（计算数学专业论文）二次特征值逆问题的模型修正方法.pdf

二次特征值逆问题的模型修正方法 符号说明 以下是本文中会遇到的一些记号： z 留：表示向量x 是佗维实的列向量 a 舻m ，表示矩阵a 是nxm 的实矩阵 a 三0 ：表示矩阵a 是实对称半正定矩阵 a - 0 ：表示矩阵a 是实对称正定矩阵。 铲：表示所有佗阶实对称矩阵集合 罡：表示所有挖阶实对称半正定矩阵集合 研：表示所有”阶实对称正定矩阵的集合 1 2 0 ：- - - s ”x5 - , s ” q ：= ( m ，c ，k ) 9 0 ：m 三0 ，k 三o ) i i a i i f ：表示矩阵a 的f r o b e n i u s 范数，i i a i i f = ( t r a 丁a ) ( a ，b ) ：表示矩阵a 与b 的内积，( a ，b ) = t r ( b r a ) ，其中4 ，b 尼找” h e ( a ) ：兀是投影算子，q q o ， a q o ，i l n ( a ) 表示a 在q 上的投影， 即i la 1 1 q ( a ) f i f = r a 、。i n ni ia xf f f 4 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导l i l ：l 导下独立完成的研究成果。 本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明 确方式标明。本人依法享有和承担由此论文而产生的权利和责任。 p - u j l ) k ( 签名) ：吴筘厕 伽_ 年s 只i oi i 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门大 学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和电 子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学 校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索， 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适 用本规定。 本学位论文属于 l 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ) ( 请在以上相应括号内打“) 作者签名：吴惫厕日期：沙哕年j j t _ 0 ，沪：c ，k 三0 这里的c ，c 2 为两个正的参数 这是一个有多个条件约束的最优化问题，我们要同时修正质罐矩阵、阻尼矩 阵和刚度矩阵，其真正的难点是质量矩阵必须是对称正定的文献1 2 1 有效的解决 了该模型的修正问题，但是方法比较复杂，涉及剑对偶理沧和广义的牛顿方法， 算法花费的时间也比较多 不同类型的动力系统对质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵有不同的要求，因此 具体的模型修正问题有很多种提法文献f 3 7 l 讨论了构造二次特征值逆问题的 中心斜对称解的问题，并解决了中心斜对称的动力模型修正问题 b a r u c h 3 ，4 1 研究的是无阻尼结构系统，他提出了参考基方法( r e f e r e n o eb a s i cm e t h o d s ) ，其 基本思想是：以一个参数作为不可改变的参考基准这个基准可以足质量、刚 度或测试模态振型，然后通过目标函数的最小化来进行模型修正文献1 3 1 是用 r a i n ( j | fa 痃( 一心) 懈0 ) 来修正刚度矩阵，其中a 厶是分析质量矩阵， 虬 是分析刚度矩阵 对于阻尼结构动力系统，如果以质量作为不变的参考基准，那么我们就可以 直接修正阻尼矩阵和刚度矩阵【1 3 ，2 1 1 即假定分析质量矩阵地是准确的，直 接取m = 地，此时只需要使罚函数j 最小 j = 五1i i n 一( k k 。) r1 雌+ 去，zl ln1 ( e a ) - 1i l ， s z 眠x a 2 + c x a + k x = 0 ，( 1 9 ) c t ：c k t ：k 二次特征值逆问题的模型修正方法 9 其中n = 懈，“足权重参数 考虑到分析质量矩阵 死并不一定能达到正定的要求，我们有必要先对质量 矩阵作适当的修正，再利用罚函数最小化同时修正阻尼矩阵和刚度矩阵本文在 文献1 2 1l 的基础上导出了一种新的模型修正方法 本文的其它内容安排如下；第二章解二次特征值逆问题第三章最优化理论 在模型修正中的运用，解决了一般的模型修正问题。第四章介绍了同时修正阻尼 矩阵和刚度矩阵的模型修正方法，提出了一种新的模型修正方法第五章为数值 实验 二次特征值逆问题的模型修正方法 第二章解二次特征值逆问题 1 0 行求解，为了保证刚度矩阵k 半正定，给出的一般解在选取质量矩阵m 的时候 要使其中的元素满足多个约束条件，并不能给出显示的表达式，运用起来比较不 方便下面我们给出一种比较简单的方法，构造出i q e p 的解根据给定的谱信 息( 人，x ) r 舨x 舻姗( 如( 1 4 ) ，( 1 5 ) 式所示) ，我们可以求出i q e p 的一般 解，显然该问题的解是不唯一的 一 仁- ， 其中q 尼n 是正交矩阵，月r x 是非奇异的 把( 2 1 ) 式代入以下方程 m x a 2 + o x a + k x = 0 ( 2 2 ) 并在方程两边同乘以q 丁，得 q t m q ： a ：+ q t c q ： a + q r k q ： = 。c 2 3 ， 我们容易构造出方程的一个特解，如下 慨= q r r o t ) 。i q 丁， c 2 4 ， ll ( 矗= q 一月：丁( 人人丁) 冗一1 ： q 丁， c 2 5 ， 凰= q r 丁人吾人r 。1 ； q 丁 c 2 6 ， 二次特征值逆问题的模型修正方法 值得注意的是：i q e p 中的质量矩阵m - 0 的条件可以由m 三0 来代替我 们记q ：= ( m ，c ，k ) s 2 0 ：m 三0 ，k 三o ) ，其中q o ：= 铲酽s ”实际 上，如果( m ，c ，k ) q 是方程( 2 2 ) 的解，那么对于任意的q 0 ， ( m + c t m o ，c + a g ，k 十n ) 是i q e p 的解 下面我们来求方程( 2 2 ) 的解( 厨? a ，露) ，并且( 厨，p ，露) q 记y ：= 丁，a 丁y r 】r 轨，n ( y ) 表示矩阵y 的零空间。由于x 足列 满秩的，( j ) 的维数为2 n 一后设u ，v r n ( 2 ”，且 孙v 驴坤， 的所有列构成n ( y ) 的一组基，即以下方程成立 旷翻”。 构造出方程( 2 2 ) 的解为 厨：v v t 一 巾巾 c = u v l + v u l ， - ， m k = u u l 容易验证，( 厨，移，露) q 是方程( 2 2 ) 的解 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 定理2 1 给定任意后个特征对( a ，x ) r k x 形x ( 如( 1 4 ) ，( 1 5 ) 式所示) ， 设u ，v 是方程( 2 7 ) 的一个解，口为任意正数，( ，c o ，k o ) ( 如( 2 4 ) ，( 2 5 ) ，( 2 6 ) 式所示) 是i ( 2 e p 的一。个特解，那么i q e p 的般解为 m = y y 丁+ 口慨， c = y 丁+ y u t + a c o ， k = u u r + a k o ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 二次特征值逆i j j 题的模型修正方法 证显然m 卜0 ，c t = c ，k 三0 ，满足条件要求。 由( 2 7 ) 式可得x7 1 u + a t 义丁v = 0 ，所以 v 丁义a + u 丁x ：0 又( m o ，c o ，i r o ) 是i q e p 的一个特解，所以 于是有 m o x a 2 + c o x a 斗x = 0 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) m x a 2 + c x a + kx = ( v v r + c e m o ) x n 2 + ( u v t + v u 丁+ a c o ) x a + ( u u 丁+ a k o ) x = v ( v 丁x a + u t x ) n + u ( v r x a + u t x ) + 理( m o x a 2 + c o x a + k o x ) = = 0 ( 2 1 6 ) 即( m ，c ，k ) ( 如( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 所示) 是i q e p 的解口 二次特征值逆刚题的模型修正方法 第三章最优化理论在模型修正中的运用 】3 这一章我们简单介绍一下利用最优化理论来解模型修正问题的方法【2 】模 型修正问题其实是个最优化问题，根据经典的对偶理论，我们可以先求出对偶 问题的最优解，再由这个最优解求出原r - i 题对应的最优解这种方法有效的解决 了以下这个模型修正问题 给定m 。，巴，虬s “，以及部分特征对( a ，x ) 彤x ：p ( 如( 1 4 ) ，( 1 5 ) 式所示) ，求m ，c ，k 舻期，使得 m 协号i lm m 。i 嘻+ 虿c 2 i i c 一倪i 悟+ 主i ik k 。i 偿 s t m x a 2 十c x a + k x = 0 ， ( 3 1 ) m - 0 c t ：c k _ 0 同样先对x 作q r 分解 一阱 慨2 ， 其中q 1 7 ”是正交矩阵，1 ：l r 是非奇异的 m ：= 、石- q 丁m q ，c ：= 、石刀r c q ，k ：= q 丁k q ， 朋0 ：= 、百q t m o q ，( 五：= 、瓦q t ( 兄q ，j 已：= q 丁l q q 我们不妨用条件m 三0 来代替m - 0 ，模型修正问题( 3 1 ) 可转化为 研m 圭i im 一耽咿 _ 互1 i i g g 临+ 刘1 k 一虬临 s 六了击m 苫 a 2 + 了茜c ： a + k ： = 。， c 3 3 ， 二次特征值逆问题的模型修正方法 对矩阵m ，c ，k 进行分块如下 粘m 1 ，对弘c 1 ，小= k l ，孙 其中m l ，c 1 ，k l s ，q ，k 2 r ( n - k ) ，m 4 ，a ，心s ( n - k ) 定义3 1线性算子h ：q o r ( h ) 的定义如下 日( m 以k ) = 去( a 2 ) 丁( 月t 邶) + 忑1 人t ( r t c , r ) ( 一1 k j r ) ， 这里的( m ，c k ) q o ，其中r ( h ) 表示函数h ( m ，( ：k ) 的值域 h 的伴随算子h ：r ( h ) 一q o ，且 h 4 ( 1 7 ) = ( ? ( y ) ，日；( y ) ，彤( y ) ) ，y r ( h ) ， 其中 h ；( y ) = 彤( y ) = 去r 铲+ ，丁0 ， 去r n 明丁0 ， 彤c y ，= 三 只y 舻+ ( ；r y r t ) t 定义3 2线性算子g ：q o 一础( ”一的定义如下 1 4 ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) 0 ( t 3 9 ) 0l j g ( m 矗k ) = 去( s 2 ) 丁尬+ 去5 f t q + 玩 ( ：的伴随算子g + ：r 一q o ，且 g + ( z ) = ( g j ( z ) ，g ；( z ) ，g ；( z ) ) ，z r ( ”一，( 3 1 0 ) 二次特征值逆问题的模型修正方法 其中 吲耻击k ts 对 g ；c z ，= 互。荔 。s z 0 ，丁s 0 么 ， g ；( z ) ：吴 0 z i z t0i j 定义3 3线性算子a ：q o _ r ( h ) xr ( n 一知) 的定义如下 1 5 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) a ( m ，c ，k ) = ( h ( m ，c ，k ) ，g ( m ，c ，k ) ) ，( a f ，c ，k ) q o ( 3 1 4 ) a 的伴随算子a + ：r ( h ) xr ( “一) 一q o ，且 a ( y z ) = ( a ：( z ) a ；( y z ) ，a ；( y z ) ) ， ( 3 1 5 ) 其中( z ) r ( h ) r ( ”一， a ：( y z ) = 彤( y ) + g ：( z ) ，i = 1 ，2 ，3 ( 3 1 6 ) 定义3 4定义q o 的自然内积如下 ( ( m ，c ，k ) ，( 厨，0 ，艮) ) = ( m ，衍) + ( c ，e ) + ( k ，霞) ，( 3 1 7 ) 其中( m ，c ，k ) ，( m ，c ，k ) ef l o 根据以上这些定义，问题( 3 1 ) 进一步转化为以下形式 m 讥三叭m j c ，k ) 一( m 。，倪，虬圳备 s t a ( m ，c ，k ) = 0 ，( 3 1 8 ) ( m ，c ，k ) q 二次特征值逆问题的模型修正方法 这个最优化问题的对偶问题为 1 6 r a i n 秒( y z )( 3 1 9 ) s t ( y jz ) r ( h ) xr ( ”一， 其中6 l ( kz ) = 划r l n ( ( i v l ，巴，蚝) + ( z ) ) 幢一划( 眠，g 亿) 幅 我们记对偶函数口( 1 ，z ) 的梯度v ( y z ) 为f ( y ，z ) ，那么有 j f l ( y z ) ：= v ( y z ) = a r i a ( ( 地，g ，虬) + a + ( fz ) ) ( 3 2 0 ) 下面我们用牛顿方法解 f o ；z ) = 0 ( 3 2 1 ) 记其近似解为( y + ，汐) ，即为对偶问题的最优解 那么原问题的解为 ( m ，c ，k ) = i l e ( ( 地，q ，k 。) + a + ( y + ，z 4 ) ) ( 3 2 2 ) 算法3 1 ( 牛顿方法) s t e p0 给定( y o ，z o ) r ( ) xr n ( n - k ) ，7 7 ( 0 ，1 ) ，p ，6 ( 0 ，0 5 ) ，j ：= 0 s t e p1 选取一个函数w j 0 n ( i m 。，c o ，k 口) + a 。( p ，z ) ) ，再令 y j ：= a a + 用共轭梯度法求以下方程的近似解( a y j ，a z j ) ， f ( y ，z ) + y j ( y ，a z ) = 0 ( l ”，) r ( h ) xr ”( n - k ) 必须满足以下两个条件： | | f ( y ，z ) + ( p ，a z ) i i t 0 ， ( n s ? ( m o ) + e ，c 4 + e c o ，k + + 凰) 二次特征值逆问题的模型修正方法 2 1 是问题( 撕) 的一个d ( ) 最优解，( m o ，c o ，凰) ( 如( 2 4 ) ，( 2 5 ) ，( 2 6 ) 所示) 是谱 约束条件m x a 2 + c x a + k x = 0 的一个特解。 引理4 2 1 【1 7 】设矩阵a 9 ，对a 作谱分解： a = p e p 7 jp 尼线竹是 正交矩阵，= d i a g ( , 入1 ，a 2 ，k ) ，则i i 舅( a ) = p + p r ，其中 * 0 0 巍鬻 2 ， 设a 死s n ，对尬。作谱分解：m 。= p p 丁，其中p t e n 是正交矩 阵，= d i a g ( a , ，0 2 ，) 取+ = d i a g ( f 3 1 ，倪，风) ，其中 屈= 言耋三：三三筹： c 4 2 2 ， 所以 m = n s ? ( 厶) = p + p 。( 4 2 3 ) 令 衍：n 。1 m n ，膏：n 1 k n ，0 ：n c n ， 晚= n 一1 q ，庇：n 一1 虬，又：n x 问题( 4 2 0 ) 转化为 慨刘1 。一刚备+ 争i ik 一庇临 s 尬艾人2 + 0 2 a + 露又= 0 ，( 4 2 4 ) m m c l = c 、k l = k 对x 作q r 分解 又= q ： 三【q ，q 。i ： ， c 4 2 5 ， 其中q 形n 是正交矩阵，q l 舻和r r x 是非奇异的 二次特征值逆阿题的模型修正方法 对q t m q q t d q ，q 丁露q 进行分块如下 q t y 4 q = m 1 1 尬l m 1 2 尬2 q 丁c q = c 1 1 q l c 1 2 q 2 q 丁k q = k 1 l k 2 1 其中= q t n 一1 m n q j ，g j = q ，e 岛，k j = q t f i q j ，( 武j = 1 ，2 ) 把( 4 2 5 ) 代入( 4 2 4 ) ，整理后可得 m 1 l r a 2 + c 1 1 r a + k 1 1r = 0 ， 尬l r a 2 + c 2 1 r a + k 2 l r = 0 2 2 ( 4 2 6 ) ( 4 2 7 ) 由于r 是非奇异的，我们可以在( 4 2 6 ) ，( 4 2 7 ) 式右边分别同乘以r ，再令 s = r a r 一，得到 m l l s 2 + g 1 1 s + k 1 1 = 0 ，( 4 2 8 ) 由( 4 2 8 ) 式得 m s l s 2 + 伤1 s 十k 2 1 = 0 ( 4 2 9 ) 1 1 一一( m 1 1 s 2 + c l l s ) 由于k 五= k l l ，可以解得 ( 4 3 0 ) c 1 1 = 一( m l l s + s 丁m 1 l + r 一丁d r 一1 ) ( 4 3 1 ) 其中d 为任意的形式如( 4 11 ) 的实矩阵 由( 4 2 9 ) 式得 k 2 l = 一( m 2 l s 2 + g l s ) ( 4 3 2 ) 引理4 2 2 【2 0 】给定部分特征对( a ，x ) ( 如( 1 4 ) ，( 1 5 ) 式所示) ，i q e p 的一 般解为 m 1 l ：任意的对称止定矩阵， c 1 l = 一( m l l s + s 丁m 1 1 + r 一丁d r 一1 ) ， k l l = s t m 儿s + r t d a r ， 虬1 = k 五= 一( 1 s 2 + g 1 s ) ， 2 2研虬 二次特征值逆l j j 题的模型修正方法 2 3 其中s = r a r ，d 为任意的形式如( 4 1 1 ) 的实矩阵，尬1 = m t ，q 1 = c 五，q 2 = c 甥，k 2 z = 磁是任意的实数阵，m 2 2 = m 丢在选取的时候要 保证m 2 2 一a 如l m 5 1 a ，1 2 0 下面我们解最优化问题( 4 2 4 ) ，求出矩阵c 和k ”z z 饥 = 扣。一钏善+ 争i i 霞一训； 1 = 2 ( c r l l 伤c 1 ：2、 - q t c a q ) 2 1 + 石弘 ，_ k ，k 。 l 尬z 尬： 由引理4 2 2 知q 2 ，k 2 2 是任意的实对称矩阵，所以取 q 2 = q t 2 g q 2 ，尥2 = q ；k 。q 2 原问题转化为以下两个最优化问题： 问题1 问题2 ( 4 3 3 ) j - q t k q ) m i n l = l ic 1 1 一q t o q li 瞎+ p | ik 1 1 一q 露。q 。i l 备 = i l 一( m 1 l s 十8 t m l l + r 一丁d r 一1 ) 一q j l 晓q 1l l 刍 + 肛i ls t m 儿s 十r r d a r 一1 一q t i 圣 q l1 1 2 m i n 2 = i iq 1 一q t 0 q l | i + 肛0 鲍1 一q t i 圣q 。i i 刍 ( 4 3 4 ) ( 4 3 5 ) = i iq 。一q ；成q ，i i ；+ p0 一( 。s 2 + q 。s ) 一q ；或q 。i 陪 解问题1 就可以得到c 1 l 和k 1 l ，而c 1 1 和k 1 l 中都只含有一个未知量 d ，所以必须先求f l 矩阵d ( d 如( 4 1 1 ) 所示) ，把d 中的未知垣相应的写成 向量形式，记为 z = ( l ，7 7 l ，f t l ，2 f + 1 ，c k ) 1 记 a = 一( m 1 l s + s t m l l 十q r o o q l ) ， b = s t m l l s q 7 露。q 1 ( 4 3 6 ) ( 4 3 7 ) 2 二次特征值逆问题的模型修正方法 问题1 变为 m i n l = l | | 4 一r 下d r 一1l i + pi i b 斗r 一丁d a r 一1l | 刍 ( 4 3 s ) 令a = 【乱l ，u 2 ，札k l ，b = l 0 1 ，? y 2 ，y k 】，r j 的形式如f 4 1 8 ) 所示类似1 ： 文献【2 1 】中最优化问题1 的推导，求x 只要解以下线性方程组 其中 g ! x = b g = 一r 歹l ( r 了r ) 一1 十舢a ( r 丁r ) 一1 a 丁】r ， j - 二1 k b = r 歹( 肛a r 一1 吻一r 一1 ) ( 4 3 9 ) ( 4 4 0 ) ( 4 4 1 ) 解问题2 可以求出q - 和，我们先来解如下最优化问题： 给定e ，f r ( n - k ) “，求x r ( n - k ) 黼，使得g ( x ) 最小，其中 夕( x ) = l | x ei | ；+ pl if x si i 备( 4 4 2 ) 令 百a g ( x ) = 2 i x e 一肛f s t + # x s s t 】= o ( 4 4 3 ) 解得 x = ( e + p f s r ) ( + p s s 丁) 一1 ( 4 4 4 ) 在最优化问题( 4 4 2 ) 中，取 e = q ；c a q l ，f = 一a 如1 s 2 一q ；u o q l 我们就可以求得问题2 的解 g l = ( q t o q 1 一p ( a 如1 s 2 + q ；1 4 a q l ) s r ) ( ，+ p s s t ) 一1 ， ( 4 4 5 ) 凡l = 一( m 2 1 s 2 + g 1 s ) ( 4 4 6 ) 二次特征值逆问题的模型修正方法 算法4 2 1给定部分特征对( a ，x ) r 。xr ”x 以及眠，g ，亿，以下 s t e p1 令晓：n c q n - 1 ，也= n 一1 圪，又= n x s t c p2 对地作谱分解：眠：p e p 丁，其中= d i a g ( a l 。q 2 ，n 。) 取 屈= 言冀潜 再计算m ：p + p t ，其中+ = d i a g ( 3 l ，佛，风) s t e p3 对又作q r 分解 又= q ： - q i , q 2 1 ： s t e p4 计算s = r a r 一，c 2 2 = q i ( 复q 2 ，k 2 2 = q 庇q 2 m 1 1 = q 1 m n q 1 ， 1 = ( ；一m n l q l s t e p5 解关于z 的方程c x = b 七 g = 一r 歹l ( r r r ) _ 1 十p a ( r v r ) - 1 a 丁 j = 1 七 b = f t ( # a r v j r 。) ， j = l 【钍1 ，u 2 ，u k 】= 一( m 1 l s + s r m l l + q i 晓q 1 ) ， m 1 ，秒2 ，= s t m l l s 一研庇q l ， ( ，r 2 j ，) t = r 一1 勺， l = d i a q s t e p6 计算 r l , j 2 ，j i l ， 一仡，j 轧jj 7 r 2 l 7 i ，r ：，+ ，j ，r 。jl r 2 1 。) = 一( m 1 1 s + s t m l l + r r d r 一1 ) ， k 1 l = s 7 1 m 1 l s + r 一丁d a r j l 您 您 一 l 二次特征值逆m 题的模型修正方法 地，心三， 再计算 ，i 铆1亡。、 l 2 f + 1 ， l 一昏 c 2 1 = ( q t c a q l 一肛( a 如l s 2 + q t 庇( 7 1 ) s 7 1 ) ( ，+ p s s 丁) 一1 ， k 2 1 = 一( a 如1 s 2 + q 1 s ) ， c 1 2 = 霸，k 1 2 = k 五 s t e p7 最后计算矩阵c ，k c = q 夏：戛： q 7 。， k = q 笼： q 丁 二次特征值逆同题的模型修正方法 第五章数值实验 例1给定特征对( a x ) r 5 x 5x 群5 如下 a = x = 一0 2 1 6 8 4 3 1 5 9 0 0 0 4 3 1 5 9 0 2 1 6 8 0 o o 0 0 2 0 6 7 5 0 9 5 9 7 0 0 0 0 0 0 3 0 6 4 0 4 1 3 25 2 8 0 12 9 4 3 7 6 6 0 9 8 9 6 7 1 5 - 4 3 5 1 83 2 7 5 85 1 6 5 69 1 0 2 49 1 3 5 7 0 1 3 3 6 - 4 0 5 8 82 5 3 2 13 3 0 4 94 4 7 1 5 5 1 4 1 4 4 4 0 0 3 2 2 7 2 15 2 8 7 26 6 9 5 9 8 6 1 4 6- 4 0 11 2 6 9 3 8 01 4 3 4 5 4 4 7 0 8 2 7 根据第二章给出的求二次特征值逆问题的方法，可以求出一个近似解帆，g ，虬， 结果如下所示 地= g = 0 4 2 7 40 0 8 8 80 3 11 3一o 0 2 5 60 11 4 6 0 0 8 8 80 3 8 3 70 0 0 4 8 0 4 0 8 9 0 0 1 2 2 0 3 11 30 0 0 4 80 5 1 2 6 0 0 7 8 60 0 7 5 3 0 0 2 5 6 一o 4 0 8 90 0 7 8 60 6 1 3 80 1 7 9 7 0 1 1 4 60 0 1 2 20 0 7 5 30 1 7 9 7 0 1 6 7 9 0 1 5 9 20 5 2 1 10 0 1 9 20 1 2 7 80 1 0 7 1 0 5 2 1 l 一0 0 0 1 3 0 0 5 7 8一o 1 5 9 0 - 0 0 5 7 6 0 0 19 20 0 5 7 8- 0 3 6 2 0 0 0 6 l10 1 7 4 4 0 1 2 7 8 一o 1 5 9 0 0 0 6 1 10 1 4 0 20 0 5 0 9 0 1 0 7 1 0 0 5 7 6 0 1 7 4 4 0 0 5 0 9 0 3 1 5 5 7( 吖 吲 乃 0 0 9 帕 0 o o 删 | | 砉 o 二次特征值逆问题的模型修正方法 兀= 0 ，6 1 3 10 2 8 3 2 0 0 8 5 10 2 0 2 20 0 8 5 4 - 0 2 8 3 20 4 5 4 60 0 8 8 2 - 0 0 4 4 4 0 2 0 3 1 - o 0 8 5 1 0 0 8 8 2 0 5 6 0 7 0 4 0 8 6- 0 0 0 5 6 0 2 0 2 2- 0 0 4 4 40 4 0 8 60 5 2 1 40 0 9 0 0 - 0 0 8 5 4 - 0 2 0 3 1 0 0 0 5 60 0 9 0 00 7c 1 4 2 由于帆卜0 ，理论上算法4 2 1 计算的结果应该是m = m a ，c = c a ， k = k a 实际上取n = m ，肛：1 0 ，计算出相对误差为 擀n 蛐， i i 1 g 一| i f 端i n 等c n 州1 0 1 叫一怙 例2设由观测结果及统计信息得到矩阵m ，c ，k 的初步估计矩阵为 m n = g = 0 4 2 7 3 9 90 0 8 8 8 1 20 3 11 3 2 30 0 2 5 6 0 1 0 0 8 8 8 1 20 3 8 3 7 0 10 0 0 4 8 0 l一0 4 0 8 8 9 9 0 3 11 3 2 30 0 0 4 8 8 9 90 5 1 2 5 9 80 0 7 8 6 0 8 0 0 2 5 6 0 10 4 0 8 8 9 90 0 7 8 6 0 80 6 1 3 8 11 0 1 1 4 6 4 10 0 1 2 2 1 90 0 7 5 3 0 30 1 7 9 7 1 3 0 1 5 9 1 9 80 5 2 11 2 70 0 1 9 1 6 90 1 2 7 8 0 1 0 5 2 1 1 2 7 - 0 0 0 1 3 0 00 0 5 7 8 4 20 1 5 9 0 0 0 0 0 1 9 1 6 90 0 5 7 8 4 20 3 6 2 0 1 3 0 0 6 1 l l l 0 2 0 1 2 7 8 0 1 0 1 5 9 0 0 0 0 0 6 11 0 20 1 4 0 2 1 1 0 10 7 0 8 3 - 0 0 5 7 6 3 30 17 4 3 6 2 0 0 5 0 8 9 8 0 1 1 4 6 4 1 0 0 1 2 2 1 9 0 0 7 5 3 0 3 0 1 7 9 7 1 3 0 1 6 7 9 1 2 0 1 0 7 0 8 3 0 0 5 7 6 3 3 0 17 4 3 6 2 0 0 5 0 8 9 8 0 3 15 。1 7 6 二次特征值逆u i 题的模型修正方法 k 。= 0 6 1 3 1 9 5- 0 2 8 3 1 5 7 - 0 0 8 5 1 0 10 2 0 2 2 7 4- 0 0 8 5 4 3 9 - 0 2 8 3 1 5 70 4 5 4 6 2 3 0 0 8 8 2 3 3- 0 0 41 3 9 9 - 0 2 0 3 1 0 7 - 0 0 8 5 1 0 10 0 8 8 2 3 3 0 5 6 0 7 0 6 0 4 0 8 5 5 6 - 0 0 0 5 4 9 8 0 2 0 2 2 7 4- 0 0 4 4 3 9 90 4 0 8 5 5 60 5 2 lz 1 0 00 0 9 0 0 2 4 - 0 0 8 5 4 3 9 - 0 2 0 3 10 7 - 0 0 0 5 4 9 80 0 9 0 0 2 40 7 4 4 2 8 6 给定谱约束条件m x a 2 + c x a + k x = 0 ，其中 a = x = 2 0 6 7 5 0 9 5 9 70 0 9 5 9 72 0 6 7 50 000 3 0 6 4 2 9 4 3 76 6 0 9 8 9 6 7 15 5 1 6 5 69 1 0 2 49 1 3 5 7 2 5 3 2 13 3 0 4 9 - 4 4 7 15 2 2 7 2 15 2 8 7 26 6 9 5 9 6 9 3 8 01 4 3 4 5- 4 , 1 7 0 8 取n = m ，p 一1 0 ，由算法4 2 1 求得问题( 4 2 0 ) 的解为 m = c = 0 4 2 7 4 3 0 7 20 0 8 8 7 5 9 0 40 3 11 3 2 1 2 5- 0 0 2 5 4 9 0 1 60 11 4 7 0 1 9 6 0 0 8 8 7 5 9 0 40 , 3 8 3 6 3 6 8 5- 0 0 0 4 9 0 0 3 1 - 0 4 0 8 8 5 5 7 7 - 0 0 1 2 2 - 1 6 9 3 0 3 11 3 2 1 2 5- 0 0 0 4 9 0 0 3 10 5 1 2 6 7 4 2 60 0 7 8 7 5 6 7 20 0 7 5 3 4 0 3 4 - 0 0 2 5 , 1 9 0 16 - 0 4 0 8 8 , 5 5 7 7 0 0 7 8 7 , 5 6 7 2o 6 13 7 7 2 6 0 10 17 9 7 2 3 4 4 0 1 1 4 7 0 1 9 6- 0 0 1 2 2 4 6 9 30 0 7 5 3 4 0 3 40 1 7 9 7 2 3 4 40 1 6 7 9 0 6 5 5 0 1 5 7 6 1 6 8 00 5 1 7 2 2 8 3 00 0 1 2 6 7 3 4 30 1 3 2 7 0 0 5 50 1 0 7 3 l1 5 7 0 5 1 7 2 2 8 3 0 - 0 0 0 6 4 4 3 7 50 0 5 9 0 9 6 0 70 1 5 3 5 0 2 3 3 - 0 0 5 8 7 0 9 3 7 0 0 1 2 6 7 3 ，1 30 0 5 9 0 9 6 0 7- 0 3 5 7 9 0 5 8 1 - 0 0 5 7 4 4 2 4 40 1 7 5 8 2 9 0 1 0 1 3 2 7 0 0 5 5 - 0 1 5 3 5 0 2 3 3 - 0 0 5 7 4 4 2 4 4 0 1 3 3 3 9 6 7 3- 0 0 5 0 6 1 7 6 9 0 1 0 7 3 1 1 5 7 - 0 0 5 8 7 0 9 3 7 0 1 7 5 8 2 9 0 1- 0 0 5 0 6 1 7 6 9 - 0 3 1 6 0 3 8 0 8 二次特征值逆同题的模型修正方法 k = 0 6 0 5 8 2 4 5 20 2 8 6 5 1 7 0 8 0 0 7 7 9 5 9 9 60 2 0 0 4 5 ，1 0 2- 0 0 9 0 11 5 0 5 - 0 2 8 6 5 17 0 8 0 4 5 5 9 7 1 6 40 0 8 0 4 5 8 4 8- 0 0 4 7 7 3 5 4 1 - 0 2 0 1 9 9 3 6 8 - 0 0 7 7 9 5 9 9 60 0 8 0 4 5 8 4 80 5 3 0 5 6 2 6 70 4 0 8 3 7 3 3 7- 0 0 0 5 2 3 7 9 9 0 2 0 0 4 5 4 0 2一o 0 4 7 7 3 5 4 10 4 0 8 3 7 3 3 70 5 2 9 2 2 0 2 70 0 9 11 9 7 6 7 0 0 9 0 1 1 5 0 5 0 2 0 1 9 9 3 6 8 一o 0 0 5 2 3 7 9 90 0 9 11 9 7 6 70 7 4 5 6 4 9 7 6 二次特征值逆问题的模型修正方法 r e f e r e n c e s 参考文献 3 1 【1 】f a l i z a d e h ，j - p a h a e b e r l y ：m l o v e r t o n ? c o m p l e n l e n t a r i t ya n dn o n d e g e n e r a e yi ns e m i d e f i n i t ep r o g r a m m i n g ，m a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n g ，7 7 ( 1 9 9 7 ) ： 1 1 1 1 2 8 【2 】z h e n g - j i a nb a i ，d e l i nc h ua n dd e f e n gs u n ，ad u a lo p t i m i z a t i o na p p r o a c h t oi n v e r s eq u a d r a t i ce i g e n v a l u ep r o b l e mw i t hp a r t i a le i g e n s t r u c t u r e h t t p ：w v w m a t h h k b u e d u h k i c s m 2 0 0 6 a l l a b s t r a c t z j b a i p d f m b a r u c h ，o p t i m i z a t i o np r o c e d u r et oc o r r e c ts t i f f n e , 截sa n df l e x b i l i t ym a t r i c e s u s i n gv i i ) r a t i o nd a t a ，a i a aj o u r n a l ? 1 6 ( 1 9 7 8 ) ：1 2 0 8 1 2 1 0 ， 【4 1 m b a r u c ha n di y b a r i t z h a c k ，o p t i m a lw e i g h t e do r t h o g o n a l i z a t i o no fm e & - s u r e dm o d e s ，a i a aj o u r n a l ，1 6 ( 1 9 7 8 ) ：3 4 6 3 5 1 f 5 】a b e r m a n ，c o m m e n to no p t i m a lw e i g h t e do r t h o g o n a l i z a t j o no fm e a s u r e d m o d e s ，a i a aj o u r n a l ，1 7 ( 1 9 7 9 ) ：9 2 7 - 9 2 8 | 6 1 6 a b e r m a na n de j n a g y , i m p r o v e m e n to fl a r g ea n a l y t i c a lm o d e lu s i n gt e s t d a t a ，a i a aj o u r n a l ，2 1 ( 1 9 8 3 ) ：11 6 8 1 1 7 3 【7 】m t c h u ，y c k u o ，a n dw w l i n ，o ni n v e r s eq u m r a t i ce i g e n v a l u ep r o b l e m s w i t hp a r t i a l l yp r e s c r i b e de i g e n s t r u c t u r e s a i mj o u r n a lo nm a t r i xa n a l y s i s a n da p p l i c a t i o n s ，2 5 ( 2 0 0 4 ) ：9 9 5 1 0 2 0 【8 】m t c h ua n dg e n eh g o l u b ，s t r u c t u r e di n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e m s ，a c t a n u m e r i c a ，1 1 ( 2 0 0 2 ) ：l 7 1 二次特征值逆问题的模型修正方法 9 】b n d a t t a ，f i n i t ee l e m e n tm o d e lu p d a t i n g ，e i g e n s t r u c t u r ea s s i g n m e n ta n d e i g e n v a l u ee m b e d d i n gt e c h n i q u e sf o rv i b r a t i n gs y s t e m s ，m e c h a n i c a ls y s t e m s a n ds i g n a lp r c x e s s i n g s p e c i a lv o h n n eo nv i b r a t i o nc o n t r o l ，2 0 0 2 71 6 ：8 3 9 6 1 0 】b n d a t t a ，s e l h a y ，y m r a ma n dd r