2011高考数学一轮复习课件：导数的概念及其运算

1、第十一节第十一节 导数的概念及其运算导数的概念及其运算1.导数的概念导数的概念 函数函数yf(x)在在xx0处的导数处的导数 一般地，函数一般地，函数yf(x) 在在xx0处的瞬时变化率处的瞬时变化率是是 ， 称其为函数称其为函数yf(x)在在x x0 处的导数，记作处的导数，记作f(x0)或或y|0.xx 00limlimxxyx 2.导函数导函数 当当x变化时，变化时，f(x)称为称为f(x)的导函数，则的导函数，则f(x) .y f(x)与与f(x0)相同吗？相同吗？提示：提示：f(x)与与f(x0)不相同；不相同；f(x)是一个函数，是一个函数，f(x0)是是常数，常数，f(x0)是函

2、数是函数f(x)在点在点x0处的函数值处的函数值.3.导数的几何意义导数的几何意义 函数函数yf(x)在在xx0处的导数的几何意义，就是曲线处的导数的几何意义，就是曲线y f(x)在点在点P(x0，y0)处的切线的处的切线的 ，过点，过点P的切线的切线 方程为：方程为： .斜率斜率yy0f(x0)(xx0)4.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式原函数原函数导函数导函数f(x)cf(x) f(x)xn(nQ*)f(x)f(x)sinxf(x)f(x)cosxf(x)f(x)axf(x) (a0)f(x)exf(x) f(x)logaxf(x) (a0，且，且a1)f(x)lnxf(x)

3、0nxn1cosxsinxaxlnaex5.导数运算法则导数运算法则 (1)f(x)g(x) ； (2)f(x)g(x) ； (3) (g(x)0).f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)6.复合函数的导数复合函数的导数理理 设设uv(x)在点在点x处可导，处可导，yf(u)在点在点u处可导，则复合处可导，则复合 函数函数fv(x)在点在点x处可导，且处可导，且f(x) ，即，即 yx . f(u)v(x)yuux1.f(x)ax33x22，若，若f(1)4，则，则a的值等于的值等于()解析：解析：f(x)3ax26x，f(1)3a64，a答案：答案：D2.设正弦函数设正弦函数ysi

4、nx在在x0和和x 附近的平均附近的平均 变化率为变化率为 k1，k2，则，则k1，k2的大小关系为的大小关系为 () A.k1k2 B.k1k2.答案：答案：A3.函数函数yxcosxsinx的导数为的导数为 () A.xsinx B.xsinx C.xcosx D.xcosx解析：解析：y(xcosx)(sinx)xcosxx(cosx)cosxcosxxsinxcosxxsinx.答案：答案：B4.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，点中，点P在曲线在曲线C：yx310 x3 上，且在第二象限内上，且在第二象限内.已知曲线已知曲线C在点在点P处的切线斜率为处的切线斜率为2， 则点则

5、点P的坐标为的坐标为.解析：解析：设设P(x0，y0)(x00时，时，f(x) 故故f(1)f(0) 答案：答案：1.根据导数的定义求函数根据导数的定义求函数yf(x)在点在点x0处导数的方法：处导数的方法： (1)求函数的增量求函数的增量yf(x0 x)f(x0)； (2)求平均变化率求平均变化率 (3)得导数得导数f(x0) 简记作：一差、二比、三极限简记作：一差、二比、三极限.2.函数的导数与导数值的区别与联系：导数是原来函数函数的导数与导数值的区别与联系：导数是原来函数 的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导 数值是常数数值是常数.

6、 用定义法求下列函数的导数用定义法求下列函数的导数.(1)yx2；(2)y【解解】 (1)因为因为所所以以(2)2 .xxx 1.用导数的定义求函数用导数的定义求函数y 在在x1处的导数处的导数.解：解： 求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数.在在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，联系基本初等函数求导公式，对于不具备求导法则结构形式联系基本初等函数求导公式，对于不具备求导

7、法则结构形式的要适当变形的要适当变形. 求下列函数的导数：求下列函数的导数：(1)yx2sinx；(2)y3xex2xe；(3)y(4)理理ysin32x. 直接应用导数公式和导数的运算法则求导直接应用导数公式和导数的运算法则求导.【解解】(1)y(x2)sinxx2(sinx)2xsinxx2cosx.(2)y(3xex)(2x)(e)(3x)ex3x(ex)(2x)3xln3ex3xex2xln2(ln31)(3e)x2xln2.(4)理理y3(sin2x)2(sin2x)6sin22xcos2x.2.求下列函数的导数：求下列函数的导数：(1)y(1 )(1 )；(2)y(3)yxex；(

8、4)ytanx.解：解：(3)yxexx(ex)exxexex(x1).(4)y 1.函数函数yf(x)在点在点P(x0，y0)处的导数处的导数f(x0)表示函数表示函数yf(x) 在在xx0处的瞬时变化率，导数处的瞬时变化率，导数f(x0)的几何意义就是函的几何意义就是函 数数yf(x)在在P(x0，y0)处的切线的斜率，其切线方程为处的切线的斜率，其切线方程为y y0f(x0)(xx0).2.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数求出函数yf(x)在点在点x0处的导数处的导数f(x0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程根

9、据直线的点斜式方程，得切线方程yy0 f(x0)(xx0).【注意注意】求曲线的切线要注意求曲线的切线要注意“过点过点P的切线的切线”与与“在在点点P处的切线处的切线”的差异；过点的差异；过点P的切线中，点的切线中，点P不一定是不一定是切点，点切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，处的切线，必以点必以点P为切点为切点. 已知曲线已知曲线y(1)求曲线在点求曲线在点P(2,4)处的切线方程；处的切线方程；(2)求曲线过点求曲线过点P(2,4)的切线方程的切线方程. (1)在点在点P处的切线以点处的切线以点P为切点；为切点；(2)过点过点P的切线，点的切线，

10、点P不一定是切点，需要设出切不一定是切点，需要设出切 点坐标点坐标. 【解解】(1)yx2，在点在点P(2,4)处的切线的斜率处的切线的斜率ky|x24，曲线在点曲线在点P(2,4)处的切线方程为处的切线方程为y44(x2)，即即4xy40.(2)设曲线设曲线y 与过点与过点P(2,4)的切线相切于点的切线相切于点A(x0， )，则切线的斜率则切线的斜率ky|切线方程为切线方程为y (xx0)，即即y点点P(2,4)在切线上，在切线上，4即即 40， 40， (x01)4(x01)(x01)0.(x01)(x02)20，解得，解得x01或或x02.故所求的切线方程为故所求的切线方程为4xy40

11、或或xy20.3.已知函数已知函数f(x)x3x16. (1)求曲线求曲线yf(x)在点在点(2，6)处的切线的方程；处的切线的方程； (2)直线直线l为曲线为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线的切线，且经过原点，求直线 的的 方程及切点坐标方程及切点坐标.解：解：(1)可判定点可判定点(2，6)在曲线在曲线yf(x)上上.f(x)(x3x16)3x21，f(x)在点在点(2，6)处的切线的斜率为处的切线的斜率为kf(2)13，切线的方程为切线的方程为y13(x2)(6)，即即y13x32.(2)法一：法一：设切点为设切点为(x0，y0)，则直线则直线l的斜率为的斜率为f(x0) 1，直

12、线直线l的方程为的方程为y( 1)(xx0) x016.又又直线直线l过点过点(0,0)，0( 1)(x0) x016，整理得，整理得， 8，x02，y0(2)3(2)1626，k3(2)2113，直线直线l的方程为的方程为y13x，切点坐标为，切点坐标为(2，26).法二：法二：设直线设直线l的方程为的方程为ykx，切点为，切点为(x0，y0)，则则k又又kf(x0) 1， 1，解之得，解之得，x02，y0(2)3(2)1626，k3(2)2113，直线直线l的方程为的方程为y13x，切点坐标为，切点坐标为(2，26). 本节内容重点考查导数的几何意义及导数的运算，其本节内容重点考查导数的几何意义及导数的运算，其形式多为选择、填空题，而难度较小形式多为选择、填空题，而难度较小.2009年江西卷就考查年江西卷就考查了几何意义，出题角度新颖了几何意义，出题角度新颖.(2009江西高考江西高考)设函数设函数f(x)g(x)x2，曲线，曲线yg(x)在点在点(1，g(1) 处的切线方程