山东省烟台市2015-2016学年高一上期末数学试题含答案解析

2015年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求 . 1下列命题中正确的个数是（ ） （ 1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等 （ 2）若直线 l 与平面 平行，则直线 l 与平面 内的直线平行或异面 （ 3）夹在两个平行平面间的平行线段相等 （ 4）垂直于同一直线的两条直线平行 A 0 B 1 C 2 D 3 2如果两条直线 y+6=0 与 x+（ a 1） y+3=0 平行，那么实数 a 等于（ ） A 1 B 2 C 2 或 1 D 3函数 f（ x） =x 3 的零点所在的一个区间是（ ） A（ ） B（ ） C（ ） D（ ） 4一个 几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图的都是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ） A B C D 5若函数 f（ x） = 在区间（ 1， 1）上存在一个零点，则实数 a 的取值范围是 （ ）A a 1 B a 1 C a 1 或 a 1 D 1 a 1 6过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（ ） A B C D 7在坐标平面内，与点 A（ 2， 1）和点 B（ 4， 7）的距离均为 5 的直线共有（ ） A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 8若圆锥的侧面展开图的圆心角为 90，半径为 r，则该圆锥的全面积为（ ） A B C D 9如图， 圆 O 的直径，点 C 在圆周上（异于点 A， B），直线 直于圆 O 所在的平面，点 M， N 分别为线段 中点，有以下三个 命题： 面 平面 平面 平面 其中正确的命题是（ ） A B C D 10定义在 R 上的奇函数 f（ x），当 x 0 时， f（ x） = ， 则关于 x 的函数 F（ x） =f（ x） a（ 0 a 1）的所有零点之和为（ ） A 1 2a B 2a 1 C 1 2 a D 2 a 1 二、 填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11通过市场调查知某商品每件的市场价 y（单位：圆）与上市时间 x（单位：天）的数据如下： 上市时间 x 天 4 10 36 市场价 y 元 90 51 90 根据上表数据，当 a 0 时，下列函数： y=ax+k； y=bx+c； y=能恰当的描述该商品的市场价 y 与上市时间 x 的变化关系的是（只需写出序号即可） 12如图所示，在直四棱柱 ，当底面四边形 足条件 时，有 ：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况） 13若直线 m 被两条平行直线 x y+1=0 与 2x 2y+5=0 所截得的线段长为 ，则直线 m 的倾斜角等于 14已知函数 f（ x）对任意的 x R 满足 f（ x） =f（ x），且当 x 0 时， f（ x） =x+1，若 f（ x）有 4 个零点，则实数 a 的取值范围是 15如图，在棱长都相等的四面体 ，给出如下三个命题： 异面直线 成角为 60； 平面 成角的余弦值为 ； 二面角 S A 的余弦值为 ， 其中所有正确命题的序号为 三、解答题：本大题 共 6 小题，满分 75 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16如图， 圆柱的轴截面， C 是底面圆周上异于 A， B 的一点， B=2 （ 1）求证：平面 平面 （ 2）若 C，求几何体 体积 V 17如图，棱长为 1 的正方体 ， E 是 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求二面角 E A 的正切值 18某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品 x（百台），其总成本为 G（ x）（万元），其中固定成本为 元，并且每生产 1 百台的生产成本为 1 万元（总成本 =固定成本 +生产成本）销售收入 R（ x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题： （ 1）写出利润函数 y=f（ x）的解析式（利润 =销售收入总成本）； （ 2）要使工厂有盈利，求产量 x 的范围； （ 3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？ 19在 ， A（ 2， 1）， 上的中线 在直线方程为 3x+2y+1=0角 B 的平分线所在直线 方程为 x y+2=0 （ 1）求顶点 B 的坐标； （ 2）求直线 方程 20如图， 圆 O 的直径，点 E， F 在圆 O 上，且 形 在的平面与圆 O 所在的平面互相垂直，且 ， F=1 （ 1）设 中点为 M，求证： 面 （ 2）求证： 面 21设直线 l 的方程为（ a+1） x+y+2 a=0（ a R） （ 1）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程； （ 2）若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围； （ 3）若 l 与 x 轴正半轴的交点为 A，与 y 轴负半轴的交点为 B，求 O 为坐标原点）面积的最小值 2015年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题： 本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求 . 1下列命题中正确的个数是（ ） （ 1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等 （ 2）若直线 l 与平面 平行，则直线 l 与平面 内的直线平行或异面 （ 3）夹在两个平行平面间的平行线段相等 （ 4）垂直于同一直线的两条直线平行 A 0 B 1 C 2 D 3 【分析】 根据空间中的平行与垂直关系，得出命题 A、 B、 C 正确，命题 D 错误 【解答】 解：对于（ 1），空间中如果两个角 的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补， 命题（ 1）错误； 对于（ 2），若直线 l 与平面 平行，则直线 l 与平面 内的直线平行或异面，根据线面平行的性质得到命题（ 2）正确； 对于（ 3），夹在两个平行平面间的平行线段相等；命题（ 3）正确； 对于（ 4），垂直于同一条直线的两个直线平行、相交或异面， 命题（ 4）错误 故正确的命题有 2 个； 故选： C 【点评】 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，是基础题目 2如果两条直线 y+6=0 与 x+（ a 1） y+3=0 平行，那么实数 a 等于（ ） A 1 B 2 C 2 或 1 D 【分析】 两条直线 y+6=0 与 x+（ a 1） y+3=0 平行，直线 斜率存在，利用两条直线相互平行的充要条件即可得出 【解答】 解： 两条直线 y+6=0 与 x+（ a 1） y+3=0 平行，直线 斜率存在，分别化为： y= x 3， y= ， ， 3 ， 解得 a= 1 故选： A 【点评】 本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 3函数 f（ x） =x 3 的零点所在的一个区间是（ ） A（ ） B（ ） C（ ） D（ ） 【分析】 将选项中各区间两端点值代入 f（ x），满足 f（ a） f（ b） 0（ a， b 为区间两端点）的为答案 【解答】 解：因为 f（ ） = 0， f（ 1） =e 1 0，所以零点在区间（ ）上，故选 C 【点评】 本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解 4一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图的都是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ） A B C D 【分析】 根据三视图知几何体为一直四棱锥，结合图中数据求出该四棱锥的体积 【解答】 解：由三视图知几何体为一直四棱锥，其直观图如图所示； 正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形， 四棱锥的底面是正方形，且边长为 1，其中一条侧棱垂直于底面且侧棱长也为 1， 该四棱锥的 体积为 12 1= 故选： B 【点评】 本题考查了由三视图求几何体体积的应用问题，解题的关键是判断几何体的形状，是基础题 5若函数 f（ x） = 在区间（ 1， 1）上存在一个零点，则实数 a 的取值范围是（ ）A a 1 B a 1 C a 1 或 a 1 D 1 a 1 【分析】 由函数的零点的判定定理可得 f（ 1） f（ 1） 0，解不等式求得实数 a 的取值范围 【解答】 解：函数 f（ x） = 在区间（ 1， 1）上存在一个零点，则 f（ 1） f（ 1） 0，即 （ 1 a）（ 1+a） 0，解得 a 1 或 a 1 故选： C 【点评】 本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题 6过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（ ） A B C D 【分析】 由题意设出球的半径，圆 M 的半径，二者与 成直角三角形，求出圆 M 的半径，然后可求球的表面积，截面面积，再求二者之比 【解答】 解：设球的半径为 R，圆 M 的半径 r， 由图可知， R2+ R2= S 球 =4 截面圆 M 的面积为： 则所得截面的面积与球的表面积的比为： 故选 A 【点评】 本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，仔细体会，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口 7在坐标平面内，与点 A（ 2， 1）和点 B（ 4， 7）的距离均为 5 的直线共有（ ） A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 【分析】 先求出线段 长度为 10，等于 5 的 2 倍， 故满足条件的直线有 3 条，其中有 2条和线段 行，另一条是线段 中垂线 【解答】 解：线段 长度为 =10， 故在坐标平面内，与点 A（ 2， 1）和点 B（ 4， 7）的距离均为 5 的直线共有 3 条， 其中有 2 条在线段 两侧，且都和线段 行，另一条是线段 中垂线， 故选 C 【点评】 本题考查两点间的距离公式的应用，线段的中垂线的性质，体现了分类讨论的数学思想 8若圆锥的侧面展开图的圆心角为 90，半径为 r，则该圆锥的全面积为（ ） A B C D 【分析】 根据扇形的弧长等于圆锥底面周长求出圆锥底面半径 【解答】 解：圆锥的侧面积为 ，侧面展开图的弧长为 = ， 设圆锥的底面半径为 r，则 2r= ， r= 圆锥的全面积 S= + = 故选： D 【点评】 本题考查了圆锥的结构特征，面积计算，属于基础 题 9如图， 圆 O 的直径，点 C 在圆周上（异于点 A， B），直线 直于圆 O 所在的平面，点 M， N 分别为线段 中点，有以下三个命题： 面 平面 平面 平面 其中正确的命题是（ ） A B C D 【分析】 利用线面平行，面面平行的判定定理即可 【解答】 解：点 M， N 分别为线段 中点， o 为 中点， N=O， 平面 面 平面 故正确； 故选： C 【点评】 考查了线面平行，面面平行的判断，属于基础题型，应熟练掌握 10定义在 R 上的奇函数 f（ x），当 x 0 时， f（ x） = ， 则关于 x 的函数 F（ x） =f（ x） a（ 0 a 1）的所有零点之和为（ ） A 1 2a B 2a 1 C 1 2 a D 2 a 1 【分析】 函数 F（ x） =f（ x） a（ 0 a 1）的零点转化为：在同一坐标系内 y=f（ x）， y= 作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数 f（ x）在 x 0 时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案 【解答】 解： 当 x 0 时， f（ x） = ； 即 x 0， 1）时， f（ x） = （ x+1） （ 1， 0； x 1， 3时， f（ x） =x 2 1， 1； x （ 3， +）时， f（ x） =4 x （ ， 1）； 画出 x 0 时 f（ x）的图象， 再利用奇函数的对称性，画出 x 0 时 f（ x）的图象，如图所示； 则直线 y=a，与 y=f（ x）的图象有 5 个交点，则方程 f（ x） a=0 共有五个实根， 最左边两根之和为 6，最右边两根之和为 6， x （ 1， 0）时， x （ 0， 1）， f（ x） = （ x+1）， 又 f（ x） = f（ x）， f（ x） = （ x+1） = （ 1 x） 1=1 x）， 中间的一个根满足 1 x） =a，即 1 x=2a， 解得 x=1 2a， 所有根的和为 1 2a 故选： A 【点评】 本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目 二、 填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11通过市场调查知某商品每件的市场价 y（单位：圆）与上市时间 x（单位：天）的数据如下： 上市时间 x 天 4 10 36 市场价 y 元 90 51 90 根据上表数据，当 a 0 时，下列函数： y=ax+k； y=bx+c； y=能恰当的描述该商品的市场价 y 与上市时间 x 的变化关系的是（只需写出序号即可） 【分析】 随着时间 x 的增加， y 的值先减后增，结合函数的单调性即可得出结论 【解答】 解： 随着时间 x 的增加， y 的值先减后增，而所给的三个函数中 y=ax+k 和 y=满足题意， y=bx+c 故答案为： 【点评】 本题考查函数模型的选择，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，确定函数模型是关键 12如图所示，在直四棱柱 ，当底面四边形 足条件 四边形 菱形 时，有 ：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况） 【分析】 由假设 合直四棱柱的性质及线面垂直的判定和性质定理，我们易得到 由菱形的几何特征可判断出四边形 菱形，又由本题为开放型题目上，故答案可以不唯一 【解答】 解：若 四棱柱 直四棱柱， 得 平面 则 则四边形 菱形， 故答案为： 四边形 菱形 【点评】 本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，属于知识的考查，属于中档题13若直线 m 被两条平行直线 x y+1=0 与 2x 2y+5=0 所截得的线段长为 ，则直线 m 的倾斜角等于 135 【分析】 由两平行线间的距离，得直线 m 和两平行线的夹角为 90再根据两条平行线的倾斜角为 45，可得直线 m 的倾斜角的值 【解答】 解：由两平行线间的距离为 = ， 直线 m 被平行线截得线段的长为 ， 可得直线 m 和两平行线的夹角为 90 由于两条平行线的倾斜角为 45， 故直线 m 的倾斜角为 135， 故答案为： 135 【点评】 本题考查两平行线间的距离公式，两条直线的夹角公式，本题属于基础题 14已知函数 f（ x）对任意的 x R 满足 f（ x） =f（ x），且当 x 0 时， f（ x） =x+1，若 f（ x）有 4 个零点，则实数 a 的取值范围是 （ 4， +） 【分析】 根据条件可判断函数为偶函数，则要使（ x）有 4 个零点，只需当 x 0 时， f（ x）=x+1=0 有两不等正根，根据二次方程的根的判定求解 【解答】 解：对任意的 x R 满足 f（ x） =f（ x）， 函数为偶函数， 若 f（ x）有 4 个零点， 当 x 0 时， f（ x） =x+1=0 有两不等正根， =a 4 0， a 4 【点评】 考查了偶函数的应用和二次方程根的性质 15如图，在棱长都相等的四面体 ，给出如下三个命题： 异面直线 成角为 60； 平面 成角的余弦值为 ； 二面角 S A 的余弦值为 ， 其中所有正确命题的序号为 【分析】 根据线面垂直性质可判断； 根据公式 解即可； 找出二面角的平面角，利用余弦定理求解 【解答】 解： 取 点 M， 易证 直平面 得 直 错误； 易知 平面上的射影为 角平分线， ，故正确； 取 点 N， 二面角为 妨设棱长为 1， = ，故正确， 故答案为： 【点评】 考查了线面垂直，线面角，二面角的求法属于基础题型 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 75 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16如图， 圆柱的轴截面， C 是底面圆周上 异于 A， B 的一点， B=2 （ 1）求证：平面 平面 （ 2）若 C，求几何体 体积 V 【分析】 （ 1）证明 平面 可证明平面 平面 （ 2）求出 接利用体积公式求解即可 【解答】 （ 1）证明：因为 C 是底面圆周上异于 A， B 的一点， 底面圆的直径， 所以 因为 平面 面 以 而 ，所以 平面 又 面 以平面 平面 （ 6 分） （ 2）解：在 ， ，则由 C， 得 ， 所以 （ 12 分） 【点评】 本题考查线面垂直的判定，考查平面与平面垂直，考查几何体 体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 17如图，棱长为 1 的正方体 ， E 是 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求二面角 E A 的正切值 【分析】 （ 1）连 于点 O，连 此能证明 平面 （ 2）由 二面角 E A 的平面角，由此能求出二面角E A 的正切值 【解答】 证明：（ 1）连 于点 O，连 E 是 中点， O 是 中点， 又 以 平面 （ 6 分） 解：（ 2）由（ 1）知， 二面角 E A 的平面角， 在 ， = 二面角 E A 的正切值为 （ 12 分） 【点评】 本题考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养 18某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品 x（百台），其总成本为 G（ x）（万元），其中固定成本为 元，并且每生产 1 百台的生产成本为 1 万元（总成本 =固定成本 +生产成本）销售收入 R（ x）（万元）满足，假定该产品产销平 衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题： （ 1）写出利润函数 y=f（ x）的解析式（利润 =销售收入总成本）； （ 2）要使工厂有盈利，求产量 x 的范围； （ 3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？ 【分析】 （ 1）由题意得 G（ x） =2.8+x由 ， f（ x） =R（ x） G（ x），能写出利润函数 y=f（ x）的解析式 （ 2）当 0 x 5 时，由 f（ x） = 0，得 1 x 5；当 x 5 时 ，由 f（ x）=x 0，得 5 x 此能求出要使工厂有盈利，产量 x 的范围 （ 3）当 x 5 时，由函数 f（ x）递减，知 f（ x） f（ 5） =元）当 0 x 5 时，函数 f（ x） = x 4） 2+ x=4 时， f（ x）有最大值为 元）由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多 【解答】 解：（ 1）由题意得 G（ x） =2.8+x （ 2 分） ， （ 4 分） f（ x） =R（ x） G（ x） = （ 6 分） （ 2） f（ x） = ， 当 0 x 5 时，由 f（ x） = 0，得 1 x 5； （ 7 分） 当 x 5 时，由 f（ x） =x 0，得 5 x 要使工厂有盈利，求产量 x 的范围是（ 1， （ 8 分） （ 3） f（ x） = ， 当 x 5 时，函数 f（ x）递 减， f（ x） f（ 5） =元） （ 10 分） 当 0 x 5 时，函数 f（ x） = x 4） 2+ 当 x=4 时， f（ x）有最大值为 元） （ 14 分） 所以当工厂生产 4 百台时，可使赢利最大为 元 （ 15 分） 【点评】 本题考查函数知识在生产实际中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化 19在 ， A（ 2， 1）， 上的中线 在直线方程为 3x+2y+1=0角 B 的平分 线所在直线 方程为 x y+2=0 （ 1）求顶点 B 的坐标； （ 2）求直线 方程 【分析】 （ 1）设 B（ 利用中点坐标公式可得： 中点 M，代入直线 点B 在直线 ，联立即可得出 （ 2）设点 A（ 2， 1）关于直线 对称点的坐标为 A（ a， b），则点 A在直线 ，利用对称的性质即可得出 【解答】 解：（ 1）设 B（ 则 中点 M 在直线 ， 所以 +1=0，即 3=0 （ 2 分） 又点 B 在直线 ，所以 =0 （ 4 分） 由 得： 2， ，即顶点 B（ 2， 0） （ 6 分） （ 2）设点 A（ 2， 1）关于直线 对称点的坐标为 A（ a， b），则点 A在直线 ，由题意知， ，解得 a= 3， b=4，即 A（ 3， 4） （ 9 分） 因为 = = 4， （ 11 分） 所以直线 方程为 y= 4（ x+2），即 4x+y+8=0 （ 12 分） 【点评】 本题考查了角平分线的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 20如图， 圆