是 ，若方程对应的特征方程的根为，则微分方程的通解是 ，方程的通解是 ，由解的叠

9、加原理，方程特解的形式是 三计算题1求解初值问题解：2求解初值问题解：由，得，问题的解为：3 解：所给方程是型，令，得，代入方程得：，由得由得，所以 .4求方程的通解 解：对应的齐次方程的特征方程为：,特征解：齐次方程方程的通解为，由于是特征单根，可设非齐次方程的一个特解为，应满足：即：所以，非齐次方程的通解为：.*四应用题一曲线通过点，曲线上任一点M处的法线与轴的交点记为N，设MN为定长，求此曲线方程解：设曲线方程为则点M处的法线方程为：其中是法线上的点，令得N点坐标由MN为定长得：即且这是可分离变量微分方程，可解得：.第九章 向量代数与空间解析几何第一节 空间直角坐标系第二节 向量的线性运

10、算与坐标表示1. 填空（1）已知点，则点在第 八 卦限，点 ， 为平面上的点，点 为轴上的点，点 既在面上也在上.(2) 点关于面的对称点是 （-3,2,1） , 关于面的对称点是 （3,2,-1） , 关于轴的对称点是 （-3,-2,1） , 关于轴的对称点是 （3,-2,-1） , 关于原点的对称点是（3,-2,1） .2分别求出点到坐标原点，轴及平面的距离。解：点到坐标原点的距离: 点到轴的距离: 点到平面的距离:2设三角形三个顶点分别为是的中点，求的长。解：的坐标：已知和,求（1）向量在三坐标轴上的分向量；（2）的模；（3）的方向余弦；（4）与平行的二个单位向量。解：（）向量在三坐标轴

11、上的分向量分别为：（）；（）因此的三个方向余弦为：；（）与平行的二个单位向量5从点沿的方向取,求点B的坐标. 解：点B的坐标为：6已知向量轴正向夹角分别为，且，求向量解：设向量与轴正向夹角为，则：7设有一位于原点质量为的质点和一位于点质量为的质点，求出质点对质点的引力的表示式解：第三节 向量的数量积与向量积1、证明：（1）若，则；（2）若，且，则两两垂直且都为单位向量。证明：（）（）因为，由定义可知两两垂直；因此有；得.2、 设，求,并求向量的夹角。解：. .3、已知求由坐标原点所构成的三角形的面积。解：4、已知，计算： (1) ，(), () 解：（）(),() 5、设，求与同时垂直的单位向

12、量。解：，6、设，的夹角为，求以为边的平行四边形的面积.解：7、试用向量证明直径所对的圆周角是直角。证：设直径为，圆心为，为圆周上的一点，则所以，即直径所对的圆周角是直角。第四节 平面方程与空间直线方程（一）1求过点且平行于平面的平面方程解：所求平面的一个法向：所以平面方程：即：2求平面和平面的夹角解：夹角的余弦：3求点到平面的距离 解：4一平面过点且平行于向量 ，试求：（1）该平面的一个单位法向量；（2）该平面的点法式方程；（3）该平面的截距式方程；（4）该平面的一般式方程 解：该平面的一个法向量：（1）单位法向：（2）该平面的点法式方程； （3）该平面的截距式方程；（4）该平面的一般式方程

13、5求通过轴和点的平面方程解：易知平面经过点和，它的一个法向：，平面方程：求平行于轴且经过点和的平面方程解：易知平面的一个法向：，平面方程：即求过点且垂直于平面和的平面方程解：平面方程：即第四节 平面方程与空间直线方程（二）1求过点且平行于直线的直线方程 解：直线方程2. 求过点且垂直于平面的直线方程 解：直线方程3求过点且与直线平行的直线方程解：直线的一个方向：直线方程4. 写出直线的对称式方程和参数方程在直线上解：在直线上任取一点，不妨取（3,0,-2）,直线的一个方向：直线对称式方程参数方程：求:（1）过点且垂直于直线的平面的方程；（2）平面与直线的交点；（3）点到直线的距离.解：（）直线

14、的一个方向：，平面的一个法向，平面的方程：即（2）平面与直线的交点：，可得，（3）点到直线的距离：6求直线在平面上的投影直线方程解：（）在直线上任取一点，不妨取（0,-1,-4），直线的一个方向：，设过直线且与平面垂直的平面的一个法向为：平面的方程为：即：，投影直线方程为：.第五节 曲面方程与空间曲线方程求下列球面方程（1）一条直径的两个端点分别为,（2）球心在且与轴相切解：（1）球心：，半径：；球面方程：,（2）半径：；球面方程：2指出下列方程所表示的曲面名称，并画出其图形：（1）, （2）.解：(1) 母线平行于轴的圆柱面，(2) 以z轴为对称中心开口向上的旋转抛物面 （3） （4） (3

15、) 以z轴为对称中心的旋转锥面(4) 母线平行于轴的抛物柱面.3试求平面上的曲线，分别绕轴和轴旋转一周所生成的旋转曲面方程解：绕轴：，绕轴： 4指出下列方程所表示的曲面名称 (1) ， (2) ，(3) , (4) (1) 椭球面； (2) 单叶双曲面；(3) 双叶双曲面； (4) 双曲抛物面5. 求曲线在平面上的投影柱面方程和投影曲线方程解：中消去z得投影柱面方程 投影曲线方程6画出下列各组曲面所围成的立体图形（）略（）略（）略复习题九一单项选择题 下列陈述正确的是（） 因为是单位矢量，必有 若，则必有若，则必有设是一个矢量的方向角,则有（ ） 可以是任意数. 3. 已知 , 且,则( )4

16、 3 5 44. 设直线与直线则与的夹角是( ) 二.填空题：1已知点P的坐标且到轴, 轴, 轴的距离分别是,则点P的坐标是 . 2 已知向量的终点与重合，则的起点坐标是 .3 过点 且与平面 平行的平面方程是 ，4过点且与直线平行的直线方程是 三.计算题 1已知单位向量满足,求2设，试求：（），（2），（3）（4）解：（）11，（2），（3）42 ，（4）求点 到直线 的距离解：过点平行于直线的平面的方程为：，即：直线与的交点为：解得：距离为： 4求过点和点，且垂直于平面 的平面方程解：所求平面方程：即： 5求两异面直线之间的距离解：在上取一点，记过且平行于的平面为，则的一个法向量为：的方程

17、：上任取一点，易知到的距离即为两异面直线之间的距离：6求原点关于平面对称点的坐标解：设对称点的坐标为：，则向量且在平面上，由此可得：， 解得对称点的坐标：。7求过直线，且与平面垂直的平面方程解：所求平面的一个法向量为：取直线上点所求平面方程：即： .8求过点且平行于平面，又与直线相交的直线方程解：过点且平行于平面的平面的方程为：，与的交点：解得：所求直线方程：，即。9求过点且与直线垂直相交的直线方程解：记过点和直线的平面为，过点和直线垂直的平面为，与的交线即为所求。在直线上取点，的一个法向为：的方程：，即，的方程：， 所求直线方程： . 10求经过坐标原点且与球面相切的平面方程解：球面方程即：

18、 球心为，所求平面的一个法向为：平面方程： .11球面与平面的交是一个圆，求此圆的半径和圆心解：原点到圆心的距离：，此圆的半径为： 过原点作平面的垂线，则的方程为：，与平面交点：即为圆心.12求下列曲线在平面上的投影柱面方程和投影曲线方程解：.投影柱面方程，投影曲线方程四证明题1设为三个任意向量，证明向量共面证明：所以共面.2原点到平面 的距离为 ，则有等式证明：，所以有：.第十章 多元函数微分学第一节 多元函数的基本概念1设函数求解：2确定下列函数的的定义域，指出是否为区域，是开区域还是闭区域，是否有界，并画出的图形；解：定义域：,有界闭区域；(图略)（2）解：定义域：,无界开区域.(图略)

19、3设函数，求4. 设，求解：令得：所以：因此：5求极限解：当时，是无穷小量，而是有界函数，所以6设函数，证明极限不存在证明：当点沿着轴趋向于时，；当点沿着直线轴趋向于时，；由于当点沿着不同路径趋向于时，趋向值不一样，因此不存在第二节 偏导数1求下列函数关于各个自变量的偏导数（1）；解：(2) 解：（3）解：2设函数，求 解：3设，求解：4在下列函数中，求：（1） ；,（2） 解：5. 设，求.解：，6证明函数，满足方程解：；同理：代入方程得：第三节多元复合函数偏导数1设 ，求2，求3设 ，求解：设则；4 设具有一阶连续偏导数, 求下列各函数的一阶偏导数：(1) ，求 (2) ，求 解： ；(3

20、) ， 求 5 .设而为可导函数，且,求证：.证明：6. 设,且具有二阶连续偏导数, 求. 解：7设,有二阶连续偏导数, 求解：第四节隐函数的偏导数1 .设下列方程所确定的函数为，求.(1) 解：令，(2) 解：令2. 求由方程确定的隐函数的偏导数.解：令；3设 是由方程确定的隐函数，其中为可导函数，求 解：令，；4. 设 是由方程确定的隐函数，求解：令，第五节全微分1. 求下列函数的全微分：（1） 解：，. （2）. ， , （3）. 2. 求函数.解：3. 利用全微分计算的近似值.解：设， ；考虑：；第六节空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线1求曲线在点处的切线方程与法平面方程2求曲

21、线在点处的切线方程与法平面方程3 求在圆柱面与平面的交线上点 处的切线方程和法平面方程4求下列曲面在指点处的切平面和法线方程：（1）.（2）.5求曲线上的点，使曲线在该点的切线与平面平行第七节多元函数的极值与最值问题1求下列函数的极值（1）；解：由解得驻点： ； 在点，且因此函数有极小值.在点， 不是极值点.在点，不是极值点在点，且因此函数有极大值31.（2）；解：由解得驻点： ； 在点， 不是极值点.在点，且因此函数有极大值（3）解：由解得驻点： ； 因此函数有极小值.2求函数在闭区域内的最值解：，即内部无驻点，因此在内部无最值，即最值只可能在上取到.令，因此有最大值5，最小值.3求函数在条

22、件下的极值（），要求用几何意义说明是极大值还是极小值4某工厂要用钢板做成一个体积为（单位：）的无盖长方体水箱，问怎样选取长、宽、高，才能最省材料？复习题十一、选择题（可多选）:(1) 二元函数，在点处是（ ）连续、偏导数存在 连续、偏导数不存在 不连续、偏导数存在 不连续、偏导数不存在（2）二元函数在点处的两个偏导数 都存在是在点处连续的（）充分条件而非必要条件必要条件而非充分条件充分必要条件 既非充分条件又而非必要条件（3）设在点的偏导数存在，（ ）A. B. C. D. (4) 设，则（ ）A. 为极值点B. 为驻点C. 在点有定义D. 为连续点(5)设在点的偏导数存在,则在该点（ ).(

23、A) 极限存在 (B)连续 (C)可微 (D)以上结论均不成立 (6) 曲面上点处的切平面与平面平行，则点的坐标是（ ） 二填空题： 函数，则 ，2由方程所确定的隐函数在点的全微分 ，= ，三计算题:设，求设， 求3. 设，其中具有二阶连续偏导数，求， 4. 设是由方程确定的隐函数，其中具有一阶连续偏导数，求全微分 5. 设是由方程确定的隐函数，求 6求在球面与锥面的交线上点处的切线方程和法平面方程7.求函数在由轴，轴以及直线所围成的闭区域上的极值和最值 8某公司通过电视和报纸作广告.已知销售收入R(万元)与电视广告费 (万元)、报纸广告费 (万元)的关系为第十一章 二重积分第一节 二重积分的概念和性质1试确定积分的符号，并说明理由解：2根据二重积分的性质,比较积分与的大小，其中由轴、轴