高中数学竞赛平面几何定理

平面几何基础知识（基本定理基本性质）

1.勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）（1）锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一

边在这边上的射影乘积的两倍.（2）钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射

影乘积的两倍.

2.射影定理（欧几里得定理）

3.中线定理（巴布斯定理）设AABC的边BC的中点为P,则有AB?+4C?=2（4尸2+8尸2）；

4.垂线定理：ABLCD^AC2-AD2=BC--BD-.

高线长：ha=—』p（p-a）（p-b）（p-c）=—sinA=csinB=OsinC.

aa

5.角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例.

如△ABC中，A。平分N8AC,贝4型=空；（外角平分线定理）.

DCAC

角平分线长：.=2Jbcp（p-a）=2"cos4（其中p为周长一半）.

b+ch+c2

6.正弦定理：，_=_L_=_^=2R,（其中R为三角形外接圆半径）.

sinAsinBsinC

7.余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC.

g张角定理.sinN8AC_sinNBA/）sinZ.DAC

AD~ACAH

9.斯特瓦尔特⑸etvarf）定理:设已知AABC及其底边上B、C两点间的一点D,则有AB2-DC+AC1-fiD-AD2-BC=BC-OC-BD.

10.圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半.（圆外角如何转化？）

11.弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角.

12.圆累定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）

13.布拉美古塔定理：在圆内接四边形4BCD中，ACLBD,自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必

平分对边.

14.点到圆的寤：设P为。。所在平面上任意一点，PO=d,。。的半径为r,则小一户就是点P对于。。的藉.过P任作一

直线与交于点A、B,则PA-PB=|泮一户|.“到两圆等嘉的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆

相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论.这条直线称为两圆的“根轴”.三个圆两两的根轴如果不互相平

行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”.三个圆的根心对于三个圆等募.当三个圆两两相交时，三条公共弦（就

是两两的根轴）所在直线交于一点.

15.托勒密（P/o/e/ny）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即ACB£>=4BCD+ADBC,（逆命题成立）.（广

义托勒密定理）ABCD+ADBC^ACBD.

16.蝴蝶定理：AB是。0的弦，M是其中点，弦C。、EF经过点M,CF、DE交AB于P、Q,求证：MP=QM.

17.费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外

接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离.定理2三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存

在一点，它对三条边所张的角都是120°,该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°

时，此角的顶点即为费马点.

18.拿破仑三角形：在任意△A8C的外侧，分别作等边△AB。、△BCE、△C4F,则AE、AB、C。三线共点，并且AE=B尸

=CD,这个命题称为拿破仑定理.以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、ACAF,它们的外接圆（DCi、

OAi、OBi的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，OG、OAi、OBi三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；

△ABC的三条边分别向aABC的内侧作等边△AB。、△BCE、△C4F,它们的外接圆0C2、OA2、OB?的圆心构成的△

一内拿破仑三角形，0c2、OA2、0&三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形.这两个拿破仑三角形还具有

相同的中心.

19.九点圆(初松?山川加^/或欧拉圆或费尔巴赫圆)：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂

心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质，例如：

(1)三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；

(2)九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；

(3)三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切(费尔巴哈定理).

20.欧拉(E“/er)线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上.

21.欧拉(E"/er)公式：设三角形的外接圆半径为R,内切圆半径为广，外心与内心的距离为d,则/=W—2Rr.

22.锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和.

23.重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；G(X“+、+XC)'A+%+)'C)

3'3

重心性质：(1)设G为AABC的重心，连结AG并延长交BC于。，则。为BC的中点，则AG：G£>=2：1；

M

(2)设G为4ABC的重心，则S1MBe=S^CG=S”=gS.c；

(3)设G为AA8C的重心，过G作。E〃BC交AB于。，交AC于E,过G作PF〃AC交AB于P,交BC于F,

DEppKH2DEFPKH-

过G作HK〃A8交AC■于K,交BC于"则——=—=----

BCCAAB3'BCCAAB

(4)设G为△ABC的重心，则

①BC?+3GA2=eV+3GB2=毋+3GC2；

②GA?+GB-+GC'=g(A8?+叱+。川)；

©PA1+PB'+PC2=GA2+GB-+GC2+3PG2(P为AABC内任意一点)；

④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即GA2+GB-+GC2最小；

⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心：反之亦然(即满足上述条件之一，则G为△ABC的重心).

abcabc

--------1人十-----xB+---------xc---------y.+---------yB+---------yc

24.垂心：三角形的三条高线的交点；“(cosAcosBcosC,8sA-8sB8sC")

abc'abc

------1-------1------------1-------1------

cosAcosBcosCcosAcosBcosC

垂心性质：(1)三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；

(2)垂心“关于△ABC的三边的对称点，均在△ABC的外接圆上；

(3)△ABC的垂心为H,则AABC,AABH,ABCH,△ACH的外接圆是等圆；

(4)设0,“分别为△ABC的外心和垂心，则

25.内心：三角形的三条角分线的交点一内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；

内心性质：(1)设/为AABC的内心，则/到△ABC三边的距离相等，反之亦然：

(2)设/为AABC的内心，则ABIC=90°+-ZA,ZAIC=90°+-ZB,AAIB=90。+工NC；

222

(3)三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若N4平分线交AABC外接

圆于点K,/为线段4K上的点且满足K/=K8,则/为AABC的内心：

(4)设/为AABC的内心，BC=a,AC=b,AB=c,Z4平分线交BC于D,交AABC外接圆于点K,则

AI_AK_IK_b+c

万=方=筋=丁；

(5)设/为△ABC的内心，BC=a,AC=6,AB=c,/在BC,AC,AB上的射影分别为D,E,F,内切圆半径为r,令

p=；(〃+/?+c),贝ij①SMBC=pr；②AE=AF=p-a\BD=BF=p-h;CE=CD=p-c；③

abcr=p-AI-BICI.

26.外心：三角形的三条中垂线的交点一一外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；

外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；

（2）设。为AABC的外心，则NBOC=244或NBOC=360。-2N4：

（3）足=£生；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和.

4sA

27.旁心：一内角平分线与两外角平分线交点一一旁切圆圆心；设A4BC的三边BC=a,AC=6,AB=c，令

p=；（a+A+c）,分别与BC,AC,A8外侧相切的旁切圆圆心记为/…lBJC'其半径分别记为rA,rB,rc.

旁心性质：（1）/B，C=90°—LNA,/B，C=NB/<.C=gNA,（对于顶角B,C也有类似的式子）；

（2）//J/.=；0+NC）；

（3）设A/4的连线交AABC的外接圆于D,则。/“=O8=OC（对于C/,有同样的结论）；

（4）△ABC是A/"He的垂足三角形，且△/"Me的外接圆半径R'等于△ABC的直径为2R

1I2>22

2

28.三角形面积公式：SMRC=—ah=—absmC=--=2RsinAsinBsinC=---------"+"+'---------

2"24R4（cotA+cotB+cotC）

=pr=qp（p-a）（p-b）（p-c），其中儿表示8C边上的高，R为外接圆半径，r为内切圆半径，p=—（a+b+c）-

29.三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：

30.梅涅劳斯（Me"e/a“s）定理：设AABC的二边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为

P、Q、R则有———=1.（逆定理也成立）

PCQARB

31.梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的NA的外角平分线交边CA于Q,NC的平分线交边AB于R,N3的平分线交边

CA于Q,则P、Q、R三点共线.

32.梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、C4、AB的延长线交

于点P、。、R,则P、Q、R三点共线.

33.塞瓦（Ceva）定理：设X、KZ分别为△ABC的边8C、CA.AB上的一点，贝ijAX、BKCZ所在直线交于一点的充要条件

nAZBXCY

^ZB'UCYA='-

34.塞瓦定理的应用定理：设平行于AABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是£>、E,又设BE和8交于5,则

AS一定过边BC的中点M.

35.塞瓦定理的逆定理：（略）

36.塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一

点.

37.塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA,AB分别相切于点R、S、T,贝ijAR、BS、C7交于一

点.

38.西摩松（Simson'）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、C4、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是。、

E、R,则£>、E、R共线，（这条直线叫西摩松线/加e）.

39.西摩松定理的逆定理：（略）

40.关于西摩松线的定理1：AABC的外接圆的两个端点P、。关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上.

41.关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西

摩松线，这些西摩松线交于一点.

42.史坦纳定理：设AA8C的垂心为H,其外接圆的任意点P,这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段的中心.

43.史坦纳定理的应用定理：AABC的外接圆上的一点P的关于边8C、CA.AB的对称点和A4BC的垂心，同在一条（与西

摩松线平行的）直线上.这条直线被叫做点P关于AA8C的镜象线.

44.牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线.这条直线叫做这个四边形

的牛顿线.

45.牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线.

46.笛沙格定理1：平面上有两个三角形AABC、ADEF,设它们的对应顶点（A和。、8和E、C和尸）的连线交于一点，这

时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线.

47.笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、4DEF,设它们的对应顶点（A和。、B和E、C和F）的连线交于一点，

这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线.

48.波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、。、R,则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+

弧BQ+弧CR=0（mod2%）.

49.波朗杰、腾下定理推论1：设P、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、。、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、

B、C三点关于4PQR的的西摩松线交于与前相同的一点.

50.波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、。、R六点任取三点所作的三角形的垂心

和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点.

51.波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该

外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点.

52.波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、C4、AB引垂线，设垂足分别是E、F,且设边BC、CA.AB的

中点分别是L、M、N,则。、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一

点.

53.卡诺定理：通过AABC的外接圆的一点P,引与AA8C的三边BC、。、AB分别成同向的等角的直线尸£＞、PE、PF,与

三边的交点分别是。、E、F,则£＞、E、F三点共线.

54.奥倍尔定理：通过AA8C的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N,在△ABC

的外接圆上取一点P,则PL、PM、PN与AA8c的三边8C、CA.AB或其延长线的交点分别是。、E、F,则。、E、F

三点共线.

55.清宫定理：设P、Q为AA8C的外接圆的异于4、B、C的两点，P点的关于三边8C、C4、48的对称点分别是U、hW,

这时，QU、QV,QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是。、E、F,则。、E、广三点共线.

56.他拿定理：设P、Q为关于△A8c的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、C4、AB的对称点分别是U、XIV,这时，

如果QU、QV,QW和边BC、CA,AB或其延长线的交点分别是。、E、F,则。、E、尸三点共线.（反点：P、Q分别

为园0的半径OC和其延长线的两点，如果OG=OQxOP则称户、Q两点关于圆O互为反点）

57.朗古来定理：在同一圆周上有Ai、Bi、Ci.Di四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P,作P点的关于这4个三

角形的西摩松线，再从尸向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上.

58.从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心.

59.一个圆周上有"个点，从其中任意"一1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点.

60.康托尔定理1：一个圆周上有"个点，从其中任意"一2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点.

61.康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、。四点及M、N两点，则”和N点关于四个三角形△BC。、△CDA,ADAB,

△ABC中的每一个的两条西摩松线的交点在同-直线上.这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线.

62.康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、。四点及M、N、L三点,则“、N两点的关于四边形48CD的康托尔线、L、N

两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCQ的康托尔线交于一点.这个点叫做M、N、L三点、

关于四边形A8CD的康托尔点.

63.康托尔定理4：•个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、£,三点，则M、ML三点关于四边形BCDE、COEA、DEAB、

E4BC中的每一个康托尔点在一条直线上.这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、8、C、D、E的康托尔线.

64.费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切.

65.莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正

三角形.这个三角形常被称作莫利正三角形.

66.布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和。、B和E、C和F,则这三线共点.

67.帕斯卡（PaskaD定理：圆内接六边形A8CDEF相对的边A8和。E、BC和EF、CD和尸A的（或延长线的）交点共线.

68.阿波罗尼斯(Apollonius)定理：到两定点48的距离之比为定比”(值不为1)的点P,位于将线段AB分成〃

的内分点C和外分点。为直径两端点的定圆周上.这个圆称为阿波罗尼斯圆.

69.库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆)圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在

同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆.

70.密格尔(Miquel)点：若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是△ABF、

△AE。、&BCE、4DCF,则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点.

71.葛尔刚(Gergonne)点：ZLABC的内切圆分别切边AB、BC、C4于点。、E、F,则AE、BF、CD三线共点，这个点称为

葛尔刚点.

72.欧拉关于垂足三角形的面积公式：O是三角形的外心，”是三角形中的任意一点，过“向三边作垂线，三个垂足形成的

三角形的面积，其公式：SA即JR?七|

S-BC4R2

平面几何的意义

就个人经验而言，我相信人的智力懵懂的大门获得开悟往往缘于一些不经意的偶然事件.

罗素说过：”一个人越是研究几何学，就越能看出它们是多么值得赞赏.”我想罗素之所以这么说，是因为平面几何曾经

救了他一命的缘故.

天知道是什么缘故，这个养尊处优的贵族子弟鬼迷心窍，想要自杀来结束自己那份下层社会人家的孩子巴望一辈子都够不

到的幸福生活.在上吊或者抹脖子之前，头戴假发的小子想到做最后一件事情，那就是了解一下平面几何到底有多大迷人

的魅力.而这个魅力是之前他的哥哥向他吹嘘的.估计他的哥哥将平面几何与人生的意义搅和在一起向他做了推介，不然

万念俱灰的的头脑怎么会在离开之前想到去做最后的光顾？而罗素真的一下被迷住了，厌世的念头因为沉湎于平面几何而

被淡化，最后竟被遗忘了.

罗素毕竟是罗素.平面几何对于我的意义只是发掘了一个成绩本来不错的中学生的潜力，为我解开了智力上的扭结；而在

罗素那里，这门知识从一开始就使这个未来的伟大的怀疑论者显露了执拗的本性.他反对不加考察就接受平面几何的公理，

在与哥哥的反复争论之后，只是他的哥哥使他确信不可能用其他的方法一步步由这样的公理来构建庞大的平面几何的体系

的以后，他才同意接受这些公理.

公元前334年，年轻的亚历山大从马其顿麾师东进，短短的时间就建立了一个从尼罗河到印度河的庞大帝国.随着他的征

服，希腊文明传播到了东方，开始了一个新的文明时代即“希腊化时代”，这时希腊文明的中心也从希腊本土转移到了东方，

准确地说，是从雅典转移到了埃及的亚历山大城.正是在这个城市，诞生了“希腊化时代”最为杰出的科学成就，其中就包

括欧几里德的儿何学.因为他的成就，平面几何也被叫作“欧氏几何”.

“欧氏几何”以它无与伦比的完美体系一直被视为演绎知识的典范，哲学史家更愿意把它看作是古代希腊文化的结晶.它

由人类理性不可辩驳的儿个极其简单的“自明性公理”出发，通过严密的逻辑推理，演绎出一连串的定理，这些在结构上

紧密依存的定理和作为基础的几个公理一起构筑了一个庞大的知识体系.世间事物的简洁之美无出其右.

★费马点：法国着名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三

个顶点距离之和最小.人们称这个点为“费马点”.这是一个历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍.

★拿破仑三角形：读了这个题目，你一定觉得很奇怪.还有三角形用拿破仑这个名子来命名的呢！拿破仑与我们的几何图

形三角形有什么关系？少年朋友知道拿破仑是法国着名的军事家、政治家、大革命的领导者、法兰西共和国的缔造者，

但对他任过炮兵军官，对与射击、测量有关的几何等知识素有研究