2020-2021学年高中数学 第十章 复数 10.2.1 复数的加法与减法学案 新人教B版必修第四册

1、2020-2021学年高中数学 第十章 复数 10.2.1 复数的加法与减法学案 新人教b版必修第四册2020-2021学年高中数学 第十章 复数 10.2.1 复数的加法与减法学案 新人教b版必修第四册年级：姓名：10.2.1复数的加法与减法必备知识自主学习导思1.向量加法与减法的几何意义是什么?2.复数模的几何意义是什么?1.复数的加、减法法则及几何意义与运算律z1,z2,z3c,设,分别与复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dr)相对应,且,不共线项目加法减法运算法则z1+z2=(a+c)+(b+d)iz1-z2=(a-c)+(b-d)i几何意义复数的和z1+z2与向量+=的

2、坐标对应复数的差z1-z2与向量-=的坐标对应运算律交换律z1+z2=z2+z1结合律(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) (1)两个复数的和是个什么数?它的值唯一确定吗?提示:是复数,唯一确定. (2)若复数z1,z2满足z1-z20,能否认为z1z2?提示:不能,例如可取z1=3+2i,z2=2i.2.复数和与差的绝对值不等式.|z1|-|z2|z1z2|z1|+|z2|.1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)复数与向量一一对应.()(2)复数与复数相加减后结果只能是实数.()(3) 复数的减法不满足结合律,即(z1-z2)-z3=z1-(z2+z3)可能不成立.()提示:(1

3、).复数与以原点为起点的向量一一对应.(2).复数与复数相加减后结果是复数.(3).复数的减法满足结合律.2.复数(1-i)-(2+i)+3i等于()a.-1+ib.1-ic.id.-i【解析】选a.原式=1-i-2-i+3i=-1+i.3.设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位于()a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限【解析】选d.因为z1-z2=5-7i,所以z1-z2在复平面内对应的点位于第四象限.4.(教材二次开发:例题改编)设z1=-6-2i,z2=6-18i其中i为虚数单位.若z=z1+z2,则z在复平面上对应点的坐标为.【解析】z=z1+

4、z2=-6-2i+6-18i=-20i,则z在复平面上对应点的坐标为(0,-20).答案:(0,-20)关键能力合作学习类型一复数的加、减运算(数学运算)1.计算:(2+4i)+(3-4i)=.【解析】原式=(2+3)+(4-4)i=5.答案:52.计算:(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)=.【解析】原式=(-3+2-1)+(-4+1+5)i=-2+2i.答案:-2+2i3.已知复数z1=a2-3-i,z2=-2a+a2i,若z1+z2是纯虚数,则实数a=.【解析】由条件知z1+z2=a2-2a-3+(a2-1)i,又z1+z2是纯虚数,所以解得a=3.答案:34.(a+bi)-(2a-

5、3bi)-3i=(a,br).【解析】(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+(b+3b-3)i=-a+(4b-3)i.答案:-a+(4b-3)i5.已知复数z满足|z|+z=1+3i,则z=.【解析】设z=x+yi(x,yr),|z|=,所以|z|+z=(+x)+yi=1+3i,所以解得所以z=-4+3i.答案:-4+3i复数代数形式的加、减法运算技巧(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减,虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部,因此要准确地提取复数的实部与虚部.(2)算式中若出现字母,首先确定其是否为实数,再确定复数的实部与虚部,最后把实部与实部、虚部

6、与虚部分别相加减.(3)复数的运算可以类比多项式的运算:若有括号,括号优先;若无括号,可以从左到右依次进行计算.(4)当一个等式中同时含有|z|与z时,一般用待定系数法,设z=x+yi(x,yr).类型二复数的加、减运算的几何意义(直观想象)【典例】如图所示,平行四边形oabc的顶点o,a,c分别表示0, 3+2i,-2+4i.求:(1)表示的复数;(2)对角线表示的复数;(3)对角线表示的复数.【思路导引】利用复数的几何意义以及向量的运算求解.【解析】(1)因为=-,所以表示的复数为-3-2i.(2)因为=-,所以对角线表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)因为对角线=+

7、,所以对角线表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.典例的条件不变,求向量表示的复数.【解析】因为=+,由解析可知,表示的复数为-3-2i,表示的复数为1+6i,所以向量表示的复数为(-3-2i)+(1+6i)=-2+4i.复数与向量的对应关系的两个关注点(1)复数z=a+bi(a,br)是与以原点为起点,z(a,b)为终点的向量一一对应的.(2)一个向量可以平移,其对应的复数不变,但是其起点与终点所对应的复数可能改变.(2020烟台高一检测)在复平面内a,b,c三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.(1)求,对应的复数;(2)判断abc的形状;(3)求abc的面积.【解析】

8、(1)对应的复数为zb-za=(2+i)-1=1+i.对应的复数为zc-zb=(-1+2i)-(2+i)=-3+i.对应的复数为zc-za=(-1+2i)-1=-2+2i.(2)由(1)知|=,|=,|=2,所以|2+|2=|2,所以abc为直角三角形.(3)sabc=|=2=2.类型三复数问题几何化(直观想象)【典例】若zc,i为虚数单位,且|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.【思路导引】根据|z+2-2i|=1,结合复数减法的模的几何意义,判断出z对应点的轨迹,再根据复数减法的模的几何意义,结合圆的几何性质,求得|z-2-2i|的最小值.【解析】由|z+2-2i|=1得|z-

9、(-2+2i)|=1,因此复数z对应的点z在以z0=-2+2i对应的点z0为圆心,1为半径的圆上,如图所示.设y=|z-2-2i|,则y是z点到2+2i对应的点a的距离.又=4,所以由图知ymin=|az0|-1=3.转化思想与数形结合思想在复数模问题中的应用|z1-z2|表示复平面内z1,z2对应的两点间的距离.利用此性质,可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,从而进行数形结合,把复数问题转化为几何图形问题求解.如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是()a.1b.c.2d.【解析】选a.设复数-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为z1,z2,z3

10、,因为|z+i|+|z-i|=2,|z1z2|=2,所以点z的集合为线段z1z2.问题转化为:动点z在线段z1z2上移动,求|zz3|的最小值,因为|z1z3|=1.所以|z+i+1|min=1.课堂检测素养达标1.若复数z满足z+i-3=3-i,则z等于()a.0b.2ic.6d.6-2i【解析】选d.z=3-i-(i-3)=6-2i.2.复数z1=3+i,z2=-1-i,则z1-z2等于()a.2b.2+2ic.4+2id.4-2i【解析】选c.z1-z2=4+2i.3.设z1=2+bi,z2=a+i,当z1+z2=0时,复数a+bi为()a.1+ib.2+ic.3d.-2-i【解析】选d

11、.由得所以a+bi=-2-i.4.在复平面内,o是原点,对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,那么对应的复数为.【解析】=-=-(+)=3+2i-(-2+i+1+5i)=(3+2-1)+(2-1-5)i=4-4i.答案:4-4i5.(教材二次开发:练习改编)若复数z满足3z+=1+i,其中i为虚数单位,则z=.【解析】设z=a+bi(a,br),则3(a+bi)+a-bi=1+i4a=1且2b=1z=+i.答案:+i六复数的加法与减法 (15分钟30分)1.已知复数z满足z+2i-5=7-i,则|z|=()a.12b.3c.3d.9【解析】选c.由题意知z=7-i-(2i-5)=12-

12、3i,所以|z|=3.2.设向量,对应的复数分别为z1,z2,z3,则()a.z1+z2+z3=0b.z1-z2-z3=0c.z1-z2+z3=0d.z1+z2-z3=0【解析】选d.因为+=,所以z1+z2=z3,即z1+z2-z3=0.3.已知|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z等于()a.-3ib.3ic.3id.4i【解析】选b.设z=a+bi(a,br),则z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i为纯虚数,所以a=0,b+30,又|b|=3,所以b=3,z=3i.4.若z1=2+i,z2=3+ai(ar),且在复平面内z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为()a.3b.2c.1d

13、.-1【解析】选d.z1+z2=2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i.因为在复平面内z1+z2所对应的点在实轴上,所以1+a=0,所以a=-1.【补偿训练】 复数z1=-3+i,z2=1-i,则复数z=z1-z2在复平面内所对应的点在()a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限【解析】选b.因为z1=-3+i,z2=1-i,所以复数z=z1-z2=-3+i-(1-i)=-4+2i,其在复平面内对应的点的坐标为(-4,2),位于第二象限.5.(2020青岛高一检测)已知i为虚数单位,设z1=x+2i,z2=3-yi(x,yr),且z1+z2=5-6i,则z1-z2

14、=.【解析】因为z1+z2=5-6i,所以(x+2i)+(3-yi)=5-6i,所以即所以z1=2+2i,z2=3-8i,所以z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=-1+10i.答案:-1+10i6.(2020上海高一检测)设z1=1-i,z2=a+2ai,其中i是虚数单位,若复数z1+z2是纯虚数,则a=.【解析】因为z1=1-i,z2=a+2ai,所以z1+z2=a+1+i,因为复数z1+z2是纯虚数,所以a+1=0,2a-10,所以a=-1.答案:-1 (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.在平行四边形abcd中,对角线ac与bd相交于点o,若向量,对应的复数分别是3

15、+i,-1+3i,则对应的复数是()a.2+4ib.-2+4ic.-4+2id.4-2i【解析】选d.依题意有=-.而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,故对应的复数为4-2i.2.设f(z)=|z|,z1=3+4i,z2=-2-i,则f(z1-z2)等于()a.b.5c.d.5【解析】选d.因为z1-z2=5+5i,所以f(z1-z2)=f(5+5i)=|5+5i|=5.3.zc,若|z|-=1+2i,则z=()a.-2ib.+2ic.2+2id.2-2i【解析】选b.设z=a+bi则|z|-=-a+bi=1+2i,故故故z=+2i.4.已知zc且=1,则(i为虚数单位)的最小值是()a.

16、2-1b.2+1c.d.2【解析】选a.因为|z|=1且zc,作图如图:因为|z-2-2i|的几何意义为单位圆上的点m到复平面上的点p(2,2)的距离,所以|z-2-2i|的最小值为|op|-1=2-1.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.对任意复数z=a+bi(a,br),i为虚数单位,则下列结论中正确的是()a.z-=2ab.|z|=|c.z+=2ad.z+=2bi【解析】选bc.已知z=a+bi,则=a-bi.选项a,z-=-=2bi2a,错误.选项b,|z|=,|=,正确.选项c,z+=2a,故c正确,d错误.6.已知复数z1=2+

17、ai,z2=a+i,且复数z1-z2在复平面内对应的点位于第二象限,则a的取值可以是()a.1b.2c.3d.4【解析】选cd.由题得z1-z2=(2-a)+(a-1)i,因为复数z1-z2在复平面内对应的点位于第二象限,所以所以a2.【补偿训练】 (2020苏州高一检测)已知i为虚数单位,下列说法中正确的是()a.若复数z满足|z-i|=,则复数z对应的点在以(1,0)为圆心,为半径的圆上b.若复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=15+8ic.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模d.复数z1对应的向量为,复数z2对应的向量为,若=,则【解析】选c

18、d.满足|z-i|=的复数z对应的点在以(0,1)为圆心,为半径的圆上,a错误;在b中,设z=a+bi(a,br),则|z|=.由z+|z|=2+8i,得a+bi+=2+8i,所以解得所以z=-15+8i,b错误;由复数的模的定义知c正确;由=的几何意义知,以,为邻边的平行四边形为矩形,从而两邻边垂直,d正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.设复数z满足z+|z|=2+i,则z=.【解析】设z=x+yi(x,yr),则|z|=.所以x+yi+=2+i.所以解得所以z=+i.答案:+i8.若|z|=2,则|z-1|的最小值是.【解析】|z-1|z|-1|=|2-1|=1.答案:1四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知复数|z|=2,求复数1+i+z的模的最大值、最小值.【解析】由已知,复数z对应的点z在复平面内以原点为圆心,半径为2的圆上,设w=1+i+z,所以z=w-1-i,所以|z|=|w-(1+i)|=2.于是复数w对应的点在复平面内以(1,)为圆心,半径为2的圆上,如图所示,此时圆上的点a对