高中数学不等式的分类、解法

1、高中数学简单不等式的分类、解法一、知识点回顾1.简单不等式类型：一元一次、 二次不等式， 分式不等式，高次不等式，指数、对数不等式，三角不等式，含参不等式，函数不等式，绝对值不等式。2.一元二次不等式的解法解二次不等式时，将二次不等式整理成首项系数大于 0 的一般形式，再求根、结合图像写出解集3 三个二次之间的关系：二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系 ( 见复习教材 P228)二次函数的零点- 对应二次方程的实根- 对应二次不等式解集区间的端点4.分式不等式的解法法一：转化为不等式组；法二：化为整式不等式；法三：数轴标根法5.高次不等式解法法一：转化为不等式组；法

2、二：数轴标根法6.指数与对数不等式解法a1 时 a f ( x)a g ( x)f ( x)g( x) ；log af ( x)log ag (x)f ( x) g(x)00a1 时， a f ( x)a g ( x)f(x)g(x) ；log af (x)log a g ( x)0f (x)g( x)7.三角不等式解法利用三角函数线或用三角函数的图像求解8.含参不等式解法根据解题需要，对参数进行分类讨论9.函数不等式解法利用函数的单调性求解，化为基本不等式（有时还会结合奇偶性）10.绝对值不等式解法（后面详细讨论）二、练习：（ 1）3x24x40 解集为2（ x 2 ）（一化二算三写）3（

3、2） 1 x2x30 解集为22（ R） (变为，则得 ?)（无实根则配方）三、例题与练习例 1 已知函数 f (x) (ax 1) ? (x b) ，若不等式精品文档f ( x)0 的解集为 ( 1,3)，则不等式f ( 2x)0 的解集为(,3)(1 ,)22解法一：由根与系数关系求出a1, b3 ，得f ( x)x 22x3 ，再得出新不等式，求解解法二：由二次不等式f ( x) 0 的解集为(1,3) 得f ( x)0解集为 (,1) (3,) ，再由2x(,1)(3,) 得解集变式 1.已知关于 x 的不等式 x2mxn0的解集是 x |5x1 ，则不等式 mxn0 的解集为（ m,

4、 n） =（ -4， -5），解集为 (,5 )x24例 2：不等式 0 的解集是 _x23x2答案：（ -2， -1） 2， +）法一：化为不等式组法二：数轴标根法法三：化为整式不等式（注意等价性）变式 2：不等式x33x2x30 的解集为.答案： (1,3)(, 1)例 3：解关于 x 的不等式 ax 222x ax分析：化为 ax 2(a 2) x20 ，考虑分类标准： a 与 0 的关系2 与-1 的关系a变式 3：解关于 x 的不等式 ax2 (a 1)x 10 解 :原不等式可化为（ ax-1）（ x-1） 0当 a0, 原不等式解集为 (1,+ )当 0a1 时，原不等式解集为

5、( 1 ,1)a. .解关于 x 的不等式 log a ( a 2x 11)0答案：当 a1 时，解集为 (0,1 log a2)2当 0a1 的 解 集 为_ 答案： (2,3) ( 3， 2)解析由导函数图象知f( x)在 ( ，0)上为增函数；在(0， )上为减函数，故 不 等 式f(x2 6)1等 价 于 2 x2 63 ， 解 得x (2,3) ( 3， 2)四、小结1. 含参不等式求解要先考虑分类标准，做到不漏不重2. 要善于转化，化为不等式组或整式不等式或代数不等式，注意数形结合。五、课后思考题1. 已知函数f (x) 的 大致图像如图，则不等式f ( x)( x 1)0 的解x

6、精品文档集为x1x1分析：化为不等式组x0或x0f ( x)0f (x) 0进而得解集为 (1,0)(3,)2. 已 知 f (x)2 x ( x0)，解不等式2x(xx20)f ( f (x) 8分析：换元，设f ( x)t ，先解不等式f (t ) 8 ，得2 t 0 或 0t3 ，再转化为关于x 的不等式求解， 解集为 ( 1, log 2 3)3. 已知 f(x)是定义域为实数集 R 的偶函数，对任意 x1，x20，若 x1x2，则 f ( x1 )f (x2 )0，如果 f 1 3，x1x234且4 f (log 1 x)3，那么 x 的取值范围为 ()8A.11， 2C.1，1 (2， )0， 2B. 22D.11，2答案B0， 823解析： f (log 1x)x0 时， f(x)是，由已知可得当84减函数又 f( x)为偶函数， f (log1 x) f ( log 1x ) ，88由 f ( log 1x )3f ( 1 ) 得 log 1x1843831log 1x11x2.38324. 已知