山东省潍坊市2015-2016年高二下期末数学试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2015年山东省潍坊市高二（下）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 U=1， 2， 3， 4， 5， A=1， 2， 3， B=2， 3， 4，则 U（ AB） =（ ） A 2， 3 B 1， 4， 5 C 4， 5 D 1， 5 2下列函数中，既是偶函数又在（ 0， +）上单调递增的函数是（ ） A y=2 y=|x|+1 C y= D y=（ ） |x| 3幂函数 y=f（ x）的图象过点（ 2， ），则 f（ 4） =（ ） A 2 B C D 2 4设 a=b=c=（ ） A a b c B a c b C b a c D b c a 5已知函数 f（ x）的图象是连续不断的，有如下的 x， f（ x）的对应表： x 1 2 3 4 5 6 f（ x） 函数 f（ x）存在零点的区间有（ ） A区间 1， 2和 2， 3 B区间 2， 3和 3， 4 C区间 3， 4、 4， 5和 5， 6 D区间 2， 3、 3， 4和 4， 5 6设 a， b R，那么 “ 1”是 “a b 0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7已知变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x y 的最大值为（ ） A 2 B 1 C 2 D 1 8若函数 f（ x） =g（ x） =x|（ a 0，且 a 1），若 f（ 2） g（ 2） 0，则函数 f（ x）， g（ x）在同一坐标系中的大致图象是（ ） A B CD 9若正数 x， y 满足 x+3y=5 3x+4y 的最小值是（ ） 第 2 页（共 16 页） A B C 5 D 6 10已知奇函数 f（ x）的定义域为 R，其导函数为 f（ x），当 x 0 时， x） f（ x） 0，且 f（ 1） =0，则使得 f（ x） 0 成立的 x 的取值范围是（ ） A（ 1， 0） （ 1， +） B（ ， 1） （ 0， 1） C（ 0， 1） （ 1， +）D（ ， 1） （ 1， 0） 二 大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11函数 f（ x） = 的定义域是 12已知奇函数 f（ x）满足 f（ x+2） =f（ x 2），当 x （ 0， 1）时， f（ x） =3x，则 f（ ）= 13已知 =2 ， =3 ， =4 ， ，类比这些等式，若 =7（ a， b 均为正整数），则 a+b= 14已知函数 f（ x） =1，若 f（ x）在（ 1， 1）在单调递减，则 a 的取值范围为 15函数 f（ x） = ，若 y=f（ x） +x 有且只有一个零点，则 a 的取值范围是 三 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 16设全集为 U=R，集合 A=x|（ x+3）（ 4 x） 0， B=x|x+2） 3 （ 1）求 A （ 2）已知 C=x|2a x a+1，若 C A B，求实数 a 的取值范围 17已知命题 p：函数 y=2 在 x 1， +）上为增函数；命题 q：不等式（ a 2）（ a 2） x 4 0 对任意实数 x R 恒成立，若 p q 是真命题，求实数 a 的取值范围 18已知定义在 R 上的函数 f（ x） = 1 （ 1）判断函数 f（ x）的奇偶性； （ 2）判断并证明 f（ x）的单调性； （ 3）若 f（ 2 +f（ t） 0，求实数 t 的取值范围 19设函数 f（ x） =a（ x 1） （ 1）求函数 f（ x）的单调区间和极值； （ 2）当 a 0 时，若函数 f（ x）在区间（ 0， 2上存在唯一零点，求 a 的取值范围 20为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本 y（元）与月处理量 x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：第 3 页（共 16 页） ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 200 元，若该项目不获得，国家将给予补偿 （ ）当 x 200， 300时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元 才能使该项目不亏损？ （ ）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 21已知函数 f（ x） =g（ x） =f（ x） +3x （ 1）若函数 g（ x）的图象在点（ 1， g（ 1）处的切线平行于 x 轴，求 a 的值； （ 2）若 a 0，讨论函数 g（ x）的单调性； （ 3）设斜率为 k 的直线与函数 f（ x）的图象交于两点 A（ B（ 证： 第 4 页（共 16 页） 2015年山东省潍坊市高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 U=1， 2， 3， 4， 5， A=1， 2， 3， B=2， 3， 4，则 U（ AB） =（ ） A 2， 3 B 1， 4， 5 C 4， 5 D 1， 5 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 求出集合 AB，然后求出它的补集即可 【解答】 解：集合 U=1， 2， 3， 4， 5， A=1， 2， 3， B=2， 3， 4 所以 AB=1， 2， 32， 3， 4=2， 3； U（ AB） =1， 4， 5； 故选 B 2下列函数中，既是偶函数又在（ 0， +）上单调递增的函数是（ ） A y=2 y=|x|+1 C y= D y=（ ） |x| 【考点】 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断 【分析】 利用奇偶函数的定义及基本函数单调性，即可得出结论 【解答】 解：一一进行判断即可： A y=2奇函数，不是偶函数，故 A 错误； B y=|x|+1 符合题意，故 B 正确； C y= ，是偶函数，但在（ 0， +）上单调递减，故 C 错误； D y=（ ） |x|是偶函数，但在（ 0， +）上单调递减，故 D 错误 故选： B 3幂函数 y=f（ x）的图象过点（ 2， ），则 f（ 4） =（ ） A 2 B C D 2 【考点】 幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【 分析】 设幂函数 y=f（ x） =据函数图象过点（ 2， ）求出 的值，再写出 f（ x），计算 f（ 4）的值 【解答】 解：设幂函数 y=f（ x） = 函数图象过点（ 2， ）， 2= ， 第 5 页（共 16 页） 解得 = ， f（ x） = ； f（ 4） = = 故选： C 4设 a=b=c=（ ） A a b c B a c b C b a c D b c a 【考点】 对数值大小的比较 【分析】 利用指数函数、对数函数的单调性比较大小 【解答】 解： a=20=1， 0=b=， c=， a b c 故选： A 5已知函数 f（ x）的图象是连续不断的，有如下的 x， f（ x）的对应表： x 1 2 3 4 5 6 f（ x） 函数 f（ x）存在零点的区间有（ ） A区间 1， 2和 2， 3 B区间 2， 3和 3， 4 C区间 3， 4、 4， 5和 5， 6 D区间 2， 3、 3， 4和 4， 5 【考点】 二分法的定义 【分析】 利用根的存在性定理： f（ x）的图象在区间 a， b上连续，且 f（ a） f（ b） 0，则 f（ x）在（ a， b） 上有根结合题中的表求出函数 f（ x）存在零点的区间 【解答】 解：据根的存在性定理知： f（ x）的图象在区间 a， b上连续，且 f（ a） f（ b） 0，则 f（ x）在（ a， b）上有根 f（ x）的图象是连续不断的， 由表知， f（ 2） f（ 3） 0， f（ 4） f（ 3） 0， f（ 4） f（ 5） 0， 函数 f（ x）存在零点的区间为 2， 3、 3， 4和 4， 5， 故选： D 6设 a， b R，那么 “ 1”是 “a b 0”的（ ） A充分不必要 条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 a b 0，可推出 ，而当 ，时，例如取 a= 2， b= 1，显然不能推出a b 0，由充要条件的定义可得答案 【解答】 解：由不等式的性质， a b 0，可推出 ， 第 6 页（共 16 页） 而当 ，时， 例如取 a= 2， b= 1，显然不能推出 a b 0 故 是 a b 0 的必要不充分条件 故选 B 7已知变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x y 的最大值为（ ） A 2 B 1 C 2 D 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 先画出满足条件的平面区域，由 z=2x y 得： y=2x z，显然直线过 A（ 2， 2）时，z 取得最大值，代入求出即可 【解答】 解：画出满足条件的平面区域， 如图示： ， 由 ，解得： A（ 2， 2）， 由 z=2x y 得： y=2x z， 由图知，直线过 A（ 2， 2）时， z 取得最大值， z 的最大值是 2， 故选： C 8若函数 f（ x） =g（ x） =x|（ a 0，且 a 1），若 f（ 2） g（ 2） 0，则函数 f（ x）， g（ x）在同一坐标系中的大致图象是（ ） 第 7 页（共 16 页） A B CD 【考点】 函数的图象 【分析】 先由条件 f（ 2） g（ 2） 0 确定 a 的取值范围，然后利用指数函数和对数函数的性质去判断 f（ x）， g（ x）的图象 【解答】 解： f（ 2） g（ 2） =a20， 0， 0 a 1， 函数 f（ x） =调递减， g（ x） =x|在（ 0， +）上单调递减， 故选： A 9若正数 x， y 满足 x+3y=5 3x+4y 的最小值是（ ） A B C 5 D 6 【考点】 基本不等式在最值问题中的应用 【分析】 将 x+3y=5化成 =1，然后根据 3x+4y=（ ）（ 3x+4y），展开后利用基本不等式可求出 3x+4y 的最小值 【解答】 解： 正数 x， y 满足 x+3y=5 =1 3x+4y=（ ）（ 3x+4y） = + + + +2 =5 当且仅当 = 时取等号 3x+4y 5 即 3x+4y 的最小值是 5 故选： C 10已知奇函数 f（ x）的定义域为 R，其导函数为 f（ x），当 x 0 时， x） f（ x） 0，且 f（ 1） =0，则使得 f（ x） 0 成立的 x 的取值范围是（ ） A（ 1， 0） （ 1， +） B（ ， 1） （ 0， 1） C（ 0， 1） （ 1， +）D（ ， 1） （ 1， 0） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析 】 根据条件构造函数 g（ x） = ，求函数的导数，判断函数的单调性和奇偶性，将不等式进行转化求解即可 第 8 页（共 16 页） 【解答】 解：设 g（ x） = ，则 g（ x） = ， 当 x 0 时， x） f（ x） 0， 当 x 0 时， g（ x） 0，此时函数 g（ x）为减函数， f（ x）是奇函数， g（ x） = 是偶函数， 即当 x 0 时， g（ x）为增函数 f（ 1） =0， g（ 1） =g（ 1） =0， 当 x 0 时， f（ x） 0 等价为 g（ x） = 0，即 g（ x） g（ 1），此时 x 1， 当 x 0 时， f（ x） 0 等价为 g（ x） = 0，即 g（ x） g（ 1），此时 1 x 0， 综上不等式的解集为（ 1， 0） （ 1， +）， 故选： A 二 大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11函数 f（ x） = 的定义域是 2， ） 【考点】 函数的定义域及其求法 【分析】 根据函数成立的条件即可求函数的定义域 【解答】 解：要使函数有意义，则 5 2x） 0，即 0 5 2x 1， 即 2 x ，即函数的定义域为 2， ）， 故答案为： 2， ） 12已知奇函数 f（ x）满足 f（ x+2） =f（ x 2），当 x （ 0， 1）时， f（ x） =3x，则 f（ ）= 【考点】 函数奇偶性的性质；函数的值 【分析】 由题意可得函数周期 T=4，再由奇函数的性质，结合 x （ 0， 1）时， f（ x） =3x，进而可得答案 【解答】 解：由题意可得 f（ x+4） =f（ x+2） 2=f（ x）， 故函数 f（ x）的周期 T=4，又函数为奇函数，故有 f（ x） = f（ x）， 当 x （ 0， 1）时， f（ x） =3x， f（ = ， f（ ） = f（ = 故答案为： 第 9 页（共 16 页） 13已知 =2 ， =3 ， =4 ， ，类比这些等式，若 =7（ a， b 均为正整数），则 a+b= 55 【考点】 归纳推理 【分析】 观察所给式子的特点，找到相对应的规律，问题 得以解决 【解答】 解： =2 ， =3 ， =4 ， ， =2 =2 ， =3 =3 ， =4 =4 ， ， =7 =7 a=7， b=72 1=48， a+b=48+7=55 故答案为： 55 14已知函数 f（ x） =1，若 f（ x）在（ 1， 1）在单调递减，则 a 的取值范围为 3，+） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 求出函数 f（ x）的导函数，由函数 f（ x）在区间（ 1， 1）上是单调减函数， f（ x） 0 在 x （ 1， 1）上恒成立，转化为求函数的最值恒成立即可 【解答】 解： f（ x） =1， f（ x） =3a， 要使 f（ x）在（ 1， 1）上单调递减， 则 f（ x） 0 在 x （ 1， 1）上恒成立， 则 3a 0， 即 a 3 x （ 1， 1）上恒成立， 在 x （ 1， 1）上， 33， 即 a 3， a 的取值范围为 3， +） 故答案为： 3， +） 第 10 页（共 16 页） 15函数 f（ x） = ，若 y=f（ x） +x 有且只有一个零点，则 a 的取值范围是 a 1 【考点】 函数的零点与方程根的关系 【分析】 化简构造得出 g（ x） = 与 y= a 有且只有一个交点，利用函数的图象的交点求解即可 【解答】 解： 函数 f（ x） = ，若 y=f（ x） +x 有且只有一个零点， g（ x） = 与 y= a 有且只有一个交点， 根据图形得出： a 1， a 1 故答案为： a 1 三 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过 程或演算步骤 . 16设全集为 U=R，集合 A=x|（ x+3）（ 4 x） 0， B=x|x+2） 3 （ 1）求 A （ 2）已知 C=x|2a x a+1，若 C A B，求实数 a 的取值范围 【考点】 集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算 第 11 页（共 16 页） 【分析】 （ 1）由题目所给的条件，可以分别解出集合 A 与集合 B，由补集的知识，可得 可求得 A （ 2）求出 A B，通过分类讨论，对 a 进行分类，可以确定 C 是否为空集，进而可以讨论的 a 的取值范围 【解答】 解：（ 1）集合 A=x|（ x+3）（ 4 x） 0=x|x 3 或 x 4， 对于集合 B=x|x+2） 3，有 x+2 0 且 x+2 8，即 2 x 6， 即 B=（ 2， 6）， ， 2 6， +）， 所以 A ， 3 6， +） （ 2）因为 A B=（ ， 3 2， +） 当 2a a+!，即 a 1 时， C=，满足题意 当 2a a+1，即 a 1 时，有 a+1 3 或 2a 2， 即 a 4 或 1 a 1 综上，实数 a 的取值范围为（ ， 4 1， +） 17已知命题 p：函数 y=2 在 x 1， +）上为增函数；命题 q：不等式（ a 2）（ a 2） x 4 0 对任意实数 x R 恒成立，若 p q 是真命题，求实数 a 的取值范围 【考点】 复合命题的真假 【分析】 分别求出命题 p， q 为真命题的等价条件，结合复合命题的真假关系进行求解即可 【解答】 解：命题 p 为真时，函数 y=2 x 1， +）为增函数，故对称轴 x=a 1， 从 而命题 p 为假时， a 1 . 若命题 q 为真，当 a 2=0，即 a=2 时， 4 0 符合题意 . 当 a 2 时，有 . 即 2 a 2 故命题 q 为真时： 2 a 2； q 为假时： a 2 或 a 2 若 p q 为假命题，则命题 p， q 同时为假命题 即 ，所以 a 2 p q 为真命题时： a 2 18已知定义在 R 上的函数 f（ x） = 1 （ 1）判断函数 f（ x）的奇偶性； （ 2）判断并证明 f（ x）的单调性； （ 3）若 f（ 2 +f（ t） 0，求实数 t 的取值范围 【考点】 奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断 【分析】 （ 1）函数 f（ x）的定义域为 R，验证 f（ x） = f（ x），即可判断函数 f（ x）的奇偶性； 第 12 页（共 16 页） （ 2）利用 f（ x） = 0，判断并证明 f（ x）的单调性； （ 3）根据函数 f（ x）在定义域 R 上既为奇函数又为减函数， f（ 2 +f（ t） 0，可 得 t 2 0，即可求实数 t 的取值范围 【解答】 解：（ 1）因为函数 f（ x）的定义域为 R， f（ x） = 1=1 =（ 1） = f（ x）， 即 f（ x） = f（ x），所以函数 f（ x）为奇函数 （ ）因为 f（ x） = 0， 所以 f（ x）为 R 上的单调递减函数 （ ）因为函数 f（ x）在定义域 R 上既为奇函数又为减函数， f（ 2 +f（ t） 0， 即 f（ 2 f（ t） =f（ t）， 所以 2 t，即 t 2 0，解得 1 t 2 19设函数 f（ x） =a（ x 1） （ 1）求函数 f（ x）的单调区间和极值； （ 2）当 a 0 时，若函数 f（ x）在区间（ 0， 2上存在唯一零点，求 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）可求导数， f（ x） =a，从而可讨论 a 的符号，进而判断导数的符号，这样即可得出函 数 f（ x）的单调区间，进而得出其极值； （ 2）根据上面知 x= f（ x）的最小值点，从而可讨论零点为极小值点，或零点在极小值点的左侧两种情况，对于每种情况可以求出 a 的取值，两种情况求并即可得出 a 的取值范围 【解答】 解：（ 1） f（ x） =a 若 a 0，则在区间（ ， +）上 f（ x） 0 f（ x） 的单调递增区间为（ ， +），没有极值点； 若 a 0，令 f（ x） =0，即 ex=a，解得 x=在区间（ ， f（ x） 0， f（ x）单调递减； 在区间（ +）内 f（ x） 0， f（ x）单调递增； 当 a 0 时， f（ x）的单调递减区间为（ ， f（ x）的单调递增区间为（ +），当 x=，函数 f（ x）有极小值为 2a （ 2）当 a 0 时，由（ 1）知， x=函数 f（ x）的最小值点 因为 f（ 0） =1+a 0，若函数 f（ x）在区间上（ 0， 2上存在唯一零点， 则当零点为函数的极小值点时： ，得 a= 当零点在极小值点左侧时： ， 得 a 综上所述，函数 f（ x）在区间（ 0， 2上存在唯一零点， 则 a 第 13 页（共 16 页） a 的取值范围为 +） 20为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本 y（元）与月处理量 x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 200 元，若该项目不获得，国家将给予补偿 （ ）当 x 200， 300时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？ （ ）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 【考点】 函数模型的选择与应用；函数的最值及其几何意义 【分析】 （ I）当 x 200， 300时，该项目获利 S=200x 0，说明不获利；当 x=300 时， S 取得最大值 5000，说明国家每月至少补贴 5000 元才能使该项目不亏损； （ 氧化碳的每吨平均处理成本为： = ；分段讨论， 当 x 120， 144）时，求出 的最小值； 当 x 144， 500时，求出 的最小值；比较得每月处理量为多少吨时，能使每吨的平均处理成本最低 【解答】 解：（ I）当 x 200， 300时，设该项目获利为 S，则 S=200x = 00x 80000= （ x 400） 2； 当 x 200， 300时， S 0，此时该项目不会获利； 当 x=300 时， S 取得最大值 5000，所以，国家每月至少补贴 5000 元才能使该项目不亏损 （ 题意知，二氧化碳的每吨平均处理成本为： = ， 则： 当 x 120， 1