向量组的线性相关性的判定

向量组的线性相关性的判定 摘 要 ： 向量组的线性相关性是线性代数中的一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其它许多理论 列式的值，矩阵的秩，齐次线性方程组的解，弗朗斯基判别法等知识对向量组的线性相关性进行了判定，并比较了几种不同判定方法的适用条件 . 关键词 ：向量组；线性相关；行列式 引言 向量组的线性相关性在线性代数中起到贯穿始终的作用 微分几何，高等代数和偏微分方程等等 与向量空间 (包括基，维数）， 子空间等概念有密切关系，同时在微分几何以及偏微分方程中都有广泛的应用 握线性相关性这个概念有着非常重要的意义，也是解决其它问题的重要理论依据 . 向量组的线性相关与线性无关判定方法是非常灵活的 2介绍了线性相关的定义及其性质，并给出了证明 1、 3、 4、 5则是介绍了关于向量组线性相关判定的几种方法，给出了证明并举出了几个例子 . 本文从线性相关性的定义出发，分别运用了定义法、线性关系、向量空间的性质、矩阵的秩、行列式的值、反证法、线性变换的性质等几种方法对向量组的线性相 关性进行了判定 么可用弗朗斯基判别法判定 性变换的性质，弗朗斯基判别法运用于一些复杂和特殊的题目，是比较方便的 . 定义 定义在 P 上的线性空间 V ，对于给定的一组向量12, , , nx x x,如果存在 n 个不全为 0 的数12, , , n ，使得 1 1 2 2 0x x . 那么称12, , , nx x 否则称12, , , nx x 性质 若12, , , nx x 其中至少有一个向量可由其余 1n 个向量线性表示 . 证明 ) 若这 n 个向量线性相关，那么 1 1 2 2 0x x ， 其中i不全为 0，不妨设 0i， 那么可解得 1 1 x x . 所以该结论是成立的 . ) 如果其中一个向量可由其余向量线性表示，那么这 n 个向量是线性相关的 1 1 2 2 1 1 1 1i i i i i n nx k x k x k x k x k x ， 那么移项得 1 1 2 2 1 1 1 1 ( ) 0i i i i n n ik x k x k x k x k x x . 显然，1，那么由线性相关的定义知，这 n 个向量是线性相关的 . 性质 含有零向量的向量组必是线性相关的 . 性质 单个向量线性相关的充要条件是这个向量是零向量 . 性质 若向量组12, , , n 线性无关，12, , , ,n 线性相关，那么 可由 12, , , n 线性表示 . 性质 如果向量组12, , , m 的部分组 12, , , ( 1 , 2 , , )mk k k 线性相关，那么12, , , n 也一定是线性相关的 整体线性相关 . 向量组的线性相关与线性无关的概念也可应用于线性方程组 个方程就是多余的，那么称方程组是线性相关的 们是线性无关的 . 定义法 定义法是判定向量组的线性相关性的最基本的方法 n 个 向量12, , , nx x x， 只需令 1 1 2 2 0x x . 根据题中的条件去求12, , , n 即可 . 当12, , , n 不全为 0 时，12, , , nx x 当12, , , n 全为 0 时，12, , , nx x 例 1 设1 2 3, 线性无关，证明1 2 2 3 3 1, 也线性无关 . 证明 设对于任意的1 2 3,k k k，有 1 1 2 2 2 3 3 3 1( ) ( ) ( ) 0k k k . 整理得 1 3 1 1 2 2 2 3 3( ) ( ) ( ) 0k k k k k k . 由于1 2 3, 线性无关，得 1312230,0, 解得 1230,0, 所以1 2 2 3 3 1, 也线性无关 . 例 2 设 21 , 1 , 1 nx x P x ，判断它们的线性相关性 . 解 设1 2 3,k k k P，令 21 2 3( 1 ) ( 1 ) 0k k x k x ， 整理得 21 2 3 2 3( ) 0k k k k x k x , 所以有 1 2 3230,0,0.k k 解得 1 2 3 0k k k . 从而 21,1 ,1是线性无关的 . 利用向量空间的性质进行判定 利用向量组的线 性相关性的性质也可以判定很多题目 . 例 3 判断1 2 31 0 10 , 2 , 10 0 0 的相关性 . 证明 由题意可得 3 1 212 ， 那么由性质 ，1 2 3, 是线性相关的 . 这种判定方法适用于具体的题目，一般不用于理论分析 . 定理 n 维向量空间中任意 1n 个向量是线性相关的 . 例 4 设 V 是 P 上的线性空间， 是 V 上的线性变换 2, , , n 是线性相关的 . 证明 设 () V 上所有的线性变换组成的集合， ()于线性变换的加法和数乘运算构成一个向量空间 )维数为 2n ，又因为 22, , , ( )n ， 所以由 定理 22, , , n 是线性相关的 . 从上面的例题可以看出，运用线性相关性的性质判断相关性是比较方便的，因此熟练地掌握线性相关性的性质显得尤其重要 . 利用齐次线性方程组的解进行判定 在应用定义法解一个齐次线性方程 组时，需由该方程组的解去判定这个向量 组的相关性 一般地，要判断一个向量组 12( , , , )i i i a a 是否线性相关就是看方程 1 1 2 2 0x x （ 1） 有无非零解 果向量组线性无关，那么在每一个向量上添加一个分量得到的 1n 维的向量组1 2 1( , , , , )i i i in a a a 也是线性无关的 . 把（ 1）写出来就是 1 1 1 2 1 2 11 2 1 2 2 2 21 1 2 20,0,n n n nx a x a x ax a x a x ax a x a x a （ 2） , 因之，（ 1）线性相关的充要条件是（ 2）有非零解 2 . 因此具体判断一个向量组是线性还是线性无关的问题可以归结为解方程组的问题 . 例 5 设1 2 3( 1 , 1 , 1 ) , ( 2 , 1 , 2 ) , ( 1 , 2 , 1 )x x x ,试判断它们是否线性相关 . 解 令 1 1 2 2 3 3 0k x k x k x . 即 1 2 31 2 31 2 32 0 ,2 0 ,2 0 .k k kk k kk k k 解得 1230,0, 故1 2 3,x x 利用矩阵的秩判定向量组的线性相关性 定理 向量组12, , , m 是由 m 个 n 维列向量所组成的向量组，则向量组12, , , m 的线性相关性可由该向量组所构成的矩阵 12,(), 的秩来决定 3 . （ 1） 若 ()R A m , 12, , , m 是无关的 ; （ 2） 若 ()R A m ，那么12, , , m 就是相关的 . 定理 设 B 是阶梯型矩阵，矩阵 A 经过 一系列的行消法变换之后得到 B ，即 12. 那么 n 元向量组12, , , m 线性相关的充要条件是矩阵 B 中出现零行 . 推论 6 向量组12, , , m 线性无关的充要条件是矩阵 B 中不出现零行 . 对矩阵 行初等行变换化为阶梯型矩阵 B 的过程，实质上是对12, , , m 进行行向量的线性运算 中出现零行，那么12, , , m 中一定有某个向量能被其余的 1m 个向量线性表 示，即12, , , m 线性相关 B 中无零行，那么可知12, , , m 是线性无关的 . 例 6 判断向量组1 2 3( 1 , 3 , 4 , 6 , 2 ) , ( 2 , 4 , 5 , 3 , 2 ) , ( 4 , 6 , 7 , 8 , 3 ) 的相关性 . 解 将1 2 3, 以行排成矩阵，且经过一系列行消法变换，即 1231 3 4 6 2 1 3 4 6 22 4 5 3 2 0 2 2 9 24 6 7 8 3 0 0 3 1 1 1A . 由于矩阵 A 化为阶梯型之后没有出现零行，所以它们线性无关 . 例 7 设 1 2 4( 2 , 1 , 2 , 2 , 4 ) , ( 1 , 1 , 1 , 0 , 2 ) , ( 0 , 1 , 2 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 2 , 1 , 1 , 1 ) ，试判断它们的线性相关性并求它们的一个极大无关组 . 解 将 , 34 ， ， ，写成列向量，拼成一个矩阵，并进行初等行变换，将此矩阵化为阶梯型 . . 2 1 0 - 1 1 1 1 1 - 1 21 1 1 - 1 2 0 - 1 - 2 1 - 32 - 1 2 - 1 1 0 - 2 2 0 02 0 1 - 1 1 0 - 1 1 0 0- 4 2 - 1 1 1 0 2 1 - 1 31 1 1 - 1 2 1 1 1 - 1 20 1 - 1 0 0 0 1 - 1 0 00 0 3 1 - 3 0 0 3 1 - 30 0 - 3 1 - 3 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0所以 , 34 ， ， ，是线性相关的，从最后一个矩阵可以看出，1 2 3, 为向量组的一个极大无关组 . 本方法把对向量组相关性的判别方法转化为矩阵的初等行变换，简单易懂 的向量组进行判定，有很大的局限性 . 用行列式的值来判定向量组的线性相关性 定理 如果向量组12, , , n 是由 n 个 n 维列向量所组成的向量组，且向量组所构成的矩阵12,(), ，也就是说， A 为 n 阶方阵，那么 （ 1)若 0A ，则向量组12, , , n 是线性相关的； （ 2)若 0A ，则向量组12, , , n 是线性无关的 . 例 8 已知1 2 31 2 11 , 3 , 41 4 2 ,试讨论它们的线性相关性 . 证 明 由于 1 2 3,A 1 2 1 1 2 11 3 4 0 1 31 4 2 0 2 1 1 2 10 1 3 50 0 5 ， 所以1 2 3, 线性无关 . 行列式的值的判定性质实质上是根据克莱姆法则判定以向量组作为系数向量的齐次线性方程组是否有非零解，然后再对向量组的线性相关性作出判定 反证法 在有些题目中，直接的给出证明结论 往往比较困难，而从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知的定义，定理，公里相悖的结果，从而说明原结论成立 . 例 9 设向量组12, , , n 中任一向量不是它前面向量的线性组合，且1 0，证明向量组12, , , n 是线性无关的 . 证明 如果此向量组线性相关，则存在不全为 0 的 n 个数，使得 1 1 2 2 0k k . 假设 0,那么由上式可得 1121 2 1n k k . 即可由它前面 1n 个向量线性表示， 以 0 且 1 1 2 2 1 1 0k k . 同理可得 1 2 2 0k k ， 所以有110k ，所以1 0k ，即 12 0nk k k . 这与 相矛盾 利用线性变换的性质进行判定 引理 设 V 是数域 P 上的线性空间， 是 V 上的一个线性变换，12, , , n V ，若12, , , n 线性相关，则12( ) , ( ) , , ( )n 也是线性相关的 . 证明 由于12, , , n 线性相关，那么存在不全为 0 的数12, , , nk k 1 1 2 2 0k k . 由于 是 V 上的线性变换，那么有 1 1 2 2( ) 0k k . 即 1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0k k . 因此，12( ) , ( ) , , ( )n 是线性相关的 . 但是该定理反过来不一定成立 . 即12( ) , ( ) , , ( )n 线性相关，12, , , n 并不一定也是线性相关的 为零变换，假设12, , , n 是线性无关的，零变换把12, , , n 全部变成零向量，它们是线性相关的，从而满足该条件，但是12, , , n 是线性无关的 . 推论 设 V 是数域 P 上的线性空间， 是 V 上的一个线性变换，若12( ) , ( ) , , ( )n 是线性无关的，那么12, , , n 也是线性无关的 . 定理 设 V 是数域 P 上的线性空间， 是 V 上的一个线性变换，且 是V 中可逆的线性变换 ,线性空间 V 中的向量组12, , , n 线性相关的充要条件是它们的象12( ) , ( ) , , ( )n 线性相关 . 证明 ) 若12, , , n 线性相关，则存在不全为 0 的数12,nk k k，使得 1 1 2 2 0k k . 那么 1 2 21 ) ) ) 0( ( ( . 所以12) , ) ,( ,)(n 是线性 相关的 . ) 若 12) , ) ,( ,)(n 线性相关，则存在不全为 0 的数 12,nk k k ，使得 1 2 21 ) ) ) 0( ( ( ， 由于 是可逆的，那么有 1 1 2 2( ) 0k k ， 从而 1 1 2 2 0k k . 所以12, , , n 也是线性相关的 . 综上所述，该定理是成立的 . 运用弗朗斯基判别法进行判定 如果向量组是由函数组成的话该怎么判定呢？而弗朗斯基判别法主要是判定多项式的相关性的 . 定理 朗斯基判别法） 设 ( ) , ( ) , ( ) , ( )f x g x h x w x是 n 个 1n 次可导的函数，若 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( ) ( ) ( ) . . . ( )( ) ( ) ( ) . . . ( )0. . . . . . . . . . . . . .