定积分习题(期末).ppt

1定积分的定义： 定积分定义的四要素：分割；近似；求和；取极限 2定积分的几何意义： 用图表示: 一、定积分的概念与性质 曲边梯形的面积 3可积的充分条件 若 在区间 上连续，则 在 上可积. 若 在区间 上有界，且只有限个间断点， 则 在 上可积. 4定积分的性质 反号性： 与积分变量无关性： 线性性质： 区间可加性: 区间长： 保号性：如果在区间 上, ，则 单调性：如果在区间 上, 则 估值定理：设 和 分别是函数 在区间 上的 最大值和最小值，则 奇偶对称性：若 在 上连续，则 二、积分上限函数与牛顿莱布尼兹公式 1积分上限函数： 是奇函数 是偶函数 0， 设函数 在区间 上连续，则称 定积分中值定理：如果函数 在闭区间 上连续, 则至少存在一点 ,使下式成立： (1) (2) (3) 3牛顿莱布尼兹公式：若函数 为连续函数 在区间 上的个原函数，则 2积分上限函数的微分 三、定积分的计算方法 求定积分的总体原则：先求被积函数 的原函数 , 然后利用牛顿莱布尼兹公式计算，即 1换元积分法 （1）凑微分法： （2）变量置换法：函数 满足条件： 2分部积分法： 四、反常积分 1无穷限的反常积分 2无界函数的反常积分 设 为 的瑕点, 则 设 为 的瑕点,则 设 为 的瑕点，则有 五、典型例题 解： 由于 在 上连续, 且 是 在 上的一个原函数，故 【例1】设 在 上有连续导数，且 是 在 上的一个原函数, , 求 【例2】求定积分 解： 注：当定积分的被积函数中包含绝对值符号时，必须设法将 其去掉，并且要特别注意被积函数的符号 【例3】设 , 求 解: 【例4】设 求 分析：利用变量代换将 在 上的定积分 化为 在 上的定积分再计算。 解:设 ,则 【例5】设 为连续函数，求 解: 令 , 则 ,当 时, 当 时, 则 故 【例7】求定积分 解:设 ,则 【例8】计算定积分 解: 令 则 当 时, 当 时, 【例9】计算定积分 解: 【例10】求定积分 分析：由于积分区间为对称区间，可考虑被积函数是否 具有奇偶性或部分具有奇偶性 解: 原式 【例11】设 求 解：因为 所以 【例17】求反常积分 解： 【例18】求积分 分析：被积函数 在积分区间 上不是连续的， 牛顿莱布尼兹公式失效这是一个反常积分。 该积分的瑕点。 解： 因为 故该积分发散 注：由于定积分与瑕积分的表达式没有区别，在计算积分时 要特别注意。 错误在于将反常积分误认为定积分。 在应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分时，必须注 意其使用条件，即被积函数在积分区间内必须连续 常见的错误做法： 定积分应用 一、定积分应用的类型 几何应用 平面图形的面积 特殊立体的体积 旋转体的体积 平行截面面积为 已知立体的体积 二、构造微元的基本思想及解题步骤 1. 构造微元的基本思想 元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、 “以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须 是无穷小量之间的代替。将局部 上所对 应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成 定积分 无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。 2. 在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤： 选取适当的坐标系； 确定积分变量和变化范围； 在 上求出微元解析式（积分式）。 把所求的量表示成定积分 三、典型例题 1. 几何应用 定积分的几何应用包括求平面图形的面积、特殊立体的 体积。解决这些问题的关键是确定面积元 素、体积元素。 【例1】求由 所围成图形的面积。 分析：在直角坐标系下,由给定曲线所围成的几何图形 如图所示。 如果取 为积分变量, 则 设区间 所对应的曲边梯形面积为 则面积元 素 就是在 上以“以直代曲”所形成的矩形面积。 解：(1) 确定积分变量和积分区间： 的交点为 和 , 取 为积分变量, 则 由于曲线 和 （2）求微元：任取 如果将图形上方直线的纵坐标记为 , 将图形下方抛物线的纵坐标记为 , 那么， 就是区间 所对应的矩形的面积。因此 （3） 求定积分：所求的几何图形的面积表示为 计计算上面的积积分得 ： 【例5】设由曲线 ， 及 围成 平面图形 绕 轴, 轴旋转而成的旋转体的体积。 分析：此题为求解旋转体体积的问题，绕 轴旋转时， 取 为积分变量; 绕 轴旋转时, 取 为积分变量。 设区间 对 或对 或 所对应的曲边梯形为 是以直代曲 所形成的矩形为 则绕 轴、 轴旋转而成的旋 转体的体积微元 就是矩形 分别绕 轴、 轴 旋转而成的体积. 解: (一) 求 绕轴旋转而成的旋转体的体积 （1）确定积分变量和积分区间：绕 轴旋转如图, 旋转体体积元素 是 对应的矩形绕 轴所得的 旋转体的体积，即 （2）求微元：对 取 为积分变量,则 （3）求定积分：绕 轴旋转而成的旋转体的体积表示为 计算积分得： （1）确定积分变量和积分区间：绕 轴旋转如图, 取 为积分变量, 则 (二) 求绕 轴旋转而成的旋转体的体积 （2）求微元：对 旋转体的体积元素 是 对应的矩形绕 轴所得的旋转体体积, 即 （3）求定积分：绕 轴所得的旋转体的体积表示为 计算积分得: 【例7】 计算底面是半径为2 的圆，而垂直于底面上一条固定 直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积。 分析：此题为平行截面面积为已知的立体的体积。若选择 积分变量为 , 如果能求出平面 所截立体的截面面积 那么， 所对应的体积元素为 . 建立如图所示的