高考数学一轮复习 第六章 数列 6.4 数列求和课件 理.ppt

第六章数列 6 4数列求和 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 审题路线图系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 求数列的前n项和的方法 1 公式法 等差数列的前n项和公式 等比数列的前n项和公式 当q 1时 sn na1 知识梳理 1 答案 2 分组转化法把数列的每一项分成两项或几项 使其转化为几个等差 等比数列 再求解 3 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和 正负相消剩下首尾若干项 常见的裂项公式 4 倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加 即等差数列求和公式的推导过程的推广 5 错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和 即等比数列求和公式的推导过程的推广 6 并项求和法一个数列的前n项和中 可两两结合求解 则称之为并项求和 形如an 1 nf n 类型 可采用两项合并求解 例如 sn 1002 992 982 972 22 12 100 99 98 97 2 1 5050 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 3 求sn a 2a2 3a3 nan之和时 只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得 思考辨析 答案 5 推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法 利用此法可求得sin21 sin22 sin23 sin288 sin289 44 5 答案 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 数列 an 的通项公式为an 1 n 1 4n 3 则它的前100项之和s100 解析s100 4 1 3 4 2 3 4 3 3 4 100 3 4 1 2 3 4 99 100 4 50 200 200 解析答案 1 2 3 4 5 解析当x1 x2 1时 即s 5 f x1 f x2 5 解析答案 1 2 3 4 5 4 若数列 an 的通项公式为an 2n 2n 1 则数列 an 的前n项和sn 2n 1 2 n2 解析答案 1 2 3 4 5 a1 0 a2 2 a3 0 a4 4 故s4 a1 a2 a3 a4 2 s2017 s2016 a2017 1008 1008 解析答案 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 解当n 1时 a1 s1 1 a1也满足an n 故数列 an 的通项公式为an n 1 求数列 an 的通项公式 题型一分组转化法求和 解析答案 2 设 求数列 bn 的前2n项和 解由 1 知an n 故bn 2n 1 nn 记数列 bn 的前2n项和为t2n 则t2n 21 22 22n 1 2 3 4 2n 记a 21 22 22n b 1 2 3 4 2n b 1 2 3 4 2n 1 2n n 故数列 bn 的前2n项和t2n a b 22n 1 n 2 解析答案 例1 2 中 求数列 bn 的前n项和tn 解由 1 知bn 2n 1 n n 当n为偶数时 tn 21 22 2n 1 2 3 4 n 1 n 解析答案 思维升华 引申探究 思维升华 某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差 从而求得原数列的和 这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究 将数列的通项合理分解转化 特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论 已知数列 an 的通项公式是an 2 3n 1 1 n ln2 ln3 1 nnln3 求其前n项和sn 跟踪训练1 解析答案 解sn 2 1 3 3n 1 1 1 1 1 n ln2 ln3 1 2 3 1 nn ln3 当n为偶数时 当n为奇数时 解析答案 例2 2015 湖北 设等差数列 an 的公差为d 前n项和为sn 等比数列 bn 的公比为q 已知b1 a1 b2 2 q d s10 100 1 求数列 an bn 的通项公式 题型二错位相减法求和 解析答案 解析答案 可得 解析答案 思维升华 思维升华 用错位相减法求和时 应注意 1 要善于识别题目类型 特别是等比数列公比为负数的情形 2 在写出 sn 与 qsn 的表达式时应特别注意将两式 错项对齐 以便下一步准确写出 sn qsn 的表达式 3 在应用错位相减法求和时 若等比数列的公比为参数 应分公比等于1和不等于1两种情况求解 已知数列 an 满足首项为a1 2 an 1 2an n n 设bn 3log2an 2 n n 数列 cn 满足cn anbn 1 求证 数列 bn 为等差数列 证明由已知可得 an a1qn 1 2n bn 3log22n 2 bn 3n 2 bn 1 bn 3 数列 bn 为首项b1 1 公差d 3的等差数列 跟踪训练2 解析答案 2 求数列 cn 的前n项和sn 解cn anbn 3n 2 2n sn 1 2 4 22 7 23 3n 2 2n 2sn 1 22 4 23 7 24 3n 5 2n 3n 2 2n 1 得 sn 2 3 22 23 24 2n 3n 2 2n 1 10 5 3n 2n 1 sn 10 5 3n 2n 1 解析答案 解由题意知 题型三裂项相消法求和 即a1 3或2 又an为正数 所以a1 2 解析答案 2 求数列 an 的通项公式 sn 3 sn n2 n 0 则sn n2 n或sn 3 又数列 an 的各项均为正数 所以sn n2 n sn 1 n 1 2 n 1 所以当n 2时 an sn sn 1 n2 n n 1 2 n 1 2n 又a1 2 2 1 所以an 2n 解析答案 解析答案 证明当n 1时 解析答案 所以对一切正整数n 解析答案 思维升华 思维升华 1 求sn的表达式 跟踪训练3 解析答案 即2sn 1sn sn 1 sn 由题意得sn 1 sn 0 解析答案 返回 审题路线图系列 1 确定常数k 并求an 审题路线图系列 四审结构定方案 解析答案 审题路线图 审题路线图 解析答案 规范解答 当n 1时 上式也成立 温馨提醒 解析答案 返回 审题路线图 审题路线图 温馨提醒 解析答案 规范解答 温馨提醒 温馨提醒 1 根据数列前n项和的结构特征和最值确定k和sn 求出an后再根据 的结构特征确定利用错位相减法求tn 在审题时 要通过题目中数式的结构特征判定解题方案 2 利用sn求an时不要忽视n 1的情况 错位相减时不要漏项或算错项数 3 可以通过n 1 2时的特殊情况对结论进行验证 返回 思想方法感悟提高 非等差 等比数列的一般数列求和 主要有两种思想 1 转化的思想 即将一般数列设法转化为等差或等比数列 这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成 2 不能转化为等差或等比的特殊数列 往往通过裂项相消法 错位相减法 倒序相加法 并项法 数列的周期性等来求和 方法与技巧 1 直接应用公式求和时 要注意公式的应用范围 如当等比数列公比为参数 字母 时 应对其公比是否为1进行讨论 2 在应用错位相减法时 注意观察未合并项的正负号 结论中形如an an 1的式子应进行合并 3 在应用裂项相消法时 要注意消项的规律具有对称性 即前剩多少项则后剩多少项 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析f x mxm 1 a a 1 m 2 f x x2 x 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 已知函数f n n2cos n 且an f n f n 1 则a1 a2 a3 a100 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 100 解析若n为偶数 则an f n f n 1 n2 n 1 2 2n 1 所以an是首项为a2 5 公差为 4的等差数列 若n为奇数 则an f n f n 1 n2 n 1 2 2n 1 所以an是首项为a1 3 公差为4的等差数列 所以a1 a2 a3 a100 a1 a3 a99 a2 a4 a100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 设数列 an 的前n项和为sn 若a1 2 且对任意正整数k l 都有ak l ak al 则s8的值是 解析因为a1 2 且对任意正整数k l 都有ak l ak al 令k n l 1 得an 1 an a1 即an 1 an 2 所以 an 是首项为2 公差为2的等差数列 从而有an 2n 所以sn n n 1 故s8 72 72 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由题意 得a1 a2 a3 a100 12 22 22 32 32 42 42 52 992 1002 1002 1012 1 2 3 2 4 3 99 100 101 100 1 2 99 100 2 3 100 101 50 101 50 103 100 100 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 在等差数列 an 中 a1 0 a10 a11 0 若此数列的前10项和s10 36 前18项和s18 12 则数列 an 的前18项和t18的值是 解析由a1 0 a10 a11 0可知d 0 a10 0 a11 0 t18 a1 a10 a11 a18 s10 s18 s10 60 60 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 整数数列 an 满足an 2 an 1 an n n 若此数列的前800项的和是2013 前813项的和是2000 则其前2015项的和为 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由an 2 an 1 an 得an 2 an an 1 an an 1 易得该数列是周期为6的数列 且an 2 an 1 0 s800 a1 a2 2013 s813 a1 a2 a3 2000 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由此可知an 1 an 2 an 3 an 4 an 5 an 6 0 s2015 s5 13 答案 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 an 1 an an 1 an 1 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又 an 为正项数列 an 1 an 1 0 即an 1 an 1 数列 an 是以1为首项 1为公差的等差数列 an n 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 t1 t2 t3 t100中有理数的个数为9 答案9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 已知数列 an 中 a1 3 a2 5 且 an 1 是等比数列 1 求数列 an 的通项公式 解 an 1 是等比数列且a1 1 2 an 1 2 2n 1 2n an 2n 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 若bn nan 求数列 bn 的前n项和tn 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解bn nan n 2n n 故tn b1 b2 b3 bn 2 2 22 3 23 n 2n 1 2 3 n 令t 2 2 22 3 23 n 2n 则2t 22 2 23 3 24 n 2n 1 两式相减 得 t 2 22 23 2n n 2n 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 t 2 1 2n n 2n 1 2 n 1 2n 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 得 sn n2 n sn 1 0 由于 an 是正项数列 所以sn 1 0 所以sn n2 n n n n 2时 an sn sn 1 2n n 1时 a1 s1 2适合上式 所以an 2n n n 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 证明由an 2n n n 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 已知数列2008 2009 1 2008 2009 这个数列的特点是从第二项起 每一项都等于它的前后两项之和 则这个数列的前2014项之和s2014 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由已知得an an 1 an 1 n 2 an 1 an an 1 故数列的前8项依次为2008 2009 1 2008 2009 1 2008 2009 由此可知数列为周期数列 周期为6 且s6 0 2014 6 335 4 s2014 s4 2008 2009 1 2008 2010 答案2010 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14