2023-2024学年安徽省A10联盟高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年安徽省A10联盟高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足z1−4i=3A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a=(−2,3)，b=(1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且OA.122

B.92

C.4.在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC上一点，且AE=2EC，记A.−13 B.13 C.−5.已知i为虚数单位，复数z满足|z−i|=|A.12 B.−12 C.16.平面上三个力F1，F2，F3作用于一点且处于平衡状态.|F1|=1N，|FA.1N B.3N C.7.用一个圆心角为23π的扇形OMN(O为圆心)围成一个圆锥(点M，N恰好重合)，该圆锥顶点为S，底面圆的直径为AA.223 B.79 C.8.在△ABC中．tanA=13，A.102 B.5 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z1−,zA.若复数z1∈R，则z1−∈R

B.若复数z2=m+2i10.下列说法正确的是(

)A.已知P在△ABC所在平面内，满足PA+PB+PC=0，则点P是△ABC的外心

B.长方体是平行六面体

C.已知e1，e2是夹角为π3的单位向量，且a=e1+2e2，11.在△ABC中，∠C=π2，A.若AC=BC，则tan∠AMB=2

B.若sin∠ABM=13，则tan∠三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若复数z=m2−2i+13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，a=2，sinA=1314.在△ABC中，AB=5，BC=7，∠A=2π3，点四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z满足z−|z|=−1−3i．

(1)求z16.(本小题15分)

(1)如图1，底面半径为1cm，高为3cm的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱，由点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路线长(π取3)；

(2)如图2，在长方体ABCD−A17.(本小题15分)

已知向量a=(2,−1)，b=(3,4)．

(1)求向量a在向量b上的投影向量的坐标；

(2)已知AB=3a−b，B18.(本小题17分)

如图，四边形ABCD是正方形.E在边AB上运动，F在边BC上运动，AF与DE交于点G．

(1)若E是AB的中点，BC=3BF19.(本小题17分)

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinAsinB=c2b2+c2−a2．答案和解析1.【答案】D

【解析】解：z=(3+2i)(1−4i)=32.【答案】B

【解析】解：a，b的夹角是钝角，

则a⋅b<0且a，b不反向共线，

故−2+3m<0且−2m≠3，解得m<23且m3.【答案】A

【解析】解：根据题意，直观图为直角梯形O′A′B′C′，且O′A′//B′C′，O′4.【答案】C

【解析】解：D是边BC的中点，AE=2EC，

则DE=DB+BE=12CB+BC+CE5.【答案】B

【解析】解：设复数z=a+bi(a,b∈R)，

因为|z−i|=|z|，

所以|a+(b−1)6.【答案】A

【解析】解：平面上三个力F1，F2，F3作用于一点且处于平衡状态．|

则F3=−(F1+F2)，

|F1|=1N，|F27.【答案】D

【解析】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，

则2π3⋅l=2πr，解得l=3r，

所以在圆锥的轴截面△SAB中，

SA=SB=3r，AB=2r，

由余弦定理得cos8.【答案】A

【解析】解：在△ABC中．tanA=13，tanB=−2，△ABC的最长边的长为25，

设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由题意得，

tanC=−tan(A+B)=−tanA+tanB1−tanAtanB=−13−21+13×2=1>9.【答案】AC【解析】AC对于A，设z1=a+b(a,b∈R)，若复数z1∈R，即b=0，则Z=z=a∈R，故A正确；

对于B.z2=m+2i(m∈R)则|z2|=m2+410.【答案】BC【解析】解：对于A，记BC的中点为D，

因为PA+PB+PC=0，

所以PA=−(PB+PC)=−2PD，

所以P，A，D三点共线，

故点P在中线AD上，同理点P也在△ABC的另外两条中线上，则点P是△ABC的重心，故A错误；

对于B，底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，则长方体是平行六面体．故B正确；

对于C，e1，e2是夹角为π3的单位向量，

则e1⋅e2=1×1×12=12，

a=e1+2e2，b=e1−e2，

11.【答案】BC【解析】解：对于A，若AC=BC，且M是AC的中点，则BC=2CM，

则tan∠CMB=2，则tan∠AMB=−2，故A错误；

对于B，sin∠ABM=13，由正弦定理BMsinA=AMsin∠ABM．

所以sinA=BM3AM，因为sinA=BCAB，所以BCAB=BM3AM，

设BC=x、AM=12.【答案】−2【解析】解：z=m2−2i+m+4ii3=m2−13.【答案】{3【解析】解：当bsinA<a<b时，符合条件的三角形有2个，

所以x3<2<x，解得214.【答案】6598【解析】解：由余弦定理得，BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cosA，

即72=52+AC2−2×5⋅AC×(−12)，

解得AC=3(AC15.【答案】解：(1)设z=m+ni(m,n∈R)，

z−|z|=−1−3i，

则m+ni−m2+n2=【解析】(1)结合复数模公式，以及复数相等的条件，即可求解；

(2)根据已知条件，推得z−16.【答案】解：(1)根据题意，把圆柱的侧面沿过点A的母线剪开，然后展开成为矩形，如图所示，

连接AB，则AB就是为蚂蚁爬行的最短距离，

因为AC=3cm，CB=π×1=3cm，

所以AB=AC2+CB2=32+32=32(cm)，

所以蚂蚁爬行的最短路线长为32cm；

(2)【解析】(1)根据题意，把圆柱的侧面沿过点A的母线剪开，然后展开成为矩形，由此分析可得答案；

(2)根据题意，沿长方体的一条棱剪开，分3种情况讨论，求出17.【答案】解：(1)已知向量a=(2,−1)，b=(3,4)，

则a⋅b=2×3+(−1)×4=2，

又|b|=9+16=5，

则向量a在向量b上的投影向量为a⋅b|b|b|b【解析】(1)结合向量a在向量b上的投影向量为a⋅b|b|b|b|求解；

(2)①若A、B18.【答案】解：(1)如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为6，

则A(0,6)，F(6,4)，D(0,0)，E(3,6)，

所以AF=(6,−2)，DE=(3,6)，

设点G(x,y)，则AG=(x,y−6)，

由AG=λAF，得(x,y−6)=λ(6,−2)，

所以x=6λy−6=−2λ，所以x=6λy=6−2λ，即G(6λ,6−2λ)，

设DG=μD【解析】(1)建系，利用向量坐标运算，建立方程，即可求解；

(2)建系，设正方形的边长为1，19.【答案】解：(1)因为sinAsinB=c2b2+c2−a2，

所以sinAsinB=c22bccosA=sinC2sinBcosA，

所以2sinAcosAsinB=sinBsinC，

因为