初中优等生数学-难题集

1、初中优等生数学难题集1如图 , 点 P 是等边 ABC内的一点 , APB、 BPC、 CPA的度数之比是5 67，（第 14 题）则以 PA、PB、PC的长为边的三角形的三个内角度数( 从小到大排列 ) 之比为 _.2如图， O 的直径 AB 与弦 EF 相交于点P，交角为45，若 PE 2PF 2 =8，则 AB 等于。32006 个都不等于 119 的正整数，排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于 119，求的最小值。410 个学生参加 n 个课外小组，每一个小组至多 5 个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组， 至少可以找到两个学生， 他们都不在这两个课外小组中求

2、n 的最小值5甲、乙、丙、丁4 人打靶，每人打4 枪，每人各自中靶的环数之积都是72（中靶环数最高为10），且4 人中靶的总环数恰为4 个连续整数，那么，其中打中过4 环的人数为（C）。（ A） 0 （B ） 1（ C） 2 （D ） 36空间 6 个点（任意三点不共线）两两连线，用红、蓝两色染这些线段，其中A 点连出的线段都是红色的，以这 6 个点为顶点的三角形中，三边同色的三角形至少有（C）。（ A ） 3 个（ B）4 个（C） 5 个 （ D） 6 个7设 m 为整数，且关于 x 的方程 mx22(m 5) x m 40 有整数根，则 m 的值为4,16,4 .8已知 ABC 的内切圆

3、半径为r ，A60o ， BC23 则 r 的取值范围是 0 r19由 9 位裁判给参加健美比赛的12 名运动员评分。每位裁判对他认为的第1 名运动员给1 分，第 2 名运动员给2 分，第12 名运动员给 12 分。最后评分结果显示：每个运动员所得的9个分数中高、低分之差都不大于 3。设各运动员的得分总和分别为c1 ，c2 ，c12 ，且 c1c2c12 ，求 c1 的最大值。解： 9 名裁判不可能给某5 位或 5 位以上的运动员都评为 1 分，因为对于5 位或5 位以上的运动员中，至少有一名运动员被某裁判评的分不小于 5，而按照题意， 这 5 名运动员中的每一位被各裁判所评的分不大于4，矛盾

4、。因此，9 名裁判至多给某 4 位运动员都评为1分 .下面分情形讨论10在 18 18 的方格纸上的每个方格中均填入一个彼此不相等的正整数。求证：无论哪种填法，至少有两对相邻小方格（有一条公共边的两个小方格称为一对相邻小方格），每对小方格中所填之数的差均不小于10。11. 如图，将 3 枚相同硬币依次放入一个4 4 的正方形格子中（每个正方形格子只能放1 枚硬币）求所放的3 枚硬币中，任意两个都不同行且不同列的概率12. 如图，四边形 A1A2A3A4 内接于一圆， A1A2A3 的内心是I 1， A2A3A4 的内心是 I23 4 1的内心是32123四点共圆；1 23o， A A AI 求

5、证：（ 1） A 、 I、 I、 A（ 2） I II 9013. 将四十个自然数 1，2， 40 任意排成一排，总可以找到连续排列的八个数，它们的和不小于 A，则 A 的最大值等于 _ .14. 试求出所有满足下列条件的正整数 a，b， c， d，其中 1a b c d，且 abcd1 是 (a 1)*(b 1) * (c 1) * (d 1) 的整数倍 .15. 10 张卡片上分别写有 0 到 9 这 10 个数，先将它们从左到右排成一排，再采用交换相邻两张卡片位置的方法对它们进行操作，规则如下：当相邻两张卡片左边卡片上的数比右边卡片上的数大时，交换它们的位置，否则不进行交换若规定将相邻两

6、张卡片交换一次位置称为1次操作，那么无论开始时这10 张卡片的排列顺序如何，至多经过次操作，就能将它们按从小到大的顺序排列16. 设整数 a 使得关于 x 的一元二次方程5x25ax 26a 143 0 的两个根都是整数， 则 a 的值是。17.设二次函数 y ax 2bx c( a0, c1) ，当 x = c 时， y = 0 ；当 0 x c 时， y0 （ 1）请比较 ac 和 1 的大小，并说明理由；（2）当 x 0 时，求证：abc0x2 x 1x17. 有 7个人进行某项目的循环比赛，每两个人恰好比赛一场，且没有平局如果其中有3 个人X 、 Y 、 Z，比赛结果为X 胜 Y ，

7、Y 胜 Z ， Z 胜 X ，那么我们称X 、Y 、 Z 构成一个“圈” 求这 7 个人的比赛中， “圈”的数目的最大值18.19. 在 ABC 中，设 AD 是高， BE 是角平分线，若 BC=6，CA=7 ，AB=8 ，则 DE =_ 。1.求所有 正整数 a ，使得方程x2-ax+4a = 0仅有整数根 .2. 已知 P 为 ? ABCD 内一点 ，O 为 AC 与 BD 的交点， M 、N 分别为 PB、PC 的中点， Q 为 AN 与 DM 的交点。求证：(1) P、Q、O 三点在一条直线上；(2) PQ = 2 OQ .3.试写出 5 个自然数，使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除.23.试确定一切有理数 r，使得关于 x 的方程 rx2+(r+2)x+r - 1=0 有且只有整数根。24.已知： a ， b， c 三数满足方程