倍角公式教案

倍角公式教案一、教学目标1.知识与技能目标学生能够理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导过程。熟练运用二倍角公式进行化简、求值和证明等相关计算。2.过程与方法目标通过公式的推导，培养学生的逻辑推理能力和类比归纳能力。让学生体会从一般到特殊的数学思想方法，提高学生的数学思维能力。3.情感态度与价值观目标激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。通过合作学习，增强学生的团队协作意识，让学生体验成功的喜悦。

二、教学重难点1.教学重点二倍角公式的推导及其应用。2.教学难点二倍角公式的灵活运用，特别是公式的逆用和变形应用。

三、教学方法1.讲授法：系统地讲解二倍角公式的推导过程、公式的形式及特点，使学生对新知识有初步的认识。2.讨论法：组织学生对公式的应用进行讨论，鼓励学生积极思考、大胆发言，培养学生的合作交流能力和思维能力。3.练习法：通过有针对性的练习题，让学生巩固所学知识，提高运用公式解决问题的能力。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.引导学生回顾两角和的正弦、余弦、正切公式：$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta\sin\alpha\sin\beta$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1\tan\alpha\tan\beta}$2.提出问题：当$\beta=\alpha$时，上述公式会变成什么形式？从而引出本节课的主题二倍角公式。

（二）讲授新课（20分钟）1.二倍角公式的推导正弦二倍角公式由$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$，当$\beta=\alpha$时，可得：$\sin2\alpha=\sin(\alpha+\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$余弦二倍角公式由$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta\sin\alpha\sin\beta$，当$\beta=\alpha$时，可得：$\cos2\alpha=\cos(\alpha+\alpha)=\cos\alpha\cos\alpha\sin\alpha\sin\alpha=\cos^{2}\alpha\sin^{2}\alpha$进一步引导学生对$\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha\sin^{2}\alpha$进行变形：因为$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$，所以$\cos2\alpha=2\cos^{2}\alpha1$，$\cos2\alpha=12\sin^{2}\alpha$正切二倍角公式由$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1\tan\alpha\tan\beta}$，当$\beta=\alpha$时，可得：$\tan2\alpha=\tan(\alpha+\alpha)=\frac{\tan\alpha+\tan\alpha}{1\tan\alpha\tan\alpha}=\frac{2\tan\alpha}{1\tan^{2}\alpha}$总结二倍角公式：$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha\sin^{2}\alpha=2\cos^{2}\alpha1=12\sin^{2}\alpha$$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1\tan^{2}\alpha}$2.公式的特点分析强调二倍角公式中的"二倍角"是相对的，例如$\alpha$可以是$\frac{\alpha}{2}$的二倍角。引导学生观察公式中各项的系数和符号特点，帮助学生记忆公式。

（三）例题讲解（20分钟）1.例1：已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，$\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)$，求$\sin2\alpha$，$\cos2\alpha$，$\tan2\alpha$的值。分析：首先根据已知条件求出$\cos\alpha$的值，然后再利用二倍角公式进行计算。解：因为$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，$\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)$，所以$\cos\alpha=\sqrt{1\sin^{2}\alpha}=\sqrt{1(\frac{3}{5})^{2}}=\frac{4}{5}$。$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\times\frac{3}{5}\times(\frac{4}{5})=\frac{24}{25}$$\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha\sin^{2}\alpha=(\frac{4}{5})^{2}(\frac{3}{5})^{2}=\frac{16}{25}\frac{9}{25}=\frac{7}{25}$$\tan2\alpha=\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}=\frac{\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}}=\frac{24}{7}$2.例2：化简$\frac{1+\sin2\alpha\cos2\alpha}{1+\sin2\alpha+\cos2\alpha}$。分析：利用二倍角公式将分子分母进行化简。解：分子$1+\sin2\alpha\cos2\alpha=1+2\sin\alpha\cos\alpha(12\sin^{2}\alpha)=2\sin\alpha(\sin\alpha+\cos\alpha)$分母$1+\sin2\alpha+\cos2\alpha=1+2\sin\alpha\cos\alpha+(2\cos^{2}\alpha1)=2\cos\alpha(\sin\alpha+\cos\alpha)$所以原式$=\frac{2\sin\alpha(\sin\alpha+\cos\alpha)}{2\cos\alpha(\sin\alpha+\cos\alpha)}=\tan\alpha$3.例3：证明：$\frac{\sin2\alpha}{1+\cos2\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha}=\tan\frac{\alpha}{2}$。分析：利用二倍角公式将左边式子进行化简，使其等于右边式子。证明：左边$=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{1+2\cos^{2}\alpha1}\cdot\frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^{2}\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$根据半角公式$\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$，所以左边=右边，原式得证。

（四）课堂练习（10分钟）1.已知$\cos\alpha=\frac{4}{5}$，$\alpha\in(\pi,\frac{3\pi}{2})$，求$\sin2\alpha$，$\cos2\alpha$，$\tan2\alpha$的值。2.化简：$\frac{\sin4\alpha}{1+\cos4\alpha}\cdot\frac{\cos2\alpha}{1+\cos2\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha}$。3.证明：$\frac{1\cos2\alpha+\sin2\alpha}{1+\cos2\alpha+\sin2\alpha}=\tan\alpha$。

（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾二倍角公式的推导过程，强调公式之间的内在联系。2.总结二倍角公式的应用，包括化简、求值和证明等方面的方法和技巧。3.强调在使用二倍角公式时需要注意的问题，如公式的适用条件、符号的确定等。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业：课本第[X]页习题[X]第[X]题。2.拓展作业：已知$\tan\alpha=\frac{1}{3}$，求$\cos2\alpha$的值，并思考如何利用二倍角公式求$\sin4\alpha$的值。