2.2 函数的基本性质

1、2.2函数的基本性质高考文数高考文数 (新课标 专用)A A组组 统一命题统一命题课标卷题组课标卷题组考点函数的基本性质考点函数的基本性质1.(2018课标全国,7,5分)下列函数中,其图象与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是( )A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x) C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x)五年高考答案答案 B解法一:y=ln x图象上的点P(1,0)关于直线x=1的对称点是它本身,则点P在y=ln x图象关于直线x=1对称的图象上,结合选项可知,B正确.故选B.解法二:设Q(x,y)是所求函数图象上任一点,则其关于直线x=1的对称点P(2-x,y)

2、在函数y=ln x的图象上,y=ln(2-x).故选B.小题巧解小题巧解用特殊点的对称性解决函数图象的对称性问题.2.(2018课标全国,12,5分)已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=()A.-50 B.0 C.2 D.50答案答案 C本题主要考查函数的奇偶性和周期性.f(x)是定义域为R的奇函数,f(0)=0,且f(-x)=-f(x),又f(1-x)=f(1+x),f(-x)=f(2+x),由得f(2+x)=-f(x),f(4+x)=-f(2+x),由得f(x)=f(x+4),f(x)的最小正

3、周期为4,对于f(1+x)=f(1-x),令x=1,得f(2)=f(0)=0;令x=2,得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2;令x=3,得f(4)=f(-2)=-f(2)=0.故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=120+f(1)+f(2)=0+2+0=2.故选C.方法总结方法总结若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有:(1)f(x+a)=-f(x)(a0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期;(2)f(x+a)=(a0,f(x)0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期;(3)f(x+

4、a)=-(a0,f(x)0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.1( )f x1( )f x3.(2017课标全国,8,5分)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-,-2) B.(-,1) C.(1,+) D.(4,+)答案答案 D本题主要考查复合函数的单调性.由x2-2x-80可得x4或xf(2x-1)成立的x的取值范围是()A. B.(1,+)C. D. 211x1,131,31 1,3 31,3 1,3答案答案 A当x0时, f(x)=ln(1+x)-,f (x)=+0,f(x)在(0,+)上为增函数,f(-x)=f(x),f(x)为偶函数,由

5、f(x)f(2x-1)得f(|x|)f(|2x-1|),|x|2x-1|,即3x2-4x+10,解得x1,故选A.211x11x222(1)xx135.(2018课标全国,16,5分)已知函数f(x)=ln(-x)+1, f(a)=4,则f(-a)= .21x答案答案-2解析解析本题考查函数的奇偶性.易知f(x)的定义域为R,令g(x)=ln(-x),则g(x)+g(-x)=0,g(x)为奇函数,f(a)+f(-a)=2,又f(a)=4,f(-a)=-2.21x解题关键解题关键观察出函数g(x)=ln(-x)为奇函数.21x6.(2017课标全国,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函

6、数,当x(-,0)时, f(x)=2x3+x2,则 f (2)= .答案答案12解析解析本题主要考查运用函数的奇偶性求函数值.由题意可知f(2)=-f(-2),x(-,0)时, f(x)=2x3+x2,f(2)=-f(-2)=-2(-8)+4=-(-12)=12.7.(2014课标全国,15,5分,0.332)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, f(3)=3,则f(-1)= .答案答案3解析解析函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(2+x)=f(2-x)对任意x恒成立,令x=1,得f(1)=f(3)=3,f(-1)=f(1)=3.名师点睛名师点睛本题考查了函数的奇偶性,函数图

7、象的对称性.根据函数f(x)的图象关于直线x=2对称,得f(2+x)=f(2-x)是解题的关键.B B组组 自主命题自主命题省省( (区、市区、市) )卷题组卷题组考点一函数的基本性质考点一函数的基本性质1.(2015福建,3,5分)下列函数为奇函数的是()A.y= B.y=ex C.y=cos x D.y=ex-e-x x答案答案 D A、B项中的函数为非奇非偶函数;C项中的函数为偶函数;D项中的函数为奇函数,故选D.2.(2015陕西,9,5分)设f(x)=x-sin x,则f(x)()A.既是奇函数又是减函数 B.既是奇函数又是增函数C.是有零点的减函数 D.是没有零点的奇函数答案答案

8、B易得f(x)是奇函数,由f (x)=1-cos x0恒成立,可知f(x)是增函数,故选B.3.(2017天津,6,5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a=-f ,b=f(log24.1),c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为()A.abc B.bac C.cba D.calog24.1220.8,且y=f(x)在R上为增函数,f(log25)f(log24.1)f(20.8),即abc,故选C.方法总结方法总结比较函数值的大小,往往利用函数的奇偶性将自变量转化到同一单调区间上来进行比较.4.(2016天津,6,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0)上单调递增

9、.若实数a满足 f(2|a-1|)f(-),则a的取值范围是()A. B.C. D. 21,21,23,21 3,2 23,2答案答案 Cf(x)是偶函数且在(-,0)上单调递增,f(x)在(0,+)上单调递减,且f(-)=f(),原不等式可化为f(2|a-1|)f().故有2|a-1|, 即|a-1,解得a,故选C.22221212325.(2015湖南,8,5分)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是 ()A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数答案答案 A由题易得

10、函数f(x)的定义域为(-1,1), f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)=ln,因为f(-x)=ln=ln=-ln=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.设(x)=,任取x1,x2,且0 x1x21,则(x1)-(x2)=-=0,即(x1)(x2),所以(x)=在(0,1)上是增函数,又因为y=ln x是增函数,所以f(x)=ln在(0,1)上是增函数,故选A.11xx11xx111xx11xx11xx1111xx2211xx12122()(1)(1)xxxx11xx11xx6.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x时, f =f .则f(6)=()A.-2 B.-

11、1 C.0 D.21212x12x答案答案 D当x时,由f =f 可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),又由题意知f(1)=-f(-1), f(-1)=(-1)3-1=-2,所以f(6)=2,故选D.1212x12x评析评析本题主要考查函数的奇偶性、周期性及化归与转化思想.属于中等难度题.7.(2017山东,14,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x-3,0时, f(x)=6-x,则f(919)= .答案答案6解析解析本题考查函数的奇偶性与周期性.由f(x+4)=f(x-2)得f(x+6)=f(x),故f(x)是周期为6的函数.所以f(91

12、9)=f(6153+1)=f(1).因为f(x)为R上的偶函数,所以f(1)=f(-1).又x-3,0时, f(x)=6-x,所以f(-1)=6-(-1)=6.从而f(1)=6,故f(919)=6.8.(2016四川,14,5分)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0 x1时, f(x)=4x,则f +f(2)= .52答案答案-2解析解析f(x)是定义在R上的奇函数,f(0)=0,又f(x)的周期为2,f(2)=0,又f =f =-f =-=-2,f +f(2)=-2.52121212452名师点睛名师点睛本题考查了函数的奇偶性与周期性,属于基础题,在涉及函数求值的问题中,可利用

13、周期性f(x)=f(x+T)化函数值的自变量到已知区间或相邻区间上,如果是相邻区间,再利用奇偶性转化到已知区间上,然后求值即可.9.(2014四川,13,5分)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x-1,1)时, f(x)=则f = .242,10,01,xxxx 32答案答案1解析解析f(x)是定义在R上的周期为2的函数,且f(x)=f =f =-4+2=-1+2=1.242,10,01,xxxx 32122121.(2016北京,10,5分)函数f(x)=(x2)的最大值为 .1xx 考点二函数的值域与最值考点二函数的值域与最值答案答案2解析解析解法一:f(x)=1+,f(x)的图象

14、是将y=的图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到的.y=在2,+)上单调递减,f(x)在2,+)上单调递减,故f(x)在2,+)上的最大值为f(2)=2.解法二:由题意可得 f(x)=1+.x2,x-11,01,11+2,即10,b0,ab=8,则当a的值为 时,log2alog2(2b)取得最大值.答案答案4解析解析由已知条件得b=,令f(a)=log2alog2(2b),则f(a)=log2alog2=log2a(log216-log2a)=log2a(4-log2a)=-(log2a)2+4log2a=-(log2a-2)2+4,当log2a=2,即a=4时, f(a)取得最大值.

15、8a16a3.(2015湖北,17,5分)a为实数,函数f(x)=|x2-ax|在区间0,1上的最大值记为g(a).当a= 时,g(a)的值最小.答案答案2-22解析解析当a=0时,f(x)=x2,在0,1上为增函数,g(a)=f(1)=1;当a0时,f(x)的图象如图所示:(i)当a2时,1,此时f(x)在0,1上为增函数,g(a)=f(1)=a-1;(ii)当1a2时,1a,此时g(a)=f =;(iii)当0a1时,a1,此时g(a)=max,f -f(1)=-(1-a)=,当0a2-2时,f f(1),g(a)=f(1)=1-a,当2-2f(1),g(a)=;2a2a2a24a2a,(

16、1)2aff2a24a2444aa22a22a24a当a0时f(x)的图象关于y轴对称,所以求a0时的最值即可.g(a)=其图象如图所示:当a=2-2时,g(a)的值最小.21,0,1,02 22,2 222,41,2,aaaaaaa2C C组组 教师专用题组教师专用题组考点一函数的基本性质考点一函数的基本性质1.(2015广东,3,5分)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=x+sin 2x B.y=x2-cos xC.y=2x+ D.y=x2+sin x12x答案答案 D A项为奇函数;B、C项为偶函数;D项是非奇非偶函数,选D.2.(2014广东,5,5分)下列函数为奇函

17、数的是()A.y=2x- B.y=x3sin xC.y=2cos x+1 D.y=x2+2x 12x答案答案 A由函数奇偶性的定义知,B、C中的函数为偶函数,D中的函数为非奇非偶函数,只有A中的函数为奇函数,故选A.3.(2013重庆,9,5分)已知函数f(x)=ax3+bsin x+4(a,bR), f(lg(log210)=5,则f(lg(lg 2)=()A.-5 B.-1 C.3 D.4答案答案 Cf(x)=ax3+bsin x+4,f(-x)=a(-x)3+bsin(-x)+4,即f(-x)=-ax3-bsin x+4,+得f(x)+f(-x)=8,又lg(log210)=lg=lg(

18、lg 2)-1=-lg(lg 2),f(lg(log210)=f(-lg(lg 2)=5,又由式知f(-lg(lg 2)+f(lg(lg 2)=8,5+f(lg(lg 2)=8,f(lg(lg 2)=3.故选C.1lg24.(2013天津,8,5分)设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3.若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则()A.g(a)0f(b) B.f(b)0g(a)C.0g(a)f(b) D.f(b)g(a)0,则f(x)在R上为增函数,且f(0)=e0-20,又f(a)=0,0a0,得g(x)在(0,+)上为增函数,又g(1)=ln 1-2=-20,且g

19、(b)=0,1b2,即ab,故选A.1x( )( )0,( )( )0.f bf ag ag b5.(2014天津,12,5分)函数f(x)=lg x2的单调递减区间是 .答案答案(-,0)解析解析 f(x)的定义域为(-,0)(0,+),y=lg u在(0,+)上为增函数,u=x2在(-,0)上递减,在(0, +)上递增,故 f(x)在(-,0)上单调递减.6.(2014湖南,15,5分)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a= .答案答案- 32解析解析 f(-x)=ln(e-3x+1)-ax=ln-ax=ln(1+e3x)-3x-ax,依题意得,对任意xR,都有f(-x)=f

20、(x),即ln(1+e3x)-3x-ax=ln(1+e3x)+ax,化简得2ax+3x=0(xR),因此2a+3=0,解得a=-.评析本题考查函数的奇偶性,解题的关键是计算f(-x)时的变形手段.另外,选择题、填空题还可用特值法求解.331eexx321.(2012课标全国,16,5分)设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m= .22(1)sin1xxx考点二函数的值域或最值考点二函数的值域或最值答案答案2解析解析 f(x)=1+,令g(x)=,则g(x)为奇函数,对于一个奇函数来说,其最大值与最小值之和为0,即g(x)max+g(x)min=0,而f(x)max=1+g(x)ma

21、x,f(x)min=1+ g(x)min ,所以f(x)max+f(x)min=2.22(1)sin1xxx2212sin1xxxx 22sin1xxx22sin1xxx2.(2013北京,13,5分)函数f(x)=的值域为 .12log,1,2 ,1xxxx答案答案(-,2)解析解析 x1时,f(x)=lox是单调递减的,此时,函数的值域为(-,0;x1时,f(x)=2x是单调递增的,此时,函数的值域为(0,2).综上, f(x)的值域是(-,2).12gA A组组 2016201820162018年高考模拟年高考模拟基础题组基础题组考点一函数的基本性质考点一函数的基本性质1.(2018四川

22、广安一诊)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0,且当x0时,-x0,f(-x)=2x2-2,f(x)=-f(-x)=-2x2+2,f(f(-1)+f(2)=f(0)-6=-6,故选B.2.(2018云南昆明高考仿真模拟)函数f(x)=的单调递增区间是()A.(-,-2 B.(-,-1C.1,+) D.4,+)228xx答案答案 Dx2-2x-80,x-2或x4,f(x)的定义域为(-,-24,+),设t=x2-2x-8,则t在(-,-2上单调递减,在4,+)上单调递增,y=在定义域内为单调增函数,由复合函数的单调性可得, f(x)在4,+)上单调递增.故选D.t3.(201

23、8四川“联测促改”活动)已知函数f(x)在区间-2,2上单调递增,若f(log2m)f(log4(m+2)成立,则实数m的取值范围是()A. B.C.(1,4 D.2,41,241,14答案答案 A由题意知,不等式f(log2m)f(log4(m+2)可化为且满足解得m2,故选A.2424loglog (2),log2,log (2)2,mmmm 0,20,mm144.(2018四川成都诊断)已知函数f(x)=2x+sin x,不等式f(m2)+f(2m-3)0,函数f(x)为增函数,由f(m2)+f(2m-3)0得f(m2)-f(2m-3)=f(3-2m),即m23-2m,解得-3m1,即不

24、等式f(m2)+f(2m-3)0时,f(x)=x2+1,图象是抛物线的一部分;当x0时,f(x)=cos x,图象是余弦函数图象的一部分,故当xR时,f(x)的图象不关于y轴对称,故A项错误.B项,当x0时,f(x)=cos x,由余弦函数的图象可知,在区间(-,0)上,f(x)既有增区间,又有减区间,故B项错误.C项,当x0时,f(x)=x2+1,不是周期函数,故C项错误.D项,当x0时,f(x)=cos x,可得f(x)-1,1;当x0时,f(x)=x2+1,可得f(x)(1,+),故函数f(x)的值域为-1,+),故D项正确.8.(2017云南昆明高三摸底调研测试)已知函数f(x)是奇函

25、数,当x0时,f(x)=log2(x+1),则f(-3)=()A.2 B.-2 C.1 D.-1答案答案 B函数f(x)是奇函数,当x0时,f(x)=log2(x+1),f(-3)=-f(3)=-log2(3+1)=-log24=-2,B选项是正确的.9.(2017四川双流中学模拟,5)函数y=log3(x2-2x)的单调减区间是()A.(-,-1) B.(-,0) C.(0,+) D.(1,+)答案答案 B由题意得x2-2x0,所以x2,即函数的定义域是(-,0)(2,+),令u(x)=x2-2x,则u(x)在(-,1)上为减函数,结合y=log3u的单调性和原函数的定义域,得到函数y=lo

26、g3(x2-2x)的单调减区间为(-,0).10.(2016贵州贵阳月考)设函数f(x)=,则使得f(x)f(2x-1)成立的x的取值范围是()A. B.(1,+)C. D. |1 |xx1,131,31 1,3 31,3 1,3答案答案 A易知函数f(x)是偶函数,当x0时,f(x)=,易知函数f(x)在(0,+)上单调递增,则函数f(x)在(-,0)上单调递减,所以不等式f(x)f(2x-1)f(|x|)f(|2x-1|),|x|2x-1|,解得x0时, f(x)=则f(f(-16)=()A.- B.- C. D. 4sin,04,3log,4,xxx x12321232答案答案 B f(

27、16)=log416=2,f(f(16)=f(2)=sin =.又f(x)是定义在R上的奇函数,f(f(-16)=f(-f(16)=-f(f(16)=-.故选B.23323212.(2016贵州贵阳普通高中摸底考试)设f(x)是R上以2为周期的奇函数,已知当x(0,1)时,f(x)=log2x,则f(x)在区间(1,2)上是()A.减函数,且f(x)0C.增函数,且f(x)0答案答案 D取x(1,2),则-1x-20,02-x1,当x(0,1)时,f(x)=log2x,f(2-x)=log2(2-x),f(x)是R上以2为周期的奇函数,f(x-2)=-f(2-x)=-log2(2-x),f(x

28、)=-log2(2-x),由02-x0,是增函数,所以D选项是正确的.13.(2016云南昆明适应性检测)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数,且f(x)在(-,0)上是减函数,f(2)=0,g(x)=f(x+2),则不等式xg(x)0的解集是()A.(-,-22,+) B.-4,-20,+)C.(-,-4-2,+) D.(-,-40,+)答案答案 C根据题意可得g(x)的图象是由f(x)的图象向左平移2个单位得到的,故g(x)的图象关于点(-2,0)对称,g(0)=f(2)=0,g(-4)=0.又f(x)在(-,0)上是减函数,所以f(x)在(0,+)上为减函数,即g(x)在(-,-2)上为

29、减函数,在(-2,+)上为减函数.所以xg(x)0的解集为(-,-4-2,+),所以C选项是正确的.14.(2016广西桂林联合调研考试)若函数f(x)=ln(x+)为奇函数,则a= .2ax答案答案1解析解析由题意得f(-x)+f(x)=0,ln(-x+)+ln(x+)=0,即ln(-x2+a+x2)=0,ln a=0,a=1.2ax2ax15.(2017四川成都树德中学入学考试)已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数,若f(1)1,f(5)=,则实数a的取值范围为 .231aa答案答案(-1,4)解析解析f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数,f(5)=f(5-6)=f(-1)=f(1

30、),由f(1)1,f(5)=,得f(5)=1,即-1=0,解得-1a4,实数a的取值范围为(-1,4).231aa231aa231aa41aa1.(2018四川广安一诊)已知f(x)=x3,当x1,2时,f(x2-ax)+f(1-x)0,则a的取值范围是()A.a1 B.a1 C.a D.a 3232考点二函数的值域与最值考点二函数的值域与最值答案答案 C因为函数f(x)=x3为(-,+)上的单调递增的奇函数,所以f(x)=-f(-x),因此f(x2-ax)+f(1-x)0可化为f(x2-ax)-f(1-x)=f(x-1),由函数的单调性可知x2-axx-1在x1,2上恒成立,所以axx2-x

31、+1,即ax+-1在x1,2上恒成立.令y=x+-1,因为y=1-0在1,2上恒成立,所以函数y=x+-1在x1,2上单调递增,且ymax=,故a.故选C.1x1x21x1x32322.(2017云南曲靖模拟,5)已知函数f(x)=则f(x)的值域是()A.0,+) B.-1,3 C.-1,+) D.0,3|21|(2),3(2),1xxxx答案答案 D当x2时,02x4,-12x-13,0|2x-1|3;当x2时,03.所以f(x)的值域为0,3,故选D.31x 3.(2017广西玉林模拟,6)已知函数y=x2-3x-4的定义域是0,m,值域为,则m的取值范围是()A.(0,4 B. C.

32、D. 25, 443,423,323,2答案答案 C y=x2-3x-4=-,其图象的对称轴为直线x=,又f =-,f(0)=-4=f(3),结合图象(图略)可知m3.232x254323225432B B组组 2016201820162018年高考模拟年高考模拟综合题组综合题组时间:20分钟 分值:40分一、选择题(每题5分,共25分)1.(2017四川泸州模拟,7)对于函数f(x)=asin x+bx3+cx+1(a、b、cR),选取a、b、c的一组值计算f(1)、f(-1),所得出的正确结果可能是()A.2和1 B.2和0 C.2和-1 D.2和-2答案答案 B易知g(x)=asin x

33、+bx3+cx为定义域上的奇函数,所以g(1)+g(-1)=0,所以f(1)+f(-1)=g(1)+g(-1)+2=2,故选B.2.(2017广西玉林模拟,8)若函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,在(-,0上是减函数,且f(2)=0,则使函数值y0的x的取值范围为()A.(-2,2) B.(2,+) C.(-,-2) D.(-,2)答案答案 A函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,由f(x)在(-,0上是减函数,可得f(x)在0,+)上为增函数,函数值y0,即f(x)0,又因为f(2)=0,所以f(|x|)f(2),即|x|2,解得-2x2.则使函数值y0的x的取值范围为(-2,2).故选

34、A.3.(2017广西柳州模拟,10)已知函数f(x+1)是定义在R上的奇函数,若对于任意给定的不等实数x1,x2,不等式(x1-x2)f(x1)-f(x2)0的解集为()A.(0,+) B.(1,+) C.(2,+) D.(-,2)答案答案 D由题意得f(x)为单调递减函数,f(0+1)=0f(1)=0,所以f(2x-3)0f(2x-3)f(1)2x-31x2,选D.4.(2016广西桂林统考,8)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间0,2上是增函数,则()A.f(2)f(5)f(8) B.f(5)f(8)f(2)C.f(5)f(2)f(8) D.f(8)f(2)f(5)答案答案 B因为f(x-4)=-f(x),所以f(x+8)=f(x),所以函数f(x)是周期函数,且周期为8,所以f(8)=f(0),f(5)=-f(1)=f(-1),因为奇函数f(x)在区间0,2上是增函数,所以函数f(x)在区间-2,2上是增函数,又因为-2-102,所以f(5)f(8)0),若x1-1,2,x2-1,2,使得f(