2024届高考数学高考总复习：集合与常用逻辑用语集合的概念与运算

2024届高考数学高考总复习.集合与常用逻辑用语集合的概念与运算

1.集合的基本概念

(1)集合的概念：:

(2)集合中元素的三个特性：

(3)集合的三种表示方法:

2.集合的运算(1)子集：若对于任意的xe/都有xWB,则

若任3,且,则/B；。是集合的子集,

是集合的真子集.

(2)交集：AC8={:}；

(3)并集：AUB={}；

(4)补集：若〃为全集，AJU,

贝式的={};AH[UA=；

AU[UA=；MUA)^.

3.集合的常用运算性质

(1)JCgAnB=台,UB=.

(2)=；

____________；

(3)card(4U而=card(/)+card(而—.

题型一集合的基本概念

例1(1)设集合P={x|x=(+/,«ez},g={x|x=1+|,«ez},则()

A.P=QB.P(Ze

c.QUPD.PCQ=。

(2)若集合A={y|j=3"i},B={x\y—yjlx2),则ACB=()

A.0B.[-1,0)

c.(0,1]D.[-1,1]

思考题1⑴设201ie{x,旧,x2},则满足条件的所有x组成的集合

的真子集的个数为()

A.3B.4

C.7D.8

思考题：设S为复数集。的非空子集.若对任意x,yes,

都有x+y，x—y,xy《S,则称S为封闭集.下列命题：

①集合S={a+6i|a,6为整数，i为虚数单位}为封闭集；

②②若S为封闭集，则一定有OGS；③封闭集一定是无限集；

③④若S为封闭集，则满足SW7EC的任意集合7也是封闭集.

④其中的真命题是.（写出所有真命题的序号）

题型二集合间的基本关系

例2（1）已知全集。=11,则正确表示集合"={一1，0,1}

和％={工£+*=0}关系的韦恩（Venn）图是（）

(2)已知集合A={x|log2*<2},5=(—8,a),

若AU5,则实数a的取值范围是(c,+8),其中c=.

题型三集合的基本运算

例3(1)若集合4={x||x|WLxGR},B^{y\y=x2,x^R},

贝!)

A.{x|-1W后1}B.{x|x20}

C.{x|0W后1}D.0

(2)若4、B、C为三个集合，且4UQ6CC,则一定有()

A.A^CB.C^A

C.A^CD.4=0

(3)对于复数a,b,c,d,若集合S={a,b,c,d}具有性质”对任意x,y^S,

(a=l

必有孙£S”,则当《川=1时，o+c+d等于()

[c2=b

A.1B.—1

C.0D.i

5）设4={x|立一8x+15=0},B={x\ax-1=0}.若回4求由实数a的所有可能的值组成的集合，并

写出它的所有非空真子集.

本节小结:

1.对集合的表示及子、交、并、补运算等基础知识要深刻理解.

2.树立“数形结合”的思想意识：

①在深刻理解集合的交、并、补概念的基础上，用韦恩图解有关集合

问题，可化难为易

②两个集合都是不等式的解集时，求它们的交、并、补通常用数轴直观

显示，但要注意区间的开与闭.

3.注意五个等价关系式

3CUANCUB^AACUB=0.

4.集合作为工具经常渗透到函数、不等式等知识中，同时新题型集合

的概念及运算问题也是热点问题.

命题、逻辑联结词

1.逻辑联结词与命题

⑴命题：.

(2)逻辑联结词：.

(3)简单命题：.

(4)复合命题：________________________________

2.命题真值表

(1)非p形：若。真，则㈱。为；若。假，则㈱。为.

(2)。且。形：若p、g真，则。且。为；若p、g一真一假，

则P且<7为;若。、。假，则。且q为.

(3)。或q形：若p、。真，贝!Jp或。为;p、。一真一假，

则P或。为;若。假，则。或q为.

3.四种命题及其相互关系

(1)原命题为“若P则q”,则它的逆命题为;

否命题为;逆否命题为.

(2)原命题与它的等价；

逆命题与它的等价.

题型一逻辑联结词

例1分别写出由下列各组命题构成的“P或q”、“P且4”、“非P”

形式的复合命题，并判断其真假.

(l)p：菱形的对角线相等，q：菱形的对角线互相垂直.

(2)p：aG{a,b,c},q：{a}{a,b,c}.

(3)p：不等式M+2x+2>l的解集是R,q：不等式M+2x+2<l的

解集为。.

探究1判断一个复合命题的真假往往用真值表，一般先确定复合命题

的构成形式，然后根据简单命题的真假和真值表得出结论.

在判断复合命题的真假，应记住：P且q形式是“一假必假，全真才真”，

。或17形式是“一真必真，全假才假”，非。则是“与P的真假相反”.

思考题1设0：函数y=logax在(0,+8)上为减函数;

q：不等式M+ax+a>0的解集为R.如果“0或q”为真，

且“0且q"为假，则常数a的取值范围是.

题型二四种命题及其真假的判定

例2分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假.

(1)若gVl,则方程M+2x+q=0有实根；

(2)若ab=0,则a=0或6=0；

(3)若实数x、y满足必+必=0,则x、y全为零.

探究2①若说明命题为真命题，必须证明，若说明命题为假命题只需

举出一个反例即可.

②原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.

③非S且力=(非P)或(非Q);非(P或q)=(非P)且(非Q)

④写出否命题是此类题的难点.

思考题2分别写出下列各命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假.

(1)若a>b且c>d,则a+c>b+d

(2)若水0,则方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根.

充要条件

知识要点：

一、充要条件

(1)若,则。是°的充分非必要条件；

(2)若,则p是q的必要非充分条件；

⑶若,则。是°的充要条件;

(4)若，则。是。的非充分非必要条件.

二、充分、必要条件的判定方法

(1)定义法；(2)传递法；

(3)集合法：若。以集合力的形式出现，g以集合方的形式出现,

即/={x|p(x)},B=[x\q{x)},则

①若如8,则。是0的充分条件；

②若则。是g的必要条件；

③若4=8,则。是g的充要条件；

(4)等价命题法：利用原命题和逆否命题是等价的这个结论，

有时可以准确快捷地得出结果.

三、典型例题

例1判断下列各题中，。是g的什么条件?

(l)p：a>b,q：a>b—1.

(2)p：a>b,q：lga>lgb

(3)p：a>b,q：2a>2b

(4)p：a>b,q：a2>b2

探究判定充要条件应注意：

①弄清条件P和结论Q分别是什么？

②尝试户仍gp.

③一定要熟悉命题内容涉及到的知识.

思考题判断下列各题中p是q的什么条件？

(1)p：a>b,q：\[a>\[b.

(2)p：a>b,q：2">2”-1.

(3)p：2%—320,q：xWl或x22.

(4)p：zUBC中，NAW60°,q：sinAW坐.

(5)