圆（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练九年级数学（人教版）

第24章圆（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练

【基础】

一、单选题

1.（2022・浙江台州•九年级期末）用直角尺检查某圆弧形工件，根据下列检查的结果，能判

断该工件一定是半圆的是］）.

【答案】B

【分析】根据90。所对的圆周角所对的弦是直径进行判断.

【详解】解：因为90。所对的圆周角所对的弦是直径，所以选项B中的圆弧为半圆，

故选：B.

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于

这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90。所对的圆周角所对

的弦是直径，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

2.（2022・山东•陵城区教学研究室一模）如图，以正方形A8CQ的边AO为直径作一个半圆,

点M是半圆上一个动点，分别以线段AM、0M为边各自向外作一个正方形，其面积分别为

S/和S2,若正方形的面积为10,随点M的运动S/+S2的值（）

A.大于10B.小于10C.等于10D.不确定

【答案】C

【分析】根据题意44例。=90。，可得.AA/D为直角三角形，由勾股定理可知

AM2+DM2=AD\即S+SLIO.

【详解】解：・・・AD是直径,

AZAMD=90°,

，一AMD为直角三角形.

由勾股定理可知4"2+/加2=A£）2,

即S]+$2=10.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理和勾股定理的应用，解题的关键是理解随着点M的运

动NAM力=90。，符合勾股定理.

3.（2022・江苏•九年级专题练习）轮船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定轮船是

否会遇到暗礁.如图.4B表示灯塔,暗碓分布在经过4A两点的2。内。表示一个危

险临界点，ZACB=70%轮船户与两个灯塔的夹角为N。，保证轮船航行不触礁的Na可

以是（）

A.66°B.75°C.80°D.85°

【答案】A

【分析】根据题意，要使不触礁则NavNACB,即可判断；

【详解】解：根据圆的性质NAE8=NACB=70°

,/ZAEB=4PBE+4a=70°

••・NavZAEB

，Za<70°

故选：A

【点睛】本题主要考查圆为性质，掌握圆的性质并灵活应用是解题的关键.

4.（2022•山西晋中•二模）在数学探究课上，小明在探究圆周角和圆心角之间的数量关系时，

按照圆周角与圆心的不同位置关系作出了如下图所示三个图进行探究小明的上述探究.过程

体现的数学思想是（）

AB

BAB

A.公理化思想B.分类讨论思想C.转化思想D.建模思想

【答案】B

【分析】根据分类讨论思想的含义进行判断即可.

【详解】解：在探究圆周角与圆心角的数量关系时，因不确定圆周角与圆心角的位置关系是

否会影响结论，故对每种位置关系分别进行研究，这种数学思想是分类讨论思想.

故选：B.

【点睛】本题考查对数学思想的理解，分类讨论思想是指将原问题转化为若干个小问题来解

决，通过研究其在不同情况下的结论，得出原问题的结论.

5.（2022♦江苏苏州•九年级阶段练习）下列说法正确的是（）

A.直径是圆中最长的弦，有4条

B.长度相等的弧是等弧

C.如果/的周长是8周长的4倍，那么A的面积是：8面积的8倍

D.已知O的半径为8,A为平面内的一点，且。4=8,那么点4在（O上

【答案】D

【分析】根据圆的相关概念解答即可.

【详解】解：A.直径是圆中最长的弦，有无数条，故该选项不符合题意；

B.在同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，故该选项不符合题意；

C.如果：，4的周长是，8周长的4倍，那么B的面积是；8面积的16倍，故该选项不符合题

忠；

D.已知O的半径为8,A为平面内的一点，且04=8,那么点A在（O上，故该选项符合题

意.

故选：D.

【点睛】本题考查了圆的认识，熟练掌握圆的相关概念是解答本题的关键.

6.（2022・四川宜宾・八年级期末）用反证法证明“在△ABC中，AB=c,BC=a,CA=b,ZC>

NB>NA且NCW90。，那么标+/女乙”应先假设（）

A./+/=/B.C.D.或/+

【答案】A

【分析】根据反证法的第•步是假设结论的反面成立，即可求解.

【详解】解：根据题意得：应先假设/+/=，.

故选:A.

【点睛】本题主要考查了反证法，熟练掌握反证法的第一步是假设结论的反面成江是解题的

关键.

7.（2022・浙江•翠苑中学八年级期中）用反证法证明：“多边形的内角中锐角的个数最多有3

个”时，应假设（）

A.多边形的内角中锐角的个数最少有4个B.多边形的内角中锐角的个数最少有3个

C.多边形的内角中锐角的个数最少有2个D.多边形的内角中锐角的个数最多有2个

【答案】A

【分析】用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与条件相反的假设即可

【详解】解：用反证法证明“多边形的内角中锐知的个数最多有3个附，应假设多边形的内

角中锐角的个数最少有4个，

故选：A.

【点睛】本题考查的足反i正法的应用，解题的关键足要值得反证法的意义及步骤.在假设结

论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定•种就可以

了，如果有多种情况，则必须一一否定.

8.（2022•山西晋中•八年级期中）在证明“三角形中必有一个内角小于或等于60”时先假设每

一个内角都大于60,然后，…，这种证明方法是（）

A.综合法B.举反例法C.数学归纳法D.反证法

【答案】D

【分析】根据反证法的定义进行回答即可.

【详解】解:在证明“三角形中必有一个内角小于或等于60”时先假设每一个内角都大于60，

然后，…，这种证明方法是反证法.

故选：D.

【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.反证法的

步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立.在

假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有•种，那么否定•种就

可以了，如果有多种情况，则必须一一否定.

9.（2022・贵州贵阳•八年级期末）对于命题“若V=25,则x=5"，小江举了一个反例来说明

它是假命题，则小江选择的x值是（）

A.x=25B.x=5C.x=10D.x=-5

【答案】D

【分析】当x=-5时，满足f=25,但不能得到x=5,于是x=-5可作为说明命题“若/=

25,则x=5”是假命题的一个反例.

【详解】解：说明命题“茬f=25,则x=5”是假命题的一个反例可以是x=-5,故D正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题

设和结论两部分组成，题设是己知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成

“如果…那么…”形式.有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.任何一

个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命

题，只需举出一个反例即可.

10.（2022・江苏•九年级专题练习）下列命题正确的是（）

A.两点之间，直线最短

B.正六边形的外角和大于正五边形的外角和

C.不在同一条直线上的三个点确定一个圆

D.一个图形和它经过平移所得到的图形中，对应线段平行且相等

【答案】C

【分析】利用线段的性质，多边形的外角和定理.，确定一个圆的条件，平移的性质等知识进

行判断后即可确定正确的选项.

【详解】解：A.两点之间，线段最短，故选项错误，不符合题意；

B.多边形的外角和是360。，故选项错误，不符合题意；

C.不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故选项正确，符合题意：

D.一个图形和它经过平移所得到的图形中，时应线段平行或者在同一条直线上，并且相等,

故选项错误，不符合题意.

故选：C.

【点睛】命题是表示判断的语句，判断正确的命题是真命题，判断错误的命题是假命题，熟

练掌握所学知识是进行正确判断的基础.

11.（2022•山西晋中•二模）公元263年，我国数学家利用“割圆术”计算圆周率.割圆术的基

本思想是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.随

后，公元480年左右，我国另一位数学家又进一步得到圆周率精确到小数点后7位，由此可

知，这两位数学家依次为（）

A.刘徽，祖冲之B.祖冲之，刘徽C.杨辉，祖冲之D.秦九韶，杨辉

【答案】A

【分析】掌握割圆术和圆周率的发明过程是解题的关键.

【详解】解：3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创曲圆术，为计算圆周率建立了严密的

理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.圆

周率不是某一个人发明的,而是在历史的进程中，不同的数学家经过无数次的演算得出的.古

希腊大数学家阿基米德（公元前287-212年）开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的

先河.公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果,

给出不足近似值3.1415926和过剩近似值31415927,还得到两个近似分数值.

故选：A.

【点睛】本题考行了割圆术和圆周率的发明过程和发明人，熟练掌握割圆术和圆周率的发明

过程是解题的关键.

12.（2022・江苏•九年级专题练习）我国魏晋时期的数学家刘徽发现在圆的内接正多边形边数

加倍的过程中，“割之弥细，所失弥少，割之乂割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所

失矣”，即当圆的内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，他首创

了利用圆的内接正多边形确定圆周率.这种确定圆周率的方法称为（）

A.正负术B.方程术C.割圆术D.天元术

【答案】C

【分析】根据我国利用“船圆术”求圆周率的近似值解答即可.

【详解】解：由题意可知：利用圆的内接正多边形确定圆周率.这种确定圆周率的方法称为

“割圆术”.

故选：C.

【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是了解我国古代用“割圆术”求圆周率的近似值,

即在一个圆中，它的内接上多边形的边数越多，正多边形就越像圆，它的周长和面积就更接

近圆的周长和面积.

13.（2022•山东荷泽•七年级期末）下列说法，其中正确的有（）

①过圆心的线段是直径

②圆上的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形

③大于半圆的弧叫做劣弧

④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据圆的有关概念进项分析即可.

【详解】解：①过圆心的弦是直径，故该项错误；

②由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条半径组成的图形叫做扇形，故该项正确；

③小于半圆的弧叫做劣弧，故该项错误；

④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆，故该项正确.

故选：B.

【点睛】本题考查了圆的认识，熟练掌握圆的相关概念是解题的关键.

二、填空题

14.（2022•黑龙江哈尔滨•期木）运动场上的环形跑道的跑道宽都是相同的，若一条跑道的两

【分析】设运动场上的小环半径为，・米，大环半径为R米，再根据圆的周长公式计算即可.

【详解】解：设运动场上的小环半径为，米，大环半径半径为R米，根据题意得：

、12

2兀（/?-r）=­n,

解得：R-r=g,

J

即跑道的宽度为5米.

故答案为：

【点睛】本题考查了圆的周长公式，熟练掌握圆周长的计算公式是解题的关键.

15.（2022・全国•九年级专题练习）小于半圆的弧（如图中的）叫做；大于半

圆的孤（用三个字母表示，如图中的）叫做.

【答案】AC（或8C）劣弧ABC（或5AC）优弧

【分析】根据劣弧和优弧的定义即可直接填空.

【详解】小于半圆的弧（如图中的AC（或8C））叫做劣弧；大于半圆的弧（用三个字母表

示，如图中的A8C（或3AC））叫做优弧.

故答案为：AC（或BC），劣弧；ABC（或8AC），优弧.

【点睛】本题考查找出圆中的优弧和劣弧及优弧和劣弧的定义.掌握优弧和劣弧的定义是解

答本题的关键.

16.（2022・全国•九年级专题练习）如图，在0。中，半径有,直径有,弦

有,劣弧有,优弧有.

【答案】OA,OB,OC,ODABAB，BCAC，BC，BD，CD，ADADC

BAC>BAD>ACD，DAC

【分析】根据圆的基本概念，即可求解.

【详解】解：在。中，半径有OB,OC,OD；直径有人4；弦有人B,BC；劣弧

有AC，BC，BD，CD,AO；优弧有AOC，BAC•BAD，AC。，DAC：

故答案为：OA,OB,OC,OO：AB；AB,BC；AC，BC，BD，CO，AD；ADC

BAC»BAD，ACDfDAC-

【点睛】本题主要考查了圆的基本概念，熟练掌握圆的光径、直径、弦、弧的概念是解题的

关键.

17.（2022•江苏•九年级专即练习）为了给同学庆祝生日，小明自己动手用扇形纸片制作了一

顶圆锥形生日帽，生日帽的底面圆半径，•为7c〃?，高〃为240〃，则该扇形纸片的面积为

cm2.

【答案】175万

【分析】先根据勾咬定理求出圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面展开图是扇形，利用圆锥的

侧面积=底面周长x母线长-2,列式计算即可.

【详解】解：生日帽的底面圆半径「为7a7?,高力为24的，

，圆锥的母线长为37?+24?=25（。??），

:底面圆半径，•为7c机，

底面周长为14^（777,

，该扇形纸片的面积为：卜14"25=175〃（。储）.

故答案为：175%.

【点睛】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解.正确理解圆锥

的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半

径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.

18.（2022.江苏.九年级专题练习）第卜四屈全运会在陕西西安开幕，九年级（2）班李明同

学利用扇形彩色纸，制作了一个圆锥形火炬模型，如图是火炬模型的侧面展开图（接痕忽略

不计），已知扇形彩色纸的半径为45cm,圆心角为40。，则这个圆锥的侧面积cnf.（结

果保留冗）

【答案】2257c

【分析】先根据扇形的面积公式计算出扇形的面积=225j然后得到圆锥的侧面积.

【详解】解：•・•扇形的面积=也±=225乃（cm）

360

・••圆锥的侧面积为225瓦城,

故答案为：2257r.

【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底

面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.

9（2022・山东•临沂市河东区教育科学研究与发展中心二模）2300多年前，我国古代名著

《墨经》中有这样的记载：“圆，一中同长也.”因此，古代就知道把车轮设计成圆形，如果

车轮是正方形，将边长为1米的正方形滚动一周，那么正方形中心的轨迹长为米.

【答案】岳

【分析】由图可知，正方形旋转一周需经历4个相同的过程，中心旋转的过程正好为一个圆

的周长，求得即可.

【详解】如图，正方形旋转一周需经历4个相同的过程，中心的轨迹为圆心角90。的扇形，

4个过程正好围成一个圆，

•・•正方形边长为1,BPAB=1,

•s友-2^2

••AO=—AB=—分

22

正方形中心的轨迹为：C=2九・4。=2万x吏^=&不，

2

故答案为：丘兀.

【点睛】本题考查了扇形的弧长的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是正确找出中心

的运动轨迹.

20.（2022•河南省实验中学一模）如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年

雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间.掷铁饼者张

开的双臂与肩宽可以近似看成一张拉满弦的弓，弧长约为:几米，“弓”所在的圆的半径约L25

O

米，贝广弓”所对的圆心角度数为.

【答案】90。##90度

【分析】由/二怒，直接代入数据进行计算即可.

1o()

【详解】解：如图，由题意得：1K二兀,QK=QS=L25,

AS8

Q

设？KQS几

〃/rxl.255

------=一冗、

180-8

解得：〃二90?,

故答案为：90。

【点睛】本题考查的是已知弧长与半径求解弧所对的圆心角，熟记弧长公式是解本题的关键.

21.(2022.北京西城.九年级期末)如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形.若

制作一个圆心角为160。的圆弧形窗帘轨道(如图2)需用此材料800/rmm,则此圆弧所在圆

的半径为mm.

1G

fjgX4…q-B

图1图2

【答案】900

【分析】由弧长公式/二富得到R的方程，解方程即可.

【详解】解：根据题意得，800万二与萨，解得，R=900(mm).

答：这段圆弧所在圆的半径R是900mm.

故答案是:900.

【点睛】本题考查了弧长的计算公式：嘿,其中/表示弧长,

1=〃表示弧所对的圆心角的

1o(J

度数.

三、解答题

22.（2022•黑龙江大庆•期末）如图，三角形4。4是直角三角形，其中。为圆心.已知三角

形A08面积是10cm2,求圆形面积.

A

20^cm2

【分析】由图形可知△人。〃是等腰直角三角形，根据三角形面积为10,可求半径，由此可

求圆的面积.

【详解】解：•・•04=08

•••△AO8是等腰直角三角形

AOA2=20

・•・圆的面积为

7T-OA2

=20万

答：圆的面积是207van2

【点睛】本题主要考查三曲形的面积公式，圆的面积公式等内容，题目比较简单，由图形得

出是等腰直角三角形是解题关键.

23.（2022・全国•八年级课前预习）观察下图，左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大？请

你先观察，再用直尺验证一卜.

【答案】一样大

【解析】略

24.（2022・全国•九年级专题练习）观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周

角？

【答案】特征见解析，©图中N3、/4、/84D是圆周角

【详解】解：（a）Nl顶点在。。内，两边与圆相交，所以NI不是圆周角；

9）/2顶点在圆外，两边与圆相交，所以N2不是圆周角；

（c）图中N3、N4、N8A。的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以/3、/4、N84。是圆

周角.

（J）N5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以N5不是圆周角；

（e）N6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知N6不是圆周角.

【点睛】本题主要考查了国周角的定义，熟练掌握顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫

做圆周角是解题的关犍.

【常考】

一.选择题（共9小题）

I.（2022•吉林）如图，在△ABC中，N4CB=90°,AB=5,BC=4.以点4为圆心，「为

半径作圆，当点。在。A内且点B在。4外时，,•的值可能是（）

【分析】由勾股定理求出AC的长度，再由点C在0A内且点B在OA外求解.

【解答】解：在中，由勾股定理得4。=4人屋-8,2=3,

•・•点。在04内且点B在。A外，

/.3<r<5,

故选：C.

【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题关键是掌握勾股定理.

2.（2022•鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如

图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°,将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有

图(1)所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求.图(2)是过球心及A、B、

E三点的截面示意图，已知。。的直径就是铁球的直径，A8是。。的弦，C。切于点E,

ACLCD.BDLCD,若CO=16c〃?，AC=BD=4cm,则这种铁球的直径为()

A.10。〃B.15cmC.20cmD.24cm

【分析】连接OE,交A8于点F,连接OA,・・,4C_LCD、BD±CD,由矩形的判断方法得

出四边形4cOA是矩形，得出A8〃CO,AB=CD=\6cm,由切线的性质得出OEJLC/),得

出0E_LA8,得出四边形E/由。是矩形，AF=^AB=lx16=8(cm),进而得出EF=BD

22

=4cm,设。。的半径为5m则。4=rc〃，OF=OE-EF=(r-4)cm,由勾股定理得出

方程/=8?+(r-4)2,解方程即可求出半径，继而求出这种铁球的直径.

【解答】解：如图，连接OE,交AB于点F,连接。人，

口

AC.LCD.BD上CD,

：.AC//BD,

'：AC=BD=4cm,

，四边形ACQ8是平行四边形，

，四边形ACOB是矩形，

：.AB//CD,AB=CD=\tcm,

•••CO切。。于点E,

：.OE±CD,

：.OELAB,

•I四边形EFBQ是矩形，A/=占8=-lx16=8(cm),

22

:・EF=BD=4cm,

设。。的半径为ra〃，则。4=rc〃?，OF=OE-EF=(r-4)cm,

在RtAAOF,OA2=AF2+OF2,

/./2=82+(r-4)2,

解得：r=10,

・••这种铁球的直径为20c〃?，

故选：C.

【点评】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，掌握矩形的判定与性质，平行四边

形的判定与性质，切线的性质，垂径定理，勾股定理是解决问题的关键.

3.（2022•十堰）如图，0。是等边△人8c的外接圆，点。是弧4c上一动点（不与A,C

重合），下列结论：①/ADE=NBDC；®DA=DC；③当OB最长时，DB=2DC；®DA+DC

=DB,其中一定正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】由△ABC是等边三角形，及同弧所对圆周角相等可得即可判断

①正确；由点D是弧AC上一动点，可判断②错误；根据。B最长时，为。。直径，可

判定③正确；在上取•点石，使可得是等边三角形，从而AABE刍乙

ACD（SAS）,有BE=CD,可判断④正确.

【解答】解：:△ABC是等边三角形，

：.ZBAC=ZACB=60o,

,・•标=标,BC=BC»

，NAO8=NAC8=60°,NBDC=NBAC=60°,

AZADB=ZI3DC,故①正确；

•・•点。是弧AC上一动点，

・•・日与而不一定相等，

・・・。4与DC不一定相等，故②错误;

当。6最长时，DB为直径,

••・NBCQ=90°,

VZBDC=60°,

/.ZDBC=3O0,

:.DB=2DC,故③正确；

在03上取一点E,使DE=A。，如图:

A

D

E

VZADB=60°,

•••△AOE是等边三角形，

：,AD=AE,ZDAE=60°,

VZBAC=60°,

：.ZBAE=ZCAD,

•・・A8=AC,

A/XABE^^ACD(SAS)，

:,BE=CD,

/.BD=BE+DE=CD+AD,故④正确；

・•・正确的有①③④，共3个，

故选：C.

【点评】本题考查等边三甭形及外接圆，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是作辅

助线.构造二角形全等解决问题.

4.(2022•蓝田县一模)如图，A/T为。0的直径，43=4,&CD=2®则劣弧向的长为

42

【分析】连接OC，OD,证明NCOD=90°,可得结论.

【解答】解：连接OC,0D.

火

A2°\、、

D

♦：0C=0DD=2,CQ=2&,

：,OC2+OD1=CD2,

：.ZCOD=90°，

...赤的长=9°兀><2=%

180

故选：C.

【点评】本题考查弧长公式，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是证明/。。。=90°.

5.（2022•碑林区校级二模）如图，等边AABC的三个顶点都在。。上，4。是。0的直径,

若OA=3,则劣弧前的长是（）

22

【分析】连接。8、BD,由等边△ABC,可得NO=NC=60°,且OB=。。，故△BOO是

等边三角形，/4。。=60°,又半径04=3,根据弧长公式即可得劣弧8。的长.

【解答】解：连接OB、BD,如图：

:△ABC为等边三角形,

AZC=60°,

/.ZD=ZC=60°,

♦：OB=OD,

•••△80。是等边三角形，

・・・/8。。=60°,

;半径04=3,

・,・劣弧BD的长为60兀义3=n,

180

故选:B.

【点评】本题考查等边三角形及圆的弧长，解题的关键是掌握弧长公式并能熟练应用.

6.（2022•海勃湾区校级一模）如图所示，边长为1的正方形网格中，。，A,8,C,。是

网格线交点，若标与而所在圆的圆心都为点O,那么阴影部分的面积为（）

A.nB.2nC.S兀与D.2Ti-2

2

【分析】根据图形得出△4OC、△OBC、△08。都是等腰直角三角形，根据勾股定理求出

0C,再分别求出扇形C0E,扇形。正，扇形E。。和AOB。的面积即可.

【解答】解：VAC=AO=2,ZCAO=90°,

，NAOC=/ACO=45°,

同理/BCO=NCOB=45',0B=BC=BD=2,

由勾股定理得：0。=旧彳=2\历，

，阴影部分的面积S=（5域形co?・S塌形尸。8）+（S域形£0。・S&OBD）

2

-r45KX（2V2）_45兀X2245兀X（8何产一上］

3603603602乙乙

=11--兀+1T-2

2

=121.2,

2

故选：C.

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积和扇形的面积计算等知识点，能

把求不规则图形的面枳转化成求规则图形的面积是解此题的关键.

7.（2022•遵义模拟）如图，在RlABAC中，N8AC=90°,ZB=30°,人8=3,以/①边

上一点。为圆心作。0,恰与边AC,BC分别相切于点3D,则阴影部分的面积为（）

A.V3-B._C.22LD.273

323233

【分析】根据直角三角形的性质得到4c=«,ZC=6D°,根据切线的性质得到CD=AC

=V3»NQ4C=NOOC=90°,求得他，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结

论.

【解答】解：在RtZ^AC中，ZBAC=90a,ZB=3O°,AB=3,

:・AC=M，ZC=60°,

•/AC,AC分别相切于点A,D,

：.3=AC=近,NOAC=NOOC=90°,

・・・NAOD=360°-90°-90°-60°=120°,BC=2AC=243,

:,BD=M，

・・・NODB=90°,

：.OB=2OD=2OA,

：,3OA=AB=3,

・・・OA=1,

2

・•・阴影部分的面积=5必尤-SAODB-S隔形AOD=2X3XA/3-AXIXV3-120•兀X1

22360

=V3-—>

3

故选：A.

【点评】本题考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，扇形和三角形的面积的

计算，熟练掌握切线的性质是解题的关键.

8.（2022•高青县一模）如图，在圆中半径弦A8,且弦AB=C0=2,则图中阴影部分

面积为（）

【分析】连接04,0B，求出aAOB和△ACB的面积相等，得出阴影部分的面积=扇形AO8

的面积，再求出扇形AOB的面积即可.

【解答】解：连接OA,0B,

'：OC//AB,AB=AB,

•••△OAB的面枳=Z\C48的面积（等底等高的三角形的面积相等）,

VAB=OC=2,

：,OA=OB=AB=2,

・•・△048是等边三角形，

・・・N4OB=60°,

，阴影部分的面积S=S蒯"。8=§°兀X22.=2如

故选：C.

【点评】本题考查了三角形的面积和扇形的面积计算，能把求不规则图形的面积转化成求规

则图形的面积是解此题的关键.

9.（2022•新洲区模拟）如图.点。为△八的内心,N八=60°,Off=2.9c=4,则△

OBC的面积是（）

B

A.473B.2>/3

【分析】过点C作C〃J_80的延长线于点“，根据点。为△4BC的内心，NA=60°,可

得N8OC=180°-NOBC-NOCB=90°+-^/A=120°,所以NCOH=60°,利用含30

度角的直角三角形可得CH的长，进而可得aOBC的面积.

【解答】解：如图，过点C作C”J_30的延长线于点儿

BC

•・•点。为△ABC的内心,ZA=60°,

AZBOC=180°-NOBC-NOCB=900+£/A=12Q°,

•••NCO”=60°,

•：OB=2,OC=4,

/.OH=2

:,CH=2M，

:.XOBC的面枳=工XO8・CH=L><2X2«=2点.

22

故选：B.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握三角

形的内心定义.

二.填空题（共9小题）

10.（2022•包头模拟）三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程*-I2x+35=O的根，

则该三角形外接圆的半径为1.

一2一

【分析】先解方程，根据三角形的三边关系可知x=5,由勾股定理的逆定理可得三角形是

直角三角形，所以其斜边就是外接圆的直径.

【解答】解：方程7-12x+35=0,

分解因式得：（x-5）（x-7）=0,

可得X-5=0或x-7=0,

解得：x=5或x=7,

三角形第三边的长是方程.』-12x+35=0的根，

・••第三边的长为5或7,

当第三边长为5时，

V3+4>5；

当第三边长为7时，3+4=7,不能构成三角形，舍去，

••・第三边为5,

V32+42=52,

・••三角形是直角三角形，

此三角形的外接圆的直径为最大边5,

则此三角形的外接圆半径为区，

2

故答案为：1.

2

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、利用因式分解法解一元二次方程，明确直角三

角形的斜边是外接圆的直径，其斜边的中点即是外接圆的圆心是解决问题的关键.

11.（2022•长安区模拟）小刚要在边长为10的正方形内设计一个有共同中心O的正多边形，

使其边长最大且能在正方形内自由旋转.如图1，若这个正多边形为正六边形，此时E/=

5_:若这个正多边形为正三角形，如图2,当正△"G可以绕着点。在正方形内自由旋转

时，EF的取值范围为OVMW5p.

图1图2

【分析】如图I,连接OE,OF,77,作正方形ABC。的内切圆O,根据等边三角形的性质

得到EF=OF,由作图可得，。。的直径=10,即F/=10,于是得到。5=EF=5,如纽2,

作正方形48CO的内切圆O,作的内接三角形EFG,此时，EF最大,连接OF,0E,

过点〃作于点M,解直角三角形即可得到结论.

【解答】解：如图1,连接OE，OF,FI,

作正方形ABCD的内切圆O,

由正六边形43co石尸可得，△O/F是等边三角形，

:・EF=OF,

由作图可得，。。的直径=10,即/7=10,

：・0F=EF=5,

如图2,作正方形A8C。的内切圆O,作。。的内接三角形七FG,

此时，EF最大,连接OROE,

：・0F=0E=5,ZEOF=2ZG=nO°,

过点〃作FM人EG于点、M,

则NEOM=60°,

・・・OM=±,EF=2EM=5^J~3,

22

:・EF的取值范围为OVEFWg,

故答案为；5,0<EFW5、巧.

图2

图1

【点评】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，正六边形的性质，等边三角形的性质，

正确的作出辅助线是解题的关键.

12.(2022•鹿邑县模拟)如图，正六边形ABCOE尸的边长为2,以4为圆心，AC的长为半

径画弧，得底，连接AC,AE,则图中阴影部分的面积为2TT.

【分析】由正六边形4BCDE/7的边长为2,可得AB=8C=2,尸=120°,进

而求出NBAC=30°,NC4E=60°,过8作8〃_LAC于从由等腰三角形的性质和含30°

直角三角形的性质得到A/7=C〃，BH=1,在RlZ\ABH中，由勾股定理求得得

到AC=2«,根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积.

【解答】解：•・•正六边形ABC。所的边长为2,

：.AB=BC=2,NABC=C8A“=⑹2)义180。;为,

6

VZ/\BC+ZBAC+ZBCA=180°,

.'.ZBAC=A(180°-ZABC)=Ax(180°-120°)=30°,

22

过3作BHVAC于H,

:.AH=CH,B/7=AAB=AX2=1,

22

在Rt△八BH中，AH=JAB2_BH2=U]2=A/^,

：.AC=2-/3,

同理可证，NE45=30°,

：.ZCAE=ZBAF-ZBAC-ZEAF=\20°-30°-30c=60°,

・・以-60・"（3）2=2口,

360

，图中阴影部分的面积为2n,

故答案为：21T.

【点评】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，

掌握扇形面积公式是解题的关键.

13.（2022♦武威模拟）在△ABC中，已知NABC=90°,NMC=30°,BC=\.如图所示,

将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△A8C.则图中阴影部分的面积为

兀W5

2

【分析】解直角三角形得到AB=«3C=正，AC=2BC=2,然后根据扇形的面积公式即

可得到结论.

【解答】解：・・・/48。=90°,NB4c=30°,BC=1,

:・AB=&RC=&,AC=2BC=2.

，图中阴影部分面积=s为形ACC・S^ADB-S^C=9°・兀・22.60•兀.（a）2_

360360

■1x1＞畲=兀一愿，

22

故答案为：兀肛；

2

A

【点评】本题主要考查了图形的旋转，扇形的面积公式，解直角三角形，熟练掌握扇形的面

积公式是解决问题的关键.

14.（2U22•随县一模）如图，化RtZXABC中，/8=9（T,AO平分N6AC交8c于点。，

点石在AC上，以AE为直径的。。经过点。.若NC=30°,且则阴影部分的

面积是12L.

一2一

B

【分析】证明△。/70、△。必是等边三角形，S阴影=S娟形。尸。，即可求解.

【解答】解：连接0。，连接。E、0D、DF、0F,设圆的半径为R,

：.ZDAB=ZDAO,

*：OD=OA,

：.ZDAO=ZODA.

则NOA8=NOD4,

：.DO//AB,WZB=90°,

：・NODB=90°,

VZC=30°,CO=3«,

・・・00=CQ・tan30°=3必乂近=3,

3

*/7DAH=7hAE=W

:.DE=DF，

•・・/OOE=6(r,

AZDOF=6(r,

・・・NRM=60°,

:.△OFD、△。朋是等边三角形，

：,DF//AC,

:・S第影=S3形DFO=60.冗.3=_^2L.

3602

故答案为：12L.

2

【点评】本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识，

解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题.

15.(2022•濡桥区校级模拟)如图，点。为正六边形A8CQE尸的中心，连接AC,若正六

边形的边长为2,则点O到AC的距离OG的长为1.

【分析】连接Q4、OC、OD,证△OCQ是等边三角形，得OC=CO=2,/OCQ=60°,

再证NOCG=30°,然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可.

【解答】解：连接。4、OC.OD,如图所示：

•・•点。为正六边形A8CQE/7的中心，边长为2,

:・NB=NBCD=(6-2)X18O0+6=120°,OC=OD,ZCOD=^.—=6()°,AB=

6

BC=CD=2,

・•・/8cA=/8AC=30°,ZXOC。是等边三角形，

：,OC=CD=2,/OCO=60°,

/.ZOCG=120°-30°-60°=30°,

VOGIAC,

.\OG=1OC=1,

2

即点。到AC的距离OG的长为I,

故答案为：1.

【点评】本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形

的性质等知识，熟练掌握正六边形的性质，证明△。。为等边三角形是解题的关键.

16.（2022•方城县一模）如图，在扇形。48中，已知408=90°,04=2,过标的中点

C作CD_LOA,CE1OB,垂足分别为。、E,则图中阴影部分的面积为n-2.

【分析】连接OC，求出/AOC=NBOC=45°,求出NOCO=NAOC=/ECO=NCOE=

45°,求出CD=OD,CE=OE,根据勾股定理求出CD=OD=OE=CE=版,再求出阴影

部分的面积即可.

【解答】解：连接OC,

,00=04=2,

•・・NAO5=9(T,C为标的中点,

AZAOC=ZBOC=45°,

,：CDA.OA,CEA.OB,

：.NCDO=/CEO=90。，

；・/DCO=/AOC=/ECO=/COE=45°,

：.CD=OD,CE=OE,

A2CD2=22,2OE2=22,

即CD=OD=OE=CE=^

2

・•・阴影部分的面积S=S翩形AQB-S.CDO-S〉CEO=。。兀*2■工X版乂a-

3602

yX72x6=n・2,

乙

故答案为：n-2.

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，扇形面积

的计算等知识点，把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：

如果扇形的圆心角为,半径为八那么该扇形的面积为纪叱.

360

17.（2022•大渡口区模拟）如图，在扇形AOC中，N8OC=60。，OQ平分N80C交交手

点。.点E为半径Oli上一动点.若03=2,则阴影部分周长的最小值为_2V2±—

【分析】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E'时，阴影部分的周长最小，此时的最

小值为弧CO的长与CQ'的长度和，分别进行计算即可.

【解答】解：如图，作点。关于04的对称点O',连接O'C交OB于点、E',连接父

D、OD',

此时&C+E'。最小，即：EfC+E'D=CDf,

由题意得，ZCOD-ZDOB-ZBOD1一30°,

AZCODr=9()",

•••CO，=VoC2+ODy2=^22+22=2^2»

，而的长/=30兀X2=冗

-180-T

，阴影部分周长的最小值为272+—.

3

故答案为：2&+2L.

3

【点评】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提,

理解轴对称解决路程最短问题是关键.

18.（2022•成都模拟）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1,直线/的解析式

为），=K+/.若直线/与半圆只有一个交点，则t的取俏范围是/=后或-1W/VI.

【分析】若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点。或从直线过

点4开始到直线过点B结束（不包括直线过点4）.

当直线和半圆相切于点。时，根据直线的解析式知直线与x轴所形成的锐角是45°,从而

求得NOOC=45°,即可求出点。的坐标，进一步求得，的值；当直线过点B时，宜接根

据待定系数法求得，的值.

【解答】解：若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直

线过点A开始到直线过点8结束（不包括直线过点A）.

直线）,=.叶/与x轴所形成的锐角是45°.

当直线和半圆相切于点C时，则OC垂直于直线，ZCOD=45°.

又OC=1,则。。=。£>=亚，即点C（-亚，亚），

222

把点。的坐标代入直线解析式，得

t=y-x=42,

当直线过点A时，把点A（-1,0）代入直线解析式，得/=厂”=1.

当直线过点B时，把点8(1,0)代入直线解析式，得片yx=-l.

即当，=&或-iwy1时，直线和圆只有一个公共点；

【点评】此题综合考查了直线和圆的位置关系，及用待定系数法求解直线的解析式等方法.

三.解答题(共11小题)

19.(2022•汝阳县一模)如图，BE是。0的直径，点A和点。是。。上的两点，过点A作