第十三讲刚体地运动和动力学问的题目

1、实用标准文案第十三讲刚体的运动学与动力学问题一竞赛内容提要1、刚体；2、刚体的平动和转动；3、刚体的角速度和角加速度；4、刚体的转动惯量和转动动能；5、质点、质点系和刚体的角动量；6、转动定理和角动量定理；7、角动量守恒定律.二竞赛扩充的内容1、刚体：在外力的作用下不计形变的物体叫刚体.刚体的根本运动包括刚体的平动和刚体绕定轴的转动,刚体的任何复杂运动均可由这两种根本运动组合而成.2、刚体的平动；刚体的平动指刚体内任一直线在运动中始终保持平行,刚体上任意两点运动的位移、速度和加速度始终相同.3、刚体绕定轴的转动；刚体绕定轴的转动指刚体绕某一固定轴的转动,刚体上各点都在与转轴垂直的平面内做圆周运

2、动,各点做圆周运动的角位移、角速度 3 和角加速度3相同可与运动AGAco学的s、v、a进行类比.且有：=晒3T；L那么t.当3为常量时,刚体做匀加速转动,类似于匀加速运动,此时有：=30+3t；=虫0+30t+312/2；CO2-CO02=23一0.式中,0、30分别是初始时刻的角位移和角速度.对于绕定轴运动的刚体上某点的运动情况,有：v=coRaT=3R,an=jR=V7R,式中,R是该点到轴的距离,a-an分别是切向加速度和法向加速度.例1有一车轮绕轮心以角速度 3 匀速转动,轮上有一小虫自轮心沿一根辐条向外以初速度V0、加速度a作匀加速爬行,求小虫运动的轨迹方程.例2一飞轮作定轴转动,

3、其转过的角度0和时间c都是恒量,试求飞轮角加速度的表示式及距转轴例3如下图,顶杆AB可在竖直槽K内滑动,其下端由凸轮K推动,凸轮绕O轴以匀角速度转动,在图示瞬间,OA=r,凸轮轮缘与A接触处,法线n与OA之间的夹角为&,试求此瞬时顶杆OA的速度.精彩文档t的关系式为：0=at+bt2ct3,式中,r处的切向加速度和法向加速度.a、b、实用标准文案例4人在电影屏幕上看到汽车向前行驶,车轮似乎并没有转动时,那么汽车运动的可能的最小速度是多少？电影每秒钟放映24个画面,车轮半径为0.5m.例5在水平路面上匀速行驶的拖拉机前轮直径为0.8m,后轮直径为1.25m,两轮的轴的距离为2m,如下图,

4、在行驶过程中,从前轮边缘的最高点A处水平飞出一小石块,0.2s后后轮边缘的最高点B处也水平飞出一小石块,这两块石块先后落在地面上同一处,求拖拉机行驶时速度的大小.例6如下图,由两个圆球所组成的滚珠轴承内环半径为R,外环半径为R,在两环之间分布的小球半径为r.外环以线速度vi顺时针方向转动,而内环那么以线速度V2顺时针方向转动,试求小球中央在围绕圆环的中央顺时针转动的线速度v和小球自转的角速度 3.设小球与圆环间无滑动.例7木板从空中下落,某时刻,板上a、b两点速度相同,Va=Vb=v,a、b两点均位于板面上,同时还发现板上c点速度为2v,c点到a和b两点的距离等于a和b两点间的距离.问板上那些

5、点的速度等于3v?4、力矩1对转动轴的力矩如图,转动轴过O点并垂直于纸面,过P点的力F对O轴的力矩M=Fr.其中,r为力臂.r=psin0,M=Fsin0p.即,F对轴O的力矩,等于F垂直于OP连线的分力F.与OP的积：M=Fp.当力的作用线不在垂直于轴的直线上时,可将力F分解为平行于轴的分量F和垂直于轴的分量F其中,F对物体绕轴的转动没有奉献,B就是F在垂直于轴的平面上的投影,此时,F对轴的力矩可写成：M=FI-psin.精彩文档实用标准文案2对参考点的力矩如图,F对O点的力矩M=Fsin.p.5、质点的角动量如右下列图,质点m对点O的角动量L=rxp=r-psin0=mvrsin0,角动量

6、又叫做动量矩与力矩类比.同一质点对不同的参考点的角动量是不同的.特别地,当pr时,角动量L=mvr.6、质点系或刚体的角动量即各质点角动量的总和,L=Emvim=IZmri2co=Ico.其中,I是刚体的转动惯量I的数值不要求会计算.质点对轴的转动惯量为：I=mr2,r是转动半径.7、刚体的转动动能刚体的动能包括质心的平动动能EK=mV/2和相对质心的转动动能,其中,转动动能的大小：Ek=!2mv：/2=1/2IZmri2w2=1/2I牙2.8、刚体绕定轴转动的根本规律力矩M和角加速度3的关系M=I3类比于F=ma；2合力矩做的功和刚体转动动能的W=F-S=F-r0=M0=1/2Icot2-1

7、/2I30；与动能定理类比.2质点、质点系或刚体的角动量定理L=EniViri假设是质点那么不用汇符号,/L/t=汇L/t=!2Fi+fim,式中,Fi表示第i个质点受到的外力,fi表示该质点受到的系统内力.;内力矩为零,/L/t=ERri=M#,即M外/t=LtL.与动量定理类比.角动量定理可写成分量式.3质点、质点系或刚体的角动量守恒定律当M外=.时,L=!量与动量守恒类比,即系统的角动量守恒.其中,M外=.有以下三种情况：i体系不受外力,即Fi=0合外力为零 w 合力矩为零,如力偶矩的情况；ii所有外力都通过定点这种外力叫有心力,如卫星所受的万有引力,尽管外力的矢量和不为零,但每个外力的

8、力矩都为零；iii每个外力的力矩不为零,但外力矩的矢量和为零.A,一/m,1例8、质量为m,长为l的均质细杆,绕着过杆的端点且与杆垂直的、轴以角速度 3 转动时,它的动能和相对端点的角动量的大小分别为R=I32/2,L=I,其中,I=ml2/3,现将此杆从水平位置由静止释放,设此杆能绕着过A的固定光滑细轴摆下,当摆角从.达.时,试求：1细杆转动的角速度 3 和角加速度3;2固定光滑细轴为杆提供的支持力.例9、质量为M,半彳仝为R的均质圆盘,绕过圆心且与圆盘垂直的轴以角速度旋转时的角动量大小为L=Ico,其中,I=MR2/2,如图,细绳质量可忽略,绳与圆盘间无相对滑动,滑轮与轴之间无摩擦,mm,

9、试求物体运动的加速度.1m1精彩文档实用标准文案例10、在光滑的水平面上,两个质量分别为m和m的小球,用长为l的轻线连接,开始时,线正好拉直,m和m2的速度分别为vi和V2ViV2,它们的方向相同,并垂直于连线,试求：系统相对质心的角动量为多大？2线中的张力为多大？例11、如下图,在光滑水平面上,质量均为M的两小球用长为l的轻杆相连,另一质量为m的小球以Vo的速率向着与杆成.角的方向运动,假设1碰后m以vo/2的速率沿原路线反弹,试求碰后轻杆系统绕其质心转动的角速度 3.2假设M=m且9=45.,小球m以某一速率V.与杆上一球发生弹性碰撞后,沿垂直于原速度的方向运动,如图虚线箭头所示方向,求碰

10、后小球的速度及轻杆绕其质心转动的角速度.例12、 一质量m=1.40X104kg的登陆飞船,在离月球外表高度h=100km处绕月球做圆周运动,飞船采用如下登月方式：当飞船位于图中A点时,它向外侧即沿OA方向短时间喷气,使飞船与月球相切地到达B点,且OALOB试求飞船到达月球外表时的速度.月球半径R=1700km月球外表2的重力加速度为g=1.62m/s.例13、如图,一长为L,质量为m的均质棒被两根细线水平悬挂在天花板上,某时刻,右边的线断了,问线断瞬间,左边线中的张力是多大？棒绕其一端的转动惯量I=ml2/3.m精彩文档实用标准文案例14、一颗卫星沿椭圆轨道绕地球运行,在近地点,卫星与地球中

11、央的距离为地球半径的3倍,卫星的速度为在远地点时速度的4倍,求在远地点时卫星与地球中央的距离为地球半径的多少例15、两个质量均为m的小球,用长为l的绳子连接起来,放在一光滑的水平桌面上,给其中一个小球以垂直于绳子方向的速度V0,如下图,求此系统的运动规律和绳中的张力大小.例16、小滑块A位于光滑的水平桌面上,小滑块B位于桌面上的光滑小槽中,两滑块的质量都是m并用长为1、不可伸长的、无弹性的轻绳相连,如下图,开始时,A、B间的距离为1/2,A、B间的连线与小槽垂直,今给滑块A一冲击,使其获得平行于槽的速度V0,求滑块B开始运动时的速度.例17、如下图,质量均为m的两小球系于轻弹簧的两端,并置于光

12、滑水平桌面上弹簧原长为a,劲度系数为ko今两球同时受冲力作用,各获得与连线垂直的等值反向的初速度,假设在以后运动过程中弹簧的最大长度b=2a,求两球的初速度voo精彩文档实用标准文案例19、1质量为m的人造地球卫星作半径为r.的圆轨道飞行,地球质量为M试求卫星的总机械能；2假设卫星运动中受到微弱的磨擦阻力f常量,那么将缓慢地沿一螺旋轨道接近地球,因f很小,轨道半径变化非常缓慢,每周白旋转都可近似处理成半径为r的圆轨道运动,但r将逐周缩短,试求在r轨道上旋转一周,r的改变量r及卫星动能国的改变量/日.例20、图中a为一固定放置的半径为R的均匀带电球体,O为其球心,取无限远处的电势为零时,球外表处

13、的电势为U=1000V在离球心O很远的O点附近有一质子b,它以E=2000eV的动能沿与OO平行的方向射向a,以L表示b与OO线间的垂直距离.要使质子b能够与带电球体a的外表相碰,试求L的最大值.把质子换成电子,再求L的最大值.例21、由火箭将一颗人造卫星送入离地面很近的轨道,进入轨道时,卫星的速度方向平行于地i面,其大小为在地面附近做圆运动的速度的牙3/2倍,试求该卫星在运行中与地球中央的最远距离.精彩文档例18、在半顶角为a的圆锥面内壁离锥顶一质量为m的小球,设锥面内壁是光滑的.匀速圆周运动,那么初速vo为多少？2最大高度和最小高度.h高处以一定初速度沿内壁水平射出1为使小球在h处的水平面

14、上做假设初速vi=2v0,求小球在运动过程中的实用标准文案例22,如下图,在水平光滑平面上开有一个小孔,一条绳穿过小孔,其两端各系一质量为m的物体,桌上的物体那么以V0=352gr02的速率做半径为r0(即桌上局部的绳长)的匀速圆周运动,然后放手,求以后的运动中桌上局部绳索的最大长度和最小长度.例23,一块半径为R的水平轻质圆盘,可绕过其圆心O的竖直轴自由旋转,在圆盘下面的边缘处等间隔地系有四个质量都为m的小球,如下图.开始时,圆盘静止,一辆质量也为m的玩具汽车从O出发,以恒定的相对于盘的速率V0沿半径驶往盘边,并沿盘边行驶,试求：(1)当玩具汽车沿半径行驶时,圆盘的转动角速度 31；(2)当

15、玩具汽车沿盘边行驶时,圆盘的转动角速度 32.例24,假设上题中的竖直轴不经过圆心,而经过某一小球的位置处,玩具汽车从该轴处以恒定的相对于圆盘的速率vo沿盘边行驶,试求：(1)当玩具汽车行驶到第二小球位置处(即行驶了半圈)时,圆盘的转动角速度 31；(2)当玩具汽车行驶到第三小球位置处(即行驶了3/4圈)时,圆盘的转动角速度 32；(3)当玩具汽车回倒转轴处时,圆盘的转动角速度 33.例25,在一根长为3L的轻杆上打一个小孔,孔离一端的距离为L,再在杆的两端及距另一端为L处各系一质量为M的小球,然后通过此孔将杆悬挂于一光滑的水平细轴O上,如下图.开始时,轻杆静止,一质量为m的小铅粒以V0的水平

16、速度射入中间的小球,并留在里面.假设铅粒相对小球静止时杆的角位移可以忽略,试求杆在以后摆动中的最大摆角.MM-j丁.*.v0m.mMM精彩文档实用标准文案例26,一质量为M,半径为a的圆筒A被另一质量为M、 半径为b的圆筒B同轴套在其外,均可绕轴自由旋转.在圆筒A的内外表上散布了薄薄的一层质量为M的砂子,并在壁上开有许多小孔.在t=0时,圆筒以角速度 30绕轴匀速转动,而圆筒B那么静止.翻开小孔,砂子向外飞出并附着在B筒的内壁上,如下图.设单位时间内喷出砂子的质量为k,并忽略砂子从A筒飞到B筒的时间,求t时刻两筒旋转的角速度.例27,光滑水平面上有一小球A被一轻绳拴住,轻绳穿过平面上小孔O与小球B连接.开始时A球在水平面上绕O做匀速圆周运动,B球静止地向下垂挂着,如下图.今使小球B的质量缓慢增加,直到A球绕O点做匀速圆周运动的半径缩短一半,试问此时B球质量为初始质量的多少倍？例28,实心圆柱体从高度为h的斜坡上由静止做纯滚动到达水平地面上,且继续做纯滚动,与光滑竖直墙发生完全弹性碰撞后返回,经足够长的时间后重新做纯滚动,并