运筹学教案(胡运权版)

授课题目：

绪论

教学目的与要求：

1.知识目标：掌握运筹学的概念和作用及其学习方法

2.能力目标：掌握运筹学的数学模型

3.素质目标：培养学生良好的职业道德、树立爱岗精神

教学重点：

运筹学的数学模型

教学难点：

运筹学的数学模型

教学过程：

1.举例引入（5分钟）

2.新课（60分钟）

（1）举例引入，绪论（30分钟）

（2）运筹学与管理学（30分钟）

3.课堂练习（20分钟）

4.课堂小结（5分钟）

5.布置作业

《绪论》(2课时)

【教学流程图】

举例引入，绪论

v「运筹学

运筹学与数学模型的基本概"管理学

课堂练习

课堂小结

布置作业

【教学方法】

本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过程当中辅以案例

讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。任务驱动是实现本课教学目标和

完成教学内容的主要方法，任务是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱

动被多次利用。自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生

的积极性，激发学生参与的热情。学生之间互帮互助，共同分享劳动果实，从而

激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。

【教学内容】

一、教学过程：

(-)举例引入：(5分钟)

(1)齐王赛马的故事

(2)两个囚犯的故事

导人提问：什么叫运筹学？

(二)新课：

绪论

一、运筹学的基本概念

(用实例引入)

例1-1战国初期，齐国的国王要求田忌和他赛马，规定各人从自己的

上马、中马、下马中各选一匹马来比赛，并且说好每输一匹马就得支

付一千两银子给予获胜者。当时齐王的马比田忌的马强，结果每年田

忌都要输掉三千两银子。但孙膑给田忌出主意，可使田忌反输为赢。

试问：如果双方都不对自己的策略保密，当齐王先行动时一，哪一方会

赢？赢多少？反之呢？

例1-2有甲乙两个囚犯正被隔离审讯，若两人都坦白，则每人判入狱

8年；若两个人都抵赖，则每人判入狱1年；若只有一人坦白，则他

初释放，但另一罪犯被判刑10年。求双方的最优策略。

乙囚犯

抵赖坦白

甲囚犯抵赖-1,-1-10,0

坦白0,-10-8，-8

定义：运筹学(OperationResearch)是运用系统化的方法，通过建

成立数学模型及其测试，协助达成最佳决策的一门科学。它主要研究

经济活动和军事活动中能用数学的分析和运算来有效地配置人力、物

力、财力等筹划和管理方面的问题。

二、学习运筹学的方法

1、读懂教材上的文字；

2、多练习做题，多动脑筋思考;

3、作业8次；

4、考试；

5、EXCEL操作与手动操作结合。

二、学生练习（20分钟）

三、课堂小结（5分钟）

授课题目：

第一章线性规划及单纯形法

第一节：线性规划问题及数学模型。

教学目的与要求:

1.知识目标：掌握线性规划的基本概念和两种基本建模方法。

2.能力目标：掌握线性规划建模的标准形式及将普通模型化为标准模型的

方法。要求学生完成P43习题1.2两个小题。

3.素质目标：培养学生良好的职业道德、树立爱岗精神

教学重点：

1、线性规划的基本概念和两种基本建模方法；

2、线性规划建模的标准形式及将普通模型化为标准模型的方法。

教学难点：

1、线性规划的两种基本建模方法；

2、将线性规划模型的普通形式化为标准形式。

教学过程：

1.举例引入（5分钟）

2.新课（60分钟）

（1）运筹学与线性规划的基本概念（20分钟）

（2）结合例题讲解线性规划标准型的转化方法（20分钟）

3.课堂练习（20分钟）

4.课堂小结（5分钟）

5.布置作业

《线性规划及单纯形法》（2课时）

【教学流程图】

■•运筹学

运筹学与线性规划的基本概念线性协划

以性规划的标准型

（结合例题讲解）

v目标函数

结合例题讲解线性规划标准型的转化方法<约束条件的右端常数

约束条件为不等式

0

课堂练习

8

课堂小结

8

布置作业

【教学方法】

本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过程当中辅以案例

讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。任务驱动是实现本课教学目标和

完成教学内容的主要方法，任务是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱

动被多次利用。自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生

的积极性，激发学生参与的热情。学生之间互帮互助，共同分享劳动果实，从而

激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。

【教学内容】

-、教学过程：

第一章线性规划及单纯形法

第一节线性规划问题及其数学模型

（用实例引入）

例i-3美佳公司计划制造i、n两种产品，现已知各制造一件时分别

占用的设备A、B的台时数，及测试工序所需要的时间。问该公司应

制造两种家电各多少件时才能使获取的利润最大？

生产1件I产品生产1件I产品每天可用能力

（小时）

设备A（台时）0515

设备B（台H寸）6224

调试（小时）115

利润（元）21

maxZ=2玉+x2

z-5^2<15

+2X7<24

X-

x1+x2<5

l220

例1-4有A、B、C三个工地，每天需要水泥各为17、18、15百袋。

为此甲、乙两个水泥厂每天各生产23百袋和27百袋水泥供应这三个

工地。其单位运价如下表，求最佳调运方案。

地

水泥厂'ABC

甲11.52

乙242

地

ABC供应量/百袋

水泥厂

甲孙X\2X\323

乙X2\X22X2327

需求量/百袋17181550

maxZ=xH+1.5X12+2x13+2x21+4x22+2x23

rX“+X|2+%3=23

%2I+X22+X23=27

+x21=17

x[2+x22=18

$3+々3=15

l马？0(i=l,2;/=123)

一、线性规划的基本概念

如果规划问题的数学模型中，决策变量的取值是连续的整数、小

数、分数或实数，目标函数是决策变量的线性函数，约束条件是含决

策变量的线性等式或不等式，则称这种规划问题为线性规划。

二、将线性规划的普通型化为标准型

1、对于minZ=CX,可转化为min(-Z)=-CX；

2、当约束条件中出现由西+ai2x2+…+用时,在左边加上一

个“松弛变量”职R0,使不等式变为等式；当约束条件

中出现％内+的々+•••+%/“汕.时,则在左边减去一个“松弛

变量xi+l>0o

3、当某个决策变量x/0或符号不限时，则增加两个决策变量

Xj和Xj9令X/=Xj_Xj;

4、当约束条件中有常数项〃/O时、则在方程两边同乘以（-1）。

例1-5将下列非标准4型线性规划问题转化为标准型。

minZ=3xl-2x2+4x3

s.t.

r2X]+3X2+4X3>300

+5X2+6X3<400

Xj+x2+x3<200

l%，了220,与不限

解：

min（-Z）=-3Xj+2x2-4（x3-%;+0x4+0x5+0x6

s.t.

r2%14-3X2+4（尤3-X3）-x4>300

Xj+5X2+6（x3-x；）+尤5<400

x,+x2+x3-x3+x6<200

学生练习：P42习题1.2。

二、学生练习（20分钟）

三、课堂小结（5分钟）

授课题目：

第二节图解法

第三节单纯形法原理

教学目的与要求：

1.知识目标：用图解法理解线性规划的概念及单纯形法中的几个概念;

2.能力目标：掌握用图解法和单纯形法求解线性规划的原理；

3.素质目标：培养学生良好的职业道德、树立爱岗精神。

教学重点：

1、用图解法求解线性规划的计算步骤；

2、用单纯形法求解线性规划的计算步骤。

教学难点：

用单纯形法求解线性规划的计算原理;

教学过程：

1.举例引入（5分钟）

2.举例讲解新课（80分钟）

（1）图解法（40分钟）

（2）单纯形法原理（40分钟）

3.课堂练习（穿插在例题讲解过程中）

4.课堂小结（5分钟）

5.布置作业:要求学生完成P43习题1.4两个小题。其中第1小题为作业一。

《线性规划的求解》（2课时）

【教学流程图】

以学生自学引入

V「图解法

线性规划求解方法介绍:单纯形法

匚EXCEL规划求解法

V坐标系

图解法的操作步骤《求出可行域

、平移目标函数直线

,化为标准型

单纯形法的原理-

1I迭代法

课堂小结

布置作业

【教学方法】

本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过程当中辅以案例

讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。任务驱动是实现本课教学目标和

完成教学内容的主要方法，任务是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱

动被多次利用。自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生

的积极性，激发学生参与的热情。学生之间互帮互助，共同分享劳动果实，从而

激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。

【教学内容】

・、教学过程：

（一）举例引入：（5分钟）

复习中学数学中的图解法。

导入提问：线性规划图解法中有哪些基本概念？

（二）新课：

第二节图解法

一、图解法的步骤

（以学生自学引入）

学生自学P16-17,教师检查看不懂文字的学生，并做好记录。

提问：以P44的1.4题第1小题为例，图解法第一步是什么？以

下逐步提出问题。

教师演示并总结如下：图解法适用于两个决策变量的线性规划非

标准型。步骤如下；

1、用决策变量建立直角坐标系；

2、对于每一个约束条件，先取等式画出直线，然后取一已知点

（一般取原点）的坐标代入该直线方程的左边，由其值是否

满足约束条件的不等号及该已知点的位置来判断它所在的

半平面是否为可行域。

3、令Z等于任一常数，画出目标函数的直线，平移该直线，直

至它与凸多边形可行域最右边的角点相切，切点坐标则为最

优解。

例1-5

maxZ=10%1+5x2

s.t.

+4X2<9

y5尤］+2X2<8

X|x>0

X.,2

解

£

可行解——满足约束条件的解，全部可行解的集合叫可行域。

最优解——使目标函数达到最大值的可行解。

基变量一一利用矩阵的初等变换从约束条件的mXn(n>m)阶系数矩

阵找出一个mXm阶单位子矩阵，它们对应的变量叫基变量，其余的

叫非基变量。

矩阵的初等变换——将矩阵的一行同乘以一个数；将矩阵的一行同乘

以一个数，再加到另外一行上去。

4.课堂小结(5分钟)

5.布置作业：要求学生完成P43习题1.3两个小题。

授课题目：

第四节单纯法的计算步骤

教学目的与要求：

1.知识目标：用图解法理解线性规划的概念及单纯形法中的几个概念;

2.能力目标：掌握用单纯形法求解线性规划的计算步骤；

3.素质目标：培养学生良好的职业道德、树立爱岗精神。

教学重点：

用单纯形法求解线性规划的计算步骤。

教学难点：

1、用单纯形法求解线性规划的计算原理;

2、用单纯形法求解线性规划的计算步骤。

教学过程：

1.举例引入（5分钟）

2.举例讲解新课（80分钟）

单纯形法求解步骤

3.课堂练习（穿插在例题讲解过程中）

4.课堂小结（5分钟）

5.布置作业:要求学生完成P43习题1.4两个小题。其中第1小题为作业一。

第四节《单纯法的计算步骤》（2课时）

【教学流程图】

以学生自学引入

V「图解法

线性规划求解方法介绍工单纯形法

LEXCEL规划求解法

「化为标准型

单纯形法的操作步骤J求出初始表

JI迭代法

课堂小结

布置作业

【教学方法】

本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过程当中辅以案例

讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。任务驱动是实现本课教学目标和

完成教学内容的主要方法，任务是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱

动被多次利用。自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生

的积极性，激发学生参与的热情。学生之间互帮互助，共同分享劳动果实，从而

激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。

【教学内容】

-、教学过程：

（二）举例引入：（5分钟）

复习中学数学中的图解法。

导入提问：线性规划图解法中有哪些基本概念？

（二）新课：

一、三个基本定理

可行解——满足约束条件的解，全部可行解的集合叫可行域。

最优解——使目标函数达到最大值的可行解。

基变量一一利用矩阵的初等变换从约束条件的mXn(n>m)阶系数矩

阵找出一个mXm阶单位子矩阵，它们对应的变量叫基变量，其余的

叫非基变量。

矩阵的初等变换——将矩阵的一行同乘以一个数；将矩阵的一行同乘

以一个数，再加到另外一行上去。

二、单纯形表迭代法

教师先演示：

1、化为标准型

2、做出初始单纯形表，求出检验数；

3、确定检验数中最大正数所在的列为主元列，选择主元列所对

应的非基变量为进基变量

4、按最小比值原则，用常数列各数除以主元列相对应的正商

数，取其最小比值，该比值所在的行为主元行；主元列与主

元行交叉的元素为主元，主元所对应的基变量为出基变量。

5、对含常数列的增广矩阵用初等变换把主元变为1,主元所在

的列的其余元素化为0。

6、计算检验数，直到全部检验数小于等于0,迭代终止。基变

量对应的常数列为最优解，代入目标函数得最优目标函数

值。

例1-6

maxZ=2玉+x2

<5X2<15

6x}+2X2<24

x1+x2>5

l芭,々20

解：先化为标准型:

maxZ=2x]+x2+0x3+0x4+0x5

5X2+x3=15

s.t.6x)+2X2+%4=24

%1+x2+x5=5

IxI9x2,x3,x4,x5>0

其约束条件的系数增广矩阵为

r05100151

6201024

^110015」

初始始基可行解为：X=(0,0,15,24,5)"以此歹U出单纯形表如下。

得：X=(7/2,3/2,15/2,0,0,0)"代入目标函数得：

Z=2*7/2+1*^2+15/2*0+0*0=17/2O

目标函数Cj21000常数

变量

xxx

X]12Ix345

基变量

初X300510015

始〜40[6]201024

表X50110015

计Zj00000

算221000

。=min(-,24/6,5/1)=24/6：=4

第一00510015

次迭21卑01/604

代000-1^11

Z,2羽00

030-卑0

^=min(—,—,-^)=-^=3/2

51/32/32/3

第二七0001小-15/215/2

次迭当21001A-1727R

代X21010-1/4切切

ZJ2101/4V2

为000-1A-V2

4.课堂小结（5分钟）

5.布置作业：要求学生完成P43习题1.4两个小题。其中第1小题为作业一

授课题目：

第五节单纯形法的进一步讨论

教学目的与要求：

1.知识目标：理解求解线性规划的人工变量法中大M法和两阶段法;

2.能力目标：利用习题1.15巩固线性规划的建模；

3.素质目标：培养学生良好的职业道德、树立爱岗精神。

教学重点：

1、求解线性规划的人工变量法中两阶段法的计算步骤。

2、人工变量法与普通单纯形法的区别。

教学难点：

1、两阶段法的计算步骤；

2、习题1.15中的约束条件分析。

教学过程：

1.举例引入（5分钟）

2.举例讲解新课（80分钟）

（1）人工变量法（40分钟）

（2）两阶段法（40分钟）

3.课堂练习（穿插在例题讲解过程中）

4.课堂小结与单纯形法小结（5分钟）

5.布置作业。

《单纯形法的进一步讨论》（2课时）

【教学流程图】

用实例引入人工变量法

V「初始单纯形表中无单位矩阵

人工变量法的例题讲解工引入人工变量

L在目标函数中引入大M

Vr两阶段法用EXCEL求解中的困难

两阶段法的例题讲解<第一阶段的模型

L第二阶段的模型

8

课堂小结

V

布置作业

【教学方法】

本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过程当中辅以案例

讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。任务驱动是实现本课教学目标和

完成教学内容的主要方法，任务是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱

动被多次利用。自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生

的积极性，激发学生参与的热情。学生之间互帮互助，共同分享劳动果实，从而

激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。

【教学内容】

一、教学过程：

（三）举例引入：（5分钟）

复习单纯形法。

导入提问：当初始单纯形表中不出现单位矩阵怎么办？

（二）新课：

第五节单纯形法的进一步讨论

（用实例引入人工变量法）

例1-7用单纯形法求解下列线性规划问题：

maxZ=2工1+3x2-5x3

rXj+X2+X3=7

<2x]-5X2+x3>10

-xJ,x2,>0

解：将第二个约束条件化为等式（左边减去一个松弛变量）后，

约束条件的系数矩阵不存在单位矩阵，这时可在约束条件第一、二等

式的左边分别加上一个人工变量作为初始基变量，使之出现单位矩

阵。为了使目标函数中的人工变量为0,令它们的系数为任意大的负

值“-M”，然后采用一般单纯形表法求解。

minZ=22+3x2-5x3-Mx4+0x5-Mxb

rXj+X2++X4=7

<2x1-5X2+尢3-/+%6=10

目标函数C,23-5-M0-M常娄

变量

尤11X2IX3尤4龙5X6

基变量XJ

初%-M1111007

始表-4-M[2]-510-1110

计Zj-3M4M-2M-MM-M

算”,3M+23-4M2M-50-M0

e=min(7/l,10/2)=5

一次一工4-M0[7/2]1/211/2-1/22

迭代21-5/21/20-1/21/25

C1-uM1RAM1M1

Z,2—M-5-----F1-M------1----F1

2222

(0-M+8----60---FI------1

2222

x23011/72/73/7-1/74/7

玉2106/75/7-1/71/74y7

Zj2315/71^71/7-1/7

00-50/7-M-1^7-1/7-M+1/7

所以最优解为：X=(45/7,4/7,0,0,0,0)

例1-8对LP模型:

minw=15y)+24y2+5%

s.t,「6%+为22

«+2y2+y3>\

I

用两阶段法求解。

解：先分为标准型:

max(-w)=-15y,-24y2-5y3+0y4+0x5

S.t.r6y2+%-%+儿=2

5%+2%+>3一>5+>7=1

「必.720

对

minZ=儿+乃

6%+%-”+%=2

s.t.

5y+2%+%-K+乃=1

%-720

使用单纯形法求解，化为标准型后，列出单纯形表并迭代如下

目标函数300000-1-1常数

变量

必1%I为％K%y?

基变量

初儿-10[6]1-10102

始表->7-15210-1011

为582-1-100

一次001%-%0坏0本

迭代f-1[5]0羽火-1-1/31

(502/31/3-1-4/30

%001%-1/60lyB0电

y010羽51/15-1/5-1/15V51/15

(00000-1-1

在上表中的最终表中除去人工变量后，回归到原来的标准型:

max(-vv)=-15^-24y2-5y3+0y4-f-Ox5

s.t.16乃+%-%+”=2

]5yl+2y2+y3-y5+y7=1

13?o

然后对该最终表继续使用单纯形法计算:

目标函数5-15-24-500常数

变量

%>2>3।>4%

基变量

初-2401必-1/60本

始表f-1510[2/15]1/15-1/51/15

%0-96-3-3

一次%-24-5/410-1/41A1A

迭代X-515/2011/2-3/21/2

-1^200-7/2-3/2

故y=(0,1/4,1/2,0,0)'

1.15题分析：

令i=l,2,3代表A,B,C三种商品，j=l,2,3代表前，中，后舱，＞0

代表装载于第j舱位的第i中商品的数量(件)。

1、目标函数为运费总收入：

maxZ=1000(卬+x}2+x13)+700(x21+x22+x23)+600(x3|+x32+x33)

2、约束条件：

前中后舱载重限制：

8孙+6%2i+5/12000

8X12+6X22+5l32<3000

8X13+6叫3+5X33<1500

前中后舱体积限制：

1+7X

10xH+5当31<4000

5X+7X

10x12+2232<5400

10元]3+5尤23+7^33<1500

三商品的数量限制:

X1]+尤]2+X13-600

x21+x22+工2341000

x3}+x32+x33<800

舱体平衡条件：

前舱载重/中舱载重为：-(1-0.15)<8V[1+6-"21+5^31<-(1+0.15)

38%12+6]22+5九323

后舱载重/中舱载重为：-(1-0.15)<8仆+6心+5丘<_L(i+o.i5)

28玉2+6X22+5X322

6

前舱载重/后舱载重为：-(1-0.10)<+匕1+5%<1(1+0.10)

38为3+6123+5X333

上三式中，2000/3000=^/3,1500^000=1/2,2000/1500=4/30

3.课堂练习(穿插在例题讲解过程中)

4.课堂小结与单纯形法小结(5分钟)

图1—9：强调当非基变量的检验数为零时，线性规划存在多重解。

5、布置作业二：1.15题

授课题目：

第二章：线性规划的对偶理论与灵敏度分析

第一节线性规划的对偶问题

第二节对偶问题的基本性质

教学目的与要求：

1.知识目标：掌握一般形式对偶问题的对应规律、理解并应用对偶定理

2.能力目标：掌握线性规划的对偶问题的基本性质；

3.素质目标：培养学生良好的职业道德、树立爱岗精神。

教学重点：

一般形式对偶问题的对应规律、对偶定理

教学难点：

对偶定理

教学过程：

1.举例引入（5分钟）

2.举例讲解新课（80分钟）

（1）对偶问题的基本概念与解的性质;

（2）一般形式的对偶问题

（3）对偶问题的基本性质

3.课堂练习（穿插在例题讲解过程中）

4.课堂小结（5分钟）

《线性规划的对偶理论》（2课时）

【教学流程图】

举例引入

”「对偶问题与原问题的结构特点

线性规划的对偶问题的基本概念J对偶问题与原问题的解与单纯形表

践性规划的单纯形法求解实质

学生练习（结合例题讲解进行）

8

课堂小结

V

布置作业

【教学方法】

本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过程当中辅以案例

讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。任务驱动是实现本课教学目标和

完成教学内容的主要方法，任务是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱

动被多次利用。自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生

的积极性，激发学生参与的热情。学生之间互帮互助，共同分享劳动果实，从而

激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。

【教学内容】

一、教学过程：

（-）举例引入对偶问题的基本概念：（5分钟）

导入提问：线性规划的对偶问题与原问题的解是什么关系？

（二）新课：

第二章线性规划的对偶理论与灵敏度分析

第一节线性规划的对偶问题

回顾例1-3：

例1-3美佳公司计划制造I、II两种产品，现已知各制造一件时分别

占用的设备A、B的台时数，及测试工序所需要的时间。问该公司应

制造两种家电各多少件时才能使获取的利润最大？

生产1件I产品生产1件I产品每天可用能力

（小时）

设备A（台时）0515

设备B（台时）6224

调试（小时）115

利润（元）21

解：设当和当为两种产品的产量，得线性规划问题:

maxZ=2玉+x2

5%2<15

6%1+2X2<24

s'+x2<5

i玉>0

现从另一角度提出问题：假定有某个公司想把美佳公司的资源收买过来，

它至少应付出多大代价，才能使美佳公司愿意放弃生产活动，出让自己的资源?

设加%，处分别为单位时间内设备A,B和调试工序的出让价格,

其线性规划模型如下表：

原问题对偶问题

目标函数最大利润为maxZ=2再+%，某公司最小出让价为：

其中：minW=15y+24y2+5〉3，其中：

王和乙为两种产品的产量。M，为，为分别为单位时间内设备

A,B和调试工序的出让价格。

原问题对偶问题

约束条件每生产1件商品在A,B设每生产1件商品的出让价不小

备和调试工序上的时间约束6y2+为？2

于利润:5%+2%+%21

<5%2<15

几，为，>320

<6x]+2x2<24

为：%1+x2<5

%,马>0

可见:

原问题（系数为mXn矩阵）对偶问题（系数为nXm矩阵）

maxZminW

目标函数中的系数成为对偶问题约束约束条件中的右端常数成为原问题中

条件中的右端常数目标函数中的系数

约束条件系数矩阵为对偶问题约束条约束条件系数矩阵为原问题约束条

件系数矩阵的转置。件系数矩阵的转置。

约束条件数有m个，变量数m个，

第i个约束条件为“W”，第i个变量为“20”

第i个约束条件为“2”第i个变量为“W0”

第i个约束条件为“=”第i个变量为自由变量

变量数n个，约束条件数有n个，

第i个变量为“20”第i个约束条件为“N”，

第i个变量为“W0”第i个约束条件为“W”

第i个变量为自由变量第i个约束条件为“=”

例1-6和例1-8分别用单纯形法和两阶段法可求得上述例题的原问题和其

对偶问题的最终单纯形表如下:

目标函数C,21000

变量原问题变量原问题松弛变量常数

基变量X]x2x3x4x5

最X3000104-15/215/2

占

终21001/4-1/27/2.

表10101AM切

000-1A-1/2

变量对偶问题剩余变费对偶问题变量

)3%y%%

目标函数Cj-15-24-500

变量常数

月必必I%y5

基变量

一次丁2-24-5/410-1/41A1A

迭代%-51^2011/2-3/23

-1E/200-7/2-3/2

从上两表看出两个问题变量之间的对应关系，同时看出只需求解其中

一个问题，从最优解的单纯形表中同时得到另一个问题的最优解。即原问

题的最优解为：X=(7/2,3/2,0,0,0)，；其对偶问题的最优解为：

/=(0,1/4,1/2,0,0)ro

对偶问题的基本性质

1、若线性规划原问题(LP)有最优解，其对偶问题(DP)也有最优解;

2、LP的检验数的相反数对应于其DP的一组基本解，其中第j个决策变

量七的检验数的相反数对应于DP第i个剩余变量与.的解；LP第i个

松弛变量与的检验数的相反数对应于其DP的第i个对偶变量%的解。

反之DP的检验数对应于其LP的一组基本解。

例1-9

maxZ=6七一2x2+x3

/2xl-々+2九3-2

<%+4X3<3

-玉.320

解加入松弛变量尤4,%后，单纯形表迭代为：

X}x2%3匕尤5b

[2]-12102

104014

46-2100

1-V2.101

X50[1/2]3-1/213

(01-5-30

再104014

x2016-126

%00-11-2-2

%y4)5>2

设对偶变量为y和力，剩余变量为%，以，%，由上性质，有

丫=（%，为，内，＞4，卜5）=（-%4，-4，-4，-九2，-4）=（2,2,0,0,11）为对偶问题的基本解O

二、课堂练习（穿插在例题讲解过程中）

三、课堂小结（5分钟）

授课题目：

第二章：线性规划的对偶理论与灵敏度分析

第三节影子价格

教学目的与要求：

1.知识目标：了解影子价格的实质

2.能力目标：掌握求解线性规划的对偶单纯形法的计算步骤;

3.素质目标：培养学生良好的职业道德、树立爱岗精神。

教学重点：

对影子价格的理解。

教学难点：

对影子价格的理解

教学过程：

1.举例引入（5分钟）

2.举例讲解新课（80分钟）

（1）影子价格的概念

（2）影子价格的实质

（3）影子价格的性质与计算

3.课堂练习（穿插在例题讲解过程中）

4.课堂小结（5分钟）

《影子价格》（2课时）

【教学流程图】

举例引入

V

线性规划影子价格基本概念

影子价格的实质

学生练习（结合例题讲解进行）

V

课堂小结

V

布置作业

【教学方法】

本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过程当中辅以案例

讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。任务驱动是实现本课教学目标和

完成教学内容的主要方法，任务是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱

动被多次利用。自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生

的积极性，激发学生参与的热情。学生之间互帮互助，共同分享劳动果实，从而

激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。

【教学内容】

■、教学过程：

（二）举例引入影子价格的基本概念：（5分钟）

导入提问：什么是影子价格？

(二)新课：

第二章线性规划的对偶理论与灵敏度分析

第三节影子价格

对偶变量的意义——代表在资源最优利用条件下对单位第

种资源的估价，这种估价不是资源的市场价格，而是根据资源在生产

中作出的贡献而作的估价，为区别起见，称为影子价格(shadow

price)o

z*=w*=Y*b=»='(2.26)

对bi求偏导数，得到：

*

^7-=Z

如，(2.27)

即第i种资源影子价格yi*是z*对资源数量bi的变化率，是第i种资源增

加一个单位时，最大产值的改变量。

1.资源的市场价格是已知数，相对比较稳定，而它的影子价格则有赖于资

源的利用情况，是未知数。由于企业生产任务、产品结构等情况发生变化，资源

的影子价格也随之改变。

资源的影子价格实际上又是--种机会成本.

在纯市场经济条件下，当第2种资源(设备B)的影子价格是

0.25,当市场价格高于0.25时，可以卖出这种资源；

相反当市场价格低于影子价格时，就会买入这种资源。

随着资源的买进卖出，它的影子价格也将随之发生变化，一直

到影子价格与市场价格保持同等水平时，才处于平衡状态。

一般说对线性规划问题的求解是确定资源的最优分配方案，而对于对偶问题

的求解则是确定对资源的恰当估价，这种估价直接涉及到资源的最有效利用。

授课题目：

第二章：线性规划的对偶理论与灵敏度分析

第四节对偶单纯形法

教学目的与要求：

1.知识目标：理解线性规划单纯形法求解的实质；

2.能力目标：掌握求解线性规划的对偶单纯形法的计算步骤；

3.素质目标：培养学生良好的职业道德、树立爱岗精神。

教学重点:

1、对偶单纯形法的计算步骤；

2、对偶单纯形法与原问题单纯形法求解思路上的区别。

教学难点:

1、对偶单纯形法的计算步骤；

2、用单纯形法求解线性规划的实质。

教学过程：

1.举例引入（5分钟）

2.举例讲解新课（80分钟）

（1）对偶问题的基本概念与解的性质；（20分钟）

（2）对偶单纯形法与原问题单纯形法解之间的关系；（20分钟）

（3）对偶单纯形法与原问题单纯形法的求解原理（20分钟）

（4）对偶单纯形法原理（20分钟）求解步骤（20分钟）

3.课堂练习（穿插在例题讲解过程中）

4.课堂小结（5分钟）

《线性规划的对偶理论与对偶单纯形法》（2课时）

【教学流程图】

举例引入

”「对偶问题与原问题的结构特点

线性规划的对偶问题的基本概念」对偶问题与原问题的解与单纯形表

［线性规划的单纯形法求解实质

vf初始表

对偶单纯形法计算步骤<进基

L出基

8

学生练习（结合例题讲解进行）

V

课堂小结

V

布置作业

【教学方法】

本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过程当中辅以案例

讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。任务驱动是实现本课教学目标和

完成教学内容的主要方法，任务是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱

动被多次利用。自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生

的积极性，激发学生参与的热情。学生之间互帮互助，共同分享劳动果实，从而

激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。

【教学内容】

■、教学过程：

（三）举例引入对偶问题的基本概念：（5分钟）

导入提问：线性规划的对偶问题与原问题的解是什么关系？

（二）新课：

第四节对偶单纯形法

一、对偶单纯形法的原理

LP与DP在求解迭代过程中有三种情形:

LP的b列LP的检验数4含义

均20均W0则DP的检验数4W0且X?0,这时

LP与DP均达到最优解。

均20某个乙〉0则DP的某个变量为＜0,说明原问题可

行，对偶问题不可行。

某个。＜0全部为W0贝UDP的检验数且其？0,说明原

问题不可行，对偶问题可行。

对于第二种情形用单纯形法求解，第三种情形用对偶单纯形法求解。

二、对偶单纯形法求解过程

1、用实例引入：

例1-10

minIV=3%+9%

1y+%22

M+4y2之3

“y,+7y2＞3

、必，＞2NO