(完整版)【省会检测】2018年江西省南昌市高考数学一模试卷(理科)

1、第5页(共29页)2018年江西省南昌市高考数学一模试卷(理科)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.1 . 已知集合g &EN|y=4右,B=x|x=2n+1, nCZ,则 An B=()A. ( 8, 4 B. 1,3 C. 1, 3, 5 D. 1,32 .欧拉公式eix=cosxHsinx (i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数， 建立了三角函数和指数函数的关系， 它在复 变函数论里非常重要，被誉为 数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2亍1表示 的复数位于复平面中的()A

2、.第一象限B.第二象限 C第三象限 D.第四象限3.A.已知角a的终边经过点P (sin47 ； cos47),则sin ( a13°)4 .已知奇函数f (x)是函数f (x) (xCR)是导函数，若x>0时f (x) >0,A. f (0) >f (log32) >f ( log23)B. f (log32) >f (0) >f ( log23)C. f ( log23) >f (log32) >f (0)D. f ( -log23) >f (0) >f (log32)5,设不等式组，支田1)0表示的平面区域为 M,若直

3、线y=kx经过区域M内的、3其丁-54 0点，则实数k的取值范围为(A.,2 B.C. ：D.6.平面内直角三角形两直角边长分别为 a, b,则斜边长为J屋+b2，直角顶点到斜边的距离为,空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积 分别为S, S2, S3,类比推理可得底面积为2,则三棱锥顶点到底面的距离为(A.B.C.D.7.已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中网格是单位正方形，那么组合体的侧视图的面积为（A T B8.执行如图程序框图，则输出的D. 41 B. 2C. 3A.A.（-后x0冗）的图象大致为（函数f (x)9.2nB.C.D. 8D.10.已知具有线性

4、相关的五个样本点Ai(0,0),A (2,2),A (3,2),A4(4, 2), A (6, 4),用最小二乘法得到回归直线方程li: y=bx+a,过点Ai, A2 的直线方程l2： y=mx+n,那么下列4个命题中，正确命题的个数有(A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个K)|x-a|f x<a+l1,则实数a+ 1 | -ai 工a+1的取值范围为(A.得 g B.(,若f (x)的最大值不超过A, B是椭圆上两点,22，斗为二1, O为坐标原点,12 .已知椭圆及OA, OB 的斜率存在并分别记为 koA、koB,且/内嘘二卷，则75斤71的最小值为(A.B.f2二、填空题(

5、每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13 . 0+2 g-1)展开式中的常数项为 .14 .平面向量；=(1,m),自(4, n),若有(2| a |-|b |) Ca+b)=O ,则实数m>b, a>n；直线卜过点A3；£(¥-1)工-匕)'>£富f) 1=1i-1m=.15. 在圆x2+y2=4上任取一点，则该点到直线 x+y-m=0的距离dC0, 1的 概率为.16. 已知台风中心位于城市 A东偏北a （a为锐角）度的150公里处，以v公 里/小时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北为锐角）度的 200 公里处，

6、若 cosa =-cosP，贝U v=-三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.）17. （12.00分）已知等比数歹U an的前n项和为满足S=2a41, Ss=2a3-1.（1）求时的通项公式；（2）记 bn=log2 （an?an+1）,数列bn的前 n 项和为 Tn,求证：. T1 Tr18. （12.00分）某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各 40人，甲班按原有模式教学，乙 班实施教学方法改革.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学 成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在

7、50, 100,按照区间50, 60）, 60, 70）, 70, 80）, 80, 90）, 90, 100进行分组,绘制成如下频率分布直方图, 规定不低于80分（百分制）为优秀.（1）完成表格，并判断是否有90%以上的把握认为 数学成绩优秀与教学改革有 关”；甲班乙班总计大于等于80分的人数小于80分的人数总计(2)从乙班70, 80), 80, 90), 90, 100分数段中，按分层抽样随机抽取 7 名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自80, 90)发言的人数为随机变量X, 求X的分布列和期望.附：K2=一,产 _(a+b) Cc+d) (a+c) (b+d)P (K2>k0)

8、0.100.05 0.025k02.706 3.841 5.02419. (12.00分)如图，四棱锥 P- ABCD中，PA，底面ABCD ABCD为直角梯形, AD/ BC, AD±AB, AB=BC=AP=AD=3, ACA BD=Q 过 O点作平面 a平行于平面 PAB平面a与棱BC, AD, PD, PC分别相交于点E, F, G, H.(1)求GH的长度；(2)求二面角B-FHI- E的余弦值.B E C20. (12.00分)已知抛物线C: y2=2px (p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点F 的直线交 C于 A (xi, y1)，B (x2, y2)两点，y1

9、y2 = - 4.(1)求抛物线方程；(2)点B在准线l上的投影为E, D是C上一点，且 AD± EF,求zABD面积的21. (12.00分)已知函数f (x) =ln (ax) +bx在点(1, f (1)处的切线是y=0.(1)求函数f (x)的极值；(2)当咚代工)+宁武卬<。)包成立时，求实数m的取值范围(e为自然对数的底数).22. (10.00分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为产2G口5：(9产2贸n6 +2为参数)，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C的极坐标方程；(2)若直线11, 12的极坐标方程分别为Er) , bEr

10、)，设直 63线11, 12与曲线C的交点为O, M, N,求4OMN的面积.23. 已知 f (x) =| 2x+3a2| .(1)当a=0时，求不等式f (x) +|x-23的解集；(2)对于任意实数x,不等式|2x+1| - f (x) <2a成立，求实数a的取值范围.第7页(共29页)2018年江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 A二氏, B=x|x=2n+1, nCZ,则 An B=（）A. （ 8, 4 b. 1,3 C. 1, 3,

11、5 D. 1,3【分析】先解出集合A=0, 1 , 2, 3, 4,然后可判断1, 3CB,进行交集的运 算即可求出AH B.【解答解：A=0, 1, 2, 3, 4;对于集合B: n=0时，x=1; n=1时，x=3;即 1, 3C B；.An B=1, 3.故选：B.【点评】考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算.2 .欧拉公式eix=cosxHsinx （i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数， 建立了三角函数和指数函数的关系， 它在复 变函数论里非常重要，被誉为 数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，已方-1表示 的复数位于复平面中的（）A.第

12、一象限B.第二象限 C第三象限 D.第四象限【分析】直接由欧拉公式eix=cosxHsinx,可得TT3eJU .=cos；一"L?兀2第9页（共29页）兀兀 1二8一二工”则答案可求.【解答】解：由欧拉公式eix=cosxHsinx,可得巳$JT丁工表示的复数位于复平面中的第一象限.故选：A.【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义， 考查数学转化思想方法，是 基础题.【分析】根据三角函数的定义求出弦公式进行化简即可.3 .已知角 a的终边经过点 P (sin47 ； cos47), WJ sin ( a-13°)=(sin环口 cos%结合两角和差的正弦公式和余【解

13、答】解：1=3 3 / 犷=1，sin=cos47°, cos a 近门7=sin47 ；11贝 sin( a 13°) =sin a cos13°cos a sin13 0 =cos47° coss3i47 sin13 =cos(47 +13°)=cos60=,故选：A.【点评】本题主要考查三角函数的化简和求解，利用三角函数的定义结合两角和 差的正弦公式是解决本题的关键.4 .已知奇函数f (x)是函数f (x) (xCR)是导函数，若x>0时f (x) >0, 则()A. f (0) >f (log32) >f (

14、log23)B. f (log32) >f (0) >f ( log23)C. f ( log23) >f (log32) >f (0)D. f ( -log23) >f (0) >f (log32)【分析】判断f (x)的单调性和奇偶性，再判断大小关系.【解答】解：:1(x)是奇函数，且x>0时f (x) >0, 当 x<0 时，f'(x) <0, ，- f (x)在(-oo, 0)上单调递减，在(0, +OO)上单调递增， . 一 f'( x) =f'(x), f ( x) =f (x), f (x)是偶函

15、数. log23>log32>0, .f ( - log23) =f (log23) >f (log32) >f (0).故选：C.【点评】本题考查了函数单调性与奇偶性的判断与应用，属于中档题.5 .设不等式组表示的平面区域为M,若直线y=kx经过区域M内的产了0点，则实数k的取值范围为(A.幻B.+，y C【分析】画出不等式组对应的可行域，由于函数 y=kx的图象是过点0(0, 0), 斜率为k的直线1,故由图即可得出其范围.【解答】解：由不等式组 工31>0 ,作出可行域如图， .3x-y-540如图.因为函数y=kx的图象是过点0 (0, 0),且斜率为k的

16、直线1, 由图知，当直线1过点A (1, 2)时, k取最大值：2,当直线1过点B (2, 1)时，k取最小值：故实数k的取值范围是6，2.故选：C.【点评】本题考查简单线性规划，利用线性规划的知识用图象法求出斜率的最大 值与最小值.这是一道灵活的线性规划问题，还考查了数形结合的思想，属中档 题.6 .平面内直角三角形两直角边长分别为a, b,则斜边长为J石”，直角顶点到斜边的距离为 号，空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积 分别为S, S2, S3,类比推理可得底面积为+令弓 则三棱锥顶点到底面的 距离为（A.B.C.D.【分析】三棱锥P- ABC PA PB, PC两两垂直，P在

17、底面的射影为H,设PA=aPB=b, PC=q运用三棱锥的体积公式和等积法，计算可得所求距离.【解答】解：如图三棱锥P-ABC, PA, PB, PC两两垂直，P在底面的射影为H,设 PA=a PB=b, PC=c可得 S=-ab, S2=_bc, Ss=_coi,可得abc=2西区后，由题意可得底面积为 J,z+g/4sj,由等积法可得，x-yabc等PH/f,s/，【点评】本题考查类比推理的应用，注意平面与空间的区别和联系， 考查等积法 的运用，属于中档题.7 .已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中网格是单位 正方形，那么组合体的侧视图的面积为（A. 6+B. C.-；

18、 D. 8【分析】几何体为圆台和三棱锥的组合体，根据三视图的对应关系计算侧视图面 积.【解答】解：由正视图和俯视图可知几何体为下部为圆台，上部为三棱锥，其中圆台的上下底面半径分别为1, 2,高为2,三棱锥的高为2,底面为等腰三 角形，由俯视图可知底面等腰三角形底边的高为 ,故侧视图下部分为上下底分别为 2, 4,高为2的梯形，上部分为底边为一，高为2的三角形，.侧视图的面积为Lx （2+4） X 2+J-XAX2222 4 2故选：B.【点评】本题考查了简单组合体的结构特征与三视图，属于中档题.8.执行如图程序框图，则输出的n等于（第13页（共29页）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【分

19、析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变 量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【解答】解：模拟程序的运行，可得n=0,x=2L x 12 '.兀 a=- sin不满足条件a岑,执行循环体，不满足条件a巫,执行循环体，2不满足条件a6,执行循环体，2满足条件a专,退出循环，输出n=1, x= tt, a=sin 九=0o3兀 3兀例n=2, x,a=si=, 442o 兀| .冗M与n=3, x=, a=sin=_iL 33 2n的值为3.故选：C.【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程, 以便得出

20、正确的结论，是基础题.9 .函数f （x）e（-后x冗）的图象大致为（ eC【分析】利用函数的奇偶性排除选项 B,通过特殊点的位置排除选项 D,利用特殊值的大小，判断选项即可.sinx是奇函数，排除选项B;第17页(共29页)时,时,yy【点评】本题考查函数的图象的判断,函数的奇偶性以及特殊点的位置， 是判断7T x=47T X=2所以排除选项C.故选：A.函数的图象的常用方法.10 .已知具有线性相关的五个样本点Ai(0,0), A2(2,2),A3(3,2),A4(4, 2), A5 (6, 4),用最小二乘法得到回归直线方程li： y=bx+a,过点Ai, A2 的直线方程l2： y=m

21、x+n,那么下列4个命题中，m>b, a>n；直线li过点A3；上(右-匕式丁直)？>工叼f产 1=1i-l55£ I打一心工I tlI . (参 考 公 式i=li=ln n _E 打¥1F 封 E (叼-耳)(-¥)£ M£-nr2£ (叮7) 2i=li=l正确命题的个数有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【分析】首先求得a, b, m, n的值，然后结合所给的数据验证所给的算式是否 成立即可.【解答】解：由题意可得：£计2+3+4+6,3,亍+2+2+2+4二z，55n _E （叼-k）（

22、V）贝U: b；-T =06, a=y-bx=O. 2 ,i=L线性回归方程li为:0.6H0. 2，直线l2的方程为：y=x,故：b=0.6, a=0.2, m=1, n=0,说法正确；3X0.6+0.2=2, WJ直线li过小,说法正确；55E (y.-bx L-a) 2=0. 8 , E (yi-mxL-n)£=9 ,说法错误; i=ll=15£ |vrbxF=L6, i=l '5£ I y±-mi £-111= 5 ,说法错误; i=l综上可得：正确命题的个数有 2个.故选：B.【点评】本题考查线性回归方程及其应用，重点考查学生

23、对基础概念的理解和计算能力，属于中等题.设函数1 i+l | -ai sa+1若f （x）的最大值不超过1,则实数a的取值范围为（）A.得"）B.仔 +8）c.鲁 Q） D.4，【分析】讨论x<a+1时，x>a+1时，由指数函数、绝对值函数的单调性，可得最大值，解不等式即可得到所求范围.【解答】解：当x<a+1时，f (x) = (_) |xa在(-8, a)递增，a, a+1)递减，可得x=a处取得最大值，且为1；当 x>a+1 时，f (x) = - a - | x+11 ,当 a+1方 1,即 a> 2 时，f (x)递减，可得a-|a+2| &l

24、t;1,解得a> 一旦；2当a+1 < - 1,即a< - 2时，f (x)在x=- 1处取得最大值，且为-a0 1,则 aC?.综上可得a的范围是遍，+引.故选：A.【点评】本题考查分段函数的最值的求法， 注意运用分类讨论思想方法，以及指 数函数和绝对值函数的单调性，考查运算能力，属于中档题.12.已知椭圆瓦=1, O为坐标原点，A, B是椭圆上两点，OA, OB的的最小值为(斜率存在并分别记为kOA、kOB,且k。/kE二卷，则品-垢点A.B.B,利用两点之【分析】设椭圆的参数方程，根据直线的斜率公式，求得 a =间的距离公式，求得|OA|2+|OB|2=36,根据基本不

25、等式求得即可求得-r-Tp+j-i |。凶 | uE |的最小值.3 蓊sin $,仄0, 2任),【解答】解：设 A (2d6cos% 2/3sin 4, B (2/6cos匹0, 2冗)，由 koA?koB=-2V3sinCl X2V3sinP2倔as OX 2倔。s 5 一-0 整理得:cos a sin+sin a sin g =0 cosa- 份=0,贝U a-则 A (2例cos (-L+ 份，2V3sinB),即 A ( - 2asin B 2cos , . | OA| 2=24sin2 /12cos2 0 =12( 1+sin2 0), | OB| 2=12 (1 +cos2

26、0),则 | OA| 2+|OB| 2二36, | OA| ?| OB| <|0A | 2+106 产2=18,当且仅当|OA| =| OB ,即第21页（共29页）sin B上% B卷或当且仅当| OA| =| OB| ,即sin 0一11- L 2>？|= 泥,Nl 10B | 第瓦|记 718 3综上可知：而卜一的最小值学' 故选：C.【点评】本题考查椭圆的参数方程，直线的斜率公式，基本不等式的应用，考查 转化思想，属于难题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13 .（/2展开式中的常数项为4 .【分析】分别求出（x+2） 3的展开式中含x的项及常

27、数项，再由多项式乘多项式 求解.【解答】解：（x+2） 3的通项公式为二心又">=2'弓,/.取 3r=1,得 r=2.（x+2） 3的展开式中含x的项为12x,取 3-r=0,得 r=3. （x+2） 3的展开式中常数项为8,（什2）今-1）展开式中的常数项为12-8=4.故答案为：4.【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题.14 .平面向量£（1,田），正&而），若有（2 | a |-|b |） 1直+b=0 ,则实数m= ±2【分析】根据平面向量的模长公式与数乘向量，列方程求出 m的值.【解答】解：向量向

28、皿），百（4, m），若（2ii-ib i）g+e）=a则（2一屈/）?（5,加）与，2Vl+m2- J16+ni，=0，化简得m2=4,解得m=±2.故答案为：± 2.【点评】本题考查了平面向量的模长公式与数乘向量应用问题，是基础题.15 .在圆x2+y2=4上任取一点，则该点到直线 x+y-2=0的距离dC0, 1的 概率为工.一三一【分析】由题意画出图形，由弧长公式求出在圆 x2+y2=4上任取一点，该点到直 线x+y-班=0的距离dC0, 1的弧的长度，再由测度比为长度比得答案.【解答】解：如图,直线x+y 242=0与圆x2+y2=4相切于D,且OD=2,作与直线

29、x+y-2诉=0平行的直线交圆于 AB,由O到直线AB的距离OC=1,半径OA=2,可得/的月与劣弧雄的长度为爸x z号;而圆的周长为4 71, 在圆x2 +y2=4上任取一点,则该点到直线x+y-2/1=0的距离d e 0, 1的概率故答案为:3【点评】本题考查几何概型,考查直线与圆位置关系的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题.16 .已知台风中心位于城市 A东偏北a （a为锐角）度的150公里处，以v公 里/小时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北B（B为锐角）度 的200公里处，若cosa二9匚号p ,贝U v= 100 .【分析】如图所示：AB=150, AC=

30、20Q B=a, C邛，根据解三角形可得3sin a =4si" B，又COSaCOS®，求出COSB, COS 求出BC的距离，即可求出速度【解答】解：如图所示：AB=150, AC=20Q B=a, C邛，在 RtAADB 中，AD=ABsina =150sin, aBD=ABcos在 RtAADC 中，AD=ACsina =200sin, 0CD=ACcoS . 150sin a =200sin B即 3sin a =4sin O,又COS a亭OS 8，由解得 sin B固，cosB, sin 港,cos a三 5555BD=ABcos =15（X3=90, CD=

31、ACcoS =20（X=160, 55BC=B»CD=9O160=250,v=100,工5'故答案为：100.【点评】本题考查了解三角形的问题，以及三角函数的关系，属于基础题 三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.）17. （12.00分）已知等比数歹1an的前n项和为S,满足Sf2a41, &=2氏一1.（1）求a的通项公式；（2）记bn=log2 （an?an+1）,数列bn的前n项和为Tn,求证：匚2 .【分析】（1）设an的公比为q,由Si S3=a4得，2a4 2a3=a4,从而q=2.由S3=2a3 T,求出a1二

32、1.由此an的通项公式.（2） * bn=log2（an+1n）=ldg2（2nX 2n_1）=2n-l，得, 哨由三*【解答】解：（1）设an的公比为q,由Si-S3=a4得，2a4-2a3=a4,所以刍>二2,所以q=2.又因为S3=2a3 - 1,a3所以 aI+2a1+4a1=8a1 T,所以 a二1.所以4二2"1.证明：（2）由（1）知 bn=QgJ0rHl二1口g2（2rl 乂 2%】）二2口 T ,所以臬上号2口二，J所以一一,. T2 Tn I2 22 n 1乂2 2><3 1口-Dn=1+一共导七一"6n项和的求解，利用裂项求和法是解决

33、【点评】本题主要考查数列通项公式和前 本题的关键.18. (12.00分)某校为了推动数学教学方法的改革， 学校将高一年级部分生源情 况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各 40人，甲班按原有模式教学，乙 班实施教学方法改革.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学 成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在50, 100,按照区间50, 60), 60, 70), 70, 80), 80, 90), 90, 100进行分组,绘制成如下频率分布直方图， 规定不低于80分(百分制)为优秀.(1)完成表格，并判断是否有90%以上的把握认为 数学成绩优秀与教学改革有 关”；甲班乙班总计大于等

34、于80分的人数小于80分的人数总计(2)从乙班70, 80), 80, 90), 90, 100分数段中，按分层抽样随机抽取 7 名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自80, 90)发言的人数为随机变量X, 求X的分布列和期望.附：K2=C史卜亚P (K2>k0)0.100.05 0.025ko2.706 3.841 5.024【分析】(1)依题意求出K2 = 3.333>2.706,从而有90%以上的把握认为 数学成 绩优秀与教学改革有关(2)从乙班70, 80), 80, 90), 90, 100分数段中抽人数分别为 2, 3, 2,依题意随机变量X的所有可能取值为0, 1,

35、2, 3,分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望.【解答】解：(1)依题意得K之二我;3332. 706,有90%以上的把握认为数学成绩优秀与教学改革有关(2)从乙班70, 80), 80, 90), 90, 100分数段中抽人数分别为 2, 3, 2,1, 2,3,依题意随机变量X的所有可能取值为0,X 0123第23页(共29页)数学期望【点评】本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、 等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.19. (12.00分)如图，四棱锥 P- ABCD中，PA，底面ABCD ABCD为直角梯形, AD/ BC, AD&

36、#177;AB, AB=BC=AP=AD=3, ACA BD=Q 过 O点作平面 a平行于平面 PAB平面a与棱BC, AD, PD, PC分别相交于点E, F, G, H.(1)求GH的长度；(2)求二面角B-FHI- E的余弦值.【分析】（1）法一：推导出 EF/ AB, EH/ BP, FG/ AP,从而 BOg DOA, 且眼,马二连接HO,则有HO/ PA过点H作HN/ EF交FG于N,由此能求 AD A0 2出GH.法二：由面面平行的性质定理，得 EF/ AB, EH/ BP, FG/ AP,彳HN / BC, HN n PB=N GM/AD, HN/ GM, HN=GM,故四边形

37、 GMNH 为矩形，即 GH=MN, 由此能求出GH.（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 B-FHI- E的余弦值.【解答】 解：（1）解法一：因为 a/平面PAB平面 小平面ABCD=EF OC EF,平面 PAET平面 ABCD=AB 所以 EF/ AB,同理 EH/ BP, FG/ AP,因为 BC/ AD, AD=6, BC=3所以BO8ADOA,且二二二二二 AD A0 2所以黑4, CE寺B=L BE=AF名同理里也£山PC PB CA 3?连接HO,则有HO/ PA,所以HO± EO, HO

38、=1,所以同理，FG=7PA=2,过点 H 作 HN / EF交 FG于 N,贝=后 解法二：因为 a/平面PAB平面aA平面ABCD=EF OC EF,平面PABT平面ABCD=AB根据面面平行的性质定理，所以 EF/ AB,同理EH/ BP, FG/ AP,因为 BC/ AD, AD=2BC 所以 BOB/XDOA,且常枭4，第#页（共29页）又因为 COaAOF, AF=BE 所以 BE=2EC同理 2AF=FD 2PG=GD窗二 AB 二 39FG 二 5/二 2第29页(共29页)如图：作 HN/BC, HNA PB=N GM/AD, GMAPA=M,所以 HN/GM, HN=GM,

39、故四边形GMNH为矩形，即GH=MN,在4PMN中，所以腑卬市多 2&X 8/5所以GH二日.解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示空间直 角坐标系,B (3, 0, 0), F (0, 2, 0), E (3, 2, 0), H (2, 2, 1),2. 1),而“2,。，1)，设平面BFH的法向量为不依，yf工）,n，BH二-富+2y+工二0FH=2x+z=0令 z=- 2,得2(1.-2)因为平面EFGH/平面PAB所以平面EFGH的法向量£（口，1,0），故二面角B-FH-E的余弦值为等.【点评】本题考查线段长的求法，考查二面角的余弦值

40、的求法，考查空间中线线、第23页（共29页）线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想， 是中档题.20. (12.00分)已知抛物线C: y2=2px (p>0)的焦点为F,准线为1,过焦点F 的直线交 C于 A (xi, yi), B (x2, y2)两点，yiy2 = - 4.(1)求抛物线方程；(2)点B在准线1上的投影为E, D是C上一点，且 AD± EF,求zABD面积的 最小值及此时直线AD的方程.【分析】(1)根据题意，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，求出 p的值，综 合即可得答案；，、n _ (2)根据题意，设D (X0, yo)

41、,t),分析可得E、A的坐标，进而可得直线AD的方程，结合三角形面积公式可以用 t表示 ABD面积，利用基本不等 式的性质分析可得答案.【解答】解：(I )依题意/4，0),当直线AB的斜率不存在时，| AB| =- p2=- 4, p=2当直线AB的斜率存在时，设 的 尸卜(话)由 yiy2= - 4 得 p2=4, p=2,所以抛物线方程y2=4x.2(H)设 D (xo, yo), B(亍，+)，则 E ( 1, t),一 , 4、又由y1y2= 4,可得人(一1)因为脸二4AD，EF,所以“等,故直线加y+/U(L?)Il y2=4i 由"去_十4”-0，化简得-2tyg音=

42、Q，所以y/v产2* VI¥产-8-号 乙K 1_5/寸鼻Ut'ta所以.设点B到直线AD的距离为d ,则d=2勺-1| 112主号4g I24+t2所以S/Ubd专匝1 d=N(t,争8>18,当且仅当t4=i6,即t=±2,当 t=2 时，AD: x-y 3=0, 当 t= -2 时，AD: x+y3=0.【点评】本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与抛物线的位置关系，(1)中注意直线的斜率是否存在.21. (12.00分)已知函数f (x) =ln (ax) +bx在点(1, f (1)处的切线是y=0.(1)求函数f (x)的极值；(2)当1->

43、f(x) (Y 0 )包成立时，求实数m的取值范围(e为自然对数的底数).【分析】(I )求出p二旦十rL十b,由导数的几何意义得 f (x) =lnx-x+1ax x(xC (0, +00),由此能示出f (x)的极值.2(u )当皿*,f(宜)+上之k (m<0)在xC (0, 十8)恒成立时，外>1 "篁£产工已x eIJ(m<0)在 xC (0, +00)包成立，法一：设式x)二四，爪幻金曲)-2,则/ (工)二血迪，廿k)二-警，g 心又巳exw(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +8)上单调递增，吕a八通二屋1)二里；h(K) =h(l)

44、-l - g (x), h (x)均在 x=1 处取得最值，要使 g (x) >h (x) 九" e包成立，只需g (x) min >h (x) max,由此能求出实数m的取值范围.法二：设式©二1mt"(x (0, +00),贝(J/ (今)二一尊 押kT),z eK ey2 ex式k 飞(1)=1-2.(0 ,由此能求出实数m的取值范围.ji0Ke e【解答】解：(I )因为f (x) =ln (ax) +bx,所以产(公二3+b十h, az 支因为点(1, f (1)处的切线是 y=0,所以 f (1) =1+b=0,且 f (1) =lna+b

45、=0所以 a=e, b= 1,即 f (x) =lnx x+1 (xC (0, +00)所以p(K)二2_土L,所以在(0, 1)上递增，在(1, +8)上递减所以f (x)的极大值为f (1) =lne- 1=0,无极小值.(R )当->岂置)+，工 (m<0)在xC (0, +00)恒成立时，由(I ) f (x) =lnx- x+1,即胆？1n肝1 -24(m<0)在xC (0, +8)包成立，eK x e解法一：设式6二些.h&)一£ J -2,贝股'Rlr)仁工)二亭， Jx 巳ex/又因为 m<0,所以当 0Vx<1 时，g&

46、#39; (x) <0, h' (x) >0；当 x>1 时，g' (x) >0, h' (x) <0.所以g (x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +°°)上单调递增，式K)-飞(1)=巫；h (x)在(0, 1)上单调递增，在(1, +00)上单调递减， nin巳Mk)二hfl).JiLoA色所以g (x), h (x)均在x=1处取得最值，所以要使g (x) > h (x)恒成立， 只需 g (x) min> h (x) max,即典解得 m> 1 - e,又 m<0,所以实数m的取值范围是1-e, 0).解法二：设式(x (0, +8),贝,(富”一呼严(k-Dx es e产 es当 0<x< 1 时，lnx>0, x- 1 <0,