《数学史》从刘徽到祖冲之.ppt

1、中国古代数学的发展,魏、晋时期出现的玄学，不为汉儒经学束缚，思想比较活跃；它诘辩求胜，又能运用逻辑思维，分析义理，这些都有利于数学从理论上加以提高。吴国赵爽注周髀算经，汉末魏初徐岳撰九章算术注，魏末晋初刘徽撰九章算术注、九章重差图都是出现在这个时期。赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。,刘徽,中国古代数学的发展,赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。他在周髀算经书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重要的数学文献。 在“勾股圆方图及注”中他提出用弦图证明勾股定理和解勾股形的五个公式；在“日高图及注”中，他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式，

2、赵爽的工作是带有开创性的，在中国古代数学发展中占有重要地位。,中国古代数学的发展,刘徽约与赵爽同时，他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些数学名词特别是重要的数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行“析理”，才能使数学著作简明严密，利于读者。 他的九章算术注不仅是对九章算术的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且在论述的过程中有很大的发展。刘徽创造割圆术，利用极限的思想证明圆的面积公式，并首次用理论的方法算得圆周率为 157/50和 3927/1250。,中国古代数学的发展,刘徽用无穷分割的方法证明了直角方锥与直角四面体的体积比恒为2:1，解决了一般立体体积的关键问题。在

3、证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时，刘徽为彻底解决球的体积提出了正确途径。,中国古代数学的发展,东晋以后，中国长期处于战争和南北分裂的状态。祖冲之父子的工作就是经济文化南移以后，南方数学发展的具有代表性的工作，他们在刘徽注九章算术的基础上，把传统数学大大向前推进了一步。他们的数学工作主要有：计算出圆周率在3.14159263.1415927之间；提出祖暅原理；提出二次与三次方程的解法等。,中国古代数学的发展,据推测，祖冲之在刘徽割圆术的基础上，算出圆内接正6144边形和正12288边形的面积，从而得到了这个结果。他又用新的方法得到圆周率两个分数值，即约率22/7和密率355/113。祖冲之这一

4、工作，使中国在圆周率计算方面，比西方领先约一千年之久；,中国古代数学的发展,祖冲之之子祖暅总结了刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的祖暅公理。祖暅应用这个公理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。,中国古代数学的发展,隋炀帝大兴土木，客观上促进了数学的发展。唐初王孝通的缉古算经，主要讨论土木工程中计算土方、工程分工、验收以及仓库和地窖的计算问题，反映了这个时期数学的情况。王孝通在不用数学符号的情况下，立出数字三次方程，不仅解决了当时社会的需要，也为后来天元术的建立打下基础。此外，对传统的勾股形解法，王孝通也是用数

5、字三次方程解决的。,中国古代数学的发展,唐初统治者继承隋制，656年在国子监设立算学馆，设有算学博士和助教，学生30人。由太史令李淳风等编纂注释算经十书，作为算学馆学生用的课本，明算科考试亦以这些算书为准。李淳风等编纂的算经十书，对保存数学经典著作、为数学研究提供文献资料方面是很有意义的。他们给周髀算经、九章算术以及海岛算经所作的注解，对读者是有帮助的。隋唐时期，由于历法的需要，天算学家创立了二次函数的内插法，丰富了中国古代数学的内容。,中国古代数学的发展,算筹是中国古代的主要计算工具，它具有简单、形象、具体等优点，但也存在布筹占用面积大，运筹速度加快时容易摆弄不正而造成错误等缺点，因此很早就

6、开始进行改革。其中太乙算、两仪算、三才算和珠算都是用珠的槽算盘，在技术上是重要的改革。 尤其是“珠算”，它继承了筹算五升十进与位值制的优点，又克服了筹算纵横记数与置筹不便的缺点，优越性十分明显。但由于当时乘除算法仍然不能在一个横列中进行。算珠还没有穿档，携带不方便，因此仍没有普遍应用。,中国古代数学的发展,唐中期以后，商业繁荣，数字计算增多，迫切要求改革计算方法，从新唐书等文献留下来的算书书目，可以看出这次算法改革主要是简化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算，它既适用于筹算，也适用于珠算。,3.2.1刘徽的数学成就,隋书“律历志”中提到“魏陈留王景元四年刘徽注九章”，由

7、此知道刘徽是公元3世纪魏晋时人，并于公元263年撰九章算术注。 九章算术注包含了刘徽本人的许多创造，完全可以看成是独立的著作，奠定了这位数学家在中国数学史上的不朽地位。,刘徽数学成就中最突出的是“割圆术”和体积理论 。,中国数学家刘徽,刘徽（约公元225年295年），汉族，山东临淄人，魏晋期间伟大的数学家，著有九章算术注和海岛算经等。刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生他虽然地位低下，但人格高尚他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。,九章算术注对数学方法的贡献 开始了其独特的推理论证的尝试。 “析理以辞，解体用图。” 创立了“出入相补”的方法，提出了“割圆术”

8、，上首次将极限概念用于近似计算；引入十进制小数的记法和负整数的知识；他试图建立球体积公式，虽然没有成功，但为后人提供了科学的方法；他对勾股测量问题的深入研究，在几何研究中，从少数几个原理出发，运用逻辑手段推导出结果的方法 。提出“审辨名分”，不但对自己提出的每一个新概念都给出界定九章算术注丰富了九章算术的数学成果，主要表现在算术、代数和几何诸方面。 诸如，割圆术与徽率“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”,中国数学家刘徽,九章算术约成书于东汉之初，共有246个问题的解法在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之

9、列， 但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法在几何方面，提出了割圆术，,古典数学的形成与发展时期,（1）割圆术 刘徽注九章算术方田章“圆田术”：“半周半径相乘得积步”，求圆面积时用圆周率为3。 “又按：为图，以六觚之一面乘半径，因而三之，得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面乘半径，因而六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”,

10、刘徽在割圆术中提出的割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣，这可视为中国古代极限观念的佳作,古典数学的形成与发展时期,古典数学的形成与发展时期,第一，设圆的半径为1尺，从圆内接正六边形出发，倍增正多边形的边数，直到正96边形，依次算出正多边形的周长和面积。 第二，由正48边形边长计算正96边形面积。 第三，找出与圆面积之间的关系，这种关系也称刘徽不等式。,割圆术的基本原理,设圆面积为So、半径为 r、圆内接正n边形边长为 In 、周长为 Ln、面积为 Sn 。将边数加倍后,得到圆内接正2n边形，其边长、周长、面积分别记为 l2n , L2n , S 2n 。 刘徽首先指

11、出，由 ln 及勾股定理可求出 l2n 其次知道了圆内接正n 边形的周长 Ln，又可求得正2n边形的面积，如果在圆内接n边形的每边上作一高为CD的矩形，就可以证明刘徽不等式： S2n So S2n + ( S2nSn ).,徽率,从圆内接正六边形出发，取半径r为1尺，一直计算到192边形，得出圆周率的近似值3.14，化成分数为157/50，这就是有名的“徽率”,古典数学的形成与发展时期,弧田术 刘徽注九章算术方田章“弧田术”：“以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。”,（二）体积理论,刘徽的面积、体积理论建立在一条简单而又基本的原理之上，这就是他所谓的“出入相补”原理：一个几何图形（平面的或立体的

12、）被分割成若干部分后，面积或体积的总和不变。,在平面的情形，刘徽成功地证明了九章算术中许多面积公式，但当他转向立体情形时，却发现“出入相补”的运用遇到了很大的困难。这里实质性的障碍在于：与平面情形不同，并不是任意两个体积相等的立体图形都可以剖分或拼补（也就是中国古代数学家所说的“出入相补”）相等。,“圭田”即等腰三角形 “今有圭田，广十二步，正纵二十一步。问：为田几何？“ 答曰：一百二十六步。 术曰：半广以乘正纵。 刘徽注：“半广者，以盈补虚为直田也。亦可半正纵以乘广。按半广乘纵，以取中平之数。故广纵相乘为积步。亩法除之，即得也。”,刘徽图解：,“邪田”，即直角梯形的面积： “今有邪田，一头广

13、三十步，一头广四十二步，正纵六十四步。问：为田几何？” 答曰：九亩一百四十四步。 术曰：并两邪而半之，以乘正纵若广。又可半正纵若广，以并，亩法而一。 即,刘徽根据出入相补原理的图解：,“箕田”即等腰梯形 “今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正纵三十步。问：为田几何？” 答曰：一亩一百三十五步。 术曰：并踵舌而半之，以乘正纵。亩法而一。 刘徽注：“中分箕田则为两邪田，故其术相似。又可并踵舌，半正纵以乘之”,他在推算九章算术中的一些立体体积公式时，灵活地使用了两种无限小方法：极限方法与 不可分量方法。,(1)阳马术。九章算术“商功章”阳马术给出阳马的体积公式为其三条直角边乘积的三分之一。,刘徽从一长

14、方体出发（见图）， 将它斜分成两个“壍堵”，然后再斜分壍堵得到两个立体图形，其中一个就是阳马，另一个是鳖臑。,术曰：“广袤相乘，以高乘之，三而一”,古典数学的形成与发展时期,刘徽常使用四种图形来求立体：立方、堑堵、阳马和鳖臑,古典数学的形成与发展时期,刘徽常使用四种图形来求立体：立方、堑堵、阳马和鳖臑 方台,古典数学的形成与发展时期,九章算术商功第 15 问 “今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺。问积几何。 答曰：九十三尺少半尺。 术曰：广袤相乘，以高乘之，三而一。” 刘徽注：“邪解立方得两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。合两鳖臑成一阳马，合三阳马而成 一立

15、方，故三而一。”,刘徽证明阳马体积与鳖臑体积之比为2：1,“牟合方盖”,在九章算术*开立圆术注中，他指出了球体积公式V=9D3/16(D为球直径)的不精确性，并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型,球体积 牟合方盖”是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。 牟合方盖的性质：牟合方盖的内切球就是立方体的内切球.,用同一水平面去截，得到一个圆和它的外切正方形（牟合方盖的截面）. 二者的关系是截面圆与其外切正方形的面积之比是 从而,刘徽在这里实际已用到了西方微积分史著作中所说的“卡瓦列利原理”，可惜没有将它总结为一般形式。牟合方盖的体积怎么求呢？刘徽终于未能解决。,刘徽虽然没有推证出球体积

16、公式， 但他所创用的特殊形式的不可分量方法，成为后来祖冲之父子在球体积问题上取得突破的先导。,刘徽九章算术注还有其他许多数学成果，特别是他在九章算术“勾股”章之后所加的一整篇文字，作为九章算术注第十卷，后来单独刊行，称为海岛算经。,重差术,在自撰海岛算经中，他提出了重差术，采用了重表、连索和累矩等测高测远方法。他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由两次测望，发展为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧洲在1516世纪才开始研究两次测望的问题。刘徽的工作，不仅对中国古代数学发展产生了深远影响，而且在世界数学吏上也确立了崇高的历史地位。鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少书上把他称作“中国数学史上的牛顿”

17、。,见下面：,海岛算经,（4）重差术和海岛算经 刘徽注释九章算术“勾股”章的最后，补充重差术的九个问题。 今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直。从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与末表参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合。问岛及去表各几何？,刘徽给出如下公式： 即,3.2.2 祖冲之与祖暅,祖冲之（公元429-500，如图）活跃于南朝宋、齐两代，出生于历法世家，本人做过南徐州（今镇江）从事史和公府参军，都是地位不高的小官，但他却成为历代为数很少能名列正史的数学家之一。,中国数学家祖冲之,祖冲之（ 公元429年公元500年）是我国杰出

18、的数学家，科学家。南北朝时期人，汉族人，字文远。生于宋文帝元嘉六年，卒于齐昏侯永元二年。祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县）。 为避战乱，祖冲之的祖父祖昌由河北迁至江南。祖昌曾任刘宋的“大匠卿”，掌管土木工程；祖冲之的父亲也在朝中做官。 祖冲之从小接受家传的科学知识。青年时进入华林学省，从事学术活动。一生先后任过南徐州（今镇江市）从事史、公府参军、娄县（今昆山市东北）令、谒者仆射、长水校尉等官职。其主要贡献在数学、天文历法和机械三方面。,中国数学家祖冲之,祖冲之，在世界数学史上第一次将圆周率（）值计算到小数点后七位，即3.1415926到3.1415927之间。他提出约率22/7和密率355/113

19、，这一密率值是世界上最早提出的，比欧洲早一千多年，所以有人主张叫它“祖率”也就是圆周率的祖先。 他将自己的数学研究成果汇集成一部著作，名为缀术，唐朝国学曾经将此书定为数学课本。他编制的大明历，第一次将“岁差”引进历法。提出在391年中设置144个闰月。推算出一回归年的长度为365.24281481日，误差只有50秒左右。,他不仅是一位杰出的数学家和天文学家，而且还是一位杰出的机械专家。重新造出早已失传的指南车、千里船等巧妙机械多种。此外，他对音乐也有研究。著作有释论语、释孝经、易义、老子义、庄子义及小说述异记等，但早已失传。,祖冲之星,1964年11月9日为了纪念祖冲之对我国和世界科学文化作出

20、的伟大贡献，紫金山天文台将1964年发现的，国际永久编号为1888的小行星命名为“祖冲之星”。,紫金山天文台,祖冲之、祖暅 （1）圆周率 祖冲之关于圆周率的贡献记载在隋书中，隋书律历志说：“祖冲之更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间”。 即圆周率数值的上下限： 密率，约率,祖冲之（429500） 与祖率,据随书律历志记载，祖冲之求得的值的取值范围为3.141592 3.1415927 .（并称为朒、盈数） 如果利用刘徽的割圆术得到上述结果，需要从正六边形起，连续的倍增正多边形的边数，至24576边形,（一

21、）祖氏原理与球体积,曾使刘徽绞尽脑汁的球体积问题，到祖冲之时代终于获得解决。这一成就被记录在九章算术“开立圆术”李淳风注中。,根据李淳风的注，祖暅球体积的推导继承了刘徽的路线，即从计算“牟合方盖”体积来突破。,取牟合方盖的八分之一，然后考虑它与它的外切正方体所围成的立体，并如图那样将它再剖分成三个小立体，将这三个小立体单画出来分别如图，。同时考虑一个以外切正方体上底面为底、以该正方体,一边为垂直边的倒方锥（图）。,祖暅推证的关键是以下的命题,命题：倒方锥的体积，等于三个小立体，的体积之和，因此也等于从外切正方体中挖去牟合方盖的部分即立体的体积： =+=,如果证明了命题，那么倒方锥的体积容易知道

22、是 （ 是正方体边长，也是内切球半径长）。于是牟合方盖八分之一的体积应为 ，整个牟合方盖体积为 。,根据刘徽已经证过的结果，应有下列关系：,祖暅原理与球体积公式,刘徽原理与“牟合方盖” 用水平截面去截球和“牟合方盖”，可知截面的面积之比恒为：4，于是由刘徽原理立即得到 V球:V牟=：4 即 V球= （/4） V牟。,“小方盖差” 与球体积公式,左图，小牟合方盖中，PQ是小牟合方盖被水平截平面得到正方形的一边，设为a，UQ是球半径r，UP是高h。根据勾股定理得a2 = r2 h2;这正是截平面PQRS的面积 中图，小方盖差在等高处的截面面积等于r2 a2 =h2， 右图，底边为r，高也是r的倒正

23、四棱锥，在等高处的截面面积也是h2,根据祖暅原理可知：小方盖差和倒立正四棱锥的体积相等。,设 则有 ，由勾股定理， ，故,但在高h 处倒方锥V 的截面积显然也等于 。,这就是说，在任一相同的高处立体I（注意在方体中已挖去牟合方盖部分）的截面积都与倒方锥V的截面积相等。,这时祖暅提出了一条原理说：“幂势既同，则积不容异”。应用这一原理，命题的证明不言而喻。,至于关键命题的证明，祖暅考察在高h 处的水平截面，如图所示容易看出：三个小立方体，的截面积 ASQP,CTQR 与BSQT合并在一起应等于正方体截面积ABCD 与牟合方盖部分的截面积PQRD之差，即,概言之，祖暅推导几何图形体积公式的方法是以

24、下列两条原理为基础：,（1）出入相补原理；,（2）祖氏原理：幂势既同，则积不容异。,祖氏原理在西方文献中称“卡瓦列利原理”，1635年意大利数学家卡瓦列利(B.Cavalieri)独立提出，对微积分的建立有重要影响。,刘徽和祖冲之父子的工作，思想是很深刻的，它们反映了魏晋南北朝时代中国古典数学中出现的论证倾向，以及这种倾向所达到的高度。祖冲之父子的方法都记载在缀术中。缀术在隋、唐时期曾与九章算术一起被列为官学教科书，但隋书律历志中已说：“学官莫能究其深奥”了！缀术于公元10世纪在中国本土完全失传。,中国数学家祖暅,祖冲之的儿子祖暅，也是一位杰出的数学家，他继承他父亲的研究，创立了球体体积的正确

25、算法。在天文方面，他也能继承父业。小时习学家传的学业，深入研究的十分精细，也有灵巧的心思。技艺达到神妙的境地，就是古代传说中的鲁班和倕（传说为舜时的巧匠）这样的巧匠也难以超过他。 他曾著天文录三十卷，天文录经要诀一卷，可惜这些书都失传了。他父亲制定的大明历，就是经他三次向梁朝政府建议，才被正式采用的。他还制造过记时用的漏壶造得很准确，并且作过一部漏刻经。,中国数学家祖暅,祖冲之与他的儿子祖暅一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算。他们当时采用的一条原理是：“幂势既同，则积不容异。”意即：位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相

26、等。 在西方被称为“卡瓦列利原理”，但这是在祖冲之以后一千多年才由意大利数学家卡瓦列利（Cavalieri）发现的。,祖暅之子祖皓,暅之子皓，志节慷慨，有文武才略。少传家业，善算历。大同中为江都令，后拜广陵太守（相当于现在的警备区司令）。祖皓在一次战争中失利而亡。南史记载：“城陷，皓见执，被缚射之，箭遍体，然后车裂以徇。城中无少长，皆埋而射之。 ” 又一位在数学上有天才、有才能的人才，白白为了皇家送了命。,注：祖冲之的孙子祖皓，也传家学，擅长历算。只可惜，南朝梁武帝末年降将侯景叛乱，到处烧杀掠夺，祖皓被杀，祖氏科学世家，被乱臣覆灭了。,苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。 -诸葛亮,生于乱世,3.

27、2.3算经十书,隋唐时期中国数学发展的两件大事是数学教育制度的建立和数学典籍的整理 。,7世纪初，隋代开始在国子监中设立“算学”，并“置博士、助教、学生等员”，这是中国封建教育中数学专科教育的肇端。唐代不仅沿袭了“算学制度”，而且还在科举考试中开设了数学科目，叫“明算科”，考试及第者也可做官，不过只授予最低官阶。,“算学”制度及明算开科都需要适用的教科书，唐高宗亲自下令对以前的十部数学著作进行注疏整理。受诏负责这项工作的是李淳风（约604-672），公元656年编成以后，成为国学的标准数学教科书，称“十部算经”或“算经十书”。这十部算经分别是：,周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、张邱建算

28、经、夏侯阳算经、五曹算经、五经算术、缀术和缉古算经。,其中缀术在唐、宋之交失传以后，宋代刊刻的算经十书中便以南北朝时期北周人甄鸾所著数术记遗来替补。甄鸾也是五曹算经、五经算术的作者。,（一）孙子算经与“物不知数”问题,孙子算经作者不详，大约是公元4世纪的作品，全书3卷，卷上有今天仅存的中国筹算法则的记载 。,孙子算经最著称于世的是卷下的“物不知数问题”： “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”,这相当于求解一次同余组,答曰：二十三 术曰：三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得凡三三数之剩

29、一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得”,孙子算经给出的答数是符合条件的最小正数解 ，“物不知数”题术文指示了解题方法，列成算式就是：,孙子算经还说明对任意余数 ，只要将算式中的2，3，2换成 ，并调整105的系数就行了。这是今天关于一次同余组一般解法的剩余定理的特殊形式。孙子问题引导了宋代秦九韶求解一次同余组的一般算法-“大衍求一术”。现代文献中往往把求解一次同余组的剩余定理称为“中国剩余定理”，或直称“孙子定理”。,古典数学的形成与发展时期,明代程大位算法统宗 三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。 七子团圆正月半，除百零五便得知。 宋代周密志雅堂杂钞卷下“鬼谷算”

30、 三岁孩儿七十稀，五留廿一事尤奇。 七度上元重相会，寒食清明便可知。,孙子算经 孙子算经全书共3卷，其中的算题趣味性较强，著名的“雉兔同笼”、“兽禽同笼”、“望九隄”等问题。 “雉兔同笼”问题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？,孙子算经卷下第26题，“物不知数”问题 今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ “三、三数之剩二，置一百四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十。并之，得二百三十三。以二百一十减之，即得。凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数之剩一，则置二十一；七、七数之剩一，则置十五。一百六以上，以一百五减之，即得。”

31、 孙子算经给出解答是：,（二）张邱建算经和“百鸡问题”,张邱建算经三卷，据考大约成书于公元466485年间，作者张邱建是北魏时人张邱建算经卷下最后一题通常称“百鸡问题”：,“今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一凡百钱买鸡百只问鸡翁、母、雏各几何?”,张邱建算经 张邱建算经是南北朝时期的一部数学著作，成书时间大约在466485年间，作者是北魏人。 张邱建算经分上、中、下三卷，其中所列的题目，大部分都是现实的实际问题。这部著作在中国数学史上居有一定的地位，有些题目和解法超出了九章算术的范围。,此题相当于解不定方程组：,张邱建给出所有可能的正整数解:,(三)缉古算经与三次方程,缉古算经是十部算经中年代最晚的一部，作者王孝通是唐初人，缉古算经也是一本实用问题集，用“开带从立方法”解决工程问题，“开带从立方法”就是求三次方程正根的数值解法，书中给出了28个形如,的正系数方程及其正有理根，但没有解