一元二次方程及应用(综合复习)

1、学习好资料欢迎下载【课前练习】21.用直接开平方法解方程（x-3） =8，得方程的根为（）A.x=3 2.3B.Xi=32、2, X2=3-2、&C.X=3-2、2D.捲=32、3,X2=3-2、322.方程X （x -1） =0的根是（）A . 0 B . 1 C . 0, - 1 D . 0, 13.设（x _1）（x -2） = 0的两根为为、X2，且X1X2，则X1- 2x2=_。4.已知关于x的方程4x2 4kx - k2=0 的一个根是一 2，那么k=_。2425.x十一x +=（x +）3【知识要点】1.一元二次方程： 在整式方程中，只含 _个未知数，并且未知数的最高次数

2、是_的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 _ ._ 其中_叫做二次项，_ 叫做一次项，_叫做常数项； _叫做二次项的系数， _ 叫做一次项的系数.2.一元二次方程的常用解法：2 2（1） 直接开平方法： 形如X =a（a一0）或（x -b） = a（a一0）的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2） 配方法：用配方法解一元二次方程ax2 bx c = o a = 0的一般步骤是：化二次项系数为 1,即方程两边同时除以二次项系数；移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，化原方程为（x m）2二n的形式，如果是非负数， 即n _0

3、,就可以用直接开平方求出方程的解 .如果 nv0，则原方程无解.例如：将方程 x2+ 6x+ 7=0 的常数项移到右边，并将一次项 6x 改写成 2 x 3 得：x2+ 2 x 3=- 7.学习好资料欢迎下载可以看出，为了使左边成为完全平方式，在方程两边都加上32（即一次项系数一半的平方）得x整理得2+ 6x + 32= - 7 + 32,(x+ 3)2= 2,解这个方程得1-1.（3 ）公式法：_2一兀二次方程ax bx c = 0（a = 0）的求根公式是土 荷_4ac心2,、捲2 =-（b 4ac A 0）.2a（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：将方程的右边化为 _ :将方程的左

4、边化成两个一次因式的乘积；令每个因式都等于0,得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.3.一元二次方程根的判别式：关于 x 的一元二次方程ax2+bx + c =0（a式0的根的判别式为 _.22j（1）b 4acou 元二次方程ax +bx+c = 0（a0 有两个_ 实数根，即,2=_.2（2）b-4ac=0= 元二次方程有 _相等的实数根，即x1= x2=.22j（3）b _4ac0= 元二次方程ax bx c = 0 a = 0 _实数根.4.一元二次方程根与系数的关系若关于 x 的一元二次方程ax bx 0（a = 0）有两根分别为 捲，X2，那么

5、x-1x2二_，x1x2=5.易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程 一般形式中a=0.（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式（3） 用配方法时二次项系数要化 1.学习好资料欢迎下载（4） 用直接开平方的方法时要记得取正、负 .（5）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件学习好资料欢迎下载(6 )应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：1根的判别式b?4ac亠0；2二次项系数a = 0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系(4)已知两数

6、和与积求两数.6 .一元二次方程的应用(1)面积问题；(2)数字问题；(3)平均增长率问题.步骤：分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系(包括隐含的)；2设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；3找出相等关系，并用它列出方程；4解方程求出题中未知数的值；5检验所求是否符合题意，并做答.注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展，解题的方法是相同的，但因要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义.【典例精析】2例 1 解方程X -25 =0.2 2解：x -25 =0,x =25,x二25, x= 5.Xr =5, x2_ -5例 2 解方程（x 3）2.分析：如果

7、把 x+ 3 看作一个整体。解：（X +3）2 =2,X十3 =2,x 3= 2,或x 3 = - 2,xr一32,x2二3 -、22例 3 解方程4（x一2）-81=0.次方程有两学习好资料欢迎下载2 2解：4(x - 2).81 =0整理4(x - 2)81281(X -2)2二4,135x1巧,x2 _注意：对可用直接开平方法来解的一元二次方程，一定注意方程有两个解;若x2=a，则x二、a；若(x -a)2=b，则x -二、b a2例 4 解方程x 3x 2=02解法一：x -3x2=：0,(x 2)(x 1) = 0, x 2= 0, x 1 = 0,-X1=1, x2=2Xi=2,

8、x2=1注意：用公式法解方程时，要正确地确定方程各项的系数a、b、c 的值，先计算“”的值，若 0,则方程无解，就不必解了.2例 5 解关于 x 的方程x-m(3x -2mn)-n2=0解：把原方程左边展开，整理，得2 2 2x -3mx (2m -mn -n ) = 0C22 a= 1, b = 3m,c =2m-mn-nb2_4ac=(-3m)2- 4 1 (2m2_ mn_n2)2二 m24mn 4n2=(m 2n)-023m +U(m+2 n)3m(m+2 n)x x|=2m n , x2= m -n注意：解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样，都要先把方程化为一般形式

9、，确定a、b、2c 和b -4ac的值，然后求解但解字母系数方程时要注意:(1)哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数解法二：/ a= 1, b= 3,c = 2, b2_4ac=(-3)2-4 12 =10学习好资料欢迎下载2学习好资料欢迎下载的方程；（2）不要把一元二次方程一般形式中的a、b、c 与方程中字母系数的 a、b、平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包括了这两种可能，因此，2例 6 用配方法解方程2x - 3=7x.2解：2x - 3 =7x,注意：用配方法解一元二次方程，要把二次项系数化为1,方程左边只有二次项,然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边就配成了

10、一个二项式的完全平方.【课堂训练】1.分别用公式法和配方法解方程：2X2-3X=22.选择适当的方法解下列方程:2(1)7(2x -3) =28；(3)2x21 = 2 5x；c 相混淆；(3)在b -4ac开2 2_ , (m 2n)= (m 2n)2516X2一次项，右边为常数项,xi = 3,22(2) y -2y -399 = 02(4) (2x 1)3(2x 1) 2 = 0学习好资料欢迎下载22222o93.已知(a b ) -(ab )-6=0，求a2b2的值。提示：已知等式可以看作是以a2b2为未知数的一元二次方程，并注意【典例精析】例 7 不解方程，判别下列方程的根的情况：2

11、x23x -4=0 ；(2)16y29 =24y；5(x21) -7x =0.2分析：要判定上述方程的根的情况，只要看根的判别式，二b-4ac的值的符号就可以了.解：(1)Ta= 2, b= 3, c = 4,22.b-4ac=3 -42(刈二410.方程有两个不相等的实数根.(2)va=16,b=24,c=9,2 2.b_4ac=(-24)_4169=0.方程有两个相等的实数解.2(3) 将方程化为一般形式5x 5 -7x = 0,5x2-7x 5 =0.2 2a - b的值应为非负数。学习好资料欢迎下载va=4,b=7,c=5,.b2-4ac=(-7)2-4 5 5学习好资料欢迎下载=49

12、 100 = 510.方程无实数解.注意：对有些方程要先将其整理成一般形式，再正确确定a、b、c 的符号.2例 8 已知方程5x - kx一6 =0的一个根是 2,求另一根及 k 的值.bcX1+x? -, X1X2 方程成立，即把 x= 2 代入原方程，先求出 k 值，再求出方程的另一根但方法不如第一种.解:设另一根为X2，则c 丄k c632 x2,2 X2x2:55, 5, k = 7.3即方程的另一根为5, k 的值为一 7.bc注意：一兀二次方程的两根之和为a,两根之积为a.（1）平方和；（2）倒数和.x1x2转化为含有x1x2、x1x2的式子.因为两数和的平方，等于两数的平方和加上

13、这两数积的 2 倍，即（a b=2ab,所以例 9 利用根与系数的关系，求一元二次方程22x - 3x -1 =0两根的X1+X2分析：已知X22*22.要求(1)X1x2, (2)x1x22 4 2关键是把x1x2、学习好资料欢迎下载32，X1x2a2b2=(ab)2_2ab，由此可求出（1） 同样，可用两数和与积表示两数的倒数和.解: (1) 2XiX；=(xi2x2) -2x1x2学习好资料欢迎下载x2x1(2)XiX2XX2注意：利用两根的和与积可求两根的平方和、倒数和，其关键是把平方和、倒数和变成两根的和与积，其 变形的方法主要运用乘法公式.2例 10 已知方程2x 4x m=0的两

14、根平方和是 34,求 m 的值.m, x2X2=342,求 m 就要在上面三个式子中设法用示X1X2, m 便可求出.解：设方程的两根为X1、x2，则X1X22 2 2x1x2= (x1x2)-2X1X2.2x1X2= (x1X2)2(xjX2)*2)2-34=_ 30.x1x2注意：解此题的关键是把式子x2x2变成含xx2、X1X2的式子，从而求得 m 的值.【课堂训练】1.求证：无论k取何值，方程X2-2kx 4(k -1)0都有实数根;=9i134；X|+X2= -2, X1X2分析：已知X1 -X2和 xfx2来表学习好资料欢迎下载2.已知：关于x的一元二次方程：kx22(k 1)x

15、0有两个实数根，求k的取值范围。_23. 已知：关于x的一元二次方程mx -(3m2)x 2m 2 =0(m 0).(1 )求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两个实数根分别为为,X2(其中Xi：X2).若y是关于m的函数，且y=X2-2xi，求这个函数的解析式；(3)在(2)的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y0，则代人求根公式，求出xi,x2.若 b2 4av0,则方程无解. 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式.如2（x + 4）2=3 （x+ 4）中，不能随便约去（x+ 4）. 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须

16、熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：直接开平方法T因式分解法T公式法.【作业训练】一、 填空题2I.方程（X +5）=3的解是_ .22.已知方程ax +7x -2 =0的一个根是2，那么 a 的值是_,方程的另一根是 _3 .如果2x+1与4x-2x-5 互为相反数，则 x 的值为_ .24.已知 5 和 2 分别是方程x +mx+ n=0 的两个根，则 mn 的值是_.25._方程4x -3x +2=0的根的判别式=，它的根的情况是 _.26 .已知方程2x +mx+1=0 的判别式的值是 16,则 m=_ .7.方程9x（k +6）x +k +1=0有两个相等的实数根，则k =_ .&

17、amp;如果关于 x 的方程x2+5x+c=0没有实数根，则 c 的取值范围是 _ .29.长方形的长比宽多 2cm 面积为48cm，则它的周长是 _.10 .某小商店今年一月营业额为5000 元，三月份上升到 7200 元，平均每月增长的百分率为 _二、 选择题2II.方程x- x =0 的解是（）A . x = 1 B . x= 0 C.x1=0,x2=TD . x= 12学习好资料欢迎下载12 .关于 x 的一元二次方程kx-6x 7 =0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A . k9 B . k9 C . k 9,且 k 0 D . k9,且 k 工 0学习好资料欢迎下载(1

18、)(2x -1)2-4(2x -1) =12；(2x3)2-(x -1)2=6；13 .把方程x 8x 84 =0化成(x m)-n的形式得()A .(x4)2=100B .(x16)2=100C .(x4)2=84D. (x 16)?=84214 .用下列哪种方法解方程3(x-2) 2x一4比较简便()A .直接开平方法B .配方法C.公式法 D .因式分解法15 .已知方程(x + y)(1 x y) + 6= 0,那么 x + y 的值是()A. 2B . 3C . 2 或 3D. 3 或 216 .下列关于 x 的方程中，没有实数根的是()A.3x24x - 2 = 0B .2x25

19、=6x c.3x2- 2一6x2 = 0D.2x2mx -1 = 02 2x x6=0B .x x 6=0三、解答题21 .用适当的方法解关于x 的方程17.已知方程22x px q的两根之和为 4,两根之积为一 3,贝 U p 和 q 的值为（）18.p = 8, q= 6 B . p = 4, q= 3 C . p= 3, q= 4D . p= 8, q= 6-35是方程x2kx 0的一个根，则另一根和k 的值为（19.x=3、5, k= 6两根均为负数的一元二次方程是D.7x2-12x5 =06x2-13x -5=0C.4x221x5 =02x215x 8=020.3 和一 2 为根的一元二次方程是学习好资料欢迎下载（x i3）（x亠，.3） =4x；222.已知yi二x_2x _3,y