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文档简介

1、数学归纳法是用来证明某些与 有关的数学命题的 一种方法 基本步骤: 证明:当 时,命题成立; 假设 时命题成立, 证明:当 时,命题成立 根据可以断定命题对一切正整数nn0都成立,数学归纳法部分,1数学归纳法,正整数,2数学归纳法证明步骤,nn0,nk (k n0),nk1,1.说明:归纳法是一种推理方法,数学归纳法是一种证明方法归纳法帮助我们提出猜想,而数学归纳法的作用是证明猜想“观察猜想证明”是解答与正整数有关命题的有效途径,利用数学归纳法证明的命题范围比较广泛,可以涵盖代数、三角恒等式、不等式、数列、几何问题、整除性问题等等,所涉及的题型主要有以下几个方面: (1)已知数列的递推公式,求

2、通项或前n项和; (2)由一些恒等式、不等式改编的探究性问题,求使命题成立的参数的值或范围; (3)猜想并证明对正整数n都成立的一般性命题,2.数学归纳法的主要应用,(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题 (2)在用数学归纳法证明中,两个基本步骤缺一不可,3应用数学归纳法的注意事项,【例1】 用数学归纳法证明:1427310n(3n 1)n(n1)2(其中nN) ,题型一恒等式问题,(1)当n1时,左边144,右边1224,左边右边,等式成立 (2)假设当nk(kN,k1)时等式成立,即1427310k(3k1)k(k1)2, 那么,当nk1时, 1427310k(3k1)(k1)

3、3(k1)1 k(k1)2(k1)3(k1)1(k1)(k24k4)(k1)(k1)12, 即当nk1时等式也成立 根据(1)和(2),可知等式对任何nN都成立,证明,用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时,关键在于“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关,由nk到nk1时,等式两边会增加多少项难点在于寻找nk时和nk1时的等式的联系,【例2】 几个半圆的圆心在同一条直线l上,这几个半圆每两个 都相交,且都在直线l的同侧,求证这些半圆被所有的交点 最多分成的圆弧段数为f(n)n2.(n2,nN),题型二几何问题,用数学归纳法证明几何问题的关键是“找

4、项”,即几何元素从k个变成k1个时,所证的几何量将增加多少,这需用到几何知识或借助于几何图形来分析,实在分析不出来的情况下,将nk1和nk分别代入所证的式子,然后作差,即可求出增加量,然后只需稍加说明即可,这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧,题型三不等式问题,【例4】 (12分)在数列an,bn中,a12,b14,且an, bn,an1成等差数列,bn,an1,bn1成等比数列(nN) 求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测an,bn的通项公 式,并证明你的结论 归纳猜想证明是高考重点考查的内容之一, 此类问题可分为归纳性问题和存在性问题,本例中归纳性问 题需要从特殊情况入手,通

5、过观察、分析、归纳、猜想,探 索出一般规律,题型四“归纳、猜想、证明”问题,审题指导,【题后反思】 对于已知递推公式求通项公式,可以把递推公式变形转化成我们熟悉的知识来解决,当用上述方法不能解决问题时,常用归纳、猜想和证明的方法来解决问题,用该法要求计算准确,归纳、猜想正确然后用数学归纳法证明猜想对任何自然数都成立,【训练4】 设数列an满足an1an2nan1,n1,2,3, (1)当a12时,求a2,a3,a4,并由此猜想出an的一个通项 公式; (2)当a13时,证明对所有的n1,有ann2. (3)在(2)的前提下,证明:,(2)证明当n1时,a1312,不等式成立 假设当nk(k1)

6、时不等式成立,即akk2, 那么,ak1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3. 即nk1时,ak1(k1)2. 由可知,对n1,都有ann2. (3)证明(略)学生证自己证,【示例】 当n为正奇数时,7n1能否被8整除?若能,用数学归 纳法证明;若不能,请举出反例 错解 (1)当n1时,718能被8整除命题成立 (2)假设当nk时命题成立,即7k1能被8整除则当nk1 时,7k117(7k1)6不能被8整除 由(1)和(2)知,n为正奇数时,7n1不能被8整除,题型五 整除问题,不要机械套用数学归纳法中的两个步骤,而忽略了n是正奇数的条件证明前要看准已知条件 正解 (1)当n1时,718能被8整除,命题成立; (2)假设当nk时命题成立,即7k1能被8整除, 则当nk2时,7k2172(7k1)17249(7k1)48,因为7k1能被8整除,且48能被8整除,所以7k21能被8整除所以当nk2时命题成立由(

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