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摘要 摘要 传统的险违约模型主要分为结构化模型和简约模型两种。结构化模型以公 司的资本结构为基础，设定一个违约边界，当公司资产首次下降到违约边界时， 即为违约，这种模型的优点是具有明确的经济意义，但违约强度不存在；而简 约模型则是先定义违约强度，并由此出发构造模型，这种模型的缺陷在于经济 意义不明确。因此这两种传统的险违约模型都存在着各自的缺陷。 本文的目的在于构造一种新的违约模型，使其具有上述两种传统模型的优 点，并克服各自的缺陷。具体地说就是从公司的资本结构出发，用末离时的压 缩变换代替首中时来定义公司违约时间，构造一个违约模型。这个模型具有违 约概率强度，并且经济意义明确，从而实现了本文的目的。本文导出了模型概 率强度的解析表达式，作为模型的应用，还对公司债券进行定价并求出了短期 信用利差。 关键词：信用风险违约模型末离时违约强度短期信用利差 a b s t r a c t _ - 一 ab s t r a c t 1 r a d i t i o n a ld e f a u l tm o d e lc a nb ed i v i d e di n t os t r u c t u r a lm o d e la n dr e d u c e d f o r m m o d e l s t r u c t u r a lm o d e l ，w h i c hi sb a s e do nt h ec o m p a n y sc a p i t a ls t r u c t u r e ，s e ta d e f a u l tb o r d e r , t h ec o m p a n yd e f a u l tw h e ni t sa s s e t sf e l lt ot h eb o r d e rf o r t h ef i r s tt i m e ， t h ea d v a n t a g e so ft h i sm o d e li sac l e a re c o n o m i cs i g n i f i c a n c e ，b u tt h e r ei sn od e f a u l t i n t e n s i t y ；r e d u c e d ，f o r mm o d e li s b a s e do nt h ed e f i n i t i o no fd e f a u l ti n t e n s i t y , b u tt h e e c o n o m i cs i g n i f i c a n c ei sn o ts oc l e a r t h e r e f o r et h e s et w ot r a d i t i o n a lm o d e l so f d e f a u l tr i s kb o t hh a v et h e i ro w ns h o r t c o m i n g s t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st os t r u c t u r ean e w d e f a u l tm o d e l ，s ot h a ti tw i l lh a v e t h et w oa d v a n t a g e so ft h et r a d i t i o n a lm o d e l ，a n dt oo v e r c o m et h e i rd e f i c i e n c i e s s p e c i f i c a l l y , b a s eo n t h ec o m p a n y sc a p i t a ls t r u c t u r e ，u s et h ec o m p r e s s e dt r a n s f o r mo f l a s te x i tt i m e i n s t e a do fh i t t i n gt i m et od e f i n et h ed e f a u l tt i m et oc o n s t r u c tt h e d e f a u l t m o d e l t h em o d e lh a sd e f a u l ti n t e n s i t y ，a n dac l e a re c o n o m i cs i g n i f i c a n c e ，s ot h a t a c h i e v e st h ep u r p o s eo ft h i sp a p e r t h i sp a p e rg e t st h ea n a l y t i c a le x p r e s s i o no f p r o b a b i l i t yi n t e n s i t y , a sa na p p l i c a t i o n ，i ta l s o u s e st h em o d e li n t ot h ep r i c i n go f c o r p o r a t eb o n d sa n dg e t ss h o r t t e r mc r e d i ts p r e a da sw e l l k e yw o r d s ：c r e d i tr i s k ，d e f a u l tm o d e l ，l a s te x i tt i m e ，d e f a u l ti n t e n s i t y , s h o r t t e r mc r e d i ts p r e a d 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 年月日 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版：在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 年月日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年 月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 内部5 年( 最长5 年，可少于5 年) 秘密1 0 年( 最长1 0 年，可少于l o 年) 机密2 0 年( 最长2 0 年，可少于2 0 年) 第一章绪论 1 1 1信用风险 第一章绪论 第一节信用风险概述 信用风险( c r e d i tr i s k ) 又称违约风险，是指交易对手未能履行约定契约中 的义务而造成经济损失的风险，即受信人不能履行还本付息的责任而使授信人 的预期收益与实际收益发生偏离的可能性，它是金融风险的主要类型。在过去 的数年中，利用新的金融工具管理信用风险的信用衍生产品( c r e d i td e r i v a t i v e s ) 发展迅速。适当利用信用衍生工具可以减少投资者的信用风险。 下面我们将要提到的公司债券，就是体现公司信用风险的一个最基本的例 子。 1 1 2 公司债券 公司债券( c o r p o r a t ed e b t ) 是指公司依照法定程序发行的，约定在一定期 限还本付息的有价证券。公司债券是公司债的表现形式，基于公司债券的发行， 在债券的持有人和发行人之间形成了以还本付息为内容的债权债务法律关系。 因此，公司债券是公司向债券持有人出具的债务凭证。 相对于其他政府债券而言，公司债券的收益较高，但此高收益非无条件的。 大多数公司债券是信用债券，这意味着他们没有抵押品的保证。这种债券的投 资者不仅要承担利率风险，还有信用风险，即发行者不履行债务的可能性。公 司债券时信用衍生产品的基础。 第二节信用衍生产品及其定价问题 1 2 1 信用衍生产品 第。章绪论 信用衍生产品( c r e d i td e r i v a t i v e s ) 是以贷款或债券的信用作为基础资产的 金融衍生工具，其实质是一种双边金融合约安排，在这一合约下，交易双方对约 定金额的支付取决于贷款或债券支付的信用状况，通常有两种方式对其进行交 易，即期权或互换。而所指的信用状况一般与违约、破产、信用等级下降等情况 相联系，一定是要可以观察到的。 到目前为止，对信用衍生品还没有一致公认的定义，一般观点认为，是指 通过交易当事人签订的，以转移与贷款、债券等资产的信用风险为目的的交易 合约。事实上，信用衍生品市场的创新品种非常多，仅按英国银行家协会( b b a ， b r i t i s hb a n k e r sa s s o c i a t i o n ) 的统计，主要信用交易品种就有1 0 种，这还不包 括许多最新创新产品。正是因为新的品种层出不穷，产品界线模糊，增加了定 义和分类的难度。 目前，最主要的分类方法是按参照资产是单一还是组合，分为单_ 产品 ( s i n g l en a m e ) 和组合产品( p o r t f o l i o ) 。单一产品是信用衍生产品的初级阶段， 组合产品是在单一产品的基础上发展起来的。 1 单一产品： 单一产品中，最主要的是c d s ( c r e d i td e f a u l ts w a p ) 和总收益互换。 1 ) 单名信用违约调期( s i n g l en a m ec d s ) ： 最基础的信用衍生品，指合约的一方( 信用保障买方) 定期向另一 方( 信用保障卖方) 支付费用，以换取另一方在参照资产( 实体) 发生 事先界定的信用事件时的补偿支付。 2 ) 总收益调期( t o t a lr e t u ms w a p ) ： 指银行将标的贷款的经济风险全部转移给交易对手。交易对手承担 贷款的市场风险和信用风险，同时获得贷款的全部收益。银行则获得交 易对手定期支付的基础利率附加一定基点的利率。 2 组合产品： 组合产品指在c d s 和总收益互换交易结构的基础上，采用一组资产或 某一指数作为参照资产，根据投资者的需求，量身定做的收益风险特征各 异的产品。组合的种类很多，按国际清算银行( b i s ，b a n kf o ri n t e r n a t i o n a l s e t t l e m e n t s ) 研究小组的分类，从是否有本金支持( f u n d e d u n f u n d e d ) 、信 用风险是否直接转移还是通过特殊目的机构( s p v ，s p e c i a lp u r p o s ev e h i c l e ) 销售两个角度分类，组合产品可以分为： 2 第一章绪论 1 ) 现金c d o ( c a s hc d o ) ： c d o 即担保债权工具( c o l l a t e r a l i z e dd e b to b l i g a t i o n s ) 。在现金c d 0 的发行中，发行银行将参照资产，通常将债券和贷款组合转移给特殊目 的机构( s p v ) ，s p v 再根据投资者的风险偏好，重新分割和配置这些风 险资产，设计出风险收益不同的资产档，并发行相应的一组票据，即 c d o 。c d o 的投资者是信用保障的最终卖方( 信用风险的最终买方) ， s p v 发行现金c d o 的所得转移给风险资产的出让方，即发行银行。风 险资产产生的收入将作为c d o 投资人的收入。一旦发生信用事件，投资 人的本金和利息收入将减少。 2 ) 组合c d o ( s y n t h e t i cc d 0 ) ： 传统c d o 的衍生性产品。为了克服现金c d o 风险资产( 贷款、债 券) 规模的限制，出现了组合c d o 。组合c d o 的基础资产是c d s ，s p v 通过c d s 与购入无风险资产的两类交易组建c d o 的基础资产，达到与 现金c d o 类似的效果。 3 ) 信用关联票据( c l n ，c r e d i tl i n k e dn o t e ) ： 指嵌入c d s 的固定收益证券。由于信用保障卖方( 投资者) 先期 支付证券本金，保障买方( 银行) 相当于对基础风险敞口进行了现金担 保。 4 ) 组合c d s ( s y n t h e t i cc d s ) ： 交易结构与单名c d s 差不多，不同之处在于参照资产是资产组合， 而不是单个资产。 上述分类并没有涵盖组合产品的全部分类。市场上还存许多交易结构更为 复杂、收益特征各异的产品。近两年来，最重要的创新产品是指数交易( i n d e x t r a d e s ) 。指数交易是对某一类型贷款、某一行业或者整个经济情况进行投资或者 对冲风险，互换参照的指数有投资级债券指数、高收益债券指数、新兴市场指 数和国债指数等。 自2 0 世纪9 0 年代中期第一个产品问世以来，信用衍生产品一直保持强劲 的增长势头。据英国银行家协会( b b a ) 和f i t c h ( 评级公司f i t c hr a t i n g s ) 分别 发布的全球信用衍生产品调查报告表明，2 0 0 5 年底全球信用衍生产品的名义总 价值为1 2 7 万亿美元，2 0 0 6 年底为2 0 2 万亿美元，预计2 0 0 8 年底将达3 3 1 万亿美元左右，而1 9 9 6 年底仅为1 8 0 0 亿美元，十年内市场规模增长了1 0 0 多 3 第。章绪论 倍。市场的快速发展突出表现为产品创新层出不穷，市场参与者和交易量不断 扩大，同时生产了丰厚的盈利机会。信用衍生品市场占全球o t c ( o v e rt h e c o u n t e r ) 市场衍生产品交易的份额也从2 0 0 2 年的2 上升到2 0 0 5 年的7 。已成 为继外汇、利率产品后的第三大o t c 金融衍生品市场。 目前看来，信用衍生品市场还是一个新兴市场，发展趋势强劲，市场潜力 巨大。因此，如何对信用衍生产品进行定价，就成了一个重要的问题。 1 2 2 信用衍生产品定价问题 要解决信用衍生产品的定价问题，首先要做的就是建立单个公司的违约模 型。我们清楚，对于可违约资产的定价问题一般可以归结为计算下面形式的数 学期望 e = e l r 唧( _ r 凼) 蛾闭 ( 1 ) 其中c f 为可违约资产在时刻，的公平价值；口。为待定资产的累积红利，它是违 约时间f 和违约后回收率的函数；鲂为一仃代数流，它表示市场( 投资者) 所 观测到的信息流；e 表示关于定价测度( 风险中性测度) p 的数学期望。 粗略的说，建立一个可用于定价的违约模型，需要在给定的概率空间 ( q ，尸，p ) 上指定代表投资者所观测到的所有信息( 包括公司违约情况) 的仃 代数流鲂，以及公司违约时间f 关于鲂的条件分布尸( f l 鲂) 。 目前，在文献中违约模型的构建方法大致可以分为以下两个大类： 1 从公司的资本结构出发： 这类模型构造的典型方法是：假定公司资产价值过程遵循某个已知的 随机过程，给定适当的违约边界( 或由公司的资本结构确定) ，然后以资产 价值首次通过该违约边界的时间作为公司的违约时间f ，以资产过程产生的 过滤( 或者它适当增减后产生的子过滤) 作为信息流鲂。在此模型中，条 件分布尸( f j 鲂) 作为资产过程泛函的分布是内生决定的。 这些模型的优点是，模型和相关的参数具有非常直观的经济解释，易 4 第一章绪论 于理解。其中最常见同时也是最具代表性的是： 1 ) m e r t o n 模型和b l a c k c o x 模型： 资产价值为几何布朗运动( g e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o n ) ，违约时是 资产首次触及常数违约点的时间，信息流是资产过程和违约示性过程产 生的自然仃代数流。 从定价计算的角度看，m e r t o n 模型和b l a c k c o x 模型是最易与实现 的。但这些模型并不存在非零有限的违约强度，将其用于定价会导致短 期信用利差为零。 2 ) 跳跃扩散模型： 模型的构造方法与m e r t o n 模型和b l a c k c o x 模型相同，只是资产 过程用跳跃扩散过程( 或带负跳的l e v y 过程) 来代替几何布朗运动。 跳跃扩散模型理论上可以克服短期信用利差为零这一缺陷，理论分 析上有时比较方便，但它们用于实际定价时计算实现通常比较困难。 3 ) 不完全信息模型： 资产过程和违约时间的构造与m e r t o n 模型和b l a c k c o x 模型相同， 但信息流取为比资产过程严格小的子盯代数流( 或将该子过滤加入适 当的干扰) 。 不完全信息模型是近年来新提出的一类模型，d u f f l e 和l a n d o 在 b l a c k c o x 模型的框架下，提出了用在一系列离散时间点受干扰后的资 产价值产生的子过滤流( 解释为不完全会计信息流) 作为市场信息流， 证明了这种市场信息流的缩小可以使违约时间的条件概率强度变成非 零有限的，并计算出了该违约强度。这样在理论上可以将相关的定价问 题归结成标准的r e d u c e d f o r m 模型进行求解。该类模型当前遇到的一 个主要问题是，一般资产定价时的计算实现困难较大。原因是市场信息 流的严格变小使得计算式( 1 1 ) 中的数学期望变得比较困难( 即使是 理论上的计算) ，特别是考虑随机利率时困难更为突出。 2 从违约强度过程出发： 这类模型的构造是直接指定代表市场信息流的一个过滤，以及代表条 件违约强度的随机过程。强度过程决定了违约时的条件分布它使定价计算 的问题变得相对简单，并且从强度过程出发也可以按照标准的方法构造出 公司的违约时间。其中常见的强度过程是a f f l n e 过程，在这类模型中，式 5 第一章绪论 ( 1 1 ) 中条件期望的计算通常变为求解一组常见的常微分方程。 违约强度的存在克服了b l a c k c o x 模型短期信用利差为零的缺陷，计算 上的优越性使定价问题的求解变得容易实现，因此a m n e 强度类模型是近 年来广泛使用的模型之一。这种方法构造违约模型的缺点是：模型是一个 纯数学化的框架，违约概念本身和模型参数都缺乏直观的经济解释。 由此可见，对于目前在文献中出现的违约模型的构建方法，无论是从公司 的资本结构出发还是从违约强度过程出发都存在着各自的缺陷：或是难以计算 出非零的短期信用利差，或是经济解释不够直观。因此，我们自然希望能够构 造出这样一种新的违约模型：它既有直观的经济解释，又存在非零的短期信用 利差，并且易于计算，从而使它同时具备了上述两类模型各自的优点，又克服 了两类模型的缺陷。而本文的最终目的正是为了构造出这样一种模型。 第三节论文的主要内容和组织结构 1 3 1 论文的主要内容 在本文中，我们首先分别介绍目前构造违约模型的两种最基本的方法：结 构化模型( s t r u c t u r a lm o d e l ) 和简约模型( r e d u c e d f o r mm o d e l ) ，并对这两种模 型分别加以分析并进行比较，总结出它们的优点和不足之处。从而，为了集中 这两种模型的优点同时克服它们的缺陷，我们引出了一种新的构造违约模型的 方法：末离时( 1 a s te x i tt i m e ) 模型。这种方法使用另外一个特殊的泛函代替 b l a c k - c o x 模型中的首中时( h i t t i n gt i m e ) 来定义公司的违约时，我们可以计算 出它的解析表达式并证明它具有非零的短期信用利差，从而达到我们预期的目 的。 1 3 2 论文的组织结构 本文将分为以下几个部分展开论述： 第一章，给出了信用风险以及信用衍生产品的基本概念，引出了信用衍生 产品定价的基本方法，并对目前违约模型的主要构造方法进行简单的分析，总 结了各自的优点和缺陷。 6 第一章绪论 第二章，简单介绍构造违约模型的一种基本方法：结构化模型。我们从公 司的资产结构出发给出结构化模型的构造方法，计算出在这种违约模型下违约 概率的解析表达式，并指出其短期信用利差为零的缺陷。 第三章，介绍末离时模型中的第一个基本概念：投资者违约时( i n v e s t o r d e f a u l tt i m e ) ，我们将分两种情况计算出在投资者违约时概念下的违约概率密度， 并且指出它仍然存在短期信用利差为零的缺陷。 第四章，介绍末离时模型中的第二个基本概念：管理层违约时( m a n a g e m e n t d e f a u l tt i m e ) ，我们将证明在管理层违约时概念下存在非零的短期信用利差。 第五章，我们将在末离时模型下解决公司债券的定价问题，并且计算出两 种具体的公司债券的公平价值。 第六章，我们将对本文进行总结，并给出今后的主要研究方向。 7 第二章结构化模型 第二章结构化模型 结构化模型主要用于解决单一公司违约风险的定价问题。模型首先定义公 司的资产过程和一个违约边界，而违约时间则通常定义为公司资产首次达到这 个违约边界的时间。由此可见，结构化模型是由公司的资产结构出发的，公司 的资产情况决定了公司是否违约。下面我们就来具体分析一下这个模型。 第一节模型的建立 首先，我们假定一个公司在未来某个参考时间【o ，t 】内的资产价值 s = s ：o f 丁) 服从几何布朗运动，即 j 姆= s , ( g d t + 仃鹕)( 2 1 ) 【s o = s o 其中，b = e ：o f t ) 为已给定概率空间( q ，夕，p ) 上的标准布朗运动，用 彳：o f t 表示由布朗运动b = e ：o ，丁 产生的仃- 代数流的完备化。 盯，为已知常数，若记6 = 一哆彳，则有 s = s o e x p ( o b t + b t ) ( 2 2 ) 设过程非负v = v ：o f 丁) 满足 s o ，我们称此过程为公司的违约边界。 则公司的违约时间f 定义为，在丁之前公司资产过程s 首次下降到违约边界v 的 时间( s 首中v 的时间) ，即 r = i n f o t 菇。设停时f = i l l f ，。：f o ：y , s ) = p ( 邺i n 。fy 。 o ) = p ( 怕i n 。f $ x , , 一乩) ( 2 1 3 ) 其中，五= y “+ 仃或，我们知道对于任意x s ) = n c x p ( - 2 v 盯q ) 这样就得到了与式( 2 1 0 ) 相同的结果。 ( 2 1 6 ) 口 由引理2 2 以及j ，的强马氏性( s t r o n gm a r k o vp r o p e r t y ) 可以得到下面的推 推论2 1 对于任意， f ) 上有 p f s l i ) = ( 二! 毛；掣) + e x p c 一2 y 仃。2 【， ( 2 1 7 ) 利用这个推论，我们就可以对一些具体的违约时概率分布的例子进行计算 1 2 喾 ，一 旱i 以萼仃 ，。一 力一 等等 第二章结构化模型 了。 2 2 - 2 违约时的概率分布 我们用两个具体的例子来计算违约时的概率分布。 首先，我们先来看一下违约边界为常数的情况。假设违约边界过程v 是一个 常数口，并满r = a s o 。那么，违约时间f 可以表示为： 就是 并且 f = i n f 0 t f 上，有 尸( r s i 刃= i na 厶1 6 ( s 一，) s 、 7 d 瓜= 【+ 7 掣o q sl ( 2 2 。， 一f i 下面，我们来看一下违约边界为贴现过程的情况。假设违约边界为 e = k e 一觑) ，其中k ，分别为己知常数，则有 ( 2 2 2 ) 懈晰 譬竹 巩 第二章结构化模型 同样，我们令f = s ，矸= _ ，则r = l n ( ) ，由式( 2 4 ) 的定义，我 们得到 并且 从= ，q = 仃，矗= s o ( 2 2 3 ) 鸬= ，吒= 0 ，菇= k e 一 ( 2 2 4 ) 相应的，y = 一一哆= b 一并且仃= 仃。利用推论2 1 我们可以得到，对 于任意的s ，在集合 f f 上，有 强度 fh 1 等一( z s ) 一6 ( h ) p ( 内i z ) = i 三 +(簧)学p-2矽(r-f)三二耋三一 ( 2 2 5 ) 第三节违约概率强度 对于任意s ( f ，t ) ，我们把下面的极限形式定义为公司在时刻，的违约概率 ，p ( f f ) 1 4 第二章结构化模型 上有s 口，所以 l ：，p ( ， t 上有s v = k e 一觑7 - ，所以 尸( ， f s l 彳) l i m 二2 s j , t j - t ：l i m 上n s j , t s t l n k 。，- a ( r s ) 一6 ( j 一，) 眄j + 击勉g - 2 科， = 0 h 妄一夕( 7 一s ) + 6 ( s f ) 口瓜j ( 2 2 8 ) 我们发现，在上面的两个具体的例子中，只要公司没有发生违约，公司的 违约概率强度就都为零。这是与实际情况不一致的，因为即使公司的资产在违 约边界以上，在很短的时间内还是有可能下降到违约边界以下的，这就说明违 约强度并不为零。导致这一问题的原因在于违约时的可料性，因此为了使构造 出的违约模型具有非零有限的违约概率强度，我们必须首先定义出一种具有非 可料性的违约时。 第四节本章小结 1 5 第二章结构化模型 本章从公司的资产结构出发，介绍了结构化模型的基本构造方法。我们给 出了公司违约时的定义，并计算出了公司的违约概率的解析表达式。最后我们 计算出了两种情况下的违约概率强度，并指出了不存在非零有限的违约概率强 度的原因在于违约时定义的可料性。 1 6 第一章投资者违约时 第三章投资者违约时 在上一章中我们已经指出，必须定义出一种具有非可料性的违约时，才能 使使构造出的违约模型具有非零有限的违约概率强度。那么，从这一章开始我 们就将介绍一种建立在非可料性违约时基础上的模型：末离时模型。这种模型 使用一个非可料违约时来代替结构化模型中的首中时来定义公司的违约时。而 本章将要介绍的就是一种非可料违约时的定义方法。 第一节违约时的定义 首先，我们仍假定公司在未来某个参考时间【o ，t 】内的资产价值s 服从几何 布朗运动，即 j 姆= s ( 魂+ 盯魍)( 3 1 ) 【s o = s o 记6 = 一嘭，则有 s = s oe x p ( 仃8 , + b t ) ( 3 2 ) 设过程非负v 满足 s o ，我们称此过程为公司的违约边界。我们首先定义 变量r 为 r = s u p t t ：s t ( v t ，佃) ( 3 3 ) 然后，我们把公司的违约时定义为公司资产价值s 在r 以前末离违约边界v 的 时间，即 1 7 第章投资者违约时 il = ， t ll = 佃，r = 丁 我们可以用下面的图来表示公司的违约时间： ( 3 4 ) 图3 1 基于末离时的违约时问 图中蓝色实线表示公司资产过程s ，而绿色虚线则表示违约边界1 ，。我们从图中 可以清楚的看到，蓝色实线最后一次离开绿色虚线上方区域的时间( s 末离1 ，的 时间) ，即为违约时间。 这样定义的违约时具有很直观的经济解释：公司只有当其资产在给定期限丁 内不可能恢复到预定水平1 ，以上时才会发生违约，这种解释在实际中是合理的。 这种违约时是由市场信息可以判断出来的，所以我们称这样的违约时为投资者 违约时( 或市场违约时) 。 在上一章介绍的结构化模型中，公司的违约时f 定义为资产价值过程首次通 过违约边界的时间，这样获得的违约时是万可料的，这是我们不希望的性质。 我们注意到，投资者违约时三并不是彳停时，因此也不是彳- 可料的。那么投 资者违约时是不是作为公司违约是的一个很好的选择呢，下面我们将进行具体 1 8 第i 章投资者违约时 的分析。 第二节违约概率 本节我们将讨论投资者违约时的初步性质，我们将计算它在给定的两种具 体违约边界情况下的条件分布和密度函数，这些结果是本文后面有关问题进一 步讨论的基础。下面我们将分情况讨论。 3 2 1 违约边界为常数 其中 其中 设违约边界1 ，= 口，其中口为正实数ra s o ，则投资者违约时厶定义为 l ，= l ：，l ： t 1 乙；佃，厶+ ：t【乙= 佃，厶= ( 3 5 ) 乞= s u p t a 时 第二章投资者违约时 矽( ，石) = 0 北剐吐删 掣 其中 p ( l o ，i 刃 - i - ? ( l o 叫彳) = 1 - ( t ，s ) f + 1 ( s 如) i 【 l n 鲁+ 6 ( ) 口 。 叮打j 2 6 7 2 6 f ，口1 7 + l 刻 ( 3 2 1 ) - l n a - b ( r - t ) 1 ( 3 2 2 ) ! ! 警 ( 3 2 3 ) 口 最后，我们给出投资者违约时的概率密度函数。 定理3 3 对于v ， o ，t ) ， _ s 2 ，有 尸( 岛 厶是i z ) = j c 2 六( ，甜，s ) 如 ( 3 2 4 ) 一6 而 h 一掣 2 5 ， +1expf一e(2r盯-：u)12nj e x p ( ，一垒二王掣 + x ( u - t ) ( t - u ) e x p l 一2 盯2 e x p l 一l f 证明：首先令 )6=：， s 一乙 ， 一jijf 尘一 ， _ ) 印 一仃 以 一 第三章投资者违约时 w ( t ) = l i l 旦一所 注意到s 口等价于e w ( t ) ，则根据式( 3 2 2 ) 可得 e ( t o f ) = e 一- ? ( l o 叫z ) 一e 案爹 黟南明 r l ( b 钟) ) e x p i l 定义函数 2 6 ( 掣肼 一等h l n 晏o o + b ( t - 2 t ) + 击 砜( ，x ) =2 6 ( 2 b x 盯 1 1 1 旦一6 r u ( 舢) 2 葛厅t 一赤a q l q l t ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) ( 啦) ：一t l n a 万+ b ( t f - 2 t ) + 赤 ( 3 3 。) ( 啦) 一? 赢+ 赤 3 2 3 厂【 m 纠 叫 幅 慷 r“_一一一 一 e e = i l 拦， l _ 社矿 i 一 于是得到 函数 第三章投资者违约时 g ( t ，x ) = ( u ( f ，x ) ) 一e x p ( ( f ，x ) ) ( ( ，石) ) ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) 尸( 厶f ) = e 1 ( 岛s 忡) ) g ( f ，e ) = 丽1 弘即( 一势“z ) 出 = 去e 冲( 一钟( 舶净 3 3 ， = 诱1 以) e x p ( 一手) ( u ( 旆) ) 出 ( ，也) ( ( f ，瓜) ) 出 由控制收敛定理可知，p ( 厶 - t ) 关于f ( o ，丁】可微，则对其求微分可得密度 由于 肿) 2 去唧( - 半砂嘶) 可d l ( t ) 3 4 ) + 面1 熙h 一势( 慨) 卜 ( ，w ( 纠=2 2 4 、， 6 ，i2 6 i l = 0( 3 3 5 ) 盟以霉 u 水l 上瓜 一 胆矿 ， 一 拦矿 ，i 一 第三章投资者违约时 于是 则 h 旦一6 丁h 旦一6 f u ( 州，) ) = 萧一赢亏= 一导厉 ( 3 3 6 ) l n 旦+ 6 ( 丁一2 t ) l i l 旦一b t， 吐( f ，w ( r ) ) = 一t 手+ 素i 2 一导厉( 3 3 7 ) g ( t ，以( f ) ) = g ( ( ，) ) = 哆( 嘶) 曹一p 吵w ( ，) ) ( ( 嘶) ) ) ( 3 3 8 ) = ( 一导历) ( 一导厉) 叽 肌) = 面1 聪 e x p ( 一务( 慨) 卜 = 去踟p k ( u ( 以) 净 3 9 ) 一面1 嘲唧以) 一剞( 删卜 我们先来计算式( 3 3 9 ) 右边的第一个积分，由 洲删去x p _ 掣 掣 古p - 掣 赤p 可得 2 5 ( 3 4 0 ) ai 可j 第三章投资者违约时 踟p ( 一手舻( u ( 佩) ) 出 = 拶坤 _ x 2 + u 2 ( ，, f i x ) 2 一b-t)22 4 丽t ( t 踟卜 k 1 l 又因为 于是有 南 x 2 + u 2 ( ， 2 p 斗t x 卜掣 丢 一掣嘉嘶叫 = 一南f 工一 = 一一l r r fl胡 ( 3 4 1 ) ( 3 4 2 ) 由于 第三章投资者违约时 2 2 4 历t ( r 一垆 ( u ( r ，以) ) 出 r e x p i _ 【 一1 2 4 2 x i i r - 0 e x p _ 一 圯x p l 一 1 2 = = = = 2 ie x p 2 4 2 x t ( t f ) 1 x 2 + u 2t ，4 ；x 1 x 2 + u 2 2 2 ( 一 2 讹a _ b 2 t t - 2 s os o ) 2 0 - 2 ， 下面我们计算式( 3 3 9 ) 右边的第二个积分 嘲唧以) 一种( 删卜 ( 3 4 3 ) e x p ( ，以) 一爿( ( ，以) ) 丢( ，以) 出 c 3 朋) + 去踟卜舛争 2t ，派1 2 丢( 蕊) = 一等一与 船叫出 ( 3 4 5 ) ( 3 r 一2 t ) b i n 兰 刍d t 嘶2 ，a x ) 2 奇+ 赢海 4 6 ) 代入式( 3 4 4 ) 中，可得 2 7 f 一 二r等 d 一衍 一、 ，一2 丁 一 ，l p xe 水l 第三章投资者违约时 删唧啡也) 一水呸( 删卜 = e x p 卜( ，也) 一爿( - 7 2 b 2 一与) r ( ( ，拓) ) 出 ) e x p 卜蚌等一 ) x e x p 卜舛萼一 我们把式( 3 4 7 ) 简写成下面的形式 2t ，瓜) 2 2t ，4 i x l 2 ( 3 4 7 ) 罢 e 冲l ( ，以) 一爿( ( 厶以) ) 卜 ：厶+ - 三l n 了a 耋薪+ ( 3 t - 2 t ) b 厶+ 南厶 ( 3 4 8 ) = 厶+ 三了主薪厶+ 三了旃厶 下面我们分别计算和，3 2 8 舞 其中 令 则有 因为 第三章投资者违约时 = 7 6 - $ e 印 小州一了2 b , j t x 】( ( 概) p = 南酗( ( ，以) ) d e x p 4 ( 洲 = 去( ( 慨) ) e x p a o ( 列) ： 面b 川) e x p 伽懿p 卜型2h 删。 = 南( 啦，w ( ，) ) ) e x p 卜州) 一丁l z ( t ) l 一万b 丽踟卜舛等一 4 ( z ，) =2 6 ( 2 一坐一一x 2 ( 3 5 0 ) 盯2 o ：( 啦删) ) 唧胁俐一掣 5 1 ) = ( ( ( ，) ) ) e xp i ( ( ，) ) 一半l ( 3 i 厶 i = 去厶一丽b 厶 ( 3 5 2 ) 拉矿 ，l 一 所以有 其中 d 扣u 硝一 第一章投资者违约时 名卜掣卜3 ) 十掣卜瑚出+ ：一竿州泓必掣 丁一， 2 一下e x p r 1 2 讹a _ b 2 t t _ 2l夕 2 0 - 2 r 打a 坍 o - t 上型 ( 3 5 4 ) ) ：( ，以) 一盟2 型 5 5 ) 将式( 3 5 2 ) ，式( 3 5 4 ) ，代入式( 3 4 8 ) 中，我们可以得到 第王章投资者违约时 嘲唧以) 一种( 删卜 ：南厶一面高乞+ 靠- l n a 而+ ( 3 t 万- 2 t ) b 厶 一一t 刊t - t 一2 b t l na _ b 2 t t _ ( 1 na _ _ _ 2 一孺币孑丁懿p i 丽一 寺一南唧l 一 ( 3 5 5 ) 再将式( 3 5 1 ) 代入式( 3 5 5 ) 中，就可以得到式( 3 3 9 ) 右边的第二个积分的 最终结果 罢 e x p l ( ，届) 一爿( ( ，瓜) ) 卜 = 丽b ( - 雩 e x p一掣1 畎n i2 b t i n bt t - ii nl i 兰一2 兰i 1ij 一2 4 2 x t ( t - t ) 唧l i 严 最后，我们把式( 3 4 3 ) 以及式( 3 5 6 ) 代入式( 3 3 9 ) 中去，得到l 的密 3 1 叫一蜂 第三章投资者违约时 度函数无( t