（计算数学专业论文）二维二阶椭圆问题的多尺度间断有限元方法.pdf

摘要 摘要 在复合材料问题、多孔渗流问题及高r e y n o l d s 数的湍流输运问题等实际问 题中，会遇到具有多个尺度的偏微分方程。对这类方程如果用传统的有限元方法 求解，则需网格尺度小于方程中的最小尺度，这样会导致网格剖分太细，计算量 太大。并且很多时候我们更关心的是解的宏观意义下的形态，而不是微观意义下 解答所有信息。侯一钊等人提出的多尺度有限元方法，采用多尺度基函数来反映 小尺度的信息，不必要求网格剖分尺度小于方程中的最小尺度，并且能很好的表 示出小尺度对解的影响，但是这种数值格式的误差阶较低。如果在单元上利用多 尺度基函数，对多尺度方程利用间断有限元方法来求解，这样得到这类多尺度方 程的新的数值方法一多尺度间断有限元方法。使用多尺度间断有限元方法，既可 以用多尺度基函数表示出小尺度对解的影响，又可以获得较高的误差阶，结合了 两种方法的优势。 本文首先介绍了多尺度有限元方法，然后，选择b a b u 季k a - z 1 6 m a l 数值流通 量，推导出多尺度一b a b u k a z 1 6 m a l 间断有限元方法的数值格式，通过数值算例 表明：对二维二阶多尺度椭圆问题，使用多尺度一间断有限元方法，既能表示出小 尺度对解的影响，还能达到至少5 阶收敛率。并且多尺度基函数的精度对解没有 影响，但是基函数的边界条件的选择对数值解的影响很大。因此，该方法继承了 多尺度有限元方法和间断有限元方法二者的优点。 关键词：多尺度偏微分方程多尺度有限元方法间断有限元方法数值 流通量 a b s t r a c t i i a b s t r a c t m a n yp r o b l e m s o ff u n d a m e n t a la n dp r a c t i c a li m p o r t a n c es u c ha sc o m p o s i t em a t e r i a l s ，p o r o u sm e d i a ，a n dt u r b u l e n tt r a n s p o r ti nh i g hr e y n o l d sn u m b e r f l o w sh a v em u l t i - s c a l es o l u t i o n s s o l v i n gs u c hk i n do fm u l t i s c a l ep d e sb yt h es t a n d a r dg a l e r k i nf i n i t e e l e m e n tm e t h o dd e m a n d sf i n em e s hg r i da n dm a s ss t o r a g e m u l t i - s c a l ef i n i t ee l e m e n t m e t h o d ，w h i c hw a sp r o m o t e db yt y h o u ，i su s e dt oe f f i c i e n t l yc a p t u r et h el a r g es c a l e b e h a v i o ro ft h es o l u t i o nb ym u l t i s c a l eb a s ef u n c t i o n sw i t h o u tr e s o l v i n ga l lt h es m a l l s c a l ef e a t u r e s b u th a sa al o wo r d e ro fe n d re s t i m a t e i nt h i sp a p e r , am u l t i s c a l ed i s - c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o di sd e s i g n e dt oo b t a i nt h el a r g es c m ef e a t u r e sa n di m p r o v e t h eo r d e ro fe r r o re s t i m a t e t h em u l t i s c a l ef i n i t ee l e m e n tm e t h o di si n t r o d u c e da tf i r s ti nt h i sp a p e ra n dt h e n t h en u m e r i c a lf o r m u l ao fm u l t i s c a l eb a b u 誊k a - z l d m a ld i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o d f o l l o w s o u rn u m e r i c a le x p e r i m e n t ss h o wt h a t ，t h em u l t i s c a l ed i s c o n t i n u o u sg a l e r k i n m e t h o dc a na c h i e v ea tl e a s tf i f t he r r o ro r d e rf o r2 de l l i p t i cm u l t i s c a l ep r o b l e m s m e a n w h i l e ，i ti n h e r i t st h ea d v a n t a g e so fb o t hf i n i t em u l t i s c a l em e t h o da n d t h ed i s c o n t i n u o u s g a l e r k i nm e t h o d 。 k e yw o r d s ：m u l t i s c a l ep d e m u l t i s c a l ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dd i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o dn u m e r i c a lf l u x 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 年月日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年 月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： r 一一 ；内部5 年( 最长5 年，可少于5 年) l 秘密1 0 年( 最长1 0 年，可少于1 0 年) ：机密2 0 年( 最长2 0 年，可少于2 0 年) 。? j ，。j 。j 二 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名： 年月 日 第一章引言 第一章引言 在许多实际应用中，我们会遇到求解含有多个尺度的偏微分方程问题，例如： 复合材料问题、多孔渗流问题及高r e y n o l d s 数的湍流输运问题等。这类问题的特 点是偏微分方程的系数中含有多个尺度。对于这类问题，在实际应用中往往因为 种种原因而采用忽略了问题本身的多尺度特性的经验模型，这些经验模型中实际 应用中取得了很大的成功，但是也有一些问题，例如由于经验模型与实际问题之 间的不吻合，会导致所得的解的精度不高；由于忽略了微观尺度结构的影响，所 求的解不能真实地反映出问题固有的自然特征等。因此，多尺度建模方法越来越 受到人们的重视。对于多尺度模型，如何进行高效精确的求解，是需要迫切解决 的问题。如果利用传统的数值方法，只在小尺度上求解，则需要对求解区域进行 非常细的剖分，因此产生的节点数量多，要耗费大量的存储空间和计算时间。但 是如果只在大尺度上求解，则由于忽略了小尺度的影响，导致解的精度很差。 以带齐次d i r i c h l e t 边界条件的二维二阶椭圆偏微分方程为例： r v n 5 v u f 召 = =0 i nq o na q 其中系数矿= ( a i j ( 季) ) 含有两个尺度：l 和( 1 ) 对这类问题，如果直 接采用标准g a l e r k i n 有限元方法( s t a n d a r dg a l e r k i nf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 求解，为 了保证收敛性，必须要求网格尺度h 小于系数。嚣最小的尺度e 当本身就很小 时，这种方法占用大量的存储空间，c p u 时间很长，计算量变得相当大。虽然可以 使用并行计算方法来缩短计算时间( 如文献 2 】【3 】) ，但是并没有从根本上降低计 算量。对于多尺度偏微分方程，有时候我们更感兴趣的是大尺度表现在解中的特 征和小尺度对大尺度解的影响，而并不需要求出很高精度的数值解。 为了解决这一问题，前人做了很多有价值的工作，各种求解多尺度模型的数 值方法大量涌现。例如多重网格法1 4 1 1 5 、自适应方法【6 】、区域分解法 7 1 1 8 1 、多尺 度有限元法【9 儿l o 】【1l 】、均匀化法【1 2 】、异质多尺度方法【1 3 】【1 4 】等等。i b a b u d k a 和o s b o m 在文献【1 5 】中、i b a b u d k a 等人在文献【1 6 】中首次使用了多尺度有限 元方法的思想，提出选择特殊的基函数来表示出小参数e 对解的影响。t h o m a s y h o u 等人进一步发展这种思想，提出了多尺度有限元方法( m u l t i s c a l ef i n i t ee 1 一 第一章引言2 e m e n tm e t h o d ，m s f e m ) ( 如文献【9 】【1 0 11 】) 多尺度有限元方法的主要思想是把微 分算子的局部小尺度信息放到单元基函数中，不需要网格尺度，t 小于系数心最 小的尺度，通过单元基函数来抓住小尺度g 对解的影响，求解时，剖分的单元尺 度可以大于偏微分方程中的最小尺度，这样，能减小计算量及存储空间，并且能 保证了解的精度。在多尺度有限元方法的证明过程中，会要求方程的系数具 有周期性，但在实际计算中，不需要此条件。数值算例表明：在粗网格上用多尺度 有限元方法所得的解可以和在细网格上用标准有限元方法求得的解相l l 9 【l o 。 在1 9 7 3 年，r e e d 和h i l l 在一篇关于中子输运方程问题的学术报告( 文献 1 7 1 ) 中 首先提到了间断有限元方法( d i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o d ，d g ) 的思想。在19 9 7 年， b a s s i 和r e b a y 在文献 1 8 1 中对可压缩n a v i e r - s t o k e s 方程提出一种稳定的高阶收敛 的d g 格式。经过近十年的发展( 如文献 1 9 儿2 0 】【2 l 】【2 2 】【2 3 】【2 4 】) ，形成了很多不 同形式的间断有限元方法。在2 0 0 2 年，a r n o l d 等人在文献【1 9 】中综合了以前的 九种不同的间断有限元方法，提出了统一的基于数值流通量形式的d g 方法的统 一框架，对椭圆型偏微分方程已经形成了一套完善的求解步骤和误差分析理论 如果我们把这两种方法向结合，在间断有限元( d g ) 中利用m s f e m 方法中 使用的基函数，这样，既能使用大网格计算来抓住小尺度对解的影响，还能比 m s f e m 获得更好的精度，在计算量方面也没有比m s f e m 有明显的增加，因此， 能够更好的解决含有多个尺度的问题。在文献【2 5 】中，已经使用多尺度间断有限 元方法( m s d g ) 来求解一维二阶的椭圆问题和简单的二维二阶椭圆问题，证明 了数值格式的有界性和稳定性，从而得出误差估计，取得了很好的数值结果。由 于一维问题在每个单元上求解单元基函数时，边界条件是精确的边界条件( o 或 者1 ) ，并且多尺度基函数可以解析地表达出来，而在二维问题中，求解单元基函 数时边界条件采用的是近似值，并且一般情况下，只能得到数值解，因此，二者 在误差分析方面有着本质的不同。这是把这种方法推广到二维情形时进行误差分 析的难点所在。文献 2 5 1 中，虽然分析了一类简单的二维椭圆问题，但是从多尺度 有限元方法来看，这类问题在本质上其实是一维问题，其误差分析结果不能应用 到一般的二维椭圆问题上。 本文对一般的二维二阶多尺度椭圆问题应用m s d g 方法，给出了多尺度一 b a b u 季k a z 1 6 m a l 间断有限元方法的数值格式，并通过具体的数值算例，分析了多 尺度基函数的边界条件、精度对数值解的精度的影响，b a b u 奎k a - z l f m a l 数值流通 量中的参数7 7 k 的取值对数值解的影响等问题。文章的结构如下：第二章介绍间 第一章引言3 断有限元方法和多尺度有限元方法的相关知识；第三章采用b a b u 3 k a z l f i m a l 数值 流通量，给出了二维二阶椭圆方程的多尺度间断有限元方法的数值格式；第四章 给出了具有高振荡系数的椭圆方程和具有不光滑系数的椭圆方程的数值算例，算 例表明：二维多尺度间断有限元方法至少具有5 阶精度，利用较小的网格就能反 映出小尺度对解的影响。带振荡边界条件的多尺度基函数的精确与否对该方法的 收敛阶没有影响，振荡边界条件比线性边界条件能更好地反映出小尺度的信息， 当网格剖分分数较少时，多尺度有限元方法体现不出计算时间方面的优势，但当 剖分份数较多时，与传统有限元方法相比，节省了很多计算时间。第五章是该方 法的进一步改进以及以后需要做的问题。 第二章问断有限元方法、多尺度有限元方法及其相关 4 第二章间断有限元方法、多尺度有限元方法及其相关 本章给出文中一些概念的背景知识以及相关的结论。文中采用爱因斯坦求和 约定( e i n s t e i ns u m m a t i o nc o n v e n t i o n ) ：若单项中有标号出现两次，则此项代表所 有项之和，求和范围可以通过上下文了解。用l 2 ( q ) 表示平方可积空间，对任意 的正整数七，用h 耙( q ) 表示基于l 2 ( q ) 的s o b o | e v 空间： h 七( q ) = uld 。乱l 2 ( q ) ，l = 0 ，1 ，后) ， 其中算子d 为广义导数( 具体定义可见文献 2 6 】第2 4 页或 2 7 1 1 2 8 。 空间h 七( q ) 的日七范数和日七半范分别定义如下： i i 训k 皿_ ( 上l 聂旧| 2 诤， i 乩皿= ( 上l 聂旧| 2 诤， 用磁( q ) 表示由所有h 七( q ) 中在区域q 的边界o f t 上为0 的函数构成的空 间： 磁( q ) = 饥iu h 七( q ) ，u l a q = o 用日“( q ) 来表示璐( q ) 的对偶空f - j ，h 扣( a q ) 表示日知( q ) 中的函数在0 f 2 _ b 的迹构成的空间： h 扣 ( a q ) = 加ui j , h 彪( q ) ) ， 其中伽为迹算子( 参见文献【2 6 】第3 8 页) 。h n ( a q ) 空间的范数定义为： l i u i l k - 御2 加，篙啪q ) u 我们以带d i r i c h l e t 齐次边界条件的二维二阶椭圆偏微分方程 f - 玑n 了三舌曼马q 仁- ， 1 乱：bo na q 为模型，介绍间断有限元和多尺度有限元的数值格式。 第二章间断有限元方法、多尺度有限元方法及其相关5 可以把问题( 2 1 ) 简记为： 量趔= n 鼍n (22)0 l 乱 = o na q 一7 其中厶= 一v a e v 为二阶线性椭圆算子，qcr 2 为二维凸多边形区域， 是2 ( q ) 中的光滑函数，a = ( a 。、x 。) ) ，1 ，1 乏，j 2 ，a 是对称的，且满足 一致椭圆性条件，即存在o t ，p ，使得对任意的憾2 ，都有 q i f l 2 6 口巧白p k l 2 在多尺度有限元中，为了利用均匀化理论进行误差分析( 文献 2 9 1 1 3 0 1 ) ，还必 须要求系数n 巧( y ) 具有周期性，但在计算时，没有此要求。 2 1问题( 2 1 ) 的d g 格式及误差分析 2 1 1 问题( 2 1 ) 的d g 格式 按照文献【1 9 】中的思路，我们可以推导出问题( 2 1 ) 的d g 格式： 设铲= k ) 为区域q 的一个止则分割，r 为分割铲= k ) 的所有单元k 的边界的集合，铹为所有单元k 的内边界的集合，则h 1 ( ) 中的函数的迹属 于空间t ( r ) = r h l 2 ( o k ) ，t ( f ) 中的函数在q 的边界a q 上为单值函数，在 集合f o = r a q 上为双值函数。对钍t ( r ) ，我们定义缸的平均“u h 和u 的 跳跃似l 如下： 设e 为单元尬，恐的公共内边界，艇，在边界e 上的单位外法向量分别 为佗1 ，n 2 ，则定义 “仳h = 去( u l a k 。十u i a 配) ， l 硼= u l o k l 几1 + 饥l a 拖佗2 ， o n e 毋掣 记 = 秽l 2 ( q ) i 秽i k 昂( k ) ，v k 丁 ) ， = 丁【l 2 ( q ) 2i 下l k e ( k ) = 【昂( k ) 】2 ，v k 丁 ) ， 其中昂( k ) 为k 上次数最多不超过p 的多项式之集。 第二章间断有限元方法、多尺度有限元方法及其相关6 先把问题( 2 1 ) 写为一阶方程组形式： 盯= v ui nq v ( 凸( = fi n q u=0o r ,a q 分别对方程( 2 3 ) 、( 2 3 ) 乘以检验函数7 j i l 和秽v h ，再在单元k 上积 分，利用g r e e n 公式，可以得到问题( 2 1 ) 的弱形式： ka r d x = - - k 仳v 丁a x + z k 咖州s 上。( 著) 仃吼d x = 上如叔+ z k 凸( 喜) ( 仃礼k ) u d s v 7 - v v y h 由于d g 方法中，每个单元上的基函数在相邻的单元中不连续，故在上式的 边界积分中，把边界积分项中的u 、仃分别取作数值流通量也、坛，可得问 题( 2 1 ) 数值流通量格式：求u h y h ，盯l _ l ，s t v k 铲： f ka t a x = 一上u v r a x + f a k 西t k n k t d s f ka ( x ) a v v a x = f kf v d x + z k 。( 一咖d s v t v v v h 选择不同的数值流通量位k ，a k ，可以得到不同的d g 格式。表2 1 给出了常见 的九种数值流通量( 文献 19 1 ) 为了使得到的d g 格式最为简单，我们选择b a b u 季k a z l d m a l 数值流通量( 文 献【2 4 1 ) ：令 砬k = ( 乱_ l l k ) a ，a k = 一詈竺i 扎 lo nk ， l k 其中陋 ，“钆h 的定义如前面所示。对所有单元k 求和，得：v t - f l 上a x =一f u h v 7 d x + k 们z k 纰 丁d s ( 2 3 ) 上。c v u a x = 上触+ 三小d s 亿4 ， 第二章间断有限元方法、多尺度有限元方法及其相关 7 表2 1 九种常见的数值流通量 1 土ko k b a s s i r e b a y 31 】 “ hr h b r e z z ie ta 1 3 2 】 “u h “h q ，( u ，1 1 ) l d g 【3 3 】 “u _ l 抖一p 陋_ 1 1 “仃h h + p p _ f l l q j ( u ，| 1 ) i p 3 4 】 “礼 h“v “ h 一( 4 u 1 ) b a s s ie ta 1 3 5 】 u h v 让 h o l ，( 4 让 1 ) b a u m a n n o d e n 3 6 】“u h ) ) + n k u h j“v 乱 h n i p g 3 7 】 札 ) ) + n k u h lv 让 n o o ( 4 乱 1 ) b a b u 誊k a - z 1 6 m a l 【2 4 】 ( 仳，l i k ) i a k一( 【钆 1 ) b r e z z ie ta 1 3 8 】 ( 钆 i k ) j a kq ，( 【u 1 1 1 ) k e 帅 则有 为了求上面二式中的k 驴厶k q k f f i k n k d s 部分，利用公式 f a kq k 如如= 肛m 壮+ z 。“洲m s ， 三z k 馘d s 三加涉删s v q t ( r ) ，【t ( r ) 】2 ( 2 5 ) z l 竹) ) d s + z 。“坛) ) 制d s z 口( 享) “子k ) ) 陋l d s 十z 。( 蓍) i 子k l 持d s 上f f h t d x = 一u h v ，- d x + z 陋k 1 “下h d s + z 。“诹持删d s fa ( x ) a h v v d x 一上n ( 喜) “靠) ) 嗍d s z 。口( 善) 陋k l “u ) ) d s = 上，u d x 为了求厶t d x ，在公式( 2 5 ) 中令口= v l a g ，= t o t e ，再利用阢e n 公式，有： 一f nv t v a x = q 丁v 奴一上“丁) ) 删如一z 。丁l “秒h 如 ( 2 6 ) 上式令v = 乱 ，带入，得 z 丁d x = 上v 丁d x + 也k - u h “丁h d s + z 。【丁l “妇一乱 ) ) d s ( 2 7 ) 第二章问断有限元方法、多尺度有限元方法及其相关 8 再在上式中令r = v v ，带入第二式，得 上。( 喜) v 伊v u 九d x + z n ( 喜) ( 碗k u h v 口) 一“争) ) “可h ) 如+ 。( 享) ( v u l “畹k 一仳 ) 一子1 “ ) ) ) d s = ! 厂钉d x ，f o e j n 把数值通量仳f l l ， u h 的定义代入上式中，化简边界项的积分，可得具体的b a b u 誊k a - z 1 6 m a l d g 格式：求u h v h ，s t ： 玩( u ，秽) = f v d x ，v v v h ( 2 8 ) ，n 其中， 玩( u ，u ) = z 口( x ) v u h - v v 奴+ z 。( i x 瓦r k 4 秕枷删d s ( 2 9 ) r k 为满足某个条件的整数，h k 为每个单元k 的直径。 2 1 2 问题( 2 1 ) d g 格式的误差分析 上面的b a b u d k a z l s m a l d g 方法的数值格式( 2 8 ) 是不相容的，不满足相容性 条件，而满足： 玩( “川= 上，d x + z 。( 喜) 薏删如 也不是共轭相容的，b ( u ，口) 满足： 驰川= lv g d x + z 。( 黟擀胁 ( 2 1 0 ) 其中矽是问题( 2 1 ) 的共轭问题 fl 。矽= 夕i nq 1 矽 =0o na q 的解。为了减少非相容性误差对最优收敛阶的误差的影响，我们取罚项足够大。 定义罚项为： a ( u ，口) = 护h l 伽s e j e 由于增加了罚项，把中的范数和半范定义为：v v v h ， 呲n = 呲k ， k e , - y h 口2 = m ；q + 口( 钉，u ) ( 2 11 ) ( 2 1 2 ) 第二章问断有限元方法、多尺度有限元方法及其相关 9 首先，我们有下面的重要性质：v u ，u 嘞。， e 砂上o ( 著) v “) ) v d s = 。砂l ( h 3 ) z 1 叭i x ) “v u h 叫i ( 一3 ) d s i i l v l l l h ( e e hh 3 正l “v u ) n e l 2 ) c h l i l v l l l h i l u l l 2 ，h 关于上面d g 格式的| l 范和l 2 范的误差估计，有以下结论【1 9 】： 定理2 1 1 设u 是问题r 2 j ，的真解，u ，l 是由方程f 2 鄙定义的d g 格式所求的 数值解，则但剐中的风u ，v ) 是有界的，稳定的，但是不相容的，也不是共轭相 容的，且有误差估计： u u h l l l l lu 一乱| l10 ，q 其中，c 为与h 、p 无关的正常数。 c h p 十l 】_ 婶n ； ( 2 13 )chp + 1 lul p + l n 卜 2 2 有限元空间的重新构造及问题( 2 1 ) 的多尺度有限元方法 在上面的间断有限元方法中，有限元空间定义为在每个单元k 上为多项 式，与所求的问题无关，不能表示出小尺度e 对问题的影响。这一缺点在多尺度有 限元方法中有限元空间构造中得到改善。 i b a b u 季k a 等人在文献 1 6 1 中对系数只在一个方向变化的二维问题就采用了 多尺度有限元方法的思想，但是在误差分析时使用基于一维椭圆问题的调和平均 性质去证明，因此不能推广n - 维问题中。并且一维问题中边界条件是精确相等， 不会产生高维问题中出现的剖分尺度与小尺度之间的“共振效应 。 2 2 1m s f e m 数值格式 t h o m a sy h o u 等人在文献i 11 9 1 1 0 1 中提出的多尺度有限元方法( m s f e m ) 的主要思想是在有限元空间的基函数中表示出微分算子的局部小尺度信息，即令 每个单元k 上的基函数满足微分算子，然后通过多尺度基函数和有限元格式来表 示出小尺度对大尺度的影响。对于问题( 2 1 ) ，多尺度有限元方法求解步骤如下： 首先，问题( 2 1 ) 的变分形式为：求u 础( q ) ，s t v v 硪( q ) ： 撕m = z ，u d x 第二章间断有限元方法、多尺度有限元方法及其相关1 0 其中a ( u ，秒) = 厶o ( 喜) 吼v u d x 其次，对求解区域q 作正则三角形分割o - h = k ) ，对每个单元k p ，记 巧k ( j = 1 ，2 ，d ) ( 此处d = 3 ) 为单元k 的节点，令单元基函数 也，k ( t = 1 ，2 ，d ) 在每个单元上满足： 厶啦，k = 0 i n k 驴，i = l ，2 ，d ( 2 1 4 ) 再附加合适的边界条件之后，就可以求出每个单元k 上的基函数的具体表达 式。一般地，我们还要求札k ( 砀) = 如，i ，j = 1 ，2 ，d 记由所有的单元基 函数九k 生成的空间为y ： y = u l u l o k s p a n 也，k ，i = 1 ，2 ，d ) ，峭丁 ) 一般来说，v 仁h d ( q ) 最后，t h o m a sy h o u 的多尺度有限元数值格式为：求u h v h ，s t v v v h ： a ( u ，秽) = f f lf u d x 使用这种方法求解单元基函数时，由于各个单元之间互不影响，因此可以采 用并行计算方法来缩短计算时间。若设为多尺度有限元方法求解时中一个方 向上剖分的单元份数，m 为在每个单元上为求解单元基函数而进行剖分的一个 方向上的份数，对二维问题，则一共有( n m ) 2 个最小剖分单元。对标准有限元 方法，求解这种最小剖分网格时的存储量为d ( ( m ) 2 ) ，若采用多尺度有限元 方法，则存储量为o ( n 2 + m 2 ) 。对于高维问题，多尺度有限元方法的节省存储 空间的优势更为明显。而且，多尺度有限元方法的解精度和最小剖分上的标准有 限元方法的精度差不多。 2 2 2 m s f e m 基函数的边界条件 要通过方程( 2 1 4 ) 求解出基函数，必须附加边界条件。文献l 9 l 11 】【1 0 】中的数 值算例表明：虽然m s f e m 中单元基函数的精度对解的精度影响很小，但是求解 单元基函数时附加的边界条件对解的精度影响却很大在文献i 1l 】中提到了两种 边界条件的取法。第一种是线性边界条件，即基函数在单元k 的边界上线性变化； 另一种是振荡边界条件，基函数在边界上满足一个从原椭圆方程中去掉与边界正 交的偏微分项而得到的新的方程。我们以矩形分割为例，介绍如何求基函数。k 第二章间断有限元方法、多尺度有限元方法及其相关 l l 图2 1 矩形单元 ，其他三个基函数类似。如图2 2 2 所示，从左下角开始，按逆时针方向，把单元k 的四个节点分别记为( 墨，玑) ，i = 1 ，2 ，3 ，4 ，四条边分别记为f l ，r 2 ，r 3 和r 4 ，单元基 函数咖。，k 在顶点( z 1 ，y 1 ) 为l ，其余各项点都为0 在k 的四条边界上的值分别 记为肛1 、p 2 、肛3 和触，则p 2 = p 3 = 0 ，对于肛1 ，有 毫巾肋) 掣= o 结合边界条件，可以解出p 1 ( z ) ： p 。( z ) = 掣 j z la ( t ，y 1 ) n 样，在r 4 上，有弘4 = p 4 ( 可) ，且 南巾删，掣= 。 再结合边界条件，可以解出p 4 ( y ) ： p 4 ( 可) = 掣 2 2 3m s f e m 的误差分析 文献 1 0 l q b 给出了问题( 2 1 ) 的两种情况下的研范和l 2 范的误差估计： 第二章间断有限元方法、多尺度有限元方法及其相关 1 2 定理2 2 1 对于问题f 2 j j 及其网格剖分俨，设h 为网格剖分的最大直径，u 是问题r 2 j j 的真解，u ，l 是由如上m s f e m 所求的数值解，则有如下的误差估计： f j j 当 时，存在与九，g 无关的正常数q ，岛，使得 i u 一乱 c 1 九i i ，i i o , n + q ( 丢) 乞 u - - u h c l h 2i i ，i i 。，n + q ( 丢) 当 e 时，会产生“共振误差 ，此时多尺度有限元方法不收敛。 第三章二维椭圆问题的多尺度一间断有限元方法( m s 。d g ) 1 3 第三章二维椭圆问题的多尺度一间断有限元方法( m s d g ) 结合间断有限元方法和多尺度有限元方法二者的思想，与文献【2 5 】中对一维 椭圆问题的多尺度一间断有限元方法类似，在每个单元上使用多尺度基函数来求 解间断有限元方法中的数值格式，则可以得到二维二阶椭圆偏微分方程的多尺度 一间断有限元方法 3 1 多尺度间断有限元方法 把二维二阶多尺度椭圆偏微分方程的齐次d i r i c h l e t 边值问题 坷吨了u “f 曼 - ， 简记为： 话饥三f 0 佃o n ( 3 2 ) lu = a q ”。1 其中厶= 一v a v 为二阶线性椭圆算子，qcr 2 为二维凸多边形区域，o ( 季) = ( a i j ( 著) ) ，1 t ，j 2 是关于y = 善的周期为y 的周期函数，且存在乜，p ，使得对任意 的r 2 ，都有 a 陪1 2 i a i j 白p 悟1 2 设驴= 【k ) 为区域q 的一个正则剖分，单元k 的节点记做z k ，z 奄，z 安。在 每个单元k 上，通过求解方程 l 。也k = 0v k 于 得出每个单元上的基函数。 定义求解空间 v 磊s = “lul k 6s p a n c 1 ，k ，矽2 ，k ，d ，) ，v kcq ) ， 同2 1 节过程一样，选择b a b u 季k a z l f m a l 数值流通量【1 9 】：砬k = ( “ l k ) a k ，欢= 一罄u lo nk ，可得到m s b z d g 格式：求仳i l v m h s ，s t ： b h ( 札 ，u ) = 上加奴，讹嘞s ( 3 3 ) 第三章二维椭圆问题的多尺度一间断有限元方法( m s - d g ) 1 4 其中， b h ( u ，口) = zn ( 喜) v 乱 v 秽奴+ z 口( i x ，瓦r l k 帆l 删如 r l k 为满足某个条件的整数，h k 为每个单元k 的直径。 3 2m s - d g 数值格式( 3 3 ) 的有界性、稳定性 在m s b z d g 数值格式( 3 3 ) 中，记a ( 乱，秒) = 。砂正九一劫u l - 【v d s ，在 空间v 5 s 中定义范数： 眦q = i v ， k e 0 h 口2 = 川；q 十q ( u ，口) 类似文献 1 9 1 2 5 中有界性、稳定性的证明；我们可以证明玩( 叫，秽) 的有界性和 稳定性： 定理3 2 1 空间嘞s 的定义如p j j ，其范数定义如f 2 ，7 ) ，则多尺度间断有限 元数值格式? j 是稳定的，g l t ：v w ，v v 5 s ，存在着一个与叫， 无关的常数g ，使得 b h ( w ，v ) c b i l l w l l l l i l v l l l 该数值格式也是有界的，即：v v 嘞9 存在着一个与可无关的常数a ，使得 b h ( v ，秽) c 。l l l v l l l 2 ( 3 4 ) ( 3 5 ) 第四章多尺度间断有限元程序及数值算例 1 5 第四章多尺度间断有限元程序及数值算例 从前面的介绍中，编写多尺度间断有限元的程序的思想是显而易见的。我们 对求解区间q 做矩形等分分割，先在每个单元上用线性有限元方法求出四个多尺 度基函数，再在间断有限元格式中用数值积分公式计算每个单元上与基函数有关 的定积分，得出间断有限元在每个单元上的局部系数矩阵k _ d g ，最后按照规律 把局部系数矩阵k _ d g 装配到整体系数矩阵a _ d g 中，求解线性方程组，即可得 出原问题的数值解，同时，还得出原问题的解对z 和对y 的偏导数的数值解。程 序结构如图( 4 1 ) 所示。 为了便于和已知数值算例相比，本文用文献( 【1 0 】，【11 1 ) 中的算例。由于很难构 造出有解析解的多尺度问题，我们先用线性有限元方法求出水平方向网格剖分数 为时的数值解u ，再求出网格剖分为2 n 时的数值解u 2 ，利用r i c h a r d s o n 外 推方法可以提高近似阶。具体过程如下： 对于标准线性有限元方法，设u j v 和u 2 分别与真解u 的误差为： “一u = c 1 h 2 + c 2 h 3 + l z - - u 2 n = a ( 鲁) 2 + q ( 鲁) 3 + 对第二式两边同乘4 ，再两式相减，可得： u 一4 u 2 n = _ - - 一u n ：c h 3 + u 一了一= 。十 t ) 这表明“与u 2 的线性组合4 2 r v - - u n 具有3 阶精度。当n = 2 5 6 时，它与真解 的误差小于c 1 0 8 ，我们用它当作真解，把多尺度间断有限元方法的解与它比较， 得出误差阶。 对于求单元多尺度基函数和d g 数值格式中的系数时遇到的二维积分，先通 过变量替换把积分单元变为 一1 ，l 】 - 1 ，l 】，再使用二维4 节点g a u s s 求积公式： m 剐d z 曲蕃4 善4 即，c h ， 第四章多尺度间断有限元程序及数值算例 1 6 图4 1 多尺度间断有限元程序结构图 i 在每个单元k 上求解出四个多尺度基函数 1 l l 根据数值格式计算备元k 系数矩阵k 脚 上 t 结合边界条件，构成整体系数矩阵a d g 上 求解线性方程组 上 误差分析 表4 1 四点g a u s s 积分节点a 和权重w l l 2 34 扎 0 8 6 1 13 60 3 3 9 9 810 3 3 9 9 8lo 8 6l13 6 w i 0 3 4 7 8 5 50 6 5 2 1 4 50 6 5 2 1 4 50 3 4 7 8 5 5 其中a i ( i = 1 ，4 ) 为积分节点，训t ( i = 1 ，4 ) 为积分权函数，各自取值分 别如表4 1 用m s d g o 表示求单元基函数使用振荡边界条件的多尺度d g 方法，用 m s d g - l 表示求单元基函数时使用线性边界条件的多尺度d g 方法，l f e m 表 示使用线性基函数的标准有限元方法，用m 表示区域q 每个方向的剖分份数， n 表示每个单元k 上每个方向的剖分份数。文献【1 0 】中给出了多尺度线性有限 元方法的收敛阶和标准线性有限元方法的收敛阶比较。 第四章多尺度间断有限元程序艘数值算例j 7 图4 2 当= 0 0 8 时系数n ( 耳”) 的形状 4 1 数值算例一：高振荡系数情形 算例一：在方程3l 中取系数 。恤，纠2 五下i 而；i 面， 其中p 是一个影响振荡的量，取p = 18 右端项 1 f ( x ，y ) = - ；i ( 6 2 2 1 ) ( 9 4 一y 2 ) + ( 6 y 2 一1 ) ( z 4 一z 2 ) 】 系数o ( 毛y ) 中含有小参数e ，非常振荡，其图像如图4 2 所示。 我们分别使用标准线性有限元方法( l f e m ) 、局部间断有限元方法( l d g ) 和多 尺度间断有限元方法求解，m s d g 方法中取 = h - 4 【“h 1 当各方向剖分分数 都等于2 5 6 时，各自的图像分别如图4 3 、4 4 、4 5 所示。 从图中可以看出，对于标准有限元方法，网格尺度h = 00 0 4 时仍不能准确地 表示出解的局部信息，而用间断有限元方法和多尺度间断有限元方法可以很好地 反映出系数a ( x ，) 中小尺度对解的影响。并且多尺度间断有限元方法比前两种方 圈嘲川l_=l豳_ 第四章多尺度问断有限元程序及数值算例 图4 3 当e = 00 8 n = 2 5 6 时l f e m 数值解 l 一 目44 当= 00 8 n = 2 5 6 时l d g 数值解 圈恩闭川ll川川川_三嗣_ 第四章多尺度问断有限元程序及数值算例 图4 5 当e = 00 8 ，m = 3 2 ，n = 8 n 十m s d g 数值解 法运算速度更快。实际上，当m = 1 6 、n = 8 时，用多尺度间断有限元方法就可 以反映出小尺度的影响。 下面，分别从六个方面讨论所得的m s d g 数值解： 1 数值积分对多尺度基函数及m s d g 数值解的影响 对于m s d g 方法中的多尺度基函数通过数值算例表明：当越小、n 每个方 向的剖分份数 越大时，使用振荡边界条件求得的基函数越振荡。而使用线性边 界条件求出的多尺度基函数振荡变化不大，形状类似线性基函数。由于系数a ( x y 1 的影响，在单元k 上用l f e m 求解多尺度基函数的振荡边界条件时，如果直接 在单元的边界上使用四点g a u s s 积分公式，则积分误差很大，求出的多尺度 基函数非常振荡四个多尺度基函数的形状差别很大，且边界上还存在大于1 的 点：如果在单元的边界上使用复化四点g a u s s 积分公式，则积分误差很小求 出的多尺度基函数振荡较小，四个基函数的形状差别很小。但是，二者对m s d g 的数值解收敛阶没有影响。 当e = 00 2 、m 3 2n6 4 时，二者基函数的图像分别如图4 6 、47 所示。 求解m s d g 格式的系数矩阵时，会出现多尺度基函数之间、多尺度基函数 与其偏导数之间在单元上的数值积分此时，若