高数级数的教案

高数级数的教案一、教学目标1.知识与技能目标理解级数的基本概念，包括级数的定义、通项、部分和等。掌握级数收敛与发散的定义，能够运用定义判断一些简单级数的敛散性。熟悉几何级数、调和级数的敛散性，并能灵活运用相关结论。掌握级数收敛的必要条件，了解其逆命题不成立。理解正项级数的比较判别法、比值判别法和根值判别法，能够熟练运用这些方法判别正项级数的敛散性。2.过程与方法目标通过对级数概念的引入和分析，培养学生的抽象概括能力和逻辑推理能力。在讲解级数敛散性的判别方法时，引导学生进行思考、讨论和练习，提高学生的分析问题和解决问题的能力。通过实际例子，让学生体会级数在数学和其他学科中的应用，培养学生的数学应用意识。3.情感态度与价值观目标培养学生对数学的兴趣和热爱，激发学生学习数学的积极性和主动性。通过团队合作和交流，培养学生的合作精神和沟通能力。让学生在学习过程中体验成功的喜悦，增强学习的自信心。

二、教学重难点1.教学重点级数收敛与发散的概念。正项级数敛散性的判别方法，特别是比较判别法、比值判别法和根值判别法的应用。2.教学难点对级数收敛与发散概念的理解，尤其是部分和数列极限的存在性。正项级数判别法的综合运用，根据不同级数的特点选择合适的判别方法。

三、教学方法1.讲授法：系统讲解级数的基本概念、性质和判别方法，使学生对所学知识有一个全面的了解。2.讨论法：针对一些重点和难点问题，组织学生进行讨论，激发学生的思维，加深学生对知识的理解。3.练习法：通过适量的课堂练习和课后作业，让学生巩固所学知识，提高运用能力。

四、教学过程

（一）课程导入（5分钟）通过展示一些实际问题，如物体的振动、放射性物质的衰变等，引出级数的概念。例如，在物体振动问题中，一个物体在做简谐振动时，其位移随时间的变化可以用一系列正弦函数的和来表示，这就涉及到了级数的知识。让学生感受到级数在实际生活中的广泛应用，从而激发学生的学习兴趣。

（二）知识讲解（30分钟）1.级数的基本概念定义：给定一个数列\(\{u_n\}\)，将其各项依次相加，得到的表达式\(u_1+u_2+u_3+\cdots+u_n+\cdots\)称为无穷级数，简称级数，记为\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)，其中\(u_n\)称为级数的通项。部分和：级数\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)的前\(n\)项和\(S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n\)称为该级数的部分和。级数的收敛与发散：如果部分和数列\(\{S_n\}\)有极限\(S\)，即\(\lim_{n\to\infty}S_n=S\)，则称级数\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收敛，极限\(S\)称为该级数的和；如果部分和数列\(\{S_n\}\)没有极限，则称级数\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)发散。通过具体例子，如级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)，计算其部分和\(S_n=1\frac{1}{n+1}\)，然后求极限\(\lim_{n\to\infty}S_n=1\)，说明该级数收敛，和为\(1\)。2.级数收敛的必要条件定理：如果级数\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收敛，则\(\lim_{n\to\infty}u_n=0\)。强调该定理是级数收敛的必要条件而非充分条件，通过反例，如调和级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)，虽然\(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0\)，但调和级数是发散的，加深学生对这一概念的理解。

（三）正项级数敛散性的判别（35分钟）1.正项级数的概念：如果级数\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)的各项\(u_n\geq0\)，则称该级数为正项级数。2.比较判别法定理：设\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)和\(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)都是正项级数，且\(u_n\leqv_n\)（\(n=1,2,\cdots\)）。如果级数\(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)收敛，则级数\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)也收敛。如果级数\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)发散，则级数\(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)也发散。讲解比较判别法的原理，并通过具体例子，如判断级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}\)的敛散性，与已知收敛的级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)进行比较，因为\(\frac{1}{n^2+1}\lt\frac{1}{n^2}\)，所以级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}\)收敛。3.比较判别法的极限形式定理：设\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)和\(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)都是正项级数，且\(\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=l\)。当\(0\ltl\lt+\infty\)时，级数\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)与\(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)同时收敛或同时发散。当\(l=0\)且级数\(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)收敛时，级数\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)也收敛。当\(l=+\infty\)且级数\(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)发散时，级数\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)也发散。以级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^3+1}}\)为例，运用比较判别法的极限形式，与级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\)比较，计算\(\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{n^3+1}}}{\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}}=1\)，因为\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\)收敛，所以\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^3+1}}\)收敛。4.比值判别法定理：设\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)是正项级数，且\(\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho\)。当\(\rho\lt1\)时，级数\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收敛。当\(\rho\gt1\)（或\(\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=+\infty\)）时，级数\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)发散。当\(\rho=1\)时，级数\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)可能收敛也可能发散。讲解比值判别法的原理，并通过例子，如判断级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}\)的敛散性，计算\(\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}=\frac{1}{e}\lt1\)，所以级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}\)收敛。5.根值判别法定理：设\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)是正项级数，且\(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho\)。当\(\rho\lt1\)时，级数\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收敛。当\(\rho\gt1\)（或\(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=+\infty\)）时，级数\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)发散。当\(\rho=1\)时，级数\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)可能收敛也可能发散。通过例子，如判断级数\(\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{n}{2n+1})^{n}\)的敛散性，计算\(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{(\frac{n}{2n+1})^{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}\lt1\)，所以级数\(\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{n}{2n+1})^{n}\)收敛。

（四）课堂练习（20分钟）布置一些关于级数敛散性判别的练习题，让学生在课堂上进行练习，如：1.判断级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+n}\)的敛散性。2.判断级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n!}\)的敛散性。3.判断级数\(\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{3n+1}{2n1})^n\)的敛散性。教师巡视学生的练习情况，及时给予指导和纠正，针对学生普遍存在的问题进行集中讲解，强化学生对所学知识的掌握。

（五）课堂小结（5分钟）1.回顾本节课所学的主要内容，包括级数的基本概念、收敛与发散的定义、级数收敛的必要条件以及正项级数敛散性的判别方法。2.强调各种判别方法的适用范围和注意事项，帮助学生梳理知识体系，加深对重点和难点的理解。

（六）课后作业（5分钟）布置课后作业，包括：1.教材上相关章节的练习题，如判断级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(n+1)(n+2)}\)、\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\cdot2^n}\)等的敛散性。2.思考：如何判断一个交错级数的敛散性？

五、教学反思在教学过程中，通过实际问题引入级