电磁场与电磁波（第四版）谢处方_课后答案

. . 电磁场与电磁波（第四版）谢处方 课后答案 第一章习题解答 给定三个矢量 A 、 B 和 C 如下： 23x y z A e e B e e 52C e e 求：（ 1） 2） 3） 4）（ 5） A 在 B 上的分量；（ 6） （ 7） ()A B C 和 ()A B C ；（ 8） ()A B C 和 ()A B C 。 解 （ 1）2 2 223 1 2 31 4 1 4 1 41 2 ( 3 )x y zA x y z e e e e 2） 2 3 ) ( 4 )x y z y z e e e e 5 3x y z e e e（ 3） 2 3 )x y ze e e ( 4 ) 11 （ 4）由 1 1 1 11 4 1 7 2 3 8 1 11( ) 1 3 5 . 5238（ 5） A 在 B 上的分量 A B 11176） 2 35 0 2x y ze e 3 1 0x y z e e e （ 7）由于 4 15 0 2x y ze e 2 0x y ze e e 2 30 4 1x y ze e 1 4x y z e e e 所以 ()A B C ( 2 3 )x y ze e e ( 8 5 2 0 ) 4 2x y z e e e()A B C ( 1 0 1 4 )x y z e e e( 5 2 ) 4 2 8） () A B C 1 0 1 45 0 2x y z e e 0 5x y ze e e () A B C 1 2 38 5 2 0x y ze e 4 4 1 1x y ze e e 三角形的 三个顶点为1(0,1, 2)P 、2 (4,1, 3)P 和3(6,2,5)P。 （ 1）判断1 2 3否为一直角三角形； （ 2）求三角形的面积。 . . 解 （ 1）三个顶点1(0,1, 2)P 、2 (4,1, 3)P 和3(6,2,5)1 2r e e，2 43x y z r e e e，3 6 2 5x y z r e e 1 2 2 1 4 R r r e e， 2 3 3 2 28x y z R r r e e e， 3 1 1 3 67x y z R r r e e 1 2 2 3 ( 4 ) ( 2 8 ) 0x z x y z R R e e e e 3一直角三角形。 （ 2）三角形的面积 1 2 2 3 1 2 2 31 1 1 1 7 6 9 1 7 . 1 32 2 2S R R R 求 ( 3,1, 4)P 点到 (2, 2,3)P 点的距离矢量 R 及 R 的方向。 解 34P x y z r e e e， 2 2 3P x y z r e e e， 则 53P P P P x y z R r r e e 与 x 、 y 、 z 轴的夹角分别为 11 5c o s ( ) c o s ( ) 3 2 . 3 135x P c o s ( ) c o s ( ) 1 2 0 . 4 735y P c o s ( ) c o s ( ) 9 9 . 7 335z P 给定两矢量 2 3 4x y z A e e 5 6x y z B e e e，求它们之间的夹角和 A 在 B 上的分量。 解 A 与 B 之间的 夹角为 11 31c o s ( ) c o s ( ) 1 3 12 9 7 7 B 上的分量为 31 3 . 5 3 277 给定两矢量 2 3 4x y z A e e 4x y z B e e e，求 y z C e e 解 3 46 4 1x y ze e 2 2 1 0x y z e e e 所以 上的分量为 () ) 2 5 1 4 . 4 33 A B 证明：如果 C 和 解 由 有 ( ) ( ) A A B A A C，即 ( ) ( ) ( ) ( )A B A A A B A C A A A C 由于C ，于是得到 ( ) ( )A A B A A C 故 如果 给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A 为一已知矢量，p P A X ， p 和 P 已知，试求 X 。 解 由P A X ，有 ( ) ( ) ( ) ( )p A P A A X A X A A A X A A A X 故得 p A A A. . 在圆柱坐标中，一点的位置由 2(4, ,3)3定出，求该点在：（ 1）直角坐标中的坐标；（ 2）球坐标中的坐标。 解 （ 1）在直角坐标系中 4 c o s ( 2 3 ) 2x 、 4 s i n ( 2 3 ) 2 3y 、 3z 故该点的直角坐标为 ( 2, 2 3, 3) 。 （ 2）在球坐标系中 224 3 5r 、1t a n ( 4 3 ) 5 3 . 1 、 2 3 1 2 0 故该点的球坐标为 (5, 5 3 1 2 0 ) 用球坐标表示的场225r r （ 1）求在直角坐标中点 ( 3, 4, 5)处的 E 和 （ 2）求在直角坐标中点 ( 3, 4, 5)处 E 与矢量 22x y z B e e 解 （ 1）在直角坐标中点 ( 3, 4, 5)处，2 2 2 2( 3 ) 4 ( 5 ) 5 0r ，故 22 5 12r r 3 2c o 052x x r e E E （ 2）在直角坐标中点 ( 3, 4, 5)处， 3 4 5x y z r e e e，所以 233 4 52 5 2 51 0 2x y e e 故 E 与 B 构成的夹角为 11 1 9 ( 1 0 2 )c o s ( ) c o s ( ) 1 5 3 . 632 球坐标中两个点1 1 1( , , )r 和2 2 2( , , )r 定出两个位置矢量1 明11 2 1 2 1 2c o s c o s c o s s i n s i n c o s ( ) 解 由 1 1 1 1 1 1 1 1 1s i n c o s s i n s i n c o sx y zr r r R e e 2 2 2 2 2 2 2s i n c o s s i n s i n c o sx y zr r r R e e 1212c o s 2 2 1 1 2 2 1 2s i n c o s s i n c o s s i n s i n s i n s i n c o s c o s 1 2 1 2 1 1 2 1 2s i n s i n ( c o s c o s s i n s i n ) c o s c o s 1 2 1 2 1 2s i n s i n c o s ( ) c o s c o s 一球面 S 的半径为 5 ，球心在原点上，计算： ( 3 s 解 ( 3 s i n ) d ( 3 s i n ) dr r e S e 200d 3 s i n 5 s i n d 7 5 在由 5r 、 0z 和 4z 围成的圆柱形区域，对矢量2 2A e 解 在圆柱坐标系中 21 ( ) ( 2 ) 3 2r r z rr r z 4 2 50 0 0d d d ( 3 2 ) d 1 2 0 0z r r r A. . 又 2d ( 2 ) ( d d d )r z r r z r z S S S A S e e e e 5 220 0 0 05 5 d d 2 4 d d 1 2 0 0z r r 故有 d 1 2 0 0 A 求（ 1）矢量2 2 2 2 2 324x y zx x y x y z A e e 2）求 A 对中心在原点的一个单位立方体的积分；（ 3）求 A 对此立方体表面的 积分，验证散度定理。 解 （ 1） 2 2 2 2 2 32 2 2 2( ) ( ) ( 2 4 ) 2 2 7 2x x y x y z x x y x y zx y z A（ 2） A 对中心在原点的一个单位立方体的积分为 1 2 1 2 1 22 2 2 21 2 1 2 1 21d ( 2 2 7 2 ) d d x y x y z x y z A（ 3） A 对此立方体表面的积分 1 2 1 2 1 2 1 2221 2 1 2 1 2 1 211d ( ) d d ( ) d y z y z 1 2 1 2 1 22 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2112 ( ) d d 2 ( ) d x z x x z 1 2 1 2 1 2 1 22 2 3 2 2 31 2 1 2 1 2 1 21 1 12 4 ( ) d d 2 4 ( ) d 2 4x y x y x y x y 故有 1d 24 A 计算矢量 r 对一个球心在原点、半径为 a 的球表面的积分，并求 r 对球体积的积分。 解 22300d d d s i n d 4a a a r S r 21 ( ) 3 r，所以 2 230 0 0d 3 s i n d d d 4a r r a 求矢量22x y zx x y z A e e e沿 面上的一个边长为 2 的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与 x 轴和 y 轴相重合。再求 A 对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。 解 2 2 2 220 0 0 0d d d 2 d 0 d 8Cx x x x y y 2222x y z xx y zx x y z e e eA e e 所以 2200d ( 2 2 ) d d 8x z z x x y A S e e Al . 求矢量2A e 2x y a的线积分，再计算 A 对此圆面积的积分。 解 2d d x x y y 42 4 2 20( c o s s i n c o s s i n ) d 4 d ( ) dy A S e 2 2 200d s i n d d 4 r r r 证明：（ 1） 3R ；（ 2） 3） ()A R A 。其中x y zx y z R e e e， A 为一常矢量。 解 （ 1）3x y zx y z R（ 2） x y zx y zx y y e e 3）设x x y y z A A e e e，则x y zA x A y A z ( ) ( ) ( )x x y z y x y zA x A y A z A x A y A A R e e()z x y zA x A y A e x x y y z A e e e 一径向矢量场 ()r 果 0F ，那么函数 () 解 在圆柱坐标系中，由 1d ( ) 0d r f () 在球坐标系中，由 221d ( ) 0d r f 2() 给定矢量函数E e e，试求从点1(2,1, 1)P 到点2 (8, 2, 1)P 的线积分 d 1）沿抛物线2（ 2）沿连接该两点的直线。这个 E 是保守场吗？ 解 （ 1） d d x E y El y x x y2 221d ( 2 ) 2 dy y y y 2 216 d 14 （ 2） 连接点 1(2,1, 1)P 到点 2 (8, 2, 1)P 直线方程为 2812 即 6 4 0 故 21d d d d ( 6 4 ) ( 6 4 ) x E y y y y y 1(1 2 4 ) d 1 4 由此可见积分与路径无关，故是保守场。 求标量函数2x 的梯度及 在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量. . 3 4 55 0 5 0 5 0x y ze e (2,3,1) 点的方向导数值。 解 2 2 2( ) ( ) ( )x y zx y z x y z x y zx y z e e y zx y z x z x ye e 4 55 0 5 0 5 0l x y z e e e 226 4 55 0 5 0 5 0lx y z x z x e 点 (2,3,1) 处沿值为 3 6 1 6 6 0 1 1 25 0 5 0 5 0 5 0l 试采用与推导直角坐标中yx x y z 1 () r r z A。 解 在圆柱坐标中，取小体积元如题 量场 A 沿( ) d d d dz z z zr r r r r r r r A r r ( ) ( , , ) ( , , ) r A r r z r A r z z ( ) ( )1 r r r 同理 d d d dr r z z r r z zr z r zA r z A r z ( , , ) ( , , ) A r z A r z r z r d d d dr r r rz z z z z r r A r r ( , , ) ( , , ) r z z A r z r r z r z 因此，矢量场 A 穿出该六面体的表面的通量为 ()1 r r r z 故得到圆柱坐标下的散度表达式 0()1l i m Ar r r z 方程 2 2 22 2 2x y zu a b c给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。 解 由于 2 2 22 2 2x y zx y zu a b c e e e 2 2 22 2 22 ( ) ( ) ( )x y zu r r z r z z 题 . . 故椭球表面上任意点的单位法向矢量为 2 2 22 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )x y zu x y z x y za b c a b n e e 现有三个矢量 A 、 B 、 C 为 s i n c o s c o s c o s s i A e e i n c o s 2 s i z r z B e e 3 2 ) 2x y zy x x z C e e e（ 1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？ （ 2）求出这些矢量的源分布。 解 （ 1）在球坐标系中 221 1 1( ) ( s i n )s i n s i r A Ar r r r 1( s i n c o s ) ( s i n c o s c o s ) ( s i n )s i n s i r r r 2 c o s 2 s i n c o s c o ss i n c o s 0s i n s i nr r r r 2s i i ns i r A r A e e 2s i s i ns i n c o s c o s c o s s i n s i nr e e 既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示； 在圆柱坐标系中 11() r r z B=2211( s i n ) ( c o s ) ( 2 s i n )r z z r zr r r z 22s i n s i n 2 s i n 2 s i 2211 0s i n c o s 2 s i nr z r r z r r zB r B B z r z r z e e e e e 故矢量 B 可以由一个标量函数的梯度表示； 直角在坐标系中 yx x y z C=. . 22( 3 2 ) ( ) ( 2 ) 0y x x zx y z 22( 2 6 )3 2 2x y zz y zy x x z e e 矢量 C 可以由一个矢量函数的旋度表示。 （ 2）这些矢量的源分布为 0A ， 0 A ； 2 B= ， 0 B ； 0C ， ( 2 6 )z 利用直角坐标，证明 ()f f f A A A 解 在直角坐标中 ( ) ( )yx z x y f f ff f f A A Ax y z x y z ) ( ) ( )yx zx y f f f A f Ax x y y z z ( ) ( ) ( ) ( )x y f A f A fx y z 证明 () A H H A A H 解 根据 算子的微分运算性质，有 ( ) ( ) ( ) A H A H A H 式中A表示只对矢量 A 作微分运算，H表示只对矢量 H 作微分运算。 由 ( ) ( ) a b c c a b，可得 ( ) ( ) ( ) A H H A H A 同理 ( ) ( ) ( ) A H A H A () A H H A A H 利用直角坐标，证明 ()f f f G G G 解 在直角坐标中 ( ) ( ) ( ) y y z z x x y G e e G ( ) ( ) ( ) x z y y x z z y xf f f f f G G G Gy z z x x y 以 ( ) ( ) z f G fy y z z e ( ) ( ) x zy x f G fz z x x e ( ) ( ) y xz y f G fx x y y e()() e () ()x zy fG e. . () ()y e ()f利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明 ( ) 0u 及 ( ) 0 A ，试证明之。 解 （ 1）对于任意闭 合曲线 C 为边界的任意曲面 S ，由斯托克斯定理有 ( ) d d d d 0S C C u l 于曲面 S 是任意的，故有 ( ) 0u （ 2）对于任意闭合曲面S 为边界的体积 ，由散度定理有 12( ) d ( ) d ( ) d ( ) S A A S A S A S 其中1斯托克斯定理，有 11( ) d A S A l， 22( ) d A S A l 由题 可知1有 12A l A l 所以得到 1 2 2 2( ) d d d d d 0C C C C A A l A l A l A 是任意的，故有 ( ) 0 A 1n 1 . . 第二章习题解答 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为4 3 2 30049 U d x ，式中阴极板位于 0x ，阳极板位于 ，极间电压为0U。如果0 40 、 1、横截面210，求：（ 1） 0x 和 区域内的总电荷量 Q ；（ 2） 2和 区域内的总电荷量 Q 。 解 （ 1） 4 3 2 30004d ( ) d x S x 11004 4 . 7 2 1 0 （ 2） 4 3 2 30024d ( ) d x S x 1100341(1 ) 0 . 9 7 1 0 一个体密度为732 . 3 2 1 0 C m 的质子束，通过 1000V 的电压加速后形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为 2束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。 解 质子的质量271 0 k 、电量191 0 。由 212 mv 62 1 . 3 7 1 0v m q U 0 8 22 ) 1 0I J d A 一个半径为 a 的球体内均匀分布 总电荷量为 Q 的电荷，球体以匀角速度 绕一个直径旋转，求球内的电流密度。 解 以球心为坐标原 点， 转轴（一直径）为 z 轴。 设 球内任一点 P 的位置矢量为 r ，且 r 与 z 轴的夹角为 ，则 P 点的线速度为 s i v r e 球内的电荷体密度为 343 故 333s i n s i 4 J v e e 一个半径为 a 的导体球带 总电荷量为 Q ，同样以匀角速度 绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。 解 以球心为坐标原点， 转轴（一直径）为 z 轴。 设 球面上任一点 P 的位置矢量为 r ，且 r 与 z 轴的夹角为 ，则 P 点的线速度为 s i v r e 球面的上电荷面密度为 24 故 2 s i n s i J v e e 两点电荷1 8位于 z 轴上 4z 处，2 4位于 y 轴 上 4y 处，求 (4,0,0) 处的电场强度。 解 电荷14,0,0) 处产生的电场为 111 330014424 ( 4 2 ) 4,0,0) 处产生的电场为 . . 222 330024414 ( 4 2 ) 4,0,0) 处的电场为 12023 2 2x y z e e E 一个半圆环上均匀分布线电荷 l ，求垂直于圆平面的轴线上 处的电场强度 (0,0, )设半圆环的半径也为 a ，如题 所示。 解 半圆环上的电荷元 在轴线上 处的电场强度为 304 ( 2 ) 0( c o s s i n ) x yl a e e e 在半圆环上对上式积分，得到轴线上 处的电场强度为 ( 0 , 0 , ) 20 ( c o s s i n ) l z x e e 2 )82l z 三根长度均为 L ，均匀带电荷密度分别为 1l 、 2l 和 3l 地线电荷构成等边三角形。设 1l 22 l 32l ，计算三角形中心处的电场强度。 解 建立题 三角形中心到各边的距离为 3t a n 3 026 则 111003( c o s 3 0 c o s 1 5 0 )42 E e e 2120033( c o s 3 0 s i n 3 0 ) ( 3 )28y x E e e e e 3130033( c o s 3 0 s i n 3 0 ) ( 3 )28y x E e e e e 故等边三角形中心处的电场强度为 1 2 3 E E E 10003 3 3( 3 ) ( 3 )2 8 8l l ly x y x e e e e e 点电荷 q 位于 ( ,0,0)a 处，另 点电荷 2q 位于 ( ,0,0)a 处，空间有没有 电场强度 0E 的点？ 解 电荷 q 在 ( , , )x y z 处产生的电场为 1 2 2 2 3 20()4 ( ) x y zx a y a y z e e 电荷 2q 在 ( , , )x y z 处产生的电场为 2 2 2 2 3 20()24 ( ) x y zx a y a y z e e ( , , )x y z 处的电场则为 12E E E 。令 0E ，则有 题 题 . . 2 2 2 3 2() ( ) x y zx a y zx a y z e e 2 3 22 ( ) ( ) x y zx a y zx a y z e e 由上式两端对应分量相等，可得到 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2( ) ( ) 2 ( ) ( ) x a x a y z x a x a y z 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 ( ) 2 ( ) y x a y z y x a y z 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 ( ) 2 ( ) z x a y z z x a y z 当 0y 或 0z 时，将式或式代入式，得 0a 。 所以，当 0y 或 0z 时无解； 当 0y 且 0z 时，由式，有 33( ) ( ) 2 ( ) ( )x a x a x a x a 解得 ( 3 2 2 ) 但 3 2 2x a a 不合题意，故仅在 ( 3 2 2 , 0 , 0 ) 处电场强度 0E 。 2 9 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为 。证明：垂直于平面的 z 轴上 0处的电场强度 E 中，有一半是有平面上半径为 03z 的圆内的电荷产生的。 解 半径为 r 、电荷线密度为 dl r 的带电细圆环在 z 轴上 0处的电场强度为 02 2 3 200 ( )zr z 故整个导电带电面在 z 轴上 0处的电场强度为 002 2 3 2 2 2 1 20 0 0 0 00 0d 12 ( ) 2 ( ) 2z z zr z r zr z r z E e e e 而半径为 03z 的圆内的电荷产生在 z 轴上 0处的电场强度为 00 33002 2 3 2 2 2 1 20 0 0 0 00 0d 112 ( ) 2 ( ) 4 2z zr z r zr z r z E e e e 一个半径为 a 的导体球带电荷量为 Q ，当球体以均匀角速度 绕一个直径旋转，如 题 所示。求球心处的磁感应强度 B 。 解 球面上的电荷面密度为 24 当球体以均匀角速度 绕一个直径旋转时，球面上位置矢量raS z r a r e es i n s i a a 的 细圆环， 则球面上任一个宽度为 细圆环的电流为 d d s i n I J l 细圆环的半径为 ，圆环平面到球心的距离 ， 利用电流圆环的轴线上的磁场公式， 则该细圆环电流在球心处产生的磁场为 202 2 3 2 ( )z 302 2 2 2 3 2s i n s i n c o s )z e 30 s i n a 3000s i n B e e 题 . . 两个半径为 b 、同轴的相同线圈，各有 N 匝，相互隔开距离为 d ，如题 流 I 以相同的方向流过这两个线圈。 （ 1）求这两个线圈中心点处的磁感应强度e； （ 2）证明：在中点处 （ 3）求出 b 与 d 之间的关系，使中点处22 dd xB 解 （ 1）由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度 202 2 3 22 ( )z 202 2 3 2( 4 )x N I 2）两线圈的电流在其轴线上 x )0( 处的磁感应强度为 22002 2 3 2 2 2 3 22 ( ) 2 ( ) b N I bb x b d x 22002 2 5 2 2 2 5 2d 3 3 ( )d 2 ( ) 2 ( ) I b x N I b d xx b x b d x 故在中点 2处，有 22002 2 5 2 2 2 5 2d 3 2 3 2 0d 2 4 2 4 I b d N I b dx b d b d （ 3） 2 2 2 2002 2 2 7 2 2 2 5 2d 1 5 3d 2 ( ) 2 ( ) I b x N I bx b x b x 2 2 2002 2 7 2 2 2 5 21 5 ( ) 32 ( ) 2 ( ) N I b d x N I bb d x b d x 令 022 04 14 45 25222722 2 445222 故解得 一条扁 平的直导体带，宽为 中心线与 z 轴重合，通过的一象限内的磁感应强度为 04x IB a ，电流为 I 。证明在第0 21 rB 式 中 、1 解 将导体带 划分为无数个宽度为 xd 的细条带，每一细条带的电流 安 培环路定理，可得位于 x 处的细条带的电流 点),( 的磁场为 004I I a R 0 2 2 1 2 ( ) x x y 则 0 22dd d s i n 4 ( ) x I y a x x y 0 22( ) dd d c o s 4 ( ) y I x x a x x y 所以 题 题 . . 题 0 22 ( ) y x x y 0 a r c t a 0 a r c t a n a r c t a a x a xa y y 0 a r c t a n a r c t a x a x aa y y 0 21()4 I a 04 0 22( ) ( ) x x x x y 220 l n ( ) 8x x 22022() )I x a ya x a y 0 21 如题 一个电矩为 1p 的电偶极子，位于坐标原点上，另 一个电矩为 2p 的电偶极子，位于矢径为 r 的某一点上。试证明两偶极 子之间相互作用力为 12 1 2 1 2403 ( s i n s i n c o s 2 c o s c o s )4r 式中 11, 22, 是两个平面 1( , ) 2( , )的夹角。并问两个偶极子在怎样的相对取向下这个力值最大？ 解 电偶极子 1p 在矢径为 r 的点上产生的电场为 111 5303 ( )1 4 p r r 所以 1p 与 2p 之间的相互作用能为 1 2 1 221 5303 ( ) ( )1 4eW p r p r p 因为 11, 22, 则 1 1 1c o 2 2 2c o 又因为 是两个平面 1( , )( , )的夹角，所以有 21 2 1 2 1 2( ) ( ) s i n s i n c o sr p p r p r p 另一方面，利用矢量恒等式可得 1 2 1 2( ) (