人教版初二数学上册压轴题强化综合试题含答案

人教版初二数学上册压轴题强化综合试题含答案

1.（初步探索）（1）如图：在四边形48CQ中，AB=AD,ZB=ZADC=90°,E、F分

别是3。、CO上的点，且EF=BE+FD,探究图中4AE、NE4。、NE4/之间的数量关

图]图2

（1）（1）小明同学探究此问题的方法是：延长尸。到点G,使DG=BE.连接AG,先证明

,再证明产，可得出结论，他的结论应是；

（2）（灵活运用）（2）如图2,若在四边形48CD中，AB=AD,Zfi+ZD=180°,E、F

分别是4C、CD上的点，且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立，并说明理由；

3.已知△ABC是等边三角形，ZkAOE的顶点。在边8c上

（1）如图1，若AD=DE,ZAED=60\求N4CE的度数；

（2）如图2,若点。为8c的中点，AE=AC,NEAC=90°,连CE,求证：CE=2BF；

（3）如图3,若点。为8C的一动点，ZAED=9Q°,ZADE=30°,已知8c的面积为

4/，当点。在8c上运动时，△48E的面积是否发生变化？若不变，请求出其面积；若变

化请说明理由.

3.阅读材料1：

对于两个正实数方，由于（右-〃）>0,所以（右）-2\[a•x/^+（x/^j20,即

a-2\[ab+b>0,所以得到。+力之27^，并且当时，a+b=2\/ab

阅读材料2：

若4>0,则二11=工+_1=%+1,因为4>0,1>0,所以由阅读材料1可得:

XXXXx

=即二11的最小值是2,只有]=」时，即工=1时取得最小值.

XVXXx

根据以上阅读材料，请回答以下问题:

⑴比较大小

V+1—2x（其中X21）；x+-_-2（其中X<-1）

(2旧知代数式』变形为》〃+击’求常数〃的值

⑶当x=一时,有最小值,最小值为..(直接写出答案).

4.等腰RSABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点4、点8分别是y轴、x轴上两个动点，直角

边AC交x轴于点。，斜边8c交y轴于点E.

(1)如图(1),已知C点的横坐标为-1,直接写出点4的坐标；

(2)如图(2),当等腰R548c运动到使点。恰为AC中点时，连接0E.求证：ZADB=Z

CDE；

(3)如图(3),若点4在x轴上，且A(-4,0),点8在y轴的正半轴上运动时，分别以

。8、48为直角边在第一、二象限作等腰直角A8。。和等腰直角△A8C,连结C。交，轴于点

P,问当点R在y轴的正半轴上运动时，8P的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变

化，请求出BP的长度.

5.如图1已知点48分别在坐标轴上，点C(3,-3),C4_L8A于点4且84=CA,

C4C8分别交坐标轴于0,E.

⑴填空：点8的坐标是；

⑵如图2,连接。E,过点(:作CH_LCA于C,交x轴于点H,求证：ZADB=ZCDE,

⑶如图3,点F(6,0),点P在第一象限，连PF,过P作PM_LPF交y轴于点M,在PM

上截取PN=PF,连P。，过P作NOPG=45。交8/V于G.求证：点G是8N中点.

6.已知：在平面直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，8为y轴负半轴上的点.

⑴如图1,以4点为顶点,4B为腰在第三象限作等腰册JAC,若。4=2,013=4,求C

点的坐标;

⑵如图2,若点4的坐标为卜26,0）,点8的坐标为（0,-〃?），点。的纵坐标为〃，以8为

顶点，班为腰作等腰RtAABO.当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整

式4〃?+4〃-96的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理

⑶如图3,若OA=OB,OF上AB于点F,以。8为边作等边,08M,连接4M交OF于点

N,若AN=m,ON=n,请直接写出线段AM的长.

7.如图1,在平面直角坐标系中，A（0,4）,C（-2,-2）,且NAC8=90。，AC=BC.

（1）求点B的坐标：

（2）如图2,若8c交y轴于点M,48交x轴与点N,过点B作BEJ_y轴于点邑作

轴于点F,请探究线段MN,ME,NF的数量关系，并说明理由；

（3）如图3,若在点8处有一个等腰RS8DG,且8D=DG,ZBDG=90°,连接八G,点H

为八G的中点，试猜想线段0H与线段CH的数量关系与位置关系，并证明你的结论.

8.在田△ABC中，AC=BC,NACB=90。，点。是月C上一点.

图3

⑴如图1,4D平分NB4C,求证A8=AC+CD：

（2）如图2,点E在线段AD上，且NCEO=45。，ZBED=30°,求证8E=2AE；

（3）如图3,BMLAM,M是AABC的中线4。延长线上一点，N在4?上，AN=BM,若DM

=2,则MN=一（直接写出结果）.

【参考答案】

2.⑴（初步探索）结论：ZBAE+ZFAD=ZEAF；

⑵（灵活运用）成立，理由见解析

【分析】（1）延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,可判定△ABE合△ADG,进而得出

ZBAE=ZD

解析：（1）（初步探索）结论：NBAE+NFAD=NEAF；

（2）（灵活运用）成立，理由见解析

【分析】（1）延长FD到点G,使。G=8E,连接4G,可判定“BEgA4DG,进而得出N

BAE=/DAG,AE=AG,再判定△AEFg/XASF,HlZEAF=ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+Z

DAF,据此得出结论：

（2）延长FD到点G,使。G=8£,连接AG,先判定△A8E经Z^ADG,进而得出NBA£=/

DAG,AE=AG,再判定丝ZMGF,可得出/"F=NGAF=ND4G+ND4F=/8NE+/D4F.

（1）

解：NBAE+NFAD=NEAF.

理由：如图1，延长FD到点G,使DG=BE,连接4L

G

图1

•/ZB-ZADC-90\

NADG=4=90",

\,DG=BE,AB=AD,

：./^ABE^^ADG,

：,ZBAE=ZDAGfAE=AGf

*：EF=BE+FD,DG=BE,

/.EF=DG+FD=GF,AAE=AG,AF=AF,

:.△AEFW^AGF,

Z1EAF=Z：GAF=/DAG十/DAF=/8A£-h/DAF.

故答案为：N8AE+/EAD=NE4F；

(2)

如图2,延长FD到点G,使。G=8邑连接AG,

图2

,:N8+ZADF=180\NAOG+ZADF=18Q0,

：,ZB=ZADG,

又・.・八8=4。，

：./^ABE^/\ADG(SAS):

工N8AE=NDAG,AE=AG,

•.•£F=8£+F0=0G+F0=GF,AF=AF,

•••△4EF0△4GF(SSS),

:.ZEAF=ZGAF=ZDAG^ZDAF=ZBAE+ZDAF

【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线

构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形.解题时注意：同角的补角

相等.

3.(1)60°；(2)见解析；(3)不变，

【分析】(1)由题意，先证△ADE是等边三角形，再证△BAD3△CAE,得

ZACE=ZB=60°；

（2）由题意，先求出/BEC=30。，然后求出NCF

解析：（1）60°；（2）见解析；（3）不变，2&

【分析】（1）由题意，先证AADE是等边三角形，再证△勿。纥△CAE,得N4CE=N

8=60°；

（2）由题意，先求出N8EC=30。，然后求出NCFE=90。，利用直角三角形中30度角所对直

角边等于斜边的一半，即可得证；

（3）延长至F,使EFME,连DF、CF,先证明△ADF是等边三角形，然后证明ZkEGFg

△EHA,结合HG是定值，即可得到答案.

【详解】解:（1）根据题意,

\'AD=DE,ZAED=60°,

•••△ADE是等边三角形，

:・AD=AE,ZDAE=60°,

,：AB=AC,ZMC=60°,

・•・ABAC-ZDAC=NDAE-ADAC,

即N84O=NC4E,

:.丛BAD名ACAE,

:.NACE=N8=60°：

（2）连CF,如图：

图2

•：AB=AC=AE,

：.ZAEB=ZABE,

VZBAC=60°,ZEAC=9Q0,

：.ZBAE=150\

:.ZAEB=ZABE=15°；

•••△4CE是等腰直角三角形，

:.Z4EC=45°,

・・・N8EC=30°,NEBC=45°,

・.工口垂直平分BC,点「在人£）上,

:・CF=BF,

:.ZFCB=Z£BC=45°,

:.NCFE=90°,

在直角ACEF中，ZCFE=90°,ZC£F=30%

：,CE=2CF=2BF,

(3)延长4E至F,使EF=4E,连OF、CF,如图:

VZAED=90°,EF=AE,

•*DE是中线，也是高，

•••△4DF是等腰三角形，

ZADE=30°,

：,ZDAE=60°,

•••△ADF是等边三角形；

由(1)同理可求/4CF=/A8C=60。，

:.ZACF=ZBAC=6Q\

：,CF//AB,

过E作EG_LCF于G,延长GE交84的延长线于点H,

易证AEGF也△EHA,

:・EH=EG=；HG,

•・・HG是两平行线之间的距离，是定值，

:.S^ABE=ySAABC=^X4X/3=2>/3；

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三带形的判定和性质，垂直平分线的

性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握

所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题.

57.已知,4(0,Q),B(b,0),点为X轴正半轴上一个动点,AC=CD,ZACD=9Q°.

(1)已知a,b满足等式Ia+bI+炉+4匕=-4.

①求A点和B点的坐标；

②如图1,连8。交y轴于点H,求点H的坐标；

(2)如图2,已知a+b=O,OOOB,作点8关于y轴的对称点E,连。2点F为DE的中

点，连OF和CF,请补全图形，探究OF与CF有什么数量和位置关系，并证明你的结论.

(1)①4(0,2),B(-2,0)；②〃(0,-2)；(2)CFLOF,CF=OF,证明见解析.

【分析】(1)①利用绝对值、完全平方的非负性的应用，求出a、b的值，即可得到答

案；

②过C作y轴垂线交8A的延长线于£,然后证明△CEAgaCBD,得到。8=。从即可得到

答案；

(2)由题意，先证明△OFGgAEFO,然后证明△DCGgZ\4：。，得到ZiOCG是等腰直角三角

形，再根据三线合一定理，即可得到结论成立.

【详解】解：(1)•・・|。+4+〃+4〃=-4,

/.\a+t\+b2+4b+4=0,

.・.|a+〃|+S+2)2=0,

.*.«+/?=(),Z?+2=0,

b=-2f

a—2,

：,A(0,2),B(-2,0)；

②过C作x轴垂线交BA的延长线于E,

*：OA=OB=2,ZAOB=9Q\

••.△AOB是等腰直角三角形，

:.NA8O=45°,

VEC±ec,

•••△8CE是等腰直角三角形，

；・BC=EC,ZBCE=9Q°=ZACDf

：.NACE=NDCB,

*：AC=DCt

:.△CEAdCBD,

ZCDD=Zf=45°,

：・OH=OB=2,

:.H(0,-2)；

(2)补全图形，如图：

•・•点8、E关于v轴对称,

：,OB=OE,

a+b=O»BPa——b

：.OA=OB=OE

延长OF至G使FG=OF,连DG,CG,

•：OF=FG,ZOFE=ZDFG,EF=DF

：,DG=OE=OA,ZDGF=ZEOF

：.DG//OE

，NCOG=NOC。；

'：ZACO+ZCAO=ZACO+ZDCO=9Q°,

：.ZDCO=ZCAO；

:.ZCDG=ZDCO=ZCAO；

*：CD=AC,OA=DG

：./\DCG^LACO

：,OC=GC,ZDCG=ZACO

/.ZOC6=90°,

:.NCOF=45°,

•••△OCG是等腰直角三角形，

由三线合一定理得CF_LOF

VZOCF=ZCOF=45°,

:・CF=OF；

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性

质，非负性的应用，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线进行解题.

58.已知点A在X轴正半轴上，以OA为边作等边404?,A(x,0),其中X是方程

3I22…

------------7=-------的解.

23x-l6.r-2

(1)求点4的坐标；

(2)如图1,点C在y轴正半轴上，以AC为边在第一象限内作等边ACD,连。8并延长

交V轴于点E求N8EO的度数：

(3)如图2,点F为x轴正半轴上一动点，点F在点4的右边，连接FB,以FB为边在第

一象限内作等边；FBG,连G4并延长交y轴于点H,当点F运动时，。〃-人”的值是否发

生变化？若不变，求其值；若变化，求出具变化的范围.

(1)4(3,0)；(2)120°：(3)尸的值是定值，9.

【分析】(1)先求出方程的解为x=3,即可求解；

(2)由"SZS'可证△C4O也△048,可得ND84=NCO4=90°,由四边形内角和定理可求

解；

(3)由"S4S"可证△ABG妾AOBF可得OF=AG,N84G=N8OF=60°,可求NOAH=60°,可

得47=6,即可求解.

312，

【详解】解：(1)〈X是方程;-h、=二•的解.

23x-\6x-2

解得：x=3,

检验当x=3时，6x-2w0,3x-lw0,

:.x=3是原方程的解，

工点A(3Q);

(2);△ACD,AAB。是等边三角形，

：.AO=AB,AD=AC,^BAO=ZCAD=60°,

：.ZCAO=ZBAD,且40=48,AD=AC,

•・•△CAg△勿8(5A5)

：.ZDBA=ZCOA=90°,

:.ZABE=9Q\

*/NAOE+ZABE+/0A8+NBEO=360°,

，N8EO=120°；

(3)GH-AF的值是定值,

理由如下：•••△ABC,Z^FG是等边三角形，

：,BO=AB=AO=3,FB=BG,ZBOA=ZABO=ZFBG=60°,

：.ZOBF=ZABG,且08=48,BF=BG,

/\AB6^/\0BF(SAS),

：,OF=AG,N84G=N8CF=60°,

・MG=OF=OW+AF=3+AF,

ZOAH=18Q0-ZOAB-ZBAG,

；・NOAH=60°,且N4OH=90°,04=3,

.\AH=6,

:.GH-AF=AH-{-AG-AF=6+3+AF-AF=9.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了分式方程的解法，等边三角形性质，全等三角形的

性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力.

59.等边A48c中，点〃、K分别在边3C、AC上，旦AK=C〃，连接A”、歌交于点

F.

(1)如图1，求NAFB的度数：

图1

BF

(2)连接CF,若N6fC=9()。，求——的值；

AF

(3)如图2,若点G为47边的中点，连接FG,且Ab=2尸G,则的大小是

图2

(1)120°；(2)2；(3)120°

【分析】(1)由AA8C是等边三角形，可得出A8=AC=8C,

ABAC=ZABC=ZACB=60°,再利用AK=C〃，可证A43Kg△C4，(SAS),得出

ZCAH=ZABK,由/3阳=乙$长+/加?=/64/7+/84/可求出/5"/,最后由外角

定义求出/AF8.

(2)在所上取点O,^BD=AF,由&尸8=120。可证N4/，C=150。，冉利用

AB=AC,ZABD=^CAF,或>=A尸可证明A48Z泾AC4/(SAS),进而求出

44DB=NCFA=15O°,再用补角的性质得知NAH>=120。，在V4/7)中利用外角的性质可

求出/皿)=44。8-乙4律=30。，进而证出VA")为等腰三角形，最后可证出

HF=BD+DF=2AF即可求解.

(3)延长至E,使AA庄为等边三角形，延长尸G交CE于7,可得出

^ABF^^ACE(SAS),进而得出NA£C=N41・8=I2O。，利用角的和差得出

4FET=泣=4AFE,则证出八F//EC,进而证出AAFG当△C76(A4S),再利用

AF=2FG,从尸="＞证出为等边三角形，进而记出NAR7=120。.

【详解】(1)•・•AABC是等边三角形，

AAB=AC=BC,ZBAC=ZAI3C=ZACI3=60°,

在AABK和A。”中，

AB=CA,/BAK=ZACH,AK=CH,

SABK^ACAH(SAS),

JZCAH=ZABK,

J./RFH=ZABK4NBAF=NGA"-l-NRAF=60°,

JZAFB=180°-NBFH=18()°-60。=120°.

(2)在所上取点£),使8D=Ab.

由(1)知ZAAB=120。，

又NBFC=90。,

：.ZAFC=150°.

在AAB£)和ACA尸中，

AB=AC,ZABD=ZCAF,BD=AF,

・•・AABD^ACAF(SAS),

ZAD2?=ZCE4=15O°,

Z/™=30°,

•・,ZAFD=120°,

:.ZLFAD=ZADB-ZAFD=30°,

/.ZFDA=ZFAD.

AF=DF,

VBD=AF,

：.BD=DF=AF,

/.BF=BD+DF=2AF,

；・BF:AF=2.

(3)ZBFG=120°.

提示：目测即得答案.详细理由如下：

由(1)知NAF3=120。.延长至£,使44所为等边三角形.

延长尸G交CE于r.

•・•ZBAF+ZFAC=ZFAC+Z.CAE=60°,

・•・ZBAF=NCAE,

在△84F和VC4E中，

AF=AE

ZBAF=乙CAE,

AB=AC

JA/W尸@AACE(%S),

，ZAEC=ZAFB=\2(T.

：.々£7=60。=44庄，

AF//EC.

:・/FAG=NTCG,ZAFE=ZTEF=6O0

在,AFG和C7G中，

ZAG=4TCG

<AG=CG,

ZFGA=NTGC

・•.^AFG^CTG(AAS),

:.FG=TG.

VAF=2FG,AF=EF,

，EF=FT,

ZAFE=Z7EF=60°

・・・AEFT为等边三角形,

・•・NEFF=60。

・•・ZBFG=1800-ZEFT=120°.

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定

和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键.

60、在平面直角坐标系中，4。，0),8(0,b)分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点，点C

与点A关于y轴对称，点P是x轴正半轴上C点右侧一动点.

(1)当2a2+4ab+4b2+2Q+1=0时，求4,8的坐标；

(2)当Q+b=0时，

①如图1,若。与P关于y轴对称，P£_LD8并交。8延长线于E,交28的延长线于F,求

证：P8=PF；

②如图2,把射线8P绕点8顺时针旋转45o,交x轴于点Q,当CP=4Q时，求N4PB的

(1)A(-1,()),8(0《)；(2)①见解析；②N4P8=225

【分析】(1)利用非负数的性质求解即可；

(2)①想办法证明NPBF=NF,可得结论；②如图2中，过点。作QF_LQ8交P8于F,

过点F作FH_Lx轴于H,可得等腰直角"QF,证明也△QB。(AAS)，再证明FQ=FP

即可解决问题.

【详解】解：(1)V2a2+4ab+4b2+2a+l=0,

(a+2b)2+(a+1)2=C,

'：(a+2b)2>0,(a+1)2>0,

/.a+2b=0,a+l=0,

・・・a=-1,b=y,

：.A(-1,0),8(0,y).

:a+b=0,

，a=-b,

：,OA=OB,

又：N4O8=90。，

：,ZBAO=ZABO=45°,

•・・。与P关于y轴对称,

:・BD=BP,

；・NBDP=/BPD,

设N80P=N8P0=a,

贝ljNP8F=ZBAP+^BPA=45Q+a,

•；PELDB,

，N8EF=90°,

：.ZF=90°-ZEBF,

又NEBF=/ABD=NBAO_N8OP=450・a,

/.ZF=450+a,

:・NPBF=/F,

：.PB=PF.

②解：如图2中，过点Q作QF_LQ8交P8「F,过点F作FH_Lx轴于H.可得等腰直角

'：ZBOQ=NBQF=ZFHQ=90°,

/.ZBQO+ZFQH=90%NFQH+NQFH=90。,

工/BQO=/QFH,

•；QB=QF,

：・AFQH学AQBO(AAS),

:.HQ=OB=OA,

:.HO=AQ=PC,

:,PH=OC=OB=QH,

:・FQ=FP,

又N8FQ=45°,

NAP8=22.5°.

【点睛】本题考查完全平方公式、实数的非负性、全等三角形的判定与性质、等腰直角三

角形的判定与性质，解题的关键是综合运用相关知识解题.

61.如图，已知C。是线段的垂直平分线，垂足为D,C在。点上方，N84C=30。，P是

直线CD上一动点，E是射线AC上除4点外的一点，PB=PE,连8E.

(1)如图1，若点P与点C重合，求NA8E的度数；

(2)如图2,若P在C点上方，求证：PD+^AC=CE,

(3)若AC=6,CE=2,则PD的值为(直接写出结果).

(1)Z4BE=90°；(2)PD+^AC=CEt见解析；(3)1

【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质得到：ABPE为等边

三角形，则NCB£=60°,故N48E=90°；

(2)如图2,过P作PHL4E于H,连8C,作PG_LBC交8c的延长线于G,构造含30度

角的直角APCG、直角ZiCPH以及全等三角形(RZGBgRSPHE)，根据含30度的直角三

角形的性质和全等三角形的对应边相等证得结论；

(3)分三种情况讨论，根据(2)的解题思路得至1」。。=4八。+。£或。。=。£-：4。，将数值代

22

入求解即可.

【详解】(1)解：如图1,•・•点P与点C重合，CD是线段48的垂直平分线，

图1

：.PA=PB,

：.ZPAB=^PBA=3Q\

:.NBPE=NPAB+NPBA=6G0,

•:PB=PE,

•••△8PE为等边三角形，

:.NC8E=60°,

:.Z48E=90°；

(2)如图2,过P作PH14E于小连8C,作PG_L8c交8c的延长线于G,

<8垂直平分八8,

：,CA=CB,

•••/8AC=30°,

，4CD=N88=60°,

:.ZGCP=ZHCP=ZBCE=ZACD=Z88=60°,

/.ZGPC=ZHPC=30°,

11

：・PG=PH,C6=CH=-CP,CD=-AC,

在R3PGB和中，

PG=PH

PB=PE'

：・R3PGB且R3PHE(HL).

:・BG=EH,BPCB+CG=CE-CH,

：.CB+-CP=CE--CP,BPCB+CP=CE,

22

又・.・C8=4C,

.\CP=PD-CD=PD--AC,

：.PD+-AC=CE；

2

(3)①当。在。点上方时，由(2)得：PD=CE-^AC,

当AC=6,CE=2时，PD=2-3=-l,不符合题意：

②当P在线段CD上时，

如图3,过P作PH_L4£于从连8C,作PG_L8C交8c于G,

此时RSPG8gRJPHE(HL),

：.BG=EH,HPCB-CG=CE+CH,

Cfi--CP=C£+-CP,即CP=CB-CE,

又."8=4(7,

，PD=CD-CP=-AC-CB+CE,

2

：.PD=CE--AC.

2

当4c=6,C£=2时，PD=2-3=-l,不符合题意;

③当P在。点下方时，如图4,

同理，PD=-AC-CE,

2

当心6,C£=2时,PD=3-2=1.

故答案为：1.

【点睛】本题主要考查了三角形综合题，综合运用全等三角形的判定与性质，含30度角直

角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，难度较大，解题时，注意要分类讨

论.

62.在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0“），点8的坐标（尻0）且a,b满足

a2-]2a+36+\a-b\=0.

（1）求A、8两点的坐标；

（2）如图（1）,点C为x轴负半轴一动点，OC<OB,8OJ.4C于。，交y轴于点E,

求证：OO平分NCOS.

（3）如图（2）,点F为4B的中点，点G为x正半轴点3右侧的一动点，过点F作尺7的

垂线”，交y轴的负半轴于点H,那么当点G的位置不断变化时，的值是

否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果.

（1）40,6）,8（6,0）；（2）证明见解析；（3）不变化，SAFH-SFBG=9.

【分析】（1）由非负性可求。，b的值，即可求4、8两点的坐标；

（2）过点。作OM_L8O于M,ON_LAC于N,根据全等三角形的判定和性质解答即可；

（3）由于点F是等腰直角三角形AOB的斜边的中点，所以连接OF,得出OF=BF.ZfiFO=

ZGFH,进而得出NOFH=/8FG,利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质以及三

角形面积公式解答即可.

【详解】解：（1）・・・。2—12a+36+|a—4=0

工（a—6）~+|a—4=0,

a-6=0

即a=/>=6.

a-b=0

・・・A(0,6),8(6,0).

(2)如图，过点。作OM_LA。于M,ON1AC于M

根据题意可知N4CO+NC4090。.

•・•BD1AC,

工ZBCD+ZCBE=90°,

工NCAO=4CBE.

A(0,6),4(6,0),

，0A=0B=6.

NCAO=NEBO

在△AOC和△BOE中，OA=OB

/AOC=ZBOE=90°

:.AOC^BOECASA).

：.OE=OC,AC=RE,SAOC=SBOE

.」AC・ON=LBE・OM,

22

：.OM=ON,

:•点、。•定在NCDB的角平分线I.,

即0。平分NCD8.

(3)如图，连接OF,

・・・JO"是等腰直角三角形且点F为48的中点,

：.OFLAB,OF=FB,OF平分NA08.

，4OFB=4）FH+格=90。.

又♦・•FG1FH,

/.ZHFG=4BFG+/HFB=90°,

，/OFH=/BFG.

•・•NFOB=L/AOB=45。,

2

JZFOH=ZLFOB+ZHOB=45°+90°=135°.

又/FBG=1800-ZABO=180°-45°=135°,

ZFOH=/FBG.

ZOFH=Z.BFG

在和AEBG中」OF=BF,

NFOH=NFBG

AFOH=£,FBG（ASA）.

•q=c

••uFOHuFBG，

X

**,SAFH-SFBG=SAFH~SFOH=SFOA=—SAOB=—^—OA»OB=-6X6=9.

故不发生变化，且5"〃-SF8G=9.

【点睛】本题为三角形综合题，考查非负数的性质，角平分线的判定，等腰直角三角形的

性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问

题，正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.

63.如图1,在平面直角坐标系中，AO=AB,Z640=90°,8O=8cm,动点。从原点。出

发沿x轴正方向以acm/s的速度运动，动点E也同时从原点0出发在y轴上以bcm/s的速

度运动，且a,。满足关系式M+b?-4Q-2。+5=0,连接OD,OE,设运动的时间为t秒.

（1）求。，b的值；

（2）当t为何值时，△MD且△04E：

【分析】（1）将出+62-4。-28+5=0用配方法得出（0-2）2+（b-1）2=0,利用非负数

的性质，即可得出结论；

（2）先由运动得出8。=8-2t|,再由全等三角形的性质的出货BQ=OE,建立方程求解

即可得出结论.

(3)先判断出△OWPgABAQ(SAS),得出OP=8Q,N48Q=N4OP=30。，N4QB=N

4Po=15。，再求出NO4P=135。，进而判断出△04QgZ\8AQ(SAS),得出NOQ4=N8Q4

=15°,OQ=BQ,再判断出aOPa是等边三角形，得出/OQP=60。，进而求出N8QP=

30°,再求出NP8Q=75°,即可得出结论.

【详解】解：(1)・・・。2+炉-4a-2b+5=0,

:.(a-2)2+(b-1)2=0,

/.a-2=0,b-1=0,

：・a=2,b=l；

(2)由(1)知，a=2,b=l,

由运动知，0D=2tfOE=t,

VOB=8,

：,DB=\8-2t\

/XBAD^LOAE,

*：DB=OE,

/.18-2t|=t,

解得，t=§(如图1)或t=8(如图2)；

(3)如图3,

过点A作AQ_L4P,使AQ=4P,连接OQ，BQ,PQ,

则NAPQ=45°,ZPAQ=90°,

V^OAB=90°,

:・NPAQ=NOAB,

：.ZOAB+ZBAP=ZPAQ+ZBAP.

即：ZOAP=ZBAQ,

t：OA=AB,AD=AD,

/.△O4P^A84Q(SAS).

：.OP=BQ,ZABQ=ZAOP=3Q°,ZAQB=ZAPO=1S°.

在A40P中，N4OP=30°,ZAPO=15°,

:.ZOAP=13Q°-NAOP-ZAPO=135°,

：.ZOAQ=360°-ZOAP-N%Q=135°-90°=135°=NOAP,

'：OA=AB,AD=AD,

：./\OAQ^/\BAQ(SAS),

：.ZOQA=ZBQA=15°,OQ=BQ,

•・・0P=8Q,

・・・OQ=OP,

VZ4PQ=45°,N4PO=15°,

:.NOPQ=ZAPO+ZAPQ=60°,

•••△OPQ是等边三角形，

，NOQP=60。，

；・NBQP=NOQP-NOQ八-N8Q4=60°-15°-15°=30°,

：8Q=PQ,

，NP8Q=g(1800-ZBQP)=75°,

:.NA8P=N48Q+NP8Q=30°+75°=105°.

【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了配方法、非奂数的性质、三角形内角和定理、

等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定及性质，构造出全等三角形是解题的关键.

64.如图1,在平面直角坐标系中，点人(0刀-2),以。,0),“"6,询.且〃满足

/_2必+2从_1劭+64=0,连接A8,AC,AC交x轴于£)点.

(1)求。点的坐标：

(2)求证：Za4C+ZABO=45°；

(3)如图2,点E在线段AB上，作EG_L)，轴于G点，交AC于尸点，若£G=AO,求

(1)C(2,-8)；(2)证明见解析；(3)证明见解析.

【分析】(1)由非负性可求a,b的值，即可求解：

(2)由“SAS"可证△ABPgZ\BCQ,可得AB=BC,NBAP=/CBQ,可证aABC是等腰直角三角

形，可得NBAC=45。，可得结论；

(3)由"AAS”可证△ATO^^EAG,可得AT=AE,OT=AG,由"SAS"可证ATAD也Z\EAD,可得

TD=ED,ZTDA=ZEDA,由平行线的性质可得NEFD=NEDF,可得EF=ED,即可得结论.

【详解】解:(1)Va2-2ab+2b2-16b+64=0,

:.(a-b)2+(b-8)2=0,

♦•a=b=89

，b・6=2,

，点C(2,-8)；

(2)Va=b=8,

・••点A(0,6),点B(8,0),点C(2,-8),

AAO=6,OB=8,

如图1，过点B作PQ_Lx轴，过点A作AP_LPQ,交PQ于点P,过点C作CQ_LPQ,交PQ

于点Q,

・•・四边形AOBP是矩形，

AAO=BP=6,AP=OB=8,

•・•点B(8,0),点C(2-8),

ACQ=6,BQ=8,

.•・AP=BQ,CQ=BP,

又NAPB二NBCQ

.,.△ABP^ABCQ(SAS),

AAB=BC.ZBAP=ZCBQ.

VZBAP+ZABP=90°,

AZABP+ZCBQ=90%

:.ZABC=90°,

.••△ABC是等腰直角三角形，

・・.NBAC=45°,

ZOAD+ZADO=ZOAD+ZBAC+ZABO=90°,

/.ZOAC+ZABO=45°；

(3)如图2,过点A作ATJ_AB,交x轴丁T,连接ED,

图2

，ZTAE=90°=ZAGE,

:、ZATO+ZTAO=900=ZTAO+ZGAE=ZGAE+ZAEG,

.\ZATO=ZGAE,ZTAO=ZAEG,

又：EG=AO,

/.△ATO^AEAG(AAS),

AAT=AE,OT=AG,

VZBAC=45°,

/.ZTAD=ZEAD=45°,

XVAD=AD,

.,.△TAD^AEAD(SAS),

ATD=ED,ZTDA=ZEDA,

VEG±AG,

・・・EG〃OB,

AZEFD=ZTDA,

AZEFD=ZEDF,

AEF-ED,

:.EF=ED=TD=OT+OD=AG+OD,

AEF=AG+OD.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全

等三角形是本题的关键.

65.(1)模型：如图1,在［ABC中，A。平分N3AC,DE±AB,DFA.AC,求证：

S»ADB•S△人DC=A5：AC.

(2)模型应用：如图2,4。平分NE4C交8c的延长线于点D,求证：

AB:AC=BD:CD.

(3)类比应用：如图3,人8平分ND4E,AE=AD,ZD+ZE=180°,求证：

BE:CD=AB:AC.

A

图1

（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）由题意得DE=DF,5&仙=；68・阻S.0c=,即可得出心加

=

lDcAB：AC；

(2)在AB上取点E,使得AE=AC,根据题意可证△ACDgAAED,从而可求出丝=丝

ABAE

矍=黑，即可求解；

(3)延长BE至M,使EM=DC,连接AM,根据题意可证△ADCgZ\AEM,故而得出AE为

AMAC

NBAM的角平分线，即笠=黑=怒，即可得出答案；

BEEMDC

【详解】解：(1)TAD平分NBAC,DE1AB,DE1AC,

ADE-DF,

,•*Sw)B=；・A8・£>E,=；・AC・D”,

•,^XADB:*^AADC=AB：AC；

(2)如图，在AB上取点E,使得AE=AC,连接DE

又•・,AD平分NCAE,

/.ZCAD=ZDAE,

SAACD和AAED中，

AC=AE

<ZCAD=ZDAE,

AD=AD

.,.△ACD^AAED(SAS),

/.CD=DEjaZADC=ZADE,

.BDDE

**~AB~~AE'

.BDCD

/.AB：AC=BD：CD：

(3)如图延长BE至M,使EM=DC,连接AM,

•:ZD+ZAEB=180°,

XVZAEB+ZAEM=180°,

/.ZD=ZAEM,

在4ADC与△AEM中，

AD=AE

ZD=ZAEM,

DC=EM

.,.△ADC^AAEM(SAS),

AZDAC=ZEAM=ZBAE,AC=AM,

，AE为NBAM的角平分线，

,,ABAMAC

故—=----=——,

BEEMDC

/.BE：CD=AB：AC；

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、以及三角形的面积的应

用，正确掌握知识点是解题的关键：

66.如图，RJA8C中，N8AC=90。，AB=AC.

图1图2

(1)如图1,AD±AE,BE1.AE,求证：

(2)如图2,ZAFD=NCEB,AF=CE,请直接用几何语言写出的、D4的位置关系

(3)证明(2)中的结论.

(1)见解析；(2)BEIDA；(3)见解析

【分析】(1)根据垂直的定义可得NADC=NE=90。，根据余角的性质可得NACD=NBAE,

然后根据AAS即可证得结论；

(2)由于要得出BE、D4的位置关系，结合图形可猜想：BEIDA；

(3)如图，作CP_LAC于点C,延长FD交CP于点P,先证明△BAEg^FCP,可得N3=N

P,AB=CP,然后证明△ASg/XPCD,可得/4=/P,进一步即可推出/4+/2=90。，问题得

证.

【详解】解：(1)证明：：A£>_LAE,BE±AE,

.\ZADC=ZE=90°,ZDAC+ZACD=90°,

VZfiAC=90°,

.,.ZDAC+ZBAE=90°,

AZACD=ZBAE,

在ADAC和AEBA中，

VZADC=ZE,ZACD=ZBAE,AC=AB,

(AAS)；

(2)结合图形可得：BELDA-

故答案为：BE1.DAx

(3)证明：如图，作CP_LAC「点C,延长FD交CPF点P,

VAF=CE,

/.AE=CF,

•・•ZAFD=4CEB,

r.zi=Z2,

VZBAE=ZFCP=90°,

/.△BAE^AFCP,

AZ3=ZP,AB=CP,

VZBAC=90°,AB=AC,

.,.ZABC=ZACB=45°,

VZPCP=90°,AB=CP,

/.ZFCD=45°,AC=PC,

.\ZACB=ZPCD,

VCD=CD,

/.△ACD^APCD,

AZ4=ZP,

VZ3=ZP,

AZ3=Z4,

VZ3+Z2=90°,

・••Z4+Z2=90°,

.\ZAGE=90o,即HE_L£)A.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，正确添加辅助

线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.

67.如图，在平面直角坐标系中，点4(。，0),8(0,b),且a,b满足(3x")1.

(1)直接写出a=,b=；

(2)连接A8,P为必(小内一点，OPLBP.

①如图1,过点。作OC1OP,且OP=OC,连接CP并延长，交A3于。.求证：

AD=BD；

②如图2,在尸。的延长线上取点M,连接3M.若/MBO=ZABP,点、P伽,-n),试求

点M的坐标.

(1)3,-3：(2)①见解析；②”的坐标为(-5,

JJ

【分析】(1)先利用幕的乘方和积的乘方化简，再利用单项式的性质求解即可；

(2)①连接4C,过点8作8N_L8P,交CP的延长线卜点N,利用S4S证明△OPB94

OCA,再证明A8NP为等腰直角三角形，利用加5证明aACDg△8ND,即可证明4。=。8；

②作出如图所示的辅助线，证明ABMP为等腰直角三角形，利用/W5证明△P8F0Z\MPE,

求得E(2n,n),M(3n-3rn),证明点M,£关于y轴对称,得到3c-3+2a=0,即可求解.

【详解】(1)V(3xa/*5)2=9x6/,

:.9x2ay2b+'°=9x6y4,

2ci=6,2/?+10=4,

解得：。=3,b=—3,

故答案为:3»-3；

(2)①连接4C,

；NCOP=NAO8=90°,

:.ZCOP-ZAOP=ZAOB-ZAOP,

:,NCOA=NPOB,