小学奥数图形的面积

1、直线型面积计算（1） 名称 图形 周长公式 面积公式 长方形 周长=2(a+b) 面积=ab 正方形 aD 周长=4a 面积=a2 三角形 周长=a+b+c 面积=2 ah 平行四边形 周长=2(a+b)面积=ah 梯形 b d/h进 a 周长=a+b+c+d 1 面积=_2(a+b)h 菱形 .D- 4 周长=4a 面积=：ACBD 2 对于三角形的面积计算， 我们除了熟练运用基本的计算公式，在技巧性很强的奥数题中还要根据相应的性质和结论来解题, 面就是我们小学奥数常用的三条性质： 等底等高的两个三角形面积相等； 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的

2、高之比； 夹在一组平行线之间的等积变形，如S ACD S BCD ； , 反之，如果S ACD S BCD，则可知直线AB平行于CD 【分析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用. 【例1】 E、F、G分别是长方形 ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点, 连接BH、CH AE EB, Sv AEHSvBEH 冋理，SvBFHSvCFH , SvCGH =SvDGH , 11、 S阴影S长方形ABCD 56 28 (平方厘米). 22 铺垫你有多少种方法将任意一个三角形分成: 2个面积相等的三角形； 3个面积相等的三角形； 4个面积相等的三角形. 2个面积相等的三角形; 分析如右图，

3、D、E、F分别是对应边上的中点，这样就将三角形分成了 如右图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点；答案不唯一; 【分析】 A C A C A C 【例2】 BDE的面积是多少? 连接CE . ACB v AE 3AB , BE 2AB , S bce 2S 【例3】 又 BD 2BC，S bde 2s bce 4S abc 4 . 如图，三角形 ABC中，DC 2BD , CE 3AE，三角形 ADE的面积是20平方厘米，三角形 ABC 的面积是多少? 【分析】 C CE 3AE , AC 又 v DC 2BD , BC 4AE , S adc 4S 3 DC , S ABC

4、2 ADE ； 3S S ADC 2 6S ade 120 （平方厘米）. 铺垫如图，三角形 ABC被分成了甲、 BD DC 4 , BE 3 , AE 6，甲部分面积是乙部分面积的几分之几? 乙两部分， 分析连接AD . BE 3, AE 1 -BE AB , S bde 3 6 , 1S 3 ABD -S ABD -S BDE DC 4, 1 -S 2 1S S ABD 3 ABC , 1S 6 ABC , -S?1S乙 . 5 拓展如图，在三角形 方厘米？ ABC 中, BC 8厘米，AD 6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形 EBF的面积是多少平 分析vF是AC的中点， 2

5、 ABF S ABC , 同理S bef S ABF , 2 1 -S BEFS ABC 4 【例4】如图，已知三角形 1 1 - 8 66 （平方厘米） 42 ABC面积为1 ,延长AB至D，使BD AB ;延长BC至E，使CE 2BC ;延长CA至F，使AF 3AC , 求三角形DEF的面积 【分析】 本题是性质的反复使用（还可以用燕尾定理，但本讲不用这种方法，燕尾定理我们会放到五年级春季再讲） 连接AE、CD .SVABC1 , SVABC 1 , SvDBC1 -Svdbc1 同理可得其它，最后三角形 DEF的面积 18 拓展如图，四边形 EFGH的面积是66平方米，EA AB , C

6、B BF , DC CG , HD DA，求四边形 ABCD的面积. 分析 连接BD .设 而等腰梯形BDFE的面积为: 所以SvBDG 91 DFE 13 3 94 【例13】 得 SabgdSv ADB S/BDG 如图，正方形 ABCD面积为1, M是AD边上的中点求图中阴影部分的面积. 【分析】 因为M是AD边上的中点，所以 am 1 2，可得 S梯形amcb 3 4 由于AM : BC 1:2，根据梯形蝴蝶定理可以知道 2 SvAMG : SvABG : S/MCG : S/BCG 1 ：(1 2):( ：1 2):22 1: 2:2:4 所以阴影部分面积占梯形面积的 2 24 ，所

7、以S阴影 3 4 1 1 2 2 49 4 9 3 . 【例14】 如图，在长方形 ABCD中， AB 6 , AD 2 , AE EF FB , 求阴影部分的面积 【分析】如图，连接DE , DE将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形AED的面积为2 6 3 2 2 . 3 由于 EF : DC 1:3 ,根据梯形蝴蝶疋理，SvDEO : SVEFO3:1 ,所以SvdEO-SvdEF,而SVDEFSVADE2 , 所以 4 3 Svdeo- 2 1.5，阴影部分的面积为2 1.5 3.5. 4 相似三角形性质 【例7】在图中的正方形中, A , B , C分别是所在边的中点, VCDO的

8、面积是VABO面积的几倍? 【分析】 连接BC，易知OA / EF，根据相似三角形性质，可知OB: OD AE : AD，且OA: BE DA: DE 1:2，所以VCDO的面 11 SVCBO 3Svabo，即VCDO的面积是VABO面积的 积等于VCBO的面积；由OA -BE丄AC可得CO 3OA，所以S。 24 3倍. 【例8】 如图，线段AB与BC垂直，已知AD EC 4 , BD BE 6，那么图中阴影部分面积是多少? 【分析】 解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看. 作辅助线B0,则图形关于B0对称，有S/ ADOSVCEO , SVDBOS

9、VEBO，且 SVADO : SVDBO4 ： 6 2 ：3 设VADO的面积为2份，则VDBO的面积为3份，直角三角形 ABE的面积为8份. 因为Svabe 6 10 2 30,而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为 30 8 4 15. 【例9】 解法二：连接DE、AC .由于AD DE : AC BD: BA S阴影：S梯形ADEC 又S梯形ADEC- 2 15 10 EC 4 , BD BE 6，所以 DE / AC , 根据相似三角形性质，可知 6:103:5 , 蝴 SVDOE : SVDOA :SVC 5:35 :529:15 :15 :25, 所 15 10 右图中正方形

10、的面积为 1, 15 15 25 6 6=32，所以 E、F分别为 15 15: 32，即S阴影护梯形ADEC ； S阴影S弟形ADEC 32 AB、BD的中点, 15 . GC 1FC . 3 求阴影部分的面积. 而图中出现最多的就是三角形，那么 【分析】题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解, 首先想到的就是利用相似三角形的性质. 阴影部分为三角形， 已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积. 可以作FH垂直BC于H , GI垂直BC 于I . 根据相似三角形性质，CI :CH CG:CF 1:3，又因为CH HB，所以CI :CB 1:6，即

11、BI : BC 6 1 :6 5: 6，所以 1155 SvBGE. 22624 【例10】如图，长方形 ABCD中，E为AD的中点，AF与BE、BD分别交于G、H , OE垂直AD于E，交AF于O，已知AH 5cm , HF 3cm，求 AG . 【分析】由于AB / DF ,利用相似三角形性质可以得到AB: DF AH : HF 5:3 , 【例11】 【分析】 练习 5. 【分析】 6. 又因为E为AD中点，那么有 OE:FD 1:2 , 所以AB :OE 1 而 AO AF 2 3 5:- 2 1 2 10:3，利用相似三角形性质可以得到AG:GO AB:OE 10:3 , 5 34

12、cm，所以 AG 4巴理cm 1313 ABCD是平行四边形，面积为 72平方厘米, 米. E、F分别为AB、BC的中点，则图中阴影部分的面积为. 注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质. 设G、H分别为AD、DC的中点，连接GH、EF、BD . 可得 SvAED =S平行四边形ABCD , 4 对角线 OE : ED .平方厘 BD 被 EF、 AC GH平均分成四段 OM / EF ,所以 DO : ED 23 -BD :一 BD 44 2:3 , ED OD : ED 3 2 :3 1:3 , 所以S/AEO IS平行四边形abcd 4 726 （平方厘米），Svado

13、2 S/AEO 12（平方厘米）. 冋理可得S/CFM 6平方厘米, SVCDM 12平方厘米. 所以S/ ABCS/AEOS/cfm36 6 于是，阴影部分的面积为 24 12 （第十届华杯赛）如下图，四边形 么OC的长是多少? 根据蝴蝶定理，三角憲需 如图，梯形ABCD中, AOB、 12 24 （平方厘米）, 48 （平方厘米）. ABCD中，对角线AC和BD交于。点，已知A01，并且三角形 CBS A，所以山 COCO COD的面积分别为 -，那 5 35 ，又AO 1，所以CO - 53 1.2和2.7，求梯形ABCD的面积. 【分析】 根据梯形蝴蝶定理，Svaob : Svacod

14、 a2:b2 4:9，所以a:b 2:3 , SVAOD Svaob ab : a2 b:a 3: 2 , Svaod SvcOB 1.2 1.8, 7. 【分析】 S梯形abcd j2 j8 j8277.5. 已知三角形 ABC的面积为a , AF : FC 2:1 , E是BD的中点，且 EF / BC，交CD于G 已知AF : FC 2:1 ,且EF / BC ,利用相似三角形性质可知EF : BC AF : AC SvAEF : SvABC4 : 9 . 又因为E是BD的中点，所以EG是三角形DBC的中位线，那么EG找C, EG:EF 可得 svcfg : Safe 1:8，所以 Svcfg SVABC 1:18，