排列与组合教学设计

排列与组合教学设计一、教学目标1.知识与技能目标理解排列、组合的概念，能正确区分排列与组合问题。掌握排列数公式、组合数公式，并能运用公式解决简单的排列组合问题。通过对实际问题的分析，培养学生运用排列组合知识解决实际问题的能力。2.过程与方法目标通过实例引导学生观察、分析、归纳出排列与组合的概念，体会从特殊到一般的数学思维方法。在推导排列数公式和组合数公式的过程中，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。通过解决实际问题，让学生经历将实际问题转化为排列组合模型的过程，提高学生的数学建模能力。3.情感态度与价值观目标通过对排列组合知识的学习，培养学生严谨的治学态度和积极探索的精神。让学生感受数学与生活的紧密联系，提高学生学习数学的兴趣和应用数学知识解决实际问题的意识。

二、教学重难点1.教学重点排列与组合的概念及区别。排列数公式和组合数公式的推导与应用。2.教学难点如何引导学生正确区分排列与组合问题。排列组合问题的解题思路和方法，尤其是在解决较复杂问题时如何进行分类讨论和分步计算。

三、教学方法1.讲授法：讲解排列与组合的基本概念、公式及相关性质，使学生系统地掌握知识。2.实例分析法：通过大量实际生活中的例子，引导学生分析问题，理解排列组合的应用，提高学生解决实际问题的能力。3.小组讨论法：组织学生进行小组讨论，共同探讨排列组合问题的解法，培养学生的合作交流能力和思维能力。4.练习巩固法：安排适量的课堂练习和课后作业，让学生通过练习加深对知识的理解和掌握，提高运用知识解决问题的能力。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.展示问题：问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，有多少种不同的选法？问题2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，并安排他们担任正、副组长，有多少种不同的安排方法？2.引导学生思考并回答：对于问题1，学生可能会通过列举法得出有甲乙、甲丙、乙丙3种选法。对于问题2，学生可能会列举出甲乙（甲正乙副、乙正甲副）、甲丙（甲正丙副、丙正甲副）、乙丙（乙正丙副、丙正乙副），共6种安排方法。3.教师总结：这两个问题都涉及到从3个元素中选取2个元素的情况，但问题2不仅要考虑选出哪两个元素，还要考虑这两个元素的顺序，而问题1只关注选出的元素组合，不考虑顺序。这就是我们今天要学习的排列与组合问题，它们是组合数学中的重要概念，在实际生活中有广泛的应用。

（二）讲授新课（25分钟）1.排列的概念教师讲解：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。强调："按照一定的顺序"是排列的关键特征。例如，从1，2，3中取出两个数组成两位数，12和21是不同的排列，因为它们的数字顺序不同。举例说明：从5个不同元素a，b，c，d，e中取出3个元素的排列有：abc，abd，abe，acb，acd，ace，adb，adc，ade，aeb，aec，aed，bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed，cab，cad，cae，cba，cbd，cbe，cda，cdb，cde，cea，ceb，ced，dab，dac，dae，dba，dbc，dbe，dca，dcb，dce，dea，deb，dec，eab，eac，ead，eba，ebc，ebd，eca，ecb，ecd，eda，edb，edc等。2.排列数的概念教师讲解：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号\(A_{n}^m\)表示。例如，从3个不同元素中取出2个元素的排列数为\(A_{3}^2\)，从5个不同元素中取出3个元素的排列数为\(A_{5}^3\)。3.排列数公式的推导以\(A_{n}^m\)为例，引导学生分析排列数的计算方法：第1步：从n个不同元素中选第1个位置的元素，有n种选法；第2步：从剩下的n1个元素中选第2个位置的元素，有n1种选法；......第m步：从剩下的n(m1)个元素中选第m个位置的元素，有nm+1种选法。根据分步乘法计数原理，可得：\(A_{n}^m=n(n1)(n2)\cdots(nm+1)\)进一步变形可得：\(A_{n}^m=\frac{n!}{(nm)!}\)其中，n!=n×(n1)×(n2)×...×2×1，规定0!=1。强调：公式的推导过程体现了分步乘法计数原理在排列问题中的应用，理解公式的推导有助于更好地运用公式进行计算。4.组合的概念教师讲解：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。强调：组合与排列的区别在于组合不考虑元素的顺序，只要元素相同就是同一个组合。例如，从1，2，3中取出两个数组成一组，12和21是同一个组合，因为它们的元素相同。举例说明：从5个不同元素a，b，c，d，e中取出3个元素的组合有：abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde。5.组合数的概念教师讲解：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号\(C_{n}^m\)表示。例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数为\(C_{3}^2\)，从5个不同元素中取出3个元素的组合数为\(C_{5}^3\)。6.组合数公式的推导引导学生思考组合数与排列数之间的关系：从n个不同元素中取出m个元素的排列，可以分两步完成：第1步：从n个不同元素中取出m个元素的组合，有\(C_{n}^m\)种方法；第2步：对取出的m个元素进行全排列，有\(A_{m}^m\)种方法。根据分步乘法计数原理，可得：\(A_{n}^m=C_{n}^m\cdotA_{m}^m\)由此可得组合数公式：\(C_{n}^m=\frac{A_{n}^m}{A_{m}^m}=\frac{n(n1)(n2)\cdots(nm+1)}{m!}=\frac{n!}{m!(nm)!}\)强调：通过排列数公式推导出组合数公式，让学生理解两者之间的内在联系，有助于准确运用公式解题。

（三）例题讲解（20分钟）1.排列问题例1：计算\(A_{5}^3\)。解：\(A_{5}^3=5×4×3=60\)。例2：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析：百位不能为0，有9种选法；十位从剩下的9个数字中选，有9种选法；个位从剩下的8个数字中选，有8种选法。解：根据分步乘法计数原理，可组成没有重复数字的三位数的个数为：\(9×9×8=648\)（个）教师总结：对于排列问题，关键是确定元素的选取顺序和每一步的选法数量，然后运用排列数公式或分步乘法计数原理进行计算。在解决此类问题时，要注意特殊位置或特殊元素的限制条件，优先考虑这些条件进行排列。2.组合问题例3：计算\(C_{6}^3\)。解：\(C_{6}^3=\frac{6!}{3!(63)!}=\frac{6×5×4}{3×2×1}=20\)。例4：在100件产品中，有98件合格品，2件次品。从这100件产品中任意抽出3件。一共有多少种不同的抽法？抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？分析：（1）从100件产品中任意抽出3件，不考虑顺序，是组合问题，抽法种数为\(C_{100}^3\)。（2）分两步完成：先从2件次品中选1件，有\(C_{2}^1\)种选法；再从98件合格品中选2件，有\(C_{98}^2\)种选法。根据分步乘法计数原理，恰好有1件次品的抽法种数为\(C_{2}^1×C_{98}^2\)。（3）"至少有1件次品"的对立事件是"没有次品"，先求出没有次品的抽法种数为\(C_{98}^3\)，那么至少有1件次品的抽法种数为\(C_{100}^3C_{98}^3\)。解：（1）\(C_{100}^3=\frac{100!}{3!(1003)!}=\frac{100×99×98}{3×2×1}=161700\)（种）（2）\(C_{2}^1×C_{98}^2=2×\frac{98!}{2!(982)!}=2×\frac{98×97}{2×1}=9506\)（种）（3）\(C_{100}^3C_{98}^3=161700\frac{98!}{3!(983)!}=161700\frac{98×97×96}{3×2×1}=9604\)（种）教师总结：对于组合问题，重点是理解组合的概念，明确元素的选取不考虑顺序。在解决组合问题时，要善于运用组合数公式进行计算，同时注意合理运用分步乘法计数原理和分类加法计数原理，特别是涉及到"至少""至多"等问题时，可通过考虑其对立事件来简化计算。

（四）课堂练习（10分钟）1.教材P28练习第1、2、3、4题。2.补充练习：（1）从6名学生中选出4人参加数学竞赛，共有多少种不同的选法？（2）从8个人中选3个人，分别担任不同的职务，共有多少种不同的安排方法？（3）某班有40名学生，从中选5名学生参加年级的数学竞赛，班长必须参加，有多少种不同的选法？

学生在练习本上完成练习，教师巡视指导，及时纠正学生的错误，对学生的解题情况进行点评和总结。

（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容：排列与组合的概念及区别。排列数公式和组合数公式的推导过程及应用。解决排列组合问题的一般方法和思路，如特殊位置（元素）优先考虑、分步乘法计数原理、分类加法计数原理等。2.强调本节课的重点和难点：重点是排列与组合的概念、公式及应用。难点是正确区分排列与组合问题，以及如何灵活运用公式和原理解决较复杂的排列组合问题。3.鼓励学生在课后继续思考排列组合知识在生活中的其他应用，加深对知识的理解和掌握。

（六）布置作业（5分钟）1.教材P29习题1.2A组第1、2、3、4、5题。2.思考：如何用排列组合知识解决抽奖、分配任务等实际生活中的问题？请举例说明。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对排列与组合的概念有了初步的理解，掌握了排列数公式和组合数公式，并能运用公式解决一些简单的排列组合问题。在教学过程中，通过实例分析、小组讨论等方式，引导学生积